2025屆浙江省麗水地區(qū)四校 2108-高一下數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2025屆浙江省麗水地區(qū)四校2108-高一下數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，若圖中“努”在正方體的后面，那么這個(gè)正方體的前面是（）A．定 B．有 C．收 D．獲2．過點(diǎn)A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A． B． C． D．3．如圖，已知邊長為的正三角形內(nèi)接于圓，為邊中點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，則為（）A． B． C． D．4．已知向量a→=（2，0），|b→|＝1，a→?A．2π3 B．π3 C．π5．函數(shù)的一個(gè)對稱中心是（）A． B． C． D．6．已知表示三條不同的直線，表示兩個(gè)不同的平面，下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．若實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最大值與最小值之和為（）A． B． C． D．8．已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前9項(xiàng)的乘積為1，則（）A．8 B．16 C．32 D．649．以下給出了4個(gè)命題：（1）兩個(gè)長度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起點(diǎn)必相同；（3）若，且，則；（4）若向量的模小于的模，則．其中正確命題的個(gè)數(shù)共有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)10．函數(shù)的圖象可能是（）.A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長為，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為__________．（容器壁的厚度忽略不計(jì)）12．在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈[0,1]的概率為.13．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則________.14．終邊在軸上的角的集合是_____________________．15．已知向量，，且，則的值為________.16．若，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線與直線的交點(diǎn)為P，點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn).（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求直線的斜率的取值范圍.18．已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，.（1）求邊所在直線的方程；（2）求邊上中線所在直線的方程.19．（1）從某廠生產(chǎn)的一批零件1000個(gè)中抽取20個(gè)進(jìn)行研究，應(yīng)采用什么抽樣方法？（2）對（1）中的20個(gè)零件的直徑進(jìn)行測量，得到下列不完整的頻率分布表：（單位：mm）分組頻數(shù)頻率268合計(jì)201①完成頻率分布表；②畫出其頻率分布直方圖.20．如圖，在四邊形中，已知，，，，設(shè)．（1）求（用表示）；（2）求的最小值.（結(jié)果精確到米）21．如圖是某設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的型飾品的平面圖，其中支架，，兩兩成，，，且．現(xiàn)設(shè)計(jì)師在支架上裝點(diǎn)普通珠寶，普通珠寶的價(jià)值為，且與長成正比，比例系數(shù)為（為正常數(shù)）；在區(qū)域（陰影區(qū)域）內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價(jià)值為，且與的面積成正比，比例系數(shù)為．設(shè)，．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（2）求的最大值及相應(yīng)的的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

利用正方體及其表面展開圖的特點(diǎn)以及題意解題，把“努”在正方體的后面，然后把平面展開圖折成正方體，然后看“努”相對面．【詳解】解：這是一個(gè)正方體的平面展開圖，共有六個(gè)面，其中面“努”與面“有”相對，所以圖中“努”在正方體的后面，則這個(gè)正方體的前面是“有”．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形相對兩個(gè)面上的文字問題，同時(shí)考查空間想象能力．注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】過點(diǎn)A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點(diǎn)得到.故答案為D.3、B【解析】

如圖，是直角三角形，是等邊三角形，，，則與的夾角也是30°，∴，又，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題時(shí)可通過平面幾何知識求得向量的模，向量之間的夾角，這可簡化運(yùn)算．4、A【解析】

直接利用向量夾角公式得到答案.【詳解】解：向量a→=（2，0），|b→|＝1，a可得cos＜a→則a→與b的夾角為：2π故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的求法，是基本知識的考查．5、A【解析】

令，得：，即函數(shù)的對稱中心為，再求解即可.【詳解】解：令，解得：，即函數(shù)的對稱中心為，令，即函數(shù)的一個(gè)對稱中心是，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的對稱中心，屬基礎(chǔ)題.6、D【解析】

利用線面平行、線面垂直的判定定理與性質(zhì)依次對選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，則與不平行，故A不正確；對于B，直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的直線有兩種關(guān)系：平行或異面，故B不正確；對于C，若，則與不垂直，故C不正確；對于D，若兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行，故D正確；故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系相關(guān)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．7、A【解析】

首先根據(jù)不等式組畫出對應(yīng)的可行域，再分別計(jì)算出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，帶入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的值，即可找到最大值和最小值.【詳解】不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示：，.，.，，.，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃，根據(jù)不等式組畫出可行域?yàn)榻忸}的關(guān)鍵，屬于簡單題.8、B【解析】

先由數(shù)列前9項(xiàng)的乘積為1，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得到，從而可求出結(jié)果.【詳解】由已知，又，所以，即，所以，，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列的基本量計(jì)算，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)與通項(xiàng)公式即可，屬于?？碱}型.9、D【解析】

