專題06 狹義相對論版塊大綜合（競賽強基）真題考前訓(xùn)練 【高中物理競賽真題強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】 （全國競賽強基計劃專用）解析版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題06狹義相對論版塊大綜合（競賽強基）真題考前訓(xùn)練【高中物理競賽真題強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】（全國競賽強基計劃專用）一、單選題1．（2022·全國·高二競賽）質(zhì)子在加速器中被加速，當(dāng)其動能為靜止能量的4倍時，其質(zhì)量為靜止質(zhì)量的（）A．4倍 B．5倍 C．6倍 D．8倍【答案】B【詳解】由題意，根據(jù)質(zhì)能關(guān)系可知被加速后質(zhì)子的動能為解得故選B。2．（2022·全國·高二競賽）根據(jù)相對論力學(xué)，動能為0．25MeV的電子，其運動速度約等于（）A．0.1c B．0.5cC．0.75c D．0.85c【答案】C【詳解】電子的靜能，電子的動能為解得故選C。3．（2022春·天津河西·高二天津?qū)嶒炛袑W(xué)?？几傎悾┻呴L為a的正方形薄板靜止于慣性系K的Oxy平面內(nèi)，且兩邊分別與x，y軸平行。今有慣性系K＇以0.8c（c為真空中光速）的速度相對于K系沿x軸做勻速直線運動，則從K＇系測得薄板的面積為（）A．0.6a2B．0.8a2C．a(chǎn)2D．【答案】A【詳解】根據(jù)狹義相對論可知，正方形薄板x方向長度收縮，有y方向長度不變，則從系測得薄板的面積為故選A。4．（2014·全國·高三競賽）如圖所示的畫面是一手機瀏覽器的廣告，仔細觀察畫面我們會發(fā)現(xiàn)，畫面中不但人的頭發(fā)飛揚，而且其面部的肌肉也已經(jīng)變形，廣告創(chuàng)意者以此來向世人顯示該瀏覽器的瀏覽速度。若現(xiàn)實生活中真的出現(xiàn)這樣的情景，且在不考慮空氣阻力的情況下，則說明圖片中的人（）A．在垂直紙面向外的方向一定具有很大的速度B．在垂直紙面向里的方向一定具有很大的速度C．在垂直紙面向外的方向一定具有很大的加速度D．在垂直紙面向里的方向一定具有很大的加速度【答案】C【詳解】設(shè)面部質(zhì)元為m，加速度為a1，人的加速度為a2，質(zhì)元相對于人的加速度為a12.以人為參考系由圖可知面部受力為F，垂直紙面向外，，可知。則人在垂直紙面向外的方向一定具有很大的加速度，故C正確。故選C。5．（2022·全國·高三強基計劃）固定在S系的x軸上的兩只同步鐘A，B相距，固定在系的軸上的兩只同步鐘為，，如圖所示。系以的速度沿x軸正向運動。在某一時刻，在S系中觀察A與鐘、B與鐘同時相遇，且此時A與鐘同時指零。在與B鐘相遇時，在S系中觀察到和B鐘的示值；在與B鐘相遇時，在系中觀察到A和鐘的示值分別為（）A．（0.133s），B（0.167s）；A（0.107s），（0.133s）B．（0.133s），B（0.107s）；A（0.167s），（0.133s）C．（0.167s），B（0.133s）；A（0.133s），（0.107s）D．（0.107s），B（0.133s）；A（0.133s），（0.167s）【答案】A【詳解】在S系中觀察，移動距離B鐘轉(zhuǎn)過的時間為在系中移動的距離鐘的時間為在系中觀察，B鐘的移動距離為，則鐘的示數(shù)為在與B鐘相遇的同時，A，B兩種示值之差為，滿足其中求得故選A。二、填空題6．（2022·全國·高二競賽）有一速度為的宇宙飛船沿軸的正方向飛行，飛船頭尾各有一個脈沖光源在工作，處于船尾的觀察者測得船頭光源發(fā)出的光脈沖的傳播速度大小為___________；處于船頭的觀察者測得船尾光源發(fā)出的光脈沖的傳播速度大小為___________?！敬鸢浮?/p>

c

c【詳解】[1]根據(jù)光速不變可知處于船尾的觀察者測得船頭光源發(fā)出的光脈沖的傳播速度大小為；[2]同理可知處于船頭的觀察者測得船尾光源發(fā)出的光脈沖的傳播速度大小為。7．（2022春·天津河西·高二天津?qū)嶒炛袑W(xué)競賽）在速度___________情況下粒子的動能等于它的靜止能量。【答案】【詳解】粒子的總能量為靜能和動能之和，因此因此可知聯(lián)立可得8．（2022·全國·高二競賽）在一汽泡室中，磁場為20T，一高能質(zhì)子垂直于磁場飛過時留下一半徑為3.5m的圓弧軌跡。該質(zhì)子的動量大小p=____________kg?m/s，能量E=__________J，或E=_________eV?！敬鸢浮?/p>

