新613簡單旋轉(zhuǎn)體-球圓柱圓錐和圓臺(tái)課件

簡單旋轉(zhuǎn)體——球、圓柱、圓錐和圓臺(tái)必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)(一)球的結(jié)構(gòu)特征1.定義:以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為球面,球面所圍成的幾何體稱為球體,簡稱球.如下圖,半圓的圓心稱為_____,連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段稱為球的_____,連接球面上兩點(diǎn)并且過球心的線段稱為球的_____.導(dǎo)思1.球、圓柱、圓錐和圓臺(tái)有哪些結(jié)構(gòu)特征?2.什么是旋轉(zhuǎn)體?球心半徑直徑2.表示方法:用表示它球心的字母來表示,圖中的球可表示為球O.3.球的性質(zhì):(1)球面上所有的點(diǎn)到球心的距離都等于球的_____;(2)用任何一個(gè)平面去截球面,得到的截面都是___,其中過球心的平面截球面得到的_________最大,等于球的半徑.半徑圓圓的半徑【思考】球和球面一樣嗎?提示:球面與球是兩個(gè)不同的概念,球面是半圓以它的直徑所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面,也可以看作與定點(diǎn)(球心)的距離等于定長(半徑)的所有點(diǎn)的集合.而球體不僅包括球的外表,同時(shí)還包括球面所包圍的空間.(二)圓柱的結(jié)構(gòu)特征1.定義:以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓柱.在旋轉(zhuǎn)軸上的這條邊的長度稱為圓柱的___;垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓柱的_____,平行于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓柱的_____,無論轉(zhuǎn)到什么位置,這條邊都稱為圓柱側(cè)面的母線.高底面?zhèn)让?.表示方法:用表示它的旋轉(zhuǎn)軸的字母來表示,如圓柱O1O.

【思考】圓柱的母線有什么特點(diǎn)?提示:圓柱有無數(shù)條母線,所有的母線平行且相等,圓柱的母線也是圓柱的高.(三)圓錐的結(jié)構(gòu)特征1.定義:以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓錐.在旋轉(zhuǎn)軸上的這條邊的長度稱為圓錐的___;垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓錐的_____,不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓錐的_____,無論轉(zhuǎn)到什么位置,這條邊都稱為圓錐的母線.高底面?zhèn)让?.表示方法:用表示它的旋轉(zhuǎn)軸的字母來表示,如圓錐SO.【思考】圓錐的母線有什么特點(diǎn),它是圓錐的高嗎?提示:圓錐有無數(shù)條母線,它們交于圓錐的頂點(diǎn),母線不是圓錐的高,圓錐的母線、高和底面半徑構(gòu)成直角三角形.(四)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1.定義:以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓臺(tái).在旋轉(zhuǎn)軸上的這條邊的長度稱為圓臺(tái)的___;垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓臺(tái)的_____,不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓臺(tái)的_____,無論轉(zhuǎn)到什么位置,這條邊都稱為圓臺(tái)的母線.2.表示方法:用表示它的旋轉(zhuǎn)軸的字母來表示,如圓臺(tái)O1O.高底面?zhèn)让?五)圓柱、圓錐、圓臺(tái)具有的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)體定義1.性質(zhì):(1)平行于圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面的截面都是圓;(2)過圓柱、圓錐、圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸的截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.【思考】圓臺(tái)還可以由圓錐得到嗎?提示:圓臺(tái)可以看作是用平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐而得到的.2.旋轉(zhuǎn)體的定義一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)面,封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體.這條定直線叫作旋轉(zhuǎn)體的軸.球面是旋轉(zhuǎn)面,球、圓柱、圓錐、圓臺(tái)都是旋轉(zhuǎn)體.

【思考】

(1)旋轉(zhuǎn)體最大的特點(diǎn)是什么?提示:旋轉(zhuǎn)體不同于多面體,一定有一個(gè)面是曲面.(2)在運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)下,圓柱、圓錐、圓臺(tái)有什么關(guān)系呢?提示:【根底小測】1.辨析記憶(對的打“√〞,錯(cuò)的打“×〞)(1)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐. ()(2)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體是一圓柱. ()(3)半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球. ()(4)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面. ()【解析】(1)×.直角三角形繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周才得到圓錐,假設(shè)是繞斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周會(huì)得到兩個(gè)同底的圓錐扣在一起;(2)×.當(dāng)兩個(gè)平行截面與底面平行時(shí)才是圓柱;(3)×.應(yīng)該是球面;(4)√.2.以下幾何體中不是旋轉(zhuǎn)體的是 ()【解析】選D.由旋轉(zhuǎn)體的概念可知,選項(xiàng)D不是旋轉(zhuǎn)體.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)用一個(gè)平面截一個(gè)幾何體,各個(gè)截面都是圓面,那么這個(gè)幾何體一定是 ()A.圓柱 B.圓錐 C.球 D.圓臺(tái)【解析】選C.由球的性質(zhì)可知,用平面截球所得截面都是圓面.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.給出以下命題:①用一個(gè)平面去截圓錐,得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái);②圓錐的頂點(diǎn)、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)這三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形;③一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周,所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái);④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.其中正確的選項(xiàng)是________(只填序號(hào)).

