第四章數(shù)列求和的方法課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

2024/6/21數(shù)列求和的方法第四章

數(shù)列數(shù)列求和的常見方法1.公式法（已知等差或等比數(shù)列或特殊數(shù)列）2.裂項相消法3.錯位相減法4.分組求和法5.并項求和法6.倒序相加法探究新知1.公式法使用時注意項數(shù)知a1,d,n知a1,an,n知a1,q,n知a1,an,q探究新知3.特殊數(shù)列的前n項和正整數(shù)和二次冪和三次冪和??探究新知2.裂項相消法①將分式型的通項an進行裂項(注意配平系數(shù)保持等價)；②求和，正負項相消，剩下的項有對稱性(對稱剩項)；解：例1設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a1=3，公差d＝2，

設(shè)bn＝

，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.a1＝3，d＝2，求通項裂項∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn所留的正項與負項的個數(shù)是否相同（對稱）累加消項化簡2.裂項相消法①將分式型的通項an進行裂項(注意配平系數(shù)保持等價)；②求和，正負項相消，剩下的項有對稱性(對稱剩項)；設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，求{an}的前n項和Sn

.即Sn

=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1①

qSn

=②a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn由①–②得：

當(dāng)q=1時，分類討論：

(1–q)Sn

=a1–a1qn

等比數(shù)列{an}同時也是常數(shù)列，此時Sn=na1

Sn

=a1+a2+a3+……+an-2

+an-1+an

探究新知乘公比錯位排列相減齊次式錯位相減法3.錯位相減法3.錯位相減法齊次式錯位相減得等比數(shù)列求和3.錯位相減法③等比數(shù)列求和(注意項數(shù))①寫Sn與qSn②齊次式錯位相減④同除以1－q寫出Sn3.錯位相減法

(2)步驟：①所乘系數(shù):在等式兩邊同乘的是等比數(shù)列的公比;寫出“Sn”與“qSn”的表達式;②兩式相減：左邊為(1－q)Sn，右邊q的同次式錯位對齊相減；③差的特點:相減后的差共有n+1項,去掉前后兩項,中間的n-1項一定

是等比數(shù)列，注意項數(shù)；④同除以1－q寫出Sn.(3)易錯點：①注意錯位相減后所剩的項；

②注意等比數(shù)列求和的項數(shù)是n或n-1等；

③若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分q=1和q≠1兩種情況.等差×等比3.錯位相減法3.錯位相減法課后作業(yè)1.數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝b1＝1，bn＋1＝an＋1－an，bn＋1＝3bn.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)若cn＝bn·log3(2an＋1)，求數(shù)列{cn}的前n項和．2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝2an－n.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝(2n＋1)(an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.1.解：(1)由bn＋1＝3bn得{bn}是以3為公比的等比數(shù)列，b1＝1，∴bn＝b1qn－1＝3n－1，所以an＋1－an＝bn＋1＝3n，即an－an－1＝3n－1(n≥2)，2.解：(1)∵Sn＝2an－n，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1.當(dāng)n≥2時，Sn＝2an－n①，Sn－1＝2an－1－n＋1②，(2)bn＝(2n＋1)·2n，Tn＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，∴兩式相減得－Tn＝6＋2(22＋23＋24＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1，∴Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.3.解：(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝3a1+6d=6＋6d＝18，解得d＝2，∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.3.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝an·3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.4.分組求和法①適用于求數(shù)列{an±bn}的前n項和,其中{an},{bn}為等差數(shù)列或等比數(shù)列或或其他已知求和方法的特殊數(shù)列.4.分組求和法4.分組求和法②奇、偶數(shù)項分別成等差或等比等可求和的數(shù)列，則Sn=S奇+S偶4.分組求和法②奇、偶數(shù)項分別成等差或等比等可求和的數(shù)列，則Sn=S奇+S偶課本P41-7課本P41-115.并項求和法也可用分組求和法：分奇、偶數(shù)項分別求和通項含(－1)n的擺動數(shù)列適用并項求和，注意是否需討論項數(shù)n的奇偶性.5.并項求和法通項含(－1)n的擺動數(shù)列適用并項求和，注意是否需討論項數(shù)n的奇偶性.20205.并項求和法通項含(－1)n的擺動數(shù)列適用并項求和，注意是否需討論項數(shù)n的奇偶性.5.并項求和法(并項求和)(倒序相加)數(shù)列第k項和倒數(shù)第k項之和為定值或呈規(guī)律性問：在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的過程中，我們使用了倒序相加的方法，類比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝__________.6.倒序相加法2020數(shù)列第k項和倒數(shù)第k項之和為定值或呈規(guī)律性6.倒序相加法26.倒序相加法解析

由題

a1·a2021＝1,且令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2021)，則2T＝[f(a1)＋f(a2021)]＋…＋[f(a2021)＋f(a1)]＝2×2021，∴T＝2021.6.倒序相加法1.公式法(2)四類特殊數(shù)列的前n項和(1)等差、等比數(shù)列的前n項和公式；求數(shù)列前n項和的方法3.錯位相減法2.裂項相消法(1)形如cn＝an·bn,

一個是等差數(shù)列,一個是等比數(shù)列;

(2)步驟：乘公比，錯位減(1)通項公式常為分式型，可用待定系數(shù)法對通項公式拆項；(2)記住常見的拆項公式(2)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項和相等,則用倒序相加法求和.6.倒序相加法(1)適用于通項中含有(－