江蘇省泰安市長城中學2025屆數(shù)學高一下期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

江蘇省泰安市長城中學2025屆數(shù)學高一下期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設，是平面內(nèi)一組基底，若，，，則以下不正確的是（）A． B． C． D．2．設定義域為的奇函數(shù)是增函數(shù)，若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．在中，角，，的對邊分別為，，，且.則（）A． B．或 C． D．4．已知是的共軛復數(shù)，若復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點是（）A． B． C． D．5．設，且，則的最小值為（）A． B． C． D．6．用斜二測畫法畫一個邊長為2的正三角形的直觀圖，則直觀圖的面積是：A． B． C． D．7．在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．8．若a，b是方程的兩個根，且a，b，2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值為()A．-4 B．-3 C．-2 D．-19．在中，，，，，則（）A．或 B． C． D．10．已知實數(shù)滿足，則的最大值為（）A．8 B．2 C．4 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．下圖中的幾何體是由兩個有共同底面的圓錐組成．已知兩個圓錐的頂點分別為P、Q，高分別為2、1，底面半徑為1．A為底面圓周上的定點，B為底面圓周上的動點（不與A重合）．下列四個結論：①三棱錐體積的最大值為；②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為；③當直線BQ與AP所成角最小時，其正弦值為；④直線BQ與AP所成角的最大值為；其中正確的結論有___________.（寫出所有正確結論的編號）12．化簡：______.（要求將結果寫成最簡形式）13．某地甲乙丙三所學校舉行高三聯(lián)考，三所學校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為200、300、400?，F(xiàn)為了調(diào)查聯(lián)考數(shù)學學科的成績，采用分層抽樣的方法在這三所學校中抽取一個樣本，已知甲學校中抽取了40名學生的數(shù)學成績，那么在丙學校中抽取的數(shù)學成績?nèi)藬?shù)為_________。14．已知，，，則在方向上的投影為__________．15．已知銳角、滿足，，則的值為______.16．過點作直線與圓相交，則在弦長為整數(shù)的所有直線中，等可能的任取一條直線，則弦長長度不超過14的概率為______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.18．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，，求使的的取值范圍.19．設銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,（Ⅰ）求B的大小;（Ⅱ）若,求的取值范圍.20．如圖，在四棱錐中，，底面是矩形，側面底面,是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.21．設等差數(shù)列的前項和為，且（是常數(shù)，），.（1）求的值及數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和為.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由已知及平面向量基本定理可得：，問題得解.【詳解】因為，是平面內(nèi)一組基底，且，由平面向量基本定理可得：，所以，所以D不正確故選D【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用，還考查了同角三角函數(shù)的基本關系，屬于較易題．2、A【解析】

由題意可得，即為，可得恒成立，討論是否為0，結合換元法和基本不等式，可得所求范圍．【詳解】解：由題意可得，即為，可得恒成立，當時，上式顯然成立；當時，可得，設，，可得，由，可得，可得，即，故選：A．【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，考查不等式恒成立問題解法，注意運用參數(shù)分離和換元法，考查化簡運算能力，屬于中檔題．3、A【解析】

利用余弦定理和正弦定理化簡已知條件，求得的值，即而求得的大小.【詳解】由于，所以，由余弦定理和正弦定理得，即，由于是三角形的內(nèi)角，所以為正數(shù)，所以，為三角形的內(nèi)角，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查正弦定理和余弦定理邊角互化，考查三角形的內(nèi)角和定理，考查兩角和的正弦公式，屬于基礎題.4、A【解析】由，得，所以在復平面內(nèi)對應的點為，故選A.5、D【解析】

本題首先可將轉化為，然后將其化簡為，最后利用基本不等式即可得出結果．【詳解】，當且僅當，即時成立，故選D．【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，基本不等式公式為，考查化歸與轉化思想，是簡單題．6、C【解析】分析：先根據(jù)直觀圖畫法得底不變，為2，再研究高，最后根據(jù)三角形面積公式求結果.詳解：因為根據(jù)直觀圖畫法得底不變，為2，高為，所以直觀圖的面積是選C.點睛：本題考查直觀圖畫法，考查基本求解能力.7、A【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.詳解：根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.點睛：該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.8、D【解析】

由韋達定理確定，，利用已知條件討論成等差數(shù)列和等比數(shù)列的位置，從而確定的值．【詳解】由韋達定理得：，，所以，由題意這三個數(shù)可適當排序后成等比數(shù)列，且，則2一定在中間所以，即因為這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，且，則2一定不在的中間假設，則即故選D【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質，解決本題的關鍵是要掌握三個數(shù)成等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質，如成等比數(shù)列，且，，則2必為等比中項，有．9、C【解析】

由三角形面積公式可得，進而可得解.【詳解】在中，，，,，可得，所以，所以【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式，屬于基礎題.10、D【解析】

