第八章　機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波 第42課時(shí)　用單擺測(cè)量重力加速度　實(shí)驗(yàn)增分課

第42課時(shí)用單擺測(cè)量重力加速度[實(shí)驗(yàn)增分課]CONTENTS03立足“四層”·夯基礎(chǔ)概念公式定理著眼“四翼”·探考點(diǎn)題型規(guī)律方法聚焦“素養(yǎng)”·提能力巧學(xué)妙解應(yīng)用010201立足“四層”·夯基礎(chǔ)概念公式定理

裝置原理操作要領(lǐng)操作要領(lǐng)（4）測(cè)周期：把單擺從平衡位置拉開一個(gè)很小的角度（不超過

5°），然后放開小球讓它擺動(dòng)，用停表測(cè)出單擺完成30次或50次全

振動(dòng)的時(shí)間，計(jì)算出平均完成一次全振動(dòng)的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間就是單

擺的振動(dòng)周期。（5）變條件：改變擺長(zhǎng)重做幾次。（6）理器材：將實(shí)驗(yàn)器材放回原處數(shù)據(jù)處理誤差分析02著眼“四翼”·探考點(diǎn)題型規(guī)律方法

【典例1】

實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)們用如圖所示的裝置做“用單擺測(cè)量重

力加速度”的實(shí)驗(yàn)。

（2）實(shí)驗(yàn)時(shí)除用到停表、刻度尺外，還應(yīng)該用到下列器材中

的

。（填選項(xiàng)前的字母）A.長(zhǎng)約1m的細(xì)線B.長(zhǎng)約1m的橡皮繩C.直徑約1cm的均勻鐵球D.直徑約10cm的均勻木球

AC（3）選擇好器材，將符合實(shí)驗(yàn)要求的單擺懸掛在鐵架臺(tái)上，應(yīng)采用

圖

?中所示的固定方式。乙（4）實(shí)驗(yàn)小組組裝單擺時(shí)，在擺線上端的懸點(diǎn)處，用一塊開有狹縫

的橡皮夾牢擺線，再用鐵架臺(tái)的鐵夾將橡皮夾緊，如圖所示，

這樣做的目的是

。（填選項(xiàng)前的字母）ACA.保持?jǐn)[動(dòng)過程中擺長(zhǎng)不變B.可使周期測(cè)量得更加準(zhǔn)確C.需要改變擺長(zhǎng)時(shí)便于調(diào)節(jié)D.保證擺球在同一豎直平面內(nèi)擺動(dòng)（5）同學(xué)們組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺

量得從懸點(diǎn)到擺球的最低端的長(zhǎng)度L＝0.9990m，再用游標(biāo)卡尺

測(cè)量擺球直徑，結(jié)果如圖所示，則該擺球的直徑為

?

mm。12.0（6）將單擺正確懸掛后進(jìn)行如下操作，其中正確的是

。（填

選項(xiàng)前的字母）A.測(cè)出擺線長(zhǎng)作為單擺的擺長(zhǎng)B.把單擺從平衡位置拉開一個(gè)很小的角度釋放，使之做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)C.在擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)D.用停表測(cè)量擺球完成一次全振動(dòng)所用時(shí)間并作為單擺的周期BC

（8）乙同學(xué)測(cè)得的重力加速度數(shù)值大于當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣鹊膶?shí)際

值，造成這一情況的原因可能是

。（填選項(xiàng)前的字母）A.開始擺動(dòng)時(shí)振幅較小B.開始計(jì)時(shí)時(shí)，過早按下停表C.測(cè)量周期時(shí)，誤將擺球（n－1）次全振動(dòng)的時(shí)間記為n次全振動(dòng)的時(shí)間D.測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)，以懸點(diǎn)到小球下端邊緣的距離為擺長(zhǎng)CD

難點(diǎn)助攻（1）擺長(zhǎng)l等于擺線長(zhǎng)L（懸點(diǎn)到擺球的最頂端的距離）與擺球半徑

之和。（2）為減小計(jì)時(shí)誤差，計(jì)時(shí)開始位置應(yīng)選在平衡位置，應(yīng)測(cè)量30～

50次全振動(dòng)的總時(shí)間。（3）保證單擺在同一豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，擺角不宜過大。易錯(cuò)排查（2）為了便于測(cè)量周期和減小空氣阻力，擺線選擇較細(xì)且結(jié)

