2023-2024學(xué)年天津市南開區(qū)高一下學(xué)期第二次月考聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

/2023-2024學(xué)年天津市南開區(qū)高一下學(xué)期第二次月考聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷一．選擇題（共12小題）1．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，則復(fù)數(shù)z1?z2的虛部為（）A．﹣i B．﹣1 C．﹣3i D．﹣32．采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從含有5個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為（）A． B． C． D．3．某中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人，高二年級有學(xué)生1000人，高三年級有學(xué)生800人，現(xiàn)在要用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級中抽取m人參加表演，若高二年級被抽取的人數(shù)為20，則m＝（）A．50 B．60 C．64 D．754．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n B．若m∥n，n?α，則m∥α C．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β D．若m⊥α，m⊥n，則n⊥α5．為激發(fā)中學(xué)生對天文學(xué)的興趣，某校舉辦了“2022～2023學(xué)年中學(xué)生天文知識競賽”，并隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）A．直方圖中x的值為0.035 B．估計(jì)全校學(xué)生的平均成績不低于80分 C．估計(jì)全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)約為60分 D．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間[60，70）的學(xué)生數(shù)為106．拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，“既有正面向上，也有反面向上”的概率為（）A． B． C． D．7．如圖，在直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．已知向量，則向量在向量方向上的投影向量是（）A． B． C． D．9．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球，下列選項(xiàng)中是互斥而不對立的兩個(gè)事件的是（）A．“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球” B．“恰好有1個(gè)紅球”與“恰好有1個(gè)黑球” C．“至少有1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球” D．“都是紅球”與“都是黑球”10．若數(shù)據(jù)x1+m、x2+m、?、xn+m的平均數(shù)是5，方差是4，數(shù)據(jù)3x1+1、3x2+1、?、3xn+1的平均數(shù)是10，標(biāo)準(zhǔn)差是s，則下列結(jié)論正確的是（）A．m＝2，s＝6 B．m＝2，s＝36 C．m＝4，s＝6 D．m＝4，s＝3611．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法中不正確的是（）A．a(chǎn)＝2，A＝30°，則△ABC的外接圓半徑是2 B．在銳角△ABC中，一定有sinA＞cosB C．若acosA＝bcosB，則△ABC一定是等腰直角三角形 D．若sinBcosA＞sinC，則△ABC一定是鈍角三角形12．已知正四棱錐P﹣ABCD的側(cè)棱長為2，且二面角P﹣AB﹣C的正切值為，則它的外接球表面積為（）A． B．6π C．8π D．二．多選題（共1小題）（多選）13．在棱長為1正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P為線段CC1上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，（）A．三角形D1BP面積的最小值為 B．直線D1B與DP所成角的余弦值的取值范圍為 C．二面角A1﹣BD﹣P的正弦值的取值范圍為 D．過點(diǎn)P作平面α，使得正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的取值范圍為三．填空題（共7小題）14．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則b＝．15．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則事件“|a﹣b|≤1”的概率為．16．某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中，射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：7，5，9，8，9，6，7，10，4，7，記這組數(shù)的眾數(shù)為M，第75百分位數(shù)為N，則M+N＝．17．在梯形ABCD中，AB∥DC，DC＝2AB，E為AD中點(diǎn)，若，則λ+μ＝．18．已知三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且三個(gè)側(cè)面的面積分別是，，1，則此三棱錐的外接球的體積為；此三棱錐的內(nèi)切球的表面積為．19．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱長為1，底面ABC為直角三角形，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°．則二面角B1﹣AC﹣B的大小為；點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離等于．20．已知非零向量與滿足，且，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．四．解答題（共4小題）21．已知向量＝（1，1），＝（﹣1，2），＝（2，﹣1）．