函數(shù)基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用（單調(diào)性與奇偶性）（重難點(diǎn)突破）解析版-教案課件-人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊

專題06函數(shù)基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用（單調(diào)性與奇偶性）

一、知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖

■函數(shù)的基本性質(zhì)

二、學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理

1、函數(shù)的單調(diào)性

⑴單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)4X）的定義域?yàn)?,如果對于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。

上的任意兩個(gè)自變量的值尤1,X2

定義當(dāng)尤1<%2時(shí)，都有加1）勺3），當(dāng)為<%2時(shí)，都有於1）/X2）,

那么就說函數(shù)應(yīng)X）在區(qū)間D上是增那么就說函數(shù)兀0在區(qū)間D上是減

函數(shù)函數(shù)

y=j\x）\Ty=yi^）

圖象［加1）:兀切

o￡x

描述

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=?x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有

(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=Ax)的單調(diào)區(qū)間.

2、函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/(X)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

(1)對于任意的尤e/,都有(3)對于任意的xe/,都有

條件

(2)存在/e/,使得(4)存在使得/(%)=河

結(jié)論M為最大值M為最小值

注意：(1)函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在；

(2)若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最

值，若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值.

3、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論

⑴若〃x),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則/(%)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函

數(shù)；

⑵若左>0,則廳(力與/(%)的單調(diào)性相同；若左<0,則4(力與/(%)的單調(diào)性相

反；

(3)函數(shù)y=/(力(/(1)>0)在公共定義域內(nèi)與丁=—/(九)，y=—'—的單調(diào)性相反;

f(x)

(4)函數(shù)y=/(力(/(力20)在公共定義域內(nèi)與丁=/而的單調(diào)性相同；

(5)奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單

調(diào)性相反；

(6)一些重要函數(shù)的單調(diào)性:

①丁二工+工的單調(diào)性：在(TO,—1］和［1,內(nèi))上單調(diào)遞增，在(TO)和(0,1)上單調(diào)遞減;

?y=ax+-(a>0,b>0)的單調(diào)性：在Joo,—、口］和、口,+oo］上單調(diào)遞增，在

XXci\Xci

舊,o］和0,Jb-|上單調(diào)遞減.

aJa

4、函數(shù)的奇偶性

(1).函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

f(-x)=f(x),那么函數(shù)/(X)是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)/(九)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

“―力=—/(%),那么函數(shù)/(%)是奇函數(shù)

判斷了(-X)與/(%)的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果/(一盼―/(力=0或

尢j=l(/(x)w0),則函數(shù)/(%)為偶函數(shù)；如果/(-x)+/(x)=0或

f(—1)

/(X)=-l(/(x)/0),則函數(shù)/(%)為奇函數(shù).

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意

一個(gè)X,-X也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱).

(2).函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單

調(diào)性相反.

(2)/(x),g(x)在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：

/(X)g(x)/(X)+g(x)/(x)-g(x)f(x)g(x)f(g(x))

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

(3)若奇函數(shù)的定義域包括0,則/(o)=o.

(4)若函數(shù)〃尤)是偶函數(shù)，則/(-%)=/(%)=/(|%|).

(5)定義在(口,”)上的任意函數(shù)/(力都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之

和.

(6)若函數(shù)y=/(X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則/(%)+/(-%)為偶函數(shù)，/(%)-/(-%)

為奇函數(shù)，/(尤)?/(-%)為偶函數(shù).

(7)掌握一些重要類型的奇偶函數(shù)：

①函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)=1為奇函數(shù).

②函數(shù)/(%)=巳-J=T_￡(〃>0且〃wl)為奇函數(shù).

cix+a'a*+1

③函數(shù)/(x)=log〃L±(a>0且awl)為奇函數(shù).

1+X

④函數(shù)_/■(x)=loga(x++1)(a>0且awl)為奇函數(shù).

5、函數(shù)的周期性

1.周期函數(shù)

對于函數(shù)y=/(%),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有

f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.

2.最小正周期

如果在周期函數(shù)/(%)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做

/(九)的最小正周期(若不特別說明，T一般都是指最小正周期).

