東莞威遠(yuǎn)職中文化課數(shù)學(xué)教案：數(shù)列

東莞威遠(yuǎn)職中文化課數(shù)學(xué)教案：數(shù)列

一、基礎(chǔ)知識(shí)

定義1數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1,2,3,…，.數(shù)列分有窮數(shù)

列和無(wú)窮數(shù)列兩種，數(shù)列｛斯｝的一般形式通常記作的,…，斯或四,。2,。3,…，

斯…。其中0叫做數(shù)列的首項(xiàng)，斯是關(guān)于〃的具體表達(dá)式，稱(chēng)為數(shù)列的通項(xiàng)。

定理1若，表示｛斯｝的前〃項(xiàng)和，則，=即當(dāng)〃>1時(shí)，%=S/S,I.

定義2等差數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)“，都有%+「%=d（常數(shù)），則｛為｝稱(chēng)為

等差數(shù)列，d叫做公差。若三個(gè)數(shù)a,。,c成等差數(shù)列，即2b』+c,則稱(chēng)6為a

和c的等差中項(xiàng)，若公差為d,貝ua=b-d,c=b+d.

定理2等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式念=勾+（”-1）山2）前”項(xiàng)和公式：

+%）=+—~—d；3）an-am=（n-m）（i,其中〃，m為正整數(shù)；4）若

22

n+m=p+q,則即+而=知+4；5）對(duì)任意正整數(shù)p,q,恒有%-%=0f）（。2-處）；6）

若A,B至少有一個(gè)不為零，則｛斯｝是等差數(shù)列的充要條件是S〃=A〃2+8〃.

定義3等比數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)〃，都有色包=q,則｛為｝稱(chēng)為等比數(shù)列，

%

4叫做公比。

定理3等比數(shù)列的性質(zhì)：1）?！?砒叫2）前n項(xiàng)和S”,當(dāng)#1時(shí),S,產(chǎn)/QT）；

i-q

當(dāng)q=l時(shí)，S,!=?<?］；3）如果a,b,c成等比數(shù)列，即廬=ac（「HO）,則b叫做a,c

的嚓比中項(xiàng)；4）若m+n=p+q,則&）為=如的。

定義4極限，給定數(shù)列｛斯｝和實(shí)數(shù)A,若對(duì)任意的￡>0,存在M,對(duì)任意的

〃>1'4（〃￡'）,都有1斯-41<￡,則稱(chēng)A為/L+8時(shí)數(shù)列｛%｝的極限，記作］ima“=A.

“—>8

定義5無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列｛斯｝的公比4滿(mǎn)足磔<1,則稱(chēng)之為無(wú)窮

遞增等比數(shù)列，其前幾項(xiàng)和S“的極限（即其所有項(xiàng)的和）為芻一（由極限的定

1—4

義可得）。

定理3第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p（〃），若：（l）p（〃o）成立；（2）當(dāng)p（〃）時(shí)'〃=攵

成立時(shí)能推出"（〃）對(duì)〃=k+l成立，則由（1）,（2）可得命題p（〃）對(duì)一切自然數(shù)〃

成立。

常用定理

定理4第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p（〃），若：（1）p（〃o）成立；（2）當(dāng)p（〃）對(duì)一

切〃W女的自然數(shù)〃都成立時(shí)（女》〃（））可推出p（"l）成立，則由（1）,（2）可得

命題p（〃）對(duì)一切自然數(shù)成立。

定理5對(duì)于齊次二階線(xiàn)性遞歸數(shù)列x,尸例”+如②設(shè)它的特征方程x2=ax+8的

兩個(gè)根為a,B:⑴若a*B,則“m""+‘2似1,其中Ci,C2由初始條件孫松的

值確定；（2）若a=B,則x”=（Ci〃+C2）a"-1,其中仃,C2的值由孫忿的值確定。

二、方法與例題

1.不完全歸納法。

這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但

卻是人類(lèi)探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊f猜想f數(shù)學(xué)歸納法

證明。

例1試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)(不要求證明)；1)0,3,8,15,24,35,…；

2)1,5,19,65,…；3)-1,0,3,8,15,…。

【解】1)斯=〃2-1；2)%=3"-2"；3)an=n~-2n.