（Ⅰ）求|++|的值；（Ⅱ）設(shè)向量＝+2，＝﹣2，求向量與夾角的余弦值．22．經(jīng)調(diào)查某市三個(gè)地區(qū)存在嚴(yán)重的環(huán)境污染，嚴(yán)重影響本地區(qū)人員的生活．相關(guān)部門立即要求務(wù)必加強(qiáng)環(huán)境治理，通過三個(gè)地區(qū)所有人員的努力，在一年后，環(huán)境污染問題得到了明顯改善．為了解市民對城市環(huán)保的滿意程度，開展了一次問卷調(diào)查，并對三個(gè)地區(qū)進(jìn)行分層抽樣，共抽取40名市民進(jìn)行詢問打分，將最終得分按[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]分段，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；（2）若分?jǐn)?shù)在區(qū)間[60，70）的市民視為對環(huán)保不滿意的市民，從不滿意的市民中隨機(jī)抽出兩位市民做進(jìn)一步調(diào)查，求抽出的兩位市民來自不同打分區(qū)間的概率．23．如圖，四邊形ABCD是矩形，AD＝2，DC＝1，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，EC＝1．點(diǎn)F為線段BE的中點(diǎn)．（I）求證：CE⊥平面ABE；（Ⅱ）求證：DE∥平面ACF；（Ⅲ）求AC和平面ABE所成角的正弦值．24．如圖，在△ABC中，AB＝2，3acosB﹣bcosC＝ccosB，點(diǎn)D在線段BC上．（Ⅰ）若∠ADC＝，求AD的長；（Ⅱ）若BD＝2DC，△ACD的面積為，求的值．答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，則復(fù)數(shù)z1?z2的虛部為（）A．﹣i B．﹣1 C．﹣3i D．﹣3解：如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，則Z1＝1+2i，Z2＝﹣2+i，∴復(fù)數(shù)z1?z2＝（1+2i）（﹣2+i）＝﹣2﹣4i+i+2i2＝﹣4﹣3i，∴復(fù)數(shù)z1?z2的虛部為﹣3．故選：D．2．采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從含有5個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為（）A． B． C． D．解：根據(jù)抽樣原理知，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的，所以所求的概率值為P＝．故選：D．3．某中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人，高二年級有學(xué)生1000人，高三年級有學(xué)生800人，現(xiàn)在要用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級中抽取m人參加表演，若高二年級被抽取的人數(shù)為20，則m＝（）A．50 B．60 C．64 D．75解：根據(jù)分層隨機(jī)抽樣中抽取比例相同，得＝，解得m＝60．故選：B．4．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n B．若m∥n，n?α，則m∥α C．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β D．若m⊥α，m⊥n，則n⊥α解：對于A，若m∥α，m∥β，過m作平面與α，β分別交于直線a，b，由線面平行的性質(zhì)得m∥a，m∥b，所以a∥b，又b?β，a?β，所以a∥β，又n?α，α∩β＝n，所以a∥n，所以m∥n．故A正確；對于B，若m∥n，n?α，則m∥α或m?a，故B錯(cuò)誤；對于C，由面面垂直的性質(zhì)定理得當(dāng)m?a時(shí)，m⊥β，否則可能不成立，故C錯(cuò)誤；對于D，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故D錯(cuò)誤．故選：A．5．為激發(fā)中學(xué)生對天文學(xué)的興趣，某校舉辦了“2022～2023學(xué)年中學(xué)生天文知識競賽”，并隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）A．直方圖中x的值為0.035 B．估計(jì)全校學(xué)生的平均成績不低于80分 C．估計(jì)全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)約為60分 D．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間[60，70）的學(xué)生數(shù)為10解：對于A，因?yàn)椋?.005+0.010+0.015+x+0.040）×10＝1，所以x＝0.03，故A錯(cuò)誤；對于B，估計(jì)全校學(xué)生的平均成績?yōu)?5×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4＝84＞80，故B正確；對于C，因?yàn)?.05+0.1+0.15+0.3＝0.6，所以估計(jì)全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)約為90分，故C錯(cuò)誤；對于D，在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間[60，70）的學(xué)生數(shù)為0.010×10×200＝20，故D錯(cuò)誤．故選：B．6．拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，“既有正面向上，也有反面向上”的概率為（）A． B． C． D．解：拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共有8種不同的結(jié)果，既有正面向上，也有反面向上情況：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），有6種不同的結(jié)果，所以，既有正面向上，也有反面向上的概率為．故選：D．7．如圖，在直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°解：取BD中點(diǎn)E，連接ED1，AE，直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P為B1D1的中點(diǎn)，∴PD1∥BE，PD1＝BE，∴四邊形BED1P是平行四邊形，∴PB∥D1E，∴∠AD1E是直線PB與AD1所成的角（或所成角的補(bǔ)角），令A(yù)B＝AD＝AA1＝2，則∠ADB＝45°，且AE⊥BD，∴AE＝，∵AD1＝2，D1E＝，∴cos∠AD1E＝＝，∵∠AD1E∈（0，π），∴∠AD1E＝，∴直線PB與AD1所成的角為．