實(shí)、無彈性的細(xì)線，故選A；為了減小空氣阻力的影響，擺球選

擇質(zhì)量大體積小的鐵球，故選C。（3）為了避免運(yùn)動(dòng)過程中擺長(zhǎng)發(fā)生變化，懸點(diǎn)要固定，不能松

動(dòng)，則選題圖乙。（4）這樣做的目的是便于調(diào)節(jié)擺長(zhǎng)，把擺線夾得更緊一些，使

擺動(dòng)過程中擺長(zhǎng)不變，因此A、C正確。（5）擺球的直徑為d＝12.0mm。

（6）擺長(zhǎng)等于擺線的長(zhǎng)度加上擺球的半徑，A錯(cuò)誤；將停表測(cè)

量擺球完成一次全振動(dòng)所用時(shí)間作為單擺的周期，誤差較大，

應(yīng)采用累積法測(cè)量周期，D錯(cuò)誤。正確的選項(xiàng)為B、C。

某實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)用如圖甲所示的裝置做“用單擺測(cè)量重力加速度”

實(shí)驗(yàn)。（1）實(shí)驗(yàn)中該同學(xué)進(jìn)行了如下操作，其中正確的是

?。B.擺線上端牢固地系于懸點(diǎn)，擺動(dòng)中不能出現(xiàn)松動(dòng)C.確保擺球在同一豎直平面內(nèi)擺動(dòng)D.擺球不在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，形成了圓錐擺BC

（2）在實(shí)驗(yàn)中，多次改變擺長(zhǎng)L并測(cè)出相應(yīng)周期T，計(jì)算出T2，將數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)標(biāo)注在T2-L坐標(biāo)系（如圖乙所示）中。請(qǐng)將L＝0.700m，T2＝2.88s2所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)標(biāo)注在圖中，根據(jù)已標(biāo)注數(shù)據(jù)坐標(biāo)點(diǎn)描繪出T2-L圖線，并通過圖線求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝

m/s2（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）。9.86答案：圖見解析

（3）將不同實(shí)驗(yàn)小組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)標(biāo)注到同一T2-L坐標(biāo)系中，分別得到

實(shí)驗(yàn)圖線a、b、c，如圖丙所示。已知圖線a、b、c平行，圖線b

過坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)于圖線a、b、c，下列分析正確的是

?。BA.出現(xiàn)圖線c的原因可能是因?yàn)槭褂玫臄[線比較長(zhǎng)B.出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將擺線長(zhǎng)記作擺長(zhǎng)LC.由圖線b計(jì)算出的g值最接近當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，由圖線a計(jì)算出的g值偏大，圖線c計(jì)算出的g值偏小

（4）該同學(xué)通過自制單擺測(cè)量重力加速度。他利用細(xì)線和鐵鎖制成

一個(gè)單擺，計(jì)劃利用手機(jī)的秒表計(jì)時(shí)功能和卷尺完成實(shí)驗(yàn)。但

鐵鎖的重心未知，不容易確定準(zhǔn)確的擺長(zhǎng)。請(qǐng)幫助該同學(xué)提出

“通過一定測(cè)量，求出當(dāng)?shù)刂亓铀俣取钡姆椒?/p>

。答案：見解析

【典例2】

某智能手機(jī)中的“磁傳感器”功能可實(shí)時(shí)記錄手機(jī)附近磁場(chǎng)的變化，磁極越靠近手機(jī)，磁感應(yīng)強(qiáng)度越大。寧德某中學(xué)的小寧在家里用手機(jī)、磁化的小球、支架、塑料夾子等實(shí)驗(yàn)器材組裝成如圖甲所示的裝置來測(cè)量重力加速度，實(shí)驗(yàn)步驟如下：①把智能手機(jī)正面朝上放在懸點(diǎn)的正下方，接著往側(cè)邊拉開小球，并用夾子夾住。②打開夾子釋放小球，小球運(yùn)動(dòng)，取下夾子。③運(yùn)行手機(jī)“磁傳感器”功能，手機(jī)記錄磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化。④改變擺線長(zhǎng)和夾子的位置，測(cè)量出各次實(shí)驗(yàn)的擺線長(zhǎng)L及相應(yīng)的周期T。