1.121017

3.36109

2.11010【詳解】[1]根據(jù)牛頓第二定律有根據(jù)動量的定義有聯(lián)立以上兩式可得質(zhì)子的動量大小為[2][3]若不考慮相對論效應(yīng)，則質(zhì)子的能量為而質(zhì)子的靜止能量為因為，所以必須考慮相對論效應(yīng)，根據(jù)相對論動量與能量關(guān)系可得該質(zhì)子的能量為三、解答題9．（2022春·天津·高二天津?qū)嶒炛袑W(xué)競賽）已知粒子在一維矩形無限深勢阱中運動，其波函數(shù)為：（），則粒子在處出現(xiàn)的概率為多少？【答案】【詳解】一維粒子在區(qū)間內(nèi)的概率密度函數(shù)為帶入解得10．（2022春·天津河西·高二天津?qū)嶒炛袑W(xué)競賽）經(jīng)典的力學(xué)相對性原理與狹義相對論的相對性原理有何不同？【答案】見解析【詳解】經(jīng)典力學(xué)相對性原理只適用于描述機械運動的力學(xué)規(guī)律，采用的是各慣性系不變的絕對時空觀，推導(dǎo)出的是伽利略變換，可以保證機械力學(xué)規(guī)律的坐標(biāo)變換不變性，但不能保證電磁運動規(guī)律的坐標(biāo)變換不變性，所以本質(zhì)上只適用于低速力學(xué)現(xiàn)象。狹義相對論的相對性原理適用于包括力學(xué)規(guī)律和電磁規(guī)律在內(nèi)的一切物理定律，采用的是各慣性系不同的相對時空觀，推導(dǎo)出的是相對論變換，不但可以保證機械力學(xué)規(guī)律的坐標(biāo)變換不變性，還能保證電磁運動規(guī)律的坐標(biāo)變換不變性，所以本質(zhì)上即適用于低速力學(xué)現(xiàn)象也適用于高速現(xiàn)象。11．（2019·全國·高三競賽）靜長同為三艘飛船，在慣性系S的時刻，相對S系的空間位置和沿x軸勻速度運動的速度分布如圖所示．具體而言，三個飛船在S系中沿一直線航行，時刻，飛船1，2，3頭部各自位于圖示，，位置，飛船1，2，3分別將自己頭部時鐘撥到本系內(nèi)的時間零點．（注意，S系認(rèn)為飛船1，2，3頭部時鐘同時撥到零點，但飛船1，2，3并不認(rèn)為它們彼此也是同時將各自頭部時鐘撥到零點）設(shè)此時，即S系時刻，飛船1頭部天線朝右發(fā)出無線電信號；在飛船2參考系中此信號被其尾部天線接收的同時，恰好其頭部天線朝右發(fā)出無線電信號；在飛船3參考系中此信號被其尾部天線接收的時刻記為，試求之．【答案】【詳解】S系中，飛船1頭部天線發(fā)出信號的時空坐標(biāo)為（，）．飛船2尾部天線接收信號的時空坐標(biāo)為（，），有（）．飛船2頭部天線發(fā)出信號的時空坐標(biāo)為（，），有，．（飛船2自測尾部接收信號到頭部發(fā)出信號所得時間差為零）．（飛船2自測尾部接收信號到頭部發(fā)出信號的空間間距為）．．飛船3尾部天線收信號的空時坐標(biāo)為（，），有．飛船3頭部天線發(fā)出無線電信號的時空坐標(biāo)為（，），有，，，．飛船3參考系中測得的其頭部天線發(fā)出無線電信號的時刻的確定：飛船3參考系頭部用同一個時鐘測得從開始到其頭部發(fā)出信號全過程的時間間隔，即；同一過程S系用兩個靜止的時鐘測得時間，即．故有．飛船3參考系中測得的其尾部天線發(fā)出無線電信號的時刻的確定：因，即得．【點睛】此題主要考查的是洛侖茲變換，同時也考查時間膨脹。因過程較為復(fù)雜，需要多次用到變換，因此很容易出錯。對于這種題，一定要跟著過程走，不要有跳躍的思維．最后用飛船3頭部的時間代替尾部的時間，是此解答的巧妙之處，可以避開洛侖茲變換。這種題目在最后也應(yīng)檢查量綱，尤其是c不要漏掉。12．（2019·全國·高三競賽）試計算相對論粒子的“縱向質(zhì)量”和“橫向質(zhì)量”.