注意：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.

3.函數(shù)周期性的常用結(jié)論

設(shè)函數(shù)y=/(x),xeR,a>0.

①若/(x+a)=/(x—a),則函數(shù)的周期為2a；

②若/(x+a)=—/(%),則函數(shù)的周期為2a；

③若/(x+a)=^—,則函數(shù)的周期為2a；

/(x)

④若/(x+a)=———,則函數(shù)的周期為2a；

/(x)

⑤函數(shù)/(%)關(guān)于直線X與x=b對稱，那么函數(shù)/(龍)的周期為2|8-。|；

⑥若函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱，又關(guān)于點(diǎn)色,0)對稱，則函數(shù)/(%)的周期是2|萬—a|；

⑦若函數(shù)/(%)關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點(diǎn)伍,0)對稱，則函數(shù)/(%)的周期是4|b-a|；

⑧若函數(shù)/(九)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線工=。對稱，則其周期為2a；

⑨若函數(shù)/(*)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線。對稱，則其周期為4a

6.奇偶函數(shù)圖象的對稱性

①若y=f(a+x)是偶函數(shù)，則以a+x)=f(a一x)o/(2a-x)=f(x)of(x)的

圖象關(guān)于直線x=a對稱；

②若y=f(b+%)是偶函數(shù)，則f(b—x)=-f(b+x)of(2b—x)=-f(x)o

f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)出,o)中心對稱；

三、重難點(diǎn)題型突破

重難點(diǎn)1判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

1.(單調(diào)性不能混合乘除)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性①增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),減函數(shù)+減函數(shù)=

減函數(shù)；

②增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；

③如果/(X)是增函數(shù)(/(x)w0),那么人是減函數(shù)，-/(X)也是減函數(shù)。

2.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:

（1）定義法，步驟為：取值，作差，變形，定號，判斷.利用此方法證明抽象函數(shù)的單調(diào)

性時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給抽象關(guān)系式的特點(diǎn)，對/或多進(jìn)行適當(dāng)變形，進(jìn)而比較出了（七）與

/（尤2）的大小.

（2）利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系，若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函

數(shù)；若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡稱“同增異

減”.

（3）圖象法：從左往右看，圖象逐漸上升，則單調(diào)遞增；圖象逐漸下降，則單調(diào)遞減.

（4）利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

2.在利用函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)是函數(shù)定義

域的子集或真子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先確定函數(shù)的定義域；其次需掌握一次函數(shù)、二

次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

例1.（1）（2020?全國高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=@的減區(qū)間是（）

A.[0,+oo)B.(-oo,0]

C.(-oo,0),(0,+oo)D.(-oo,0)J(0,+oo)

【答案】C

【解析】

由圖象知單調(diào)減區(qū)間為(—8,0),(0,+8)

(2)(2020?全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[-2,2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)

的增區(qū)間是()

A.[-2,0]B.[0,1]

C.[-2,1]D.[-U]

【答案】C

【解析】由圖可知，自左向右看圖象是上升的是增函數(shù)，則函數(shù)的增區(qū)間是[-2,1]

故選：C

kk

(3).若函數(shù)/i(x)=2x--+—在(1,+8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是()

x3

A.[—2,+oo)；B.[2,+oo)；C.(—oo,—2]；D.(—oo,2]

【答案】A；

【解析】若函數(shù)/z(x)=2x——+—在(1,+8)上是增函數(shù)，貝Ij/z'(x)=2+=20對于

x3x

xe(l,+8)恒成立，即左2—2/對于xe(l,+8)恒成立，而函數(shù)M=—2/(xe工長。))的最

大值為一2,實(shí)數(shù)人的取值范圍是[-2,+oo)

【變式訓(xùn)練1】定義在R上的函數(shù)/(九)滿足：對任意的再，％e[0,+8)(石7々)，有

3小)〈0,則()

A./(3)</(2)</(4)B./⑴</(2)<〃3)

C./(-2)</(1)</(3)D./(3)</(1)</(0)

【答案】D

【解析】因?yàn)閷θ我獾脑伲?目。,”）（X尸工2）,有了（%）—，（石）<0,所以函數(shù)/（%）

在［0,+8）上是減函數(shù)，因?yàn)?<1<3,所以/（3）</（1）</（0）,故選D.