例2已知數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足,。]+〃2+…+斯=〃％",求通項(xiàng)a”.

【解】因?yàn)閙=L又41+42=2??%

2

所以。2=—匚，的=%普=」一,猜想％=—'—(〃21).

3x232-13x4"n(n+1)

證明；1)當(dāng)〃=1時(shí)，。尸一匚，猜想正確。2)假設(shè)當(dāng)〃W人時(shí)猜想成立。

2x1

當(dāng)"M+1時(shí)，由歸納假設(shè)及題設(shè)，。1+。1+…+。1=[(什1)2-1]%1,,

111

所以----1----F,?H---------=k(k+2)〃攵+i,

2x13x2Ax(Z+l)

即+.?.+-

=k(k+2)dk+i,

223kZ+l

所以一J1

=k(k+2)。女+1,所以i=

k+\(k+l)(Jt+2)

由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以明=」一.

n(n+1)

例3設(shè)數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足斯=1+4,,求證：對(duì)任意〃￡N+,有例>1.

叫

[證明]證明更強(qiáng)的結(jié)論：1〈即W1+〃.

1)當(dāng)〃=1時(shí)，lvoi=l+a,①式成立；

2)假設(shè)〃=大時(shí)，①式成立，即lv?Wl+〃，則當(dāng)〃=4+1時(shí)，有

111

]+Q>Q&+1=--FQ2-----FQ=------->----=1.

ak1+。1+a1+。

由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證。

2.迭代法。

數(shù)列的通項(xiàng)即或前n項(xiàng)和S”中的〃通常是對(duì)任意nCN成立，因此可將其中的“

換成n+1或〃-1等，這種辦法通常稱(chēng)迭代或遞推。

例4數(shù)列回｝滿(mǎn)足a”+p*+q%-2=0,九23,qfO,求證：存在常數(shù)c,使得

a；+i+〃a“+i*M+qa：+cq'=0.

【證明】嘖+pan+1?a.+i+qa3=an+2(pan+\+an+2)+qa^=an+2,(-qan)+qa1+i=

4(a：+i-a/“+2)=4叱+|+即9外+1+眄)]=4(。3+P4+4+q磋).

若a；+p/q+4。：=0，則對(duì)任意〃，+。4+1?！?歿；=0,取c=0即可.

若a；+pa2al+網(wǎng)；*0，則｛+pa”]%是首項(xiàng)為蠟+Pa2al+?；，公式

為q的等比數(shù)列。

所以a；+i+pa“+i%+qa：=(a；+，0為+的；)，心

取c=_(aj+pq&+qa；)*1即可.

q

綜上，結(jié)論成立。

例5已知ai=O,a”+i=5a”+J24a；+1,求證：即都是整數(shù)，n^N+.

【證明】因?yàn)椤Ｊ?,敢=1，所以由題設(shè)知當(dāng)〃>1時(shí)為+|>斯.

又由小+尸5斯+：24a；+1移項(xiàng)、平方得

項(xiàng)-10a/"+i+a；T=0?①

當(dāng)心2時(shí)，把①式中的〃換成n-\得力一10a,,%+匕|一1=0,即

。3-10。/的+d-1=0.②

2

因?yàn)閍n.\<an+\,所以①式和②式說(shuō)明an.\,a?+i是方程x-l0anx+a^-1=0的兩個(gè)不

等根。由韋達(dá)定理得恁+1+。"-1=10。"(〃22).

再由。1=0,即=1及③式可知，當(dāng)"WN+時(shí)，斯都是整數(shù)。

3.數(shù)列求和法。

數(shù)列求和法主要有倒寫(xiě)相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。

例6已知為=---二次(〃=1,2,…)，求$99=。1+。2+…+。99.