故選：A．8．已知向量，則向量在向量方向上的投影向量是（）A． B． C． D．解：因?yàn)橄蛄?，所以向量在向量方向上的投影向量是．故選：A．9．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球，下列選項(xiàng)中是互斥而不對立的兩個(gè)事件的是（）A．“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球” B．“恰好有1個(gè)紅球”與“恰好有1個(gè)黑球” C．“至少有1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球” D．“都是紅球”與“都是黑球”解：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球，對于A，“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球”是對立事件，故A錯(cuò)誤；對于B，恰好有1個(gè)紅球”與“恰好有1個(gè)黑球”能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對于C，“至少有1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”，能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；對于D，“都是紅球”與“都是黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個(gè)事件，故D正確．故選：D．10．若數(shù)據(jù)x1+m、x2+m、?、xn+m的平均數(shù)是5，方差是4，數(shù)據(jù)3x1+1、3x2+1、?、3xn+1的平均數(shù)是10，標(biāo)準(zhǔn)差是s，則下列結(jié)論正確的是（）A．m＝2，s＝6 B．m＝2，s＝36 C．m＝4，s＝6 D．m＝4，s＝36解：根據(jù)題意，設(shè)數(shù)據(jù)x1、x2、?、xn的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為σ，數(shù)據(jù)3x1+1、3x2+1、?、3xn+1的平均數(shù)是10，則，可得，而數(shù)據(jù)x1+m、x2+m、?、xn+m的平均數(shù)是5，則有，可得m＝2，由方差公式可得＝，＝，解得s＝6．故選：A．11．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法中不正確的是（）A．a(chǎn)＝2，A＝30°，則△ABC的外接圓半徑是2 B．在銳角△ABC中，一定有sinA＞cosB C．若acosA＝bcosB，則△ABC一定是等腰直角三角形 D．若sinBcosA＞sinC，則△ABC一定是鈍角三角形解：對于A，在△ABC中，設(shè)△ABC的外接圓半徑是R，則根據(jù)正弦定理可得，故A正確；對于B，若△ABC為銳角三角形，可得且，可得，且，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，所以sinA＞cosB，故B正確；對于C：因?yàn)閍cosA＝bcosB，由正弦定理得：sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B，因?yàn)锳，B為△ABC的內(nèi)角，所以2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對于D，若sinBcosA＞sinC，則sinBcosA＞sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB＜0，又sinA＞0，所以cosB＜0，則△ABC一定是鈍角三角形，故D正確．故選：C．12．已知正四棱錐P﹣ABCD的側(cè)棱長為2，且二面角P﹣AB﹣C的正切值為，則它的外接球表面積為（）A． B．6π C．8π D．解：設(shè)正方形ABCD中心為O，取AB中點(diǎn)H，連接PO、PH、OH，則PH⊥AB，OH⊥AB，PO⊥平面ABCD，所以∠PHO為二面角P﹣AB﹣C的平面角，即，設(shè)正方形ABCD的邊長為a（a＞0），則，又，PA＝2，所以PO2+AO2＝PA2，即，解得或a＝﹣（負(fù)值舍去），則，AO＝1，設(shè)球心為G，則球心在直線PO上，設(shè)球的半徑為R，則，解得，所以外接球的表面積．故選：A．二．多選題（共1小題）（多選）13．在棱長為1正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P為線段CC1上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，（）A．三角形D1BP面積的最小值為 B．直線D1B與DP所成角的余弦值的取值范圍為 C．二面角A1﹣BD﹣P的正弦值的取值范圍為 D．過點(diǎn)P作平面α，使得正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的取值范圍為解：對于A，要使三角形D1BP面積的最小，即要使得P到直線BD1距離最小，這最小距離就是異面直線CC1和BD1的距離，也就是直線CC1到平面BDD1B1的距離，等于C到BD的距離為．由于，∴三角形D1BP面積的最小值為，故A正確；對于B，先證明一個(gè)引理：直線a在平面M中的射影直線為b，平面M中的直線c，直線a，b，c所成的角的余弦值滿足三余弦定理，直線a，b的角為α，直線b，c的角為β，直線a，c的角為γ，則cosγ＝cosαcosβ．證明：如上圖，在平面M內(nèi)任意取一點(diǎn)O為原點(diǎn)，取兩條射線分別為x，y軸，得到坐標(biāo)平面xOy，然后從O作與平面M垂直的射線作為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線a的方向向量為（x1，y1，z1），則（x1，y1，0）為射影直線b的方向向量，設(shè)直線c的方向向量坐標(biāo)為（x2，y2，0），則，，∴，＝，引理得證．如上圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知BD1在平面DC1中的射影為CD1，設(shè)BD1與CD1所成的角為，設(shè)直線DP與直線CD1所成的角為．