【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)/（%）的定義域是（0,+oo）,且滿足/（孫）=/（x）+/（y）,

7（1）=1,如果對于0<x<y,都有/（X）>/"）.

（1）求/（1）的值；

（2）解不等式/（T）+/（3—x）N—2.

【解析】(1)令x=y=l，則/(。=/(1)+/(1)，/(1)=0.

⑵解法一：由題意知/(九)為(0,+00)上的減函數(shù)，且[〉0，即x<0.

；/3)=/(%)+/(丁)，x,ye(o,+oo)且/(；)=i,

/(-%)+/(3-x)>-2可化為/(-%)+/(3-x)>-2/(1),即

f(-x)+f(^)+f(3-x)+f(-)>0

f(1)=/(-()+/(?)"⑴=/(—、??)V⑴，

x<0

則<x3—x，解得—l<x<0.

—,------V1

I22

不等式/(-x)+/(3-x)>-2的解集為{x|-l<x<0}.

解法二：由〃l)=/(2)+/g)n/(2)=—1,

??./(4)=/(2)+/(2)=-2,

???/(-x)+/(3-x)>/(4),即八一%(3-%)]>/(4),

-X>0

則13—%〉0,解得—l?x<0.

—x(3—x)?4

不等式/(-%)+/(3-x)>-2的解集為{x|—1K%v0}.

重難點(diǎn)2判斷或證明函數(shù)的奇偶性

1.（奇偶性不能混合加減）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性①奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù),偶函數(shù)+偶函數(shù)=

偶函數(shù)；

②奇函數(shù)X奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)X偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)X偶函數(shù)=偶函數(shù)；

2.判斷函數(shù)奇偶性的常用方法及思路:

（3）性質(zhì)法：利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的和、差、積、商的奇偶性和復(fù)合函數(shù)的奇偶性來判斷.

注意：①分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)

可依據(jù)x的范圍相應(yīng)地化簡解析式，判斷/（九）與/（-X）的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用

圖象作判斷.

②性質(zhì)法中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的.

③性質(zhì)法在選擇題和填空題中可直接運(yùn)用，但在解答題中應(yīng)給出性質(zhì)推導(dǎo)的過程.

例2.（1）設(shè)函數(shù)/（x）,g（x）的定義域?yàn)镽,且/（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列結(jié)

論中正確的是（）

A.y（x）g（x）是偶函數(shù)B.i/（x）ig（x）是奇函數(shù)

c./(x)lg(x)l是奇函數(shù)D.l/(x)g(x)l是奇函數(shù)

【答案】C

【解析】設(shè)〃(%)=/(%)|g(x)|,則〃(—x)=/(—x)|g(—x)|,因?yàn)?(X)是奇函數(shù)，g(x)是

偶函數(shù)，故H(-X)=-K(切g(shù)(小-如),即/(x)|g(x)|是奇函數(shù),選C.

(2)下列判斷正確的是

Y2-2x

A.函數(shù)/(%)=^—三是奇函數(shù)

B.函數(shù)/(尤)=X+J尤2-1是非奇非偶函數(shù)

C.函數(shù)/(%)=<是偶函數(shù)

1,

—x—1,x<0

2

D.函數(shù)/(%)=1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

【答案】B

x2-2x

【解析】對于A,/(%)=--'的定義域?yàn)閄W2,不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù).

對于B,f(x)=X+yjx2-1■/(-x)=-X+y/x2-1,不滿足奇偶性的定義，是非奇非偶

函數(shù).

對于C,函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0)(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng)x>0時(shí)，

/(-x)=-1(-^)2-1=-(1X2+1)=-/(%)；當(dāng)x<0時(shí)，

/(—X)=；(—X)2+1/+1=-于(X).綜上可知，函數(shù)/(%)是奇函數(shù).

對于D,7(%)=1的圖象為平行于X軸的直線，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù).