2.以下命題正確的選項(xiàng)是________(只填序號(hào)).

①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái);②以等腰三角形的底邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)180°形成的曲面圍成的幾何體是圓錐;③球面上四個(gè)不同的點(diǎn)一定不在同一平面內(nèi);④球的半徑是球面上任意一點(diǎn)和球心的連線段.3.給出以下說法:①經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面;②圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線,可能相交,也可能不相交;③夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.其中說法正確的選項(xiàng)是________.(填序號(hào))

【解析】1.①錯(cuò).只有在平面平行于圓錐底面時(shí),才能將圓錐截為一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái);②正確③錯(cuò).直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡單組合體,如下圖.④由圓柱的定義可知正確.答案:②④2.①以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓臺(tái);②正確;作球的一個(gè)截面,在截面的圓周上任意取四個(gè)不同的點(diǎn),那么這四點(diǎn)就在球面上,故③錯(cuò)誤;根據(jù)球的半徑定義,知④正確.答案:②④3.①正確,經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面;②不正確,圓臺(tái)的母線延長后必相交于一點(diǎn);③不正確,夾在圓柱兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體.答案:①【解題策略】由簡單旋轉(zhuǎn)體判斷問題的解題策略(1)準(zhǔn)確掌握圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問題的關(guān)鍵.(2)解題時(shí)要注意兩個(gè)明確:①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成;②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.【補(bǔ)償訓(xùn)練】以下幾何體是臺(tái)體的是 ()【解析】選D.臺(tái)體包括棱臺(tái)和圓臺(tái)兩種,A的錯(cuò)誤在于四條側(cè)棱沒有交于一點(diǎn);B的錯(cuò)誤在于截面與圓錐底面不平行;C是棱錐;結(jié)合圓臺(tái)的定義可知D正確.類型二與旋轉(zhuǎn)體的軸截面有關(guān)的計(jì)算問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面問題

【典例】如下圖,用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐,截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺(tái)O′O的母線長.【思路導(dǎo)引】求圓臺(tái)的母線長,需要將空間圖形中的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化到平面圖形中.【解析】設(shè)圓臺(tái)的母線長為lcm,由截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16,可設(shè)截得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r,4r.過軸SO作截面,如下圖.那么△SO′A′∽△SOA,SA′=3cm,所以,所以,解得l=9,即圓臺(tái)的母線長為9cm.【變式探究】本例的條件“截去的圓錐的母線長是3cm〞假設(shè)改為“截得圓臺(tái)的圓錐的母線長為12cm〞,求圓臺(tái)O′O的母線長.【解析】設(shè)圓臺(tái)的母線長為lcm,由截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16,可設(shè)截得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r,4r.過軸SO作截面,如下圖.那么△SO′A′∽△SOA,SA=12cm,所以,所以,解得l=9,即圓臺(tái)的母線長為9cm.角度2球的截面問題

【典例】球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π,它們位于球心的同側(cè),且距離等于1,求這個(gè)球的半徑.【思路導(dǎo)引】精讀題目挖條件,球的兩個(gè)平行截面位于球心的同側(cè),且距離等于1,將條件與球的半徑建立聯(lián)系尋解題思路.【解析】如圖,設(shè)這兩個(gè)截面圓的半徑分別為r1,r2,球心到截面的距離分別為d1,d2,球的半徑為R,那么π=5π,π=8π,所以=5,=8,又因?yàn)镽2=,所以=8-5=3,即(d1-d2)(d1+d2)=3.又d1-d2=1,所以所以R==3,即球的半徑等于3.【解題策略】球的截面的性質(zhì)(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r有如下關(guān)系:r=.【題組訓(xùn)練】1.圓錐被平行于底面的平面所截,假設(shè)截面面積與底面面積之比為1∶2,那么此圓錐的高被分成的兩段之比為 ()A.1∶2 B.1∶4C.1∶(+1) D.1∶(-1)【解析】選D.根據(jù)相似性,假設(shè)截面面積與底面面積之比為1∶2,那么對應(yīng)小圓錐與原圓錐高之比為1∶,那么圓錐的高被截面分成的兩段之比為1∶(-1).2.軸截面是直角三角形的圓錐的底面半徑為r,那么其軸截面面積為________.