設(shè)直線D1B與DP所成角為γ，根據(jù)上面的引理，可得，故B正確；對于C，如上圖所示，設(shè)AC、BD交點(diǎn)為M，連接A1M，PM，由正方體性質(zhì)易知BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面ACC1A1∴BD⊥平面ACC1A1，故BD⊥A1M，BD⊥MP，∠A1MP為二面角A1﹣BD﹣P的平面角，當(dāng)P與C1重合時(shí)，∠A1MC1＝π﹣2∠A1MA，，∴，∴，P在C1C上從下往上移動(dòng)時(shí)，∠A1MC1逐漸變大，∠A1MC1是可以是直角，其正弦值為1，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)檫^正方體頂點(diǎn)與各棱所成的角都相等的直線是體對角線所在的直線，∴過點(diǎn)P的平面與各棱所成的角相等必須且只需與某一條體對角線垂直，過P與對角線BD1垂直的截面中，當(dāng)P為CC1中點(diǎn)時(shí)取得最大值，是一個(gè)邊長為的正六邊形，如圖所示，面積為，不在區(qū)間內(nèi)，故D不正確．故選：AB．三．填空題（共7小題）14．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則b＝．解：由正弦定理，即，解得．故．15．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則事件“|a﹣b|≤1”的概率為．解：將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，基本事件總數(shù)n＝6×6＝36，事件“|a﹣b|≤1”包含的基本事件（a，b）有15個(gè)，分別為：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），則事件“|a﹣b|≤1”的概率為P＝＝．故．16．某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中，射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：7，5，9，8，9，6，7，10，4，7，記這組數(shù)的眾數(shù)為M，第75百分位數(shù)為N，則M+N＝16．解：由已知數(shù)據(jù)可得眾數(shù)為7，即M＝7，將10個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列可得4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，因?yàn)?0×75%＝7.5，所以第75百分位數(shù)為從小到大排列的第8個(gè)數(shù)，所以N＝9，所以M+N＝7+9＝16，故16．17．在梯形ABCD中，AB∥DC，DC＝2AB，E為AD中點(diǎn)，若，則λ+μ＝．解：因?yàn)锳B∥DC，DC＝2AB，E為AD中點(diǎn)，所以＝＝（+）＝﹣＝若，則λ＝﹣，μ＝﹣2，所以λ+μ＝﹣．故．18．已知三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且三個(gè)側(cè)面的面積分別是，，1，則此三棱錐的外接球的體積為；此三棱錐的內(nèi)切球的表面積為．解：①已知三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且三個(gè)側(cè)面的面積分別是，，1，如圖所示：即，S△BOC＝1，故AO，BO，CO兩兩垂直；所以BO＝CO，故，整理得CO＝BO＝，所以，解得AO＝，所以三棱錐的外接球的半徑滿足，解得，即R＝，故．②首先利用OC＝OB＝，OA＝，利用勾股定理，BC＝2，所以，利用等體積轉(zhuǎn)換法，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，所以，解得，故．19．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱長為1，底面ABC為直角三角形，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°．則二面角B1﹣AC﹣B的大小為45°；點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離等于．解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵∠BAC＝90°，∴CA⊥平面ABB1A1，∴∠B1AB就是二面角B1﹣AC﹣B的平面角．Rt△B1AB中，tan∠B1AB＝＝＝1，∴∠B1AB＝45°．取等腰直角三角形ABC的斜邊BC的中點(diǎn)D，則AD⊥平面BCC1B1，故AD即為所求．故AD＝＝＝，故答案為45°，．20．已知非零向量與滿足，且，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．解：分別表示與方向的單位向量，故所在直線為∠BAC的平分線所在直線，又，故∠BAC的平分線與BC垂直，由三線合一得到AB＝AC，取BC的中點(diǎn)E，因?yàn)?，故，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，EA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．故．四．解答題（共4小題）21．已知向量＝（1，1），＝（﹣1，2），＝（2，﹣1）．（Ⅰ）求|++|的值；（Ⅱ）設(shè)向量＝+2，＝﹣2，求向量與夾角的余弦值．解：（Ⅰ）∵＝（1，1），＝（﹣1，2），＝（2，﹣1）．∴，∴（Ⅱ）設(shè)向量與的夾角為θ，∵，，∴，，∴cosθ＝＝22．經(jīng)調(diào)查某市三個(gè)地區(qū)存在嚴(yán)重的環(huán)境污染，嚴(yán)重影響本地區(qū)人員的生活．相關(guān)部門立即要求務(wù)必加強(qiáng)環(huán)境治理，通過三個(gè)地區(qū)所有人員的努力，在一年后，環(huán)境污染問題得到了明顯改善．為了解市民對城市環(huán)保的滿意程度，開展了一次問卷調(diào)查，并對三個(gè)地區(qū)進(jìn)行分層抽樣，共抽取40名市民進(jìn)行詢問打分，將最終得分按[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]分段，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；（2）若分?jǐn)?shù)在區(qū)間[60，70）的市民視為對環(huán)保不滿意的市民，從不滿意的市民中隨機(jī)抽出兩位市民做進(jìn)一步調(diào)查，求抽出的兩位市民來自不同打分區(qū)間的概率．解：（1）由題意，5×（0.010+0.020