【名師點(diǎn)睛】對于C,判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，應(yīng)分段說明/'(-X)與/(X)的關(guān)系，只有

當(dāng)對稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性.若D項(xiàng)中的函數(shù)是/(x)=0,且

定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(3)(2020?山東文登高一期末)(多選題)已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且

/(x+1)為偶函數(shù)，若/⑴=2,則()

A./⑶=-2B.f(x+2)=f(x)

C./⑸=-2D./(x+4)=/(x)

【答案】AD

【解析】

因?yàn)?'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x+1)為偶函數(shù)，

故可得/(x)=—J(—x),/(x+l)=/(—x+l),

則/(x+4)=/(—x—2)=—/(x+2)=—/(—%)=/(%),故。選項(xiàng)正確；

由上述推導(dǎo)可知/(%)=—/(》+2)w/(%+2),故3錯(cuò)誤；

又因?yàn)?(3)=/(—1)=-/(1)=一2,故A選項(xiàng)正確.

又因?yàn)?(5)=/(l)=2w—2,故C錯(cuò)誤.

故選：AD.

【變式訓(xùn)練11定義在區(qū)間(-1,1)上的函數(shù)/(x)滿足：對任意的x,ye(-1,1),都有

/W+/(y)=/(-^).

1+xy

求證：/(x)為奇函數(shù)；

【解析】令x=y=O,則/(0)+/(0)=/(里)=/(。)

1+0

f(0)=0,令x￡(—1,1)/.—x￡(—1,1)

x—x

fM+f(~x)=f(-----)=/(0)=0.\/(—X)=—/(x)

1-X2

???/(X)在(一1,1)上為奇函數(shù)

【變式訓(xùn)練2】設(shè)函數(shù)/(x)=(r+l)(x+a)為奇函數(shù)，則。=o

【答案】0；

【解析】由函數(shù)/(x)=G+l)(x+a)為奇函數(shù)得到了(0)=0,gp(02+l)(0+a)=0

所以。=0

重難點(diǎn)3利用函數(shù)的單調(diào)性或奇偶性求函數(shù)解析式或參數(shù)

例3已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)歸。時(shí)，f(x)=x2-2x.

(1)求/(0)及/(7(1))的值；

(2)求函數(shù)/(x)在(-8,0)上的解析式；

【思路分析】(1)根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式，將x=0代入函數(shù)解析式即可得了(0)的值，

同理可得/(I)的值，利用函數(shù)的奇偶性思路分析可得/(/(I))的值；

(2)設(shè)x<0,則-尤>0,由函數(shù)的解析式思路分析了(-尤)的解析式，進(jìn)而由函數(shù)的奇偶

性思路分析可得答案；

【答案】解：(1)根據(jù)題意，當(dāng)歸0時(shí)，f(x)—x1-2x；

則/(0)=0,

/(1)=1-2=-1,

又由函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則/(1)=/(-1)=-1,

則/⑴)=/(-1)=-1；

(2)設(shè)x<0,則-尤>0,

則有f(-無)=(-x)2-2(-無)=x2+2x,

又由函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

則/(%)=/(-x)—x2+2x,

則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2+2x,

【變式訓(xùn)練1】已知/(x)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)=-2x2+3x+l.

(1)求/(0)的值；

(2)求當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式；

(3)求/(x)在R上的解析式.

【思路分析】(1)直接利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的值.

(2)利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的關(guān)系式.

(3)利用分類討論的思想求出函數(shù)的關(guān)系式.

【答案】解：(1)V/(x)是R上的奇函數(shù)，

：.f(-0)=-f(0),

：.f(0)=-f(0),

：.2f(0)=0,

：.f(0)=0…(4分)

(2)當(dāng)x<0,即-x>0時(shí)，

/(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2X2-3尤+1.

由于/(X)是奇函數(shù)，

:.f(-X)=-f(x),

_f(尤)--2x2-3x+l,

：.f(x)=2x2+3x-1(x<0)...(8分)

(3)在實(shí)數(shù)集R上函數(shù)了(無)的解析式為：

-202+30+1(0>0)

0(0=0)

{2*+3回一乂回<0)

重難點(diǎn)4單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用

例4.(1)已知/(九)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-4x,則不等式

/(%)>%的解集用區(qū)間表示為.