利用向量的概念性質(zhì)和向量的數(shù)量積對每一個(gè)命題逐一分析判斷得解.【詳解】（1）兩個(gè)長度相等的向量不一定相等，因?yàn)樗鼈兛赡芊较虿煌?，所以該命題是錯(cuò)誤的；（2）相等的向量起點(diǎn)不一定相同，只要它們方向相同長度相等就是相等向量，所以該命題是錯(cuò)誤的；（3）若，且，則是錯(cuò)誤的，舉一個(gè)反例，如，不一定相等，所以該命題是錯(cuò)誤的；（4）若向量的模小于的模，則，是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，故該命題不正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的概念和數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10、D【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)，再根據(jù)特殊區(qū)間時(shí)，判斷選項(xiàng).【詳解】是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A,B，當(dāng)時(shí)，，，排除C.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，一般從函數(shù)的定義域確定函數(shù)的位置，從函數(shù)的值域確定圖象的上下位置，也可判斷函數(shù)的奇偶性，排除圖象，或是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，特征值，以及函數(shù)值的正負(fù)，是否有極值點(diǎn)等函數(shù)性質(zhì)判斷選項(xiàng).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設(shè)其半徑為R,，所以該球形容器的表面積的最小值為．【點(diǎn)睛】將表面積最小的球形容器，看成其中兩個(gè)正四棱柱的外接球，求其半徑，進(jìn)而求體積．12、【解析】

直接利用長度型幾何概型求解即可.【詳解】因?yàn)閰^(qū)間總長度為，符合條件的區(qū)間長度為，所以，由幾何概型概率公式可得，在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈[0,1]的概率為，故答案為：.【點(diǎn)睛】解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與長度有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總長度以及事件的長度.13、【解析】

先利用求出，在利用裂項(xiàng)求和即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查和的關(guān)系求通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)求和，是基礎(chǔ)題.14、【解析】

由于終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為而終邊在y軸的非正半軸上的角的集合為，終邊在軸上的角的集合是，所以，故答案為.15、【解析】

利用共線向量的坐標(biāo)表示求出的值，可計(jì)算出向量的坐標(biāo)，然后利用向量的模長公式可求出的值.【詳解】，，且，，解得，，則，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用共線向量的坐標(biāo)表示求參數(shù)，同時(shí)也考查了向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

直接利用倍角公式展開，即可得答案.【詳解】由，得，即，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）聯(lián)立方程求解即可；（2）設(shè)直線PQ的斜率為，得直線PQ的方程為，由題意，直線PQ與圓有公共點(diǎn)得求解即可【詳解】（1）由得∴P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為.（2）由得∴圓心的坐標(biāo)為，半徑為設(shè)直線PQ的斜率為，則直線PQ的方程為由題意可知，直線PQ與圓有公共點(diǎn)即或∴直線PQ的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查直線交點(diǎn)坐標(biāo)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題18、（1）（2）【解析】

（1）由直線的兩點(diǎn)式方程求解即可；（2）先由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合直線的兩點(diǎn)式方程求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，由直線的兩點(diǎn)式方程可得：邊所在直線的方程，化簡可得；（2）由，，則中點(diǎn)，即，則邊上中線所在直線的方程為，化簡可得.【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，重點(diǎn)考查了直線的兩點(diǎn)式方程，屬基礎(chǔ)題.19、（1）系統(tǒng)抽樣；（2）①分布表見解析；②直方圖見解析.【解析】

（1）因需要研究的個(gè)體很多，且差異不明顯，適宜用系統(tǒng)抽樣.（2）①直接計(jì)算頻率即可.②根據(jù)①中計(jì)算出的數(shù)據(jù)，用每一組的頻率/組距作為縱坐標(biāo)，即可做出頻率分布直方圖.【詳解】某廠生產(chǎn)的一批零件1000個(gè),差異不明顯,且因需要研究的個(gè)體很多.

所以適宜用系統(tǒng)抽樣.（2）①頻率分布表為分組頻數(shù)頻率20.160.380.440.2合計(jì)201②頻率分布直方圖為.分組頻數(shù)頻率頻率/組距20.10.0260.30.0680.40.0840.20.04合計(jì)201【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表和根據(jù)頻率分布表繪制頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）米【解析】

（1）在中，由正弦定理，求得，再在中，利用正弦定理，即可求得的表達(dá)式；（2）在中，由正弦定理，求得，進(jìn)而可得到，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）由題意，在中，，由正弦定理，可得，即，在中，，由正弦定理，可得，即，（2）在中，由正弦定理，可得，即所以因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，取得最小值最小值約為米.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí)，運(yùn)用余弦定理求解.21、（1）（）；（2），的最大值是.【解析】試題分析：（1）運(yùn)用題設(shè)和實(shí)際建立函數(shù)關(guān)系并確定定義域；（2）運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值和取得最值的條件.試題解析：（1）因?yàn)椋?，，由余弦定理，，解得，由，得．又，得，解得，所以的取值范圍是．?），，則，設(shè)，則．當(dāng)且僅當(dāng)即取等號，此時(shí)取等號，所以當(dāng)時(shí)，的最大值是．考點(diǎn)：閱讀理解能力和數(shù)