4"+2

.........11__2x21°°+4"+4*"_1

100100B100-100

[用牛J1—1Tva"+aioo-"一^IOO+^ioo-n+21oo_4x2+2(4+4")-2，

1991gogo

所以S99=5，(a”+?ioo-?)=-x^o=^F-

例7求和：Sn=—?—+—2—+???+-------,--------

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)

【解】一般地，-----1-----=Ei

k(k+l)(k+2)2k(k+l)(k+2)

=U—!_________1]

-51攵(％+1)伏+1)(女+2)/

所以s“=Z-----------------

￡左一+1)(左+2)

--------------------------------1----------------------------F???H----------------------------------------------------

2|_lx22x32x33x4n(n+1)(n+1)(//+2)

」11

一心一(〃+1)(〃+2)_

」_______]

42(〃+1)(〃+2)

例8已知數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足0=。2=1,即+2=斯+1+即,s,,為數(shù)歹小a,的前〃項(xiàng)和，求

2"

證：S?<2o

【證明】由遞推公式可知，數(shù)列｛斯｝前幾項(xiàng)為1,1,2,3,5,8,13。

112358a公

因?yàn)?=］+?+￥+下+?+齊+…+^n’①

”［、11cl235a不

所以2S"=齊+封+夢(mèng)+?+…+廣n。②

由①-②得3S"=!+*(<+*+…+景)一券'

所以1S=—+—S2--^―o

2242向

乂因?yàn)?仆2Vs八且—>0,

2

所以;s,<；+；S”，所以;s“<g,

所以S“<2,得證。

4.特征方程法。

例9已知數(shù)列｛“｝滿(mǎn)足”|=3,“2=6,%+2=4"+「4%’求斯.

【解】由特征方程》2=4X-4得X,=X2=2.

故設(shè)即=(a+B〃)?2"“，其中F=a+，

6=(。+2/)x2

所以a=3,B=0,

所以an=3-2"-'.

例10已知數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足m=3,念=6,即+2=2%+|+3?！埃笸?xiàng)斯.

【解】由特征方程X2=2X+3得%i=3,X2=-l,

所以a“=a?3"+B?(4)",其中F=3a—S,

6=9a+/?

解得a=±,0

44

所以a“=；［3向+(—1嚴(yán)?3］。

5.構(gòu)造等差或等比數(shù)列。

所以"產(chǎn)區(qū)+1=2",所以巴」=(2"-1)2,

V??-i4.i

所以為=2?—,紅?麗力⑵-I)?.

%Ta,.-2a\a。k=i

注：fjc,=G?Q.........cn.

i=l

x2+2

例12已知數(shù)列｛x“｝滿(mǎn)足?=2,xn+i=，------,〃GN+,求通項(xiàng)。

2%

【解】考慮函數(shù)以)=丁/的+2不動(dòng)點(diǎn)，由+得2』歷i~

2

因?yàn)樾?2,超+1=也X4士-2，可知｛b｝的每項(xiàng)均為正數(shù)。

2乙

又就+222VI工，所以x〃+i2后(〃21)。又

x,+3="一艮旦二空，①

242x,

X用+行==+痣=(貓+亞尸，②

2x,,2xn

由①?②得土史二￡=［土二￡］。③

x.+i+j2［x,+J2」

又上淮＞0,

Xj+Y2

“"■>()且1g”向一?

由③可知對(duì)任意〃GN+，

x”+j2x“+]+j2

2-V2

是首項(xiàng)為1g公比為2的等比數(shù)列。

2+V2

所以1g上自二2"T，所以與2-V2

x.+行2+V2

(2+//+(2-后尸

解得x“=V2

(2+揚(yáng)2“=(2_&產(chǎn)

注：本例解法是借助于不動(dòng)點(diǎn)，具有普遍意義。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1.數(shù)列｛$｝滿(mǎn)足xi=2,x”+i=S”+(〃+D，其中S“為｛4｝前〃項(xiàng)和，當(dāng)心2時(shí),

x〃=?

2.數(shù)列｛/｝滿(mǎn)足x產(chǎn)工，x用=3」,則｛與｝的通項(xiàng)x“=_______.

23x?+2

3.數(shù)列｛x,J滿(mǎn)足為=1,則｛x“｝的通項(xiàng)x”=.

4.等差數(shù)列｛?。凉M(mǎn)足%8=5勾3，且ai>O,S〃為前〃項(xiàng)之和，則當(dāng)S“最大時(shí)，

n=.

5.等比數(shù)歹U｛%｝前〃項(xiàng)之和記為S”,若Si°=10,