【答案】(—5,0),(5,+8)

【解析】???/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，.??/(())=0.

又當(dāng)x<0時(shí)，-%>0,/(-X)=x?+4x.

又/(x)為奇函數(shù),；?/(—%)=—/(X),，/(%)=-*一4%(%<0),

x1-4x,x>0

f(x)=<0,x-0

-x2-4x,x<0

當(dāng)x>0時(shí)，由/(x)>%得4%>x，解得x>5；

當(dāng)x=0時(shí)，/(尤)>%無解；

當(dāng)x<0時(shí)，由/(九)〉］得一%2一4%>%,解得一5<九<0.

綜上，不等式/(x)>x的解集用區(qū)間表示為(—5,0)J(5,+oo).

(2).(2020?浙江高一單元測試)函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，下列說法正確的是

()

A./(0)=0

B.若/(%)在［0,+8)上有最小值—1,則/(%)在(-8,0］上有最大值1

C.若/(x)在口,+8)上為增函數(shù)，則/(X)在(-8,-1］上為減函數(shù)

D.若%>0時(shí)，/(x)=f_2x,則％<0時(shí)，/(%)=-%2-2x

【答案】ABD

【解析】

由/(0)=-/(0)得/(0)=0,A正確；

當(dāng)xNO時(shí),/(x)>-l,則xWO時(shí)，/(-%)>-1,/(%)=-/(-%)<1,最大值為1,B

正確；

若“X)在［1,+8)上為增函數(shù)，則/(尤)在上為增函數(shù)，C錯(cuò);

若x>0時(shí)，f(x)=x2-2x,則x<0時(shí)，-x>0,

/(%)=-/(-X)=—［(一無)2—2x(—無)］=—尤2_2無，D正確.

故選：ABD.

【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)/(%)=*—%+1,若在區(qū)間［—1,1］上，不等式/(x)>2x+m恒

成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【答案】(―8,—1)

【解析】要使在區(qū)間［—1,1］上，不等式f(x)>2x+m恒成立，只需

加</(%)-2%=7一3%+1恒成立，設(shè)g(x)=￡-3X+1,只需加小于g(x)在區(qū)間

［—1,1］上的最小值，

因?yàn)間(x)=J—3x+l=［x—|［-1,所以當(dāng)x=l時(shí)，

g(x)min=g(D=l2-3xl+l=-l，所以加<一1,所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是(T?,-1).

例6.已知奇函數(shù)/(x)是定義在(—2,2)上的減函數(shù)，若/(加一1)+/(2m—1)>0,求實(shí)數(shù)

加的取值范圍。

【解析】/(X)是定義在(—2,2)上奇函數(shù)對任意xe(-2,2)有/(—%)=—“力

由條件/(m-l)+/(2m-l)>0W/(m-l)>-/(2m-l)=/(I-2m)

i2

八?是定義在(—2,2)上減函數(shù)，—2＞1—2加＞m—1＞2,解得一5＜相＜§

-2x+b

【變式訓(xùn)練1】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%)=——是奇函數(shù)。

2+a

(I)求a,6的值；

(II)若對任意的/eH,不等式/(產(chǎn)一2。+/(2產(chǎn)—幻＜0恒成立，求上的取值范圍；

h-ii-2x

【解析】(I)因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，所以/(0)=0,即上一=0n6=—/(x)=——-

a+2a+2

1—2J工

又由二/(1)=—/(—1)知——=——2_=。=2.

］-2x11

(II)［解法一］由(I)知/(%)二［前=—5十f：，易知"X)在(_8什8)上

為減函數(shù)。又因/(X)是奇函數(shù)，從而不等式：f(r-2t)+f(2t2-k)＜Q

等價(jià)于/(產(chǎn)—2。＜—/(2/—口=/(左—2『)，因/(%)為減函數(shù)，由上式推得：

廠一2。＞左一2廠.即對一'切feR有：3廠—2t—k＞0,

［解法二咕門)知=k.又由題設(shè)條件得:

即Q2/d+i+2)(1-2產(chǎn)W)+(2,2?+1+2)(1-22?-A')<0,

整理得浮2-k＞1,因底數(shù)2＞1,故：3/-2f-左＞0

上式對一切teR均成立，從而判別式△=4+12左＜0n左＜—L

3

例7.已知定義在(—8,0)［一(0,+8)上的函數(shù)/(X)滿足：

①對任意x,ye(-00,0)o(0,+oo),f(x-y)=f(x)+f(y)-②當(dāng)％〉1時(shí)，

/W>0,且/(2)=1.