【解析】由圓錐的結(jié)構(gòu)特征可知,軸截面為等腰直角三角形,其高為r,所以S=×2r2=r2.答案:r23.某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12πcm,如下圖,那么該地球儀的半徑是________cm.

【解析】如下圖,由題意知,北緯30°所在小圓的周長為12π,那么該小圓的半徑r=6,其中∠ABO=30°,所以該地球儀的半徑R=cm.答案:4備選類型旋轉(zhuǎn)體的軸截面圖(直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】圓臺(tái)的兩底面面積分別為1,49,平行于底面的截面面積的2倍等于兩底面面積之和,求圓臺(tái)的高被截面分成的兩局部的比.【思路導(dǎo)引】求圓臺(tái)的高被截面分成的兩局部的比就是求在軸截面圖中求兩段線段的比,利用比例求解.【解析】將圓臺(tái)復(fù)原為圓錐,如下圖.O2,O1,O分別是圓臺(tái)上底面、截面和下底面的圓心,V是圓錐的頂點(diǎn),令VO2=h,O2O1=h1,O1O=h2, 那么所以即h1∶h2=2∶1.故圓臺(tái)的高被截面分成的兩局部的比為2∶1.【解題策略】旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有母線、底面半徑、高等主要元素,因而在涉及這些元素的計(jì)算時(shí),通常利用軸截面求解.在圓臺(tái)的軸截面中,將等腰梯形的兩腰延長,在三角形中可借助相似求解.將立體問題平面化是解答旋轉(zhuǎn)體中計(jì)算問題最常用的方法.【跟蹤訓(xùn)練】一個(gè)圓錐的底面半徑為r,高為h,在此圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體,這個(gè)內(nèi)接正方體的頂點(diǎn)在圓錐的底面和側(cè)面上,求此正方體的棱長.【解析】作出圓錐的一個(gè)軸截面如下圖:其中AB,AC為母線,BC為底面直徑,DG,EF是正方體的棱,DE,GF是正方體的上、下底面的對角線.設(shè)正方體的棱長為x,那么DG=EF=x,DE=GF=x.依題意,得△ABC∽△ADE,所以,所以x=,即此正方體的棱長為.1.如圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的 ()

【解析】選D.題圖中所給的幾何體是由上部的圓錐和下部的圓臺(tái)組合而成的,故是由上部是直角三角形,下部為直角梯形的組合圖形旋轉(zhuǎn)得到的,應(yīng)選D.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.將一個(gè)等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體由下面哪些簡單幾何體構(gòu)成 ()A.一個(gè)圓臺(tái)和兩個(gè)圓錐B.兩個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓錐C.兩個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐D.一個(gè)圓柱和兩個(gè)圓錐【解析】選D.把等腰梯形分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形,由旋轉(zhuǎn)體的定義可知所得幾何體是由一個(gè)圓柱和兩個(gè)圓錐構(gòu)成.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)以鈍角三角形的較小邊所在的直線為軸,其他兩邊旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是 ()A.兩個(gè)圓錐拼接而成的組合體B.一個(gè)圓臺(tái)C.一個(gè)圓錐D.一個(gè)圓錐挖去一個(gè)同底的小圓錐【解析】選D.如圖,以AB為軸所得的幾何體是一個(gè)大圓錐挖去一個(gè)同底的小圓錐.4.一個(gè)圓錐的母線長為20cm,母線與軸的夾角為30°,那么圓錐的高h(yuǎn)為________cm.

【解析】h=20cos30°=20×=10(cm).答案:105.觀察以下四個(gè)幾何體,其中可看作是由兩個(gè)棱柱拼接而成的是________(填序號(hào)).

【解析】①可看作由一個(gè)四棱柱和一個(gè)三棱柱組合而成,④可看作由兩個(gè)四棱柱組合而成.答案:①④四十簡單旋轉(zhuǎn)體——球、圓柱、圓錐和圓臺(tái)【根底通關(guān)—水平一】(15分鐘25分)1.圓柱的母線長為10,那么其高等于 ()A.5 B.10 C.20 D.不確定【解析】選B.圓柱的母線長與高相等,那么其高等于10.課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)2.如圖,將陰影局部圖形繞圖示直線l旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是 ()A.圓錐B.圓錐和球組成的簡單組合體C.球D.一個(gè)圓錐內(nèi)部挖去一個(gè)球后得到的簡單幾何體【解析】選D.三角形旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐,三角形中的圓旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)球,應(yīng)選D.3.正方形ABCD繞對角線AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得組合體的結(jié)構(gòu)特征是________.

【解析】由圓錐的定義知是兩個(gè)同底的圓錐形成的組合體.答案:兩個(gè)同底的圓錐組合體4.用一個(gè)平面去截幾何體,如果截面是三角形,那么這個(gè)幾何體可能是下面哪幾種:________(填序號(hào)).

①棱柱;②棱錐;③棱臺(tái);④圓柱;⑤圓錐;⑥圓臺(tái);⑦球.【解析】可能是棱柱、棱錐、棱臺(tái)與圓錐.答案:①②③⑤5.假設(shè)一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面,那么該圓錐的高為_______.

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,那么4π=πl(wèi)2,所以母線長l=2,又半圓的弧長為2π,圓錐的底面的周長為2πr=2π,所以底面圓半徑r=1,所以該圓錐的高h(yuǎn)=.答案:【能力進(jìn)階-水平二】(30分鐘60分)一、單項(xiàng)選擇題(每題5分,共20分)1.如下圖的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是 ()A.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱柱B.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)圓柱C.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐D.一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱臺(tái)【解析】選C.圖中幾何體可看成是四棱柱截去一個(gè)角,即截去一個(gè)三棱錐后得到的簡單幾何體,故為一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐所得.2.上、下底面面積分別為36π和49π,母線長為5的圓臺(tái),其兩底面之間的距離為 ()A.4 B.3 C.2 D.2【解析】選D.圓臺(tái)的母線長l、高h(yuǎn)和上、下兩底面圓的半徑r,R滿足關(guān)系式l2=h2+(R-r)2,求得h=2,即兩底面之間的距離為2.3.假設(shè)一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為,那么這個(gè)圓錐的母線長為 ()A.4 B.2 C.3 D.【解析】選B.如下圖,設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面,由題意知圓錐的母線長即為△ABC的邊長且S△ABC=AB2,所以=AB2,所以AB=2.4.用一張長為8,寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面,那么相應(yīng)圓柱的底面半徑是 ()A.2 B.2π C.或 D.或【解析】選C.如下圖,設(shè)底面半徑為r,假設(shè)矩形的長恰好為卷成圓柱底面的周長,那么2πr=8,所以r=;同理,假設(shè)矩形的寬恰好為卷成圓柱的底面周長,那么2πr=4,所以r=.【誤區(qū)警示】旋轉(zhuǎn)體特別是圓柱一定要找準(zhǔn)母線和底面半徑,在將硬紙卷起時(shí)容易忽略分類討論.二、多項(xiàng)選擇題(每題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.如下圖的圖形中有 ()A.圓柱 B.圓錐 C.球 D.圓臺(tái)【解析】選ABC.根據(jù)題中圖形可知,(1)是球,(2)是圓柱,(3)是圓錐,(4)不是圓臺(tái).6.以下命題中正確的選項(xiàng)是().A.過球面上任意兩點(diǎn)只能作一個(gè)經(jīng)過球心的圓;B.球的任意兩個(gè)經(jīng)過球心的圓的交點(diǎn)的連線是球的直徑;C.用不過球心的截面截球,球心和截面圓心的連線垂直于截面;D.球是與定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合.【解析】選BC.當(dāng)任意兩點(diǎn)與球心在一條直線上時(shí),可作無數(shù)個(gè)圓,故A錯(cuò);B正確;C正確;球是幾何體,而D描述的是球面的概念.三、填空題(每題5分,共10分)7.一個(gè)圓柱的軸截面是一個(gè)正方形,且其面積是Q,那么此圓柱的底面半徑為________(用Q表示).

【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,那么母線長為2r.所以4r2=Q,解得r=,所以此圓柱的底面半徑為.答案:【補(bǔ)償訓(xùn)練】一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,且其面積是Q,那么此圓柱的底面半徑為________(用Q表示).

【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,那么母線長為2πr.所以4π2r2=Q,解得r=,所以此圓柱的底面半徑為.答案:8.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,那么△ABC繞邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得空間圖形是________,母線長l=________.

【解析】所得幾何體是圓錐,母線長l=AC==5.答案:圓錐5四、解答題(每題10分,共20分)9.一個(gè)圓臺(tái)的母線長