“縱向質(zhì)量”是指在作用力與運動方向平行時力與粒子的加速度之比，“橫向質(zhì)量”是指力與運動方向垂直時力與加速度之比【答案】縱向質(zhì)量，橫向質(zhì)量【詳解】已知相對論粒子的質(zhì)量，其牛頓定律的表達式為，其中，為粒子的靜止質(zhì)量.即.當(dāng)力與運動方向平行時，，有，所以，.所以，縱向質(zhì)量.當(dāng)力與運動方向垂直時，，則，所以，橫向質(zhì)量.將我們所熟悉的經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律用于相對論條件下時，應(yīng)注意到相應(yīng)的變化，如牛頓定律中，在經(jīng)典力學(xué)下，力的方向與加速度的方向是一致的，但在相對論條件下，力的方向與加速度的方向一般是不在一個方向上的.另外，在一般的教材上難以找到“縱向質(zhì)量”與“橫向質(zhì)量”這類概念，而在考試場上遇到這類不熟悉的概念時，應(yīng)認(rèn)真分析題目對概念含義的論述，不可想當(dāng)然地進行處理，否則是前功盡棄.13．（2019·全國·高三競賽）兩束動能均為T的質(zhì)子迎頭碰撞的反應(yīng)與多大動能的單束質(zhì)子跟靜止的質(zhì)子碰撞時的反應(yīng)相同？【答案】【詳解】考慮迎頭碰撞的兩個粒子組成的系統(tǒng)，是洛侖茲變換下的不變量.對于實驗室參考系，有，.其中為粒子的靜止質(zhì)量.考慮其中一個質(zhì)子為靜止的參考系，這個粒子的能量為，動量為零，另一個粒子能量為，動量為，系統(tǒng)能量為，動量為.所述不變量給出關(guān)系.由粒子的能量、動量間的關(guān)系，有.兩式消去，可解出.這個運動粒子的動能應(yīng)為14．（2022·全國·高三競賽）一個相對于彼此間距固定不變的星體系統(tǒng)為靜止的觀察者看到一個各向同性的星體分布。對任意立體角元有，現(xiàn)在考慮另一個以恒定加速度（相對其瞬時慣性參照系）運動的觀察者，假如他在時刻相對于固定的觀察者靜止并開始運動。試確定在時刻的星系分布為（此處為運動觀察者自身的時間）【答案】【詳解】由題意其中為地面系中的速度，因此即由，可以將時間轉(zhuǎn)換為運動觀察者自己的時間即代入速度的表達式得由行星數(shù)是洛倫茲不變量即由光子動量的洛倫茲變換，易得角度的變換為因此故15．（2019·全國·高三競賽）我國著名物理學(xué)家、曾任浙江大學(xué)物理系主任的王淦昌先生早在1941年就發(fā)表論文，提出了一種探測中微子的方案：原子核可以俘獲原子的K層電子而成為的激發(fā)態(tài)，并放出中微子（當(dāng)時寫作）：而又可以放出光子而回到基態(tài)：由于中微子本身很難直接觀測，通過對上述過程相關(guān)物理量的測量，就可以確定中微子的存在，1942年起，美國物理學(xué)家艾倫（R．Davis）等人根據(jù)王淦昌方案先后進行了實驗，初步證實了中微子的存在．1953年美國人萊因斯（F．Reines）在實驗中首次發(fā)現(xiàn)了中微子，萊因斯與發(fā)現(xiàn)輕子的美國物理學(xué)家佩爾（M．L．Perl）分享了1995年諾貝爾物理學(xué)獎．現(xiàn)用王淦昌的方案來估算中微子的質(zhì)量和動量．若實驗中測得鋰核（）反沖能量（即的動能）的最大值，光子的能量．已知有關(guān)原子核和電子靜止能量的數(shù)據(jù)為；；．設(shè)在第一個過程中，核是靜止的，K層電子的動能也可忽略不計．試由以上數(shù)據(jù)，算出的中微子的動能和靜止質(zhì)量各為多少？【答案】，不能確定中微子的靜止質(zhì)量．如果有，其質(zhì)量一定小于．【詳解】根據(jù)題意，核和K層電子的動量都為零，在第一個反應(yīng)中，若用表示激發(fā)態(tài)鋰核的動量，表示中微子的動量，則由動量守恒定律有．即激發(fā)態(tài)鋰核的動量與中微子的動量大小相等，方向相反．在第二個反應(yīng)中，若用表示反沖鋰核的動量，表示光子的動量，則由動量守恒定律有．由此得．當(dāng)鋰核的反沖動量辦最大時，其反沖能量也最大．由上式可知，當(dāng)中微子的動量與光子的動量同方向時，鋰核的反沖動量最大．注意到光子的動量為，有．由于鋰核的反沖能量比鋰核的靜能小得多，鋰核的動能與其動量的關(guān)系不必用相對論關(guān)系表示，這時有．由此得．代入有關(guān)數(shù)據(jù)得用表示中微子的能量，根據(jù)相對論有．