(1)試判斷函數(shù)/Xx)的奇偶性.

(2)判斷函數(shù)/(x)在(0,+8)上的單調(diào)性.

(3)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［-4,0)(0,4］上的最大值.

(4)求不等式/(3%-2)+/(%)..4的解集.

【答案】T(—8,0］

【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于。的恒等式，據(jù)此可得。的值，然后利用了'(x)20

可得。的取值范圍.

若函數(shù)/(X)=e*+。葭為奇函數(shù)，則f(-x)=-/(%),SPe-A+aex=~(eA+々仁)，

即(a+D(e*+1*)=0對任意的x恒成立，則a+l=0,得a=—l

若函數(shù)/(x)=e，+aer是R上的增函數(shù)，則/''(%)=e、一。-*20在R上恒成立，

即awe?,在R上恒成立，又e2x>0,則aWO，即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(—8,0］.

四、課堂定時(shí)訓(xùn)練（45分鐘）

1.（2020?河南省開封一中期中）已知函數(shù)y（x）=x2—2or+o在區(qū)間（一00,1）上有最小值，

則函數(shù)g（x）=K?在區(qū)間（1,+（?）上一定（）

A.有最小值B.有最大值

C.是減函數(shù)D.是增函數(shù)

【答案】D

【解析】由題意知若好0,則8（彳）=尤+2-2a在（1,+s）上單調(diào)遞增；若0<a<

1,g（x）=x+?-2a在（g,+⑹上單調(diào)遞增，則g（x）在（1,+oo）上單調(diào)遞增.綜上可得，

g（無）=x+：—2a在區(qū)間（1,+（?）上是增函數(shù).故選D.

2.（2020?江蘇省徐州一中期末）函數(shù)兀0=4右一4定的值域?yàn)?

【答案】L乖,由

［4-x>0,

【解析】因?yàn)?"所以一2圣4,

U+2>0,

所以函數(shù)人尤）的定義域?yàn)椋?2,4］.

又yi=y］4一x,yi=—行工在區(qū)間［-2,4］上均為減函數(shù)，

所以加）=產(chǎn)三一］壬在［―2,4］上為減函數(shù)，

所以八4）中期勺（一2）.即一V6.

3.（2020?湖南岳陽一模）奇函數(shù)兀c）的定義域?yàn)镽,若加+1）為偶函數(shù)，且4-1）=—1,則

y（2018）+7（2019）=（）

A.一2B.-1

C.0D.1

【答案】B

【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域?yàn)镽,若y（x+i）為偶函數(shù)，則八一x+i）=y（x+i）=—/（X—

1）,...?r+2）=-/（x）,則人尤+4）=-Ax+2）=/（x）,

即於）是周期為4的周期函數(shù)，所以式2018）=/（504x4+2）=A2）=—八0）=0,

y（2019）=A505x4-l）=y（-l）=-l-貝K2018）+y（2019）=0—l=-l,故選B.

4.（2020?山東濰坊期中）已知奇函數(shù)黃刈在［0,+oo）上單調(diào)遞增，且<1）=1,則滿足|Ax—1）0

的x的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，得函數(shù)人尤)在(-8,0]上單調(diào)遞增，且八—1)=-1,則函數(shù)人x)在R上

單調(diào)遞增.若施則一1勺＞一1月，即一ISLIWI,解得0WE2,即x的取值范圍為

[0,2],故選B.