（2）實(shí)驗(yàn)中用游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球直徑如圖丙所示，則擺球直徑為

cm。2.00（3）得到多組擺線長(zhǎng)L及相應(yīng)的周期T后，作出了T2-L圖像，如圖丁

所示，根據(jù)圖像中數(shù)據(jù)可得當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝

m/s2。

（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）9.96（4）查表可知寧德地區(qū)的重力加速度為9.79m/s2，則本實(shí)驗(yàn)的相對(duì)誤

差為

％。（結(jié)果保留2位有效數(shù)字）1.73步穩(wěn)解題①實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖鞘裁矗繙y(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?/p>

1.未來中國(guó)宇航員登陸月球表面，其任務(wù)之一是通過單擺測(cè)量出月球

表面的重力加速度，從而計(jì)算月球的質(zhì)量，但沒有合適的擺球，就

從地上找到了一塊大小為3cm左右、外形不規(guī)則的小石塊代替。目

前實(shí)驗(yàn)艙中還有以下設(shè)備：刻度尺（量程30cm）、輕細(xì)線（1m左右無彈性）、秒表和足夠高

的固定支架。宇航員設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)，以完成本次登月的這項(xiàng)任務(wù)。（1）若已測(cè)得月球表面的重力加速度為g、月球的半徑為R以及萬

有引力常量G，請(qǐng)寫出月球質(zhì)量的表達(dá)式M＝

?。

（2）實(shí)驗(yàn)步驟如下：A.如圖，用細(xì)線將石塊系好，將細(xì)線的上端固定于O點(diǎn)；B.將石塊拉至一個(gè)大約5°的角度，然后由靜止釋放；C.從石塊擺到

（填“最低點(diǎn)”或“最高點(diǎn)”）開始計(jì)時(shí)，測(cè)出n次全振動(dòng)的總時(shí)間t1；D.縮短細(xì)線長(zhǎng)度，重復(fù)B、C步驟，得到總時(shí)間t2；最低點(diǎn)解析：為了減小誤差，應(yīng)從石塊擺到最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí)。（3）若細(xì)線縮短的長(zhǎng)度為Δl（Δl小于刻度尺量程），請(qǐng)用t1、t2以

及Δl寫出重力加速度表達(dá)式為g＝

?。

2.某同學(xué)做“用單擺測(cè)重力加速度”的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示，

在擺球的平衡位置處安放一個(gè)光電門，連接數(shù)字計(jì)時(shí)器，記錄小球

經(jīng)過光電門的次數(shù)。（1）下列說法中正確的是

?。A.測(cè)出擺球做一次全振動(dòng)的時(shí)間作為周期的測(cè)量值B.質(zhì)量相同的鐵球和軟木球，應(yīng)選用鐵球作為擺球C.可將擺球從平衡位置拉開一個(gè)任意角度然后釋放擺球D.可以選擇有彈性的細(xì)繩作為擺線B

（2）在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺測(cè)得從懸點(diǎn)至擺球

頂端的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，再用游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球直徑，結(jié)果如圖乙所

示，則擺球直徑d＝

cm；1.07解析：該游標(biāo)卡尺的游標(biāo)尺為10分度值，因此最小精度為0.1

mm，則讀數(shù)為d＝10mm＋0.1×7mm＝10.7mm＝1.07cm。（3）將擺球從平衡位置拉開一個(gè)合適的角度，靜止釋放擺球，擺

球在豎直平面內(nèi)穩(wěn)定擺動(dòng)后，啟動(dòng)數(shù)字計(jì)時(shí)器，擺球通過平

衡位置時(shí)從1開始計(jì)數(shù)，同時(shí)開始計(jì)時(shí)，當(dāng)擺球第n次（為大

于3的奇數(shù)）通過光電門時(shí)停止計(jì)時(shí)，記錄的時(shí)間為t，此單擺

的周期T＝

（用t、n表示），重力加速度的大小

為

（用L、d和T表示）；

（4）實(shí)驗(yàn)中該同學(xué)測(cè)得的重力加速度值經(jīng)查證明顯大于當(dāng)?shù)氐闹?/p>

力加速度值，下列原因可能的是

?。A.擺線上端未牢固地系于懸點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)過程中出現(xiàn)松動(dòng)，使擺線長(zhǎng)度增加了B.計(jì)算時(shí)用L＋d作為單擺的擺長(zhǎng)C.擺球的振幅偏小D.把n當(dāng)作單擺全振動(dòng)的次數(shù)BD解析：擺線上端未牢固地系于懸點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)過程中出現(xiàn)松動(dòng)，使

擺線長(zhǎng)度增加了，則實(shí)際所測(cè)擺線長(zhǎng)度偏小，所測(cè)重力加速

度將偏小，故A不符合題意；若計(jì)算重力加速度時(shí)用L＋d作為

單擺的擺長(zhǎng)，則擺長(zhǎng)比實(shí)際偏大，因此計(jì)算得到的重力加速

度值比實(shí)際偏大，故B符合題意；擺球的振幅偏小不影響重力

加速度的測(cè)量，故C不符合題意；若把n當(dāng)作單擺全振動(dòng)的次

數(shù)，則會(huì)導(dǎo)致測(cè)量周期偏小，從而導(dǎo)致所測(cè)重力加速度偏

大，故D符合題意。03聚焦“素養(yǎng)”·提能力巧學(xué)妙解應(yīng)用

1.小明同學(xué)利用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?2345（1）小明同學(xué)用10分度的游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球的直徑，如圖所示，

他測(cè)量的讀數(shù)應(yīng)該是

cm。接著他正確測(cè)量了擺線

長(zhǎng)，加上擺球半徑，得到了擺長(zhǎng)l。解析：10分度的游標(biāo)卡尺的精確度為0.1mm，測(cè)量的讀

數(shù)d＝18mm＋6×0.1mm＝18.6mm＝1.86cm。1.8612345（2）為了測(cè)定該單擺的振動(dòng)周期T，下列做法中正確的是

?。A.將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，從靜止釋放開始計(jì)時(shí)，小球第一

次回到釋放點(diǎn)停止計(jì)時(shí)B.將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，從靜止釋放開始計(jì)時(shí)，小球第30

次回到釋放點(diǎn)停止計(jì)時(shí)C.將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，從靜止釋放擺球，當(dāng)小球某次通

過最低點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，并同時(shí)數(shù)0，以后小球每次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，

他依次數(shù)為1、2、3…，數(shù)到60時(shí)停止計(jì)時(shí)，以這段時(shí)間除以30作

為周期D.將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，從靜止釋放擺球，當(dāng)小球某次向

右通過最低點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，并同時(shí)數(shù)30，以后小球每次向右經(jīng)過最

低點(diǎn)時(shí)，他依次計(jì)數(shù)為29、28、27…，數(shù)到0時(shí)停止計(jì)時(shí)，以這段

時(shí)間除以30作為周期CD12345

12345（3）他根據(jù)正確方法測(cè)出了擺長(zhǎng)l和周期T，計(jì)算當(dāng)?shù)氐闹亓铀?/p>

度的表達(dá)式為g＝

?。

12345（4）小明同學(xué)用上述方法測(cè)量重力加速度g，你認(rèn)為最需要改進(jìn)的

是

?

?。解析：最需要改進(jìn)的是應(yīng)改變擺長(zhǎng)多做幾次實(shí)驗(yàn)，測(cè)得

多個(gè)g值然后計(jì)算平均值。需要改變擺長(zhǎng)多做幾次實(shí)驗(yàn)，再取平均值作為實(shí)驗(yàn)結(jié)

果123452.某同學(xué)在學(xué)習(xí)完單擺的相關(guān)知識(shí)后，想要在家利用手邊的物品測(cè)量

本地的重力加速度。用不規(guī)則的鑰匙扣代替小球做成簡(jiǎn)易單擺裝

置，手機(jī)上的計(jì)時(shí)功能代替秒表，實(shí)驗(yàn)過程如下：（1）用家中軟尺測(cè)得懸掛點(diǎn)O到鑰匙扣連接處M的長(zhǎng)度為l；12345（2）拉開較小角度后將鑰匙扣由靜止釋放，并在鑰匙扣第1次通過

最低點(diǎn)按下計(jì)時(shí)“開始”按鈕，第N次通過最低點(diǎn)停止計(jì)時(shí)，

記錄手機(jī)上的時(shí)間為t，則單擺的周期T＝

?；

12345

12345（4）若該同學(xué)多次改變細(xì)線長(zhǎng)度得到多組數(shù)據(jù)，描點(diǎn)作出得到T2-l

圖像，得到的圖像可能是

?；

B12345（5）鑰匙扣的形狀不規(guī)則，對(duì)上述實(shí)驗(yàn)測(cè)得的重力加速度

?

（填“有”或者“無”）影響。解析：由（3）（4）數(shù)據(jù)處理分析可知，鑰匙扣的形狀不規(guī)則雖導(dǎo)致重心位置無法測(cè)量，但對(duì)重力加速度的測(cè)量無

影響。無123453.某實(shí)驗(yàn)小組用鐵架臺(tái)、長(zhǎng)約1m的細(xì)繩、直徑約為1cm的擺球、米

尺、位移傳感器、數(shù)據(jù)采集器和電腦等器材測(cè)量重力加速度。實(shí)驗(yàn)

過程如下：（1）用游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球直徑d，示數(shù)如圖甲所示，其示數(shù)

為

mm；10.20解析：游標(biāo)卡尺示數(shù)為d＝10mm＋4×0.05mm＝10.20mm。12345（2）按圖乙安裝實(shí)驗(yàn)裝置。當(dāng)擺球靜止時(shí)，測(cè)出擺長(zhǎng)L。將擺球拉

開一角度后釋放，擺球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移傳感器記錄擺球

擺動(dòng)過程中位移x隨時(shí)間t變化的關(guān)系，其中的一段圖像如圖丙

所示，則此單擺的周期T＝

s；1.6解析：由圖可知擺球振動(dòng)周期T＝1.6s。12345（3）改變擺長(zhǎng)，重復(fù)步驟（2），測(cè)得多組數(shù)據(jù)（L，T），利

用計(jì)算機(jī)作出T2-L圖像，根據(jù)圖像得到T2＝4.00L＋

0.013，則當(dāng)?shù)刂亓铀俣却笮間＝

m/s2；（結(jié)

果保留三位有效數(shù)字）9.86

12345（4）下列說法正確的是

（填選項(xiàng)前的字母）。A.選擇密度較小的擺球，測(cè)得的g值誤差較小B.把擺球從平衡位置拉開30°角后釋放，重復(fù)步驟（2），仍能測(cè)出單擺周期C12345

123454.某探究性實(shí)驗(yàn)小組用如圖1所示的實(shí)驗(yàn)裝置來測(cè)量重力加速度。他們將一個(gè)球形小磁鐵用細(xì)線懸掛起來構(gòu)成一個(gè)能在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)的單擺。在細(xì)線的懸掛點(diǎn)正下方放有一根與小磁鐵擺動(dòng)平面垂直的粗直導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒通過導(dǎo)線與電流傳感器一起構(gòu)成一個(gè)閉合回路。當(dāng)小磁鐵擺動(dòng)時(shí)，在回路中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，電流傳感器可以通過計(jì)算機(jī)記錄相應(yīng)的電流隨時(shí)間變化的圖像，如圖2所示。1234512345（1）小李同學(xué)用20分度的游標(biāo)卡尺測(cè)量球形小磁鐵的直徑，讀數(shù)

如圖3所示，則其直徑d＝

cm，小張同學(xué)用卷尺測(cè)得

細(xì)線懸掛點(diǎn)到與小磁鐵的連接點(diǎn)之間的長(zhǎng)度為l。解析：游標(biāo)卡尺分度值為0.05mm，球形小磁鐵的直徑

為d＝3mm＋6×0.05mm＝3.30mm＝0.330cm。0.33012345（2）圖2中圖線上（下）方標(biāo)出的數(shù)據(jù)分別表示的是感應(yīng)電流取極

值時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，由圖可知，小磁鐵擺動(dòng)的周期為T＝

?

s（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字），進(jìn)一步計(jì)算重力加速度g的表

達(dá)式為

（用題目所給的符號(hào)表示）。2.0

12345

123455.用單擺測(cè)量重力加速度實(shí)驗(yàn)中，（1）同學(xué)甲有如下操