設點，根據(jù)條件知點均在單位圓上，由向量數(shù)量積或斜率知識，可發(fā)現(xiàn)，對目標式子進行變形，發(fā)現(xiàn)其幾何意義為兩點到直線的距離之和有關.【詳解】設，，均在圓上，且，設的中點為，則點到原點的距離為，點在圓上，設到直線的距離分別為，，，.【點睛】利用數(shù)形結合思想，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的幾何意義，即構造系數(shù)，才能看出目標式子的幾何意義為兩點到直線距離之和的倍.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①③【解析】

由①可知只需求點A到面的最大值對于②，求直線PB與平面PAQ所成角的最大值，可轉化為到軸截面距離的最大值問題進行求解對于③④，可采用建系法進行分析【詳解】選項①如圖所示，當時，四棱錐體積最大，選項②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為，所以選項③和④，如圖所示：以垂直于方向為x軸，方向為y軸，方向為z軸，其中設,.,設直線BQ與AP所成角為，，當時，取到最大值，，此時，由于，，，所以取不到答案選①、③【點睛】幾何體的旋轉問題需要結合動態(tài)圖形和立體幾何基本知識進行求解，需找臨界點是正確解題的關鍵，遇到難以把握的最值問題，可采用建系法進行求解.12、【解析】

結合誘導公式化簡，再結合兩角差正弦公式分析即可【詳解】故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡，誘導公式的使用，屬于基礎題13、80【解析】

由題意，求得甲乙丙三所學校抽樣比為，再根據(jù)甲學校中抽取了40名學生的數(shù)學成績，即可求解丙學校應抽取的人數(shù)，得到答案.【詳解】由題意知，甲乙丙三所學校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為200、300、400，所以甲乙丙三所學校抽樣比為，又由甲學校中抽取了40名學生的數(shù)學成績，所以在丙學校應抽取人.【點睛】本題主要考查了分層抽樣概念及其應用，其中解答中熟記分層抽樣的概念，以及計算的方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.14、【解析】

根據(jù)數(shù)量積的幾何意義計算．【詳解】在方向上的投影為．故答案為：1．【點睛】本題考查向量的投影，掌握投影的概念是解題基礎．15、【解析】

計算出角的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的平方關系計算出的值和的值，然后利用兩角差的余弦公式可計算出的值.【詳解】由題意可知，，，，則，.因此，.故答案為.【點睛】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，同時也考查了同角三角函數(shù)的平方關系求值，解題時要明確所求角與已知角之間的關系，合理利用公式是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于中等題.16、【解析】

根據(jù)圓的性質可求得最長弦和最短弦的長度，從而得到所有弦長為整數(shù)的直線條數(shù)，從中找到長度不超過的直線條數(shù)，根據(jù)古典概型求得結果.【詳解】由題意可知，最長弦為圓的直徑：在圓內(nèi)部且圓心到的距離為最短弦長為：弦長為整數(shù)的直線的條數(shù)有：條其中長度不超過的條數(shù)有：條所求概率：本題正確結果：【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，涉及到過圓內(nèi)一點的最長弦和最短弦的長度的求解；易錯點是忽略圓的對稱性，造成在求解弦長為整數(shù)的直線的條數(shù)時出現(xiàn)丟根的情況.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（）．【解析】試題分析：（Ⅰ）運用兩角和的正弦公式對f（x）化簡整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間對應求解即可.試題解析：（Ⅰ）因為，所以的最小正周期．依題意，，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．由，得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．【考點】兩角和的正弦公式、周期公式、三角函數(shù)的單調(diào)性.【名師點睛】三角函數(shù)的單調(diào)性：1.三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定，一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)標準式，然后通過同解變形或利用數(shù)形結合方法求解．關于復合函數(shù)的單調(diào)性的求法；2.利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，必須先看兩角是否同屬于這一函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，不屬于的，可先化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．若不是同名三角函數(shù)，則應考慮化為同名三角函數(shù)或用差值法（例如與0比較，與1比較等）求解．18、(1)；(2)【解析】

（1）利用等差中項的性質列方程，并轉化為的形式，由此求得的值，進而求得數(shù)列的通項公式.（2）先求得的表達式，利用裂項求和法求得，解不等式求得的取值范圍.【詳解】解：（1）∵成等差數(shù)列，得，∵等比數(shù)列，且，∴解得或又，∴，∴（2）∵，∴∴故由，得.【點睛】本小題主要考查等差中項的性質，考查等比數(shù)列基本量的計算，考查裂項求和法，考查不等式的解法，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（Ⅰ）由條件利用正弦定理求得sinB的值，可得B的值（Ⅱ）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c關于A的三角函數(shù)，根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質得出a+c的最值．【詳解】解（Ⅰ）銳角又，，由正弦定理得，∴．

∴的取值范圍為【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理的應用，基本不等式的應用，屬于基礎題．20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用即可證明；（2）由面面垂直的性質即可證明．【詳解】證明：（1）在四棱錐中，底面是矩形，，又平面，平面；平面；（2）側面底面，側面平面，，平面，平面【點睛】本題考查了空間線面平行、垂直的證明，屬于基礎題.21