5.(2020?全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[-2,2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的

增區(qū)間是()

A.[-2,0]B.[0,1]

C.[-2,1]D.[-1,1]

【答案】C

【解析】由圖可知，自左向右看圖象是上升的是增函數(shù)，則函數(shù)的增區(qū)間是[-2,1]

故選：C

6.(2020?上海高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(x)=爐+0?+/-8(其中p,q為常數(shù))滿

足/(—2)=10,則/(2)的值為()

A.10B.-10C.-26D.-18

【答案】C

【解析】-^g(x)=f(x)+8=x5+px3+qx,x&R,則g(x)為奇函數(shù).

，g(—2)=—g(2),即/(—2)+8=-[/(2)+8],/(-2)=10,

.?./(2)=—"—2)—16=—10—16=—26.故選：C

7.(2020?山東文登高一期末)(多選題)已知了(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x+1)

為偶函數(shù)，若/(1)=2,則()

A./(3)=-2B.f(x+2)=f(x)

C./⑸=-2D./(x+4)=/(x)

【答案】AD

【解析】

因?yàn)?'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x+1)為偶函數(shù)，

故可得/(x)=—J(—x),/(x+l)=/(—x+l),

則/(x+4)=/(—x—2)=—/(x+2)=—/(—%)=/(%),故。選項(xiàng)正確；

由上述推導(dǎo)可知/(%)=—/(》+2)w/(%+2),故3錯(cuò)誤；

又因?yàn)?(3)=/(—1)=-/(1)=一2,故A選項(xiàng)正確.

又因?yàn)?(5)=/(l)=2w—2,故C錯(cuò)誤.

故選：AD.

8.(多選題)如圖所示是函數(shù)y=/(x)的圖象，圖中》正半軸曲線與虛線無限接近但是永

不相交，則以下描述正確的是()

A.函數(shù)Ax)的定義域?yàn)椋跿,4)

B.函數(shù)/(X)的值域?yàn)椋?,+8)

C.此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)

D.對于任意的ye(5,+8),都有唯一的自變量X與之對應(yīng)

【答案】BD

【解析】對于A,由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?4,0］?？?4)，故A不正確;

對于B,由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)?［0,+oo),故B正確;

對于C,函數(shù)在［-4,0］,［1,4)是增函數(shù),結(jié)合圖象可知，此函數(shù)在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故C錯(cuò)

誤;對于D,由函數(shù)的圖象可知，對于任意的yw(5,+8)，都有唯一的自變量x與之對應(yīng)，故D

正確.故選:BD.

9.(2019?北京市第十三中學(xué)高一期中)函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)xK)時(shí)，

函數(shù)f(x)的圖象是由一段拋物線和一條射線組成(如圖所示).

①當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是；

②如果對任意x&［a,b］(b<0),都有ye［-2,l］,那么b的最大值是.

【答案】［1,2］-2

【解析】

由圖象可知，當(dāng)尤=0時(shí)，函數(shù)在［一L1］上的最小值八曲=L

當(dāng)九=±1時(shí)，函數(shù)在［—L1］上的最小值Nmax=2,

所以當(dāng)xe［—1,1］,函數(shù)y=/(%)的值域?yàn)椋?,2］；

當(dāng)xe［0,3］時(shí)，函數(shù)/(%)=—(尤一1)2+2,當(dāng)xe［3,+oo)時(shí)，函數(shù)/(x)=x—5,

當(dāng)/(x)=l時(shí),x=2或x=7,

又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于>軸對稱，

所以對于任意可3<0),要使得2』，則aeH,/?=—7或/?=—2,

則實(shí)數(shù)b的最大值是Z?=-2.

故答案為［1,2］；—2

10.(2020?金華市曙光學(xué)校高一月考)已知函數(shù)/(九)是定義在［-2相,1+m］上的偶函數(shù),

且對任意和當(dāng)石時(shí)，'，>0,則加=；不等式

/(2x-l)</(4x)的解集為.

【答案】1

【解析】

依題意,-2〃?+1+〃?=0,解得:〃2=1,故函數(shù)/(x)在［-2,0］上單調(diào)遞增，

-2<2x-l<2

故/(2x—1)W/(4%)等價(jià)于-2<4x<2，解得：—：<X(：，不等式的解集為: