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精品課程教案第四節(jié)一階線性微分方程一、一階線性微分方程1.定義：形如的微分方程稱為一階線性微分方程特點：它對于未知函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)都是一次方程.例如，，都是一階線性微分方程；而，不是一階線性微分方程.一階線性微分方程又分為兩類：一階線性非齊次微分方程（1）一階線性齊次微分方程（2）方程（2）稱為方程（1）所對應(yīng)的齊次線性微分方程.2.解法我們先求一階線性齊次微分方程（2）的通解.該方程也是變量可分離的微分方程，分離變量得兩邊積分得，即（）為所求一階線性齊次微分方程（2）的通解.下面我們用常數(shù)變易法來求一階線性非齊次微分方程（1）的通解.由于一階線性非齊次微分方程（1）與它所對應(yīng)的一階線性齊次微分方程（2）的左端相同，故其解有一定的關(guān)系.設(shè)是方程（1）的一個解，則有由于是的函數(shù)，所以也是的函數(shù)，兩邊積分得即顯然是的函數(shù)，所以也是的函數(shù)，我們將其記為則（3）其形式類似于一階線性齊次微分方程（2）的通解，不同的是一階線性齊次微分方程（2）的通解中前是常數(shù)，而（3）式中是待定函數(shù)，可看作是將常數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)所得，這種方法稱為常數(shù)變易法.設(shè)為一階線性非齊次微分方程（1）的解，則將、代入方程（1），得即，從而，故一階線性非齊次微分方程（1）的通解為這就是一階線性非齊次微分方程（1）的求解公式.例1求解解，例2求解解例3求解滿足的特解解將代入上式得，所求特解為例4求解解將看為自變量，為的函數(shù)，該方程不是一階線性微分方程但該方程可化為即以為自變量，為的函數(shù)，這就是一階線性非齊次微分方程例5求解解原方程化為為一階線性非齊次微分方程二、伯努利方程形如（的微分方程稱為伯努利方程.方程兩邊除以，得而，因此，我們作變量代換，令，則，原方程可化為一階線性非齊次微分方程由一階線性非齊次微分方程的求解公式求出，再將代回即得原方程的通解.例6求解解兩邊除以得：令，則，即代入原方程得即即例7求解解兩邊除以得

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