根據(jù)能量守恒定律有．由此得由上式和已知數(shù)據(jù)得．由此可知，所算出的中微子靜止質(zhì)量的數(shù)值在題給數(shù)據(jù)的誤差范圍之內(nèi)，故不能確定中微子的靜止質(zhì)量．如果有，其質(zhì)量一定小于．16．（2019·全國·高三競賽）（1）在經(jīng)典的氫原子模型中，電子圍繞原子核做圓周運動，電子的向心力來自于核電場的作用.可是，經(jīng)典的電磁理論表明，電子做加速運動會發(fā)射電磁波，其發(fā)射功率可表示為（拉莫爾公式）：，其中為電子的加速度，為真空光速，，電子電荷量絕對值.若不考慮相對論效應(yīng)，試估計在經(jīng)典模型中氫原子的壽命.（實驗測得氫原子的結(jié)合能是，電子的靜止質(zhì)量）（2）帶電粒子加速后發(fā)射的電磁波也有重要的應(yīng)用價值.當(dāng)代科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛的同步輻射即是由以接近光速運動的電子在磁場中做曲線運動改變運動方向時所產(chǎn)生的電磁輻射.電子存儲環(huán)是同步輻射光源裝置的核心，存儲環(huán)中的電子束團通過偏轉(zhuǎn)磁鐵等裝置產(chǎn)生高性能的同步輻射光.上海光源是近年來建成的第三代同步輻射光源，它的部分工作參數(shù)如下：環(huán)內(nèi)電子能量，電子束電流強度，周長，單元數(shù)（裝有偏轉(zhuǎn)磁鐵的彎道數(shù)量），偏轉(zhuǎn)磁鐵磁場的磁感應(yīng)強度.試計算該設(shè)備平均每個光口的輻射總功率.（在電子接近光速時，若動量不變，牛頓第二定律仍然成立，但拉莫爾公式不再適用，相應(yīng)的公式變化為，其中，為電子總能量，為電子的靜止能量）（3）由于存儲環(huán)內(nèi)電子的速度接近光速，所以同步輻射是一個沿電子軌道的切線方向的光錐，光錐的半頂角為，由此可見電子的能量越高，方向性越好.試計算：上述設(shè)備在輻射方向上某點接收到的單個電子產(chǎn)生的輻射持續(xù)時間.（本題結(jié)果均請以三位有效數(shù)字表示）【答案】（1）（2）（3）．【詳解】（1）經(jīng)典的氫原子模型中，電子圍繞原子核做圓周運動，有下列關(guān)系式存在：，，.電子的總能量為.由此可推得電子的總能量為.由條件推導(dǎo)出氫原子的軌道半徑和運動速度分別為，.由拉莫爾公式得初始發(fā)射功率為.在微小的時間間隔中，輻射使電子的總能量減少，，其中為電子軌道半徑的減少量.由此可導(dǎo)出時間和半徑的變化方程：，其中.構(gòu)造一個半徑為的球體，則即為距離球心為的薄球殼的體積，在到0的求和過程中可以算出球的體積為.對應(yīng)本題情況解出電子軌道從減少到0所需的時間為.代入數(shù)據(jù)，得：.（2）對于高能電子，可認(rèn)為電子運動的速度接近光速，即有如下各式：，，，，.以上條件可以得出電子的偏轉(zhuǎn)半徑：.儲存環(huán)中的電子數(shù)量：，其中為電子旋轉(zhuǎn)一圈所花費的時間.由上述式子及輻射條件可得每個電子每圈損失的總能量為（電子在直道上不輻射能量）：.由此得到存儲環(huán)中電子消耗的總功率為.每個光口的功率為.（3）在電子軌道上某點的切線方向上的某一點處觀察，觀察者只能在一個很短時間間隔內(nèi)看到電子發(fā)出的輻射，這段時間是電子的速度方向改變圓錐頂角（即）的角度所對應(yīng)的光到達接收位置的時間間隔.如圖所示，在這段時間內(nèi)電子移動的距離為.令，則電子在這兩點發(fā)出的輻射時間間隔為.但在軌道的切線方向上觀察，上述時間還要扣除點發(fā)射出的光到達點位置所花費的時間，則.又，結(jié)合可得，代入式得到.代入數(shù)據(jù)得：.本題是第26屆全國中學(xué)學(xué)生物理競賽決賽試題.本題涉及的知識點很多，信息量比較大，結(jié)合程度也很高.問題（1）再現(xiàn)了人類認(rèn)識原子結(jié)構(gòu)在某個特定的歷史時期的局限，氫原子的壽命如此之短，讓大眾認(rèn)識到理論與模型上的缺陷，進而也催生了玻爾的原子理論.問題（2）與問題（3）一方面考查了答題者對信息的處理與應(yīng)用的能力，另一方面也考查了答題者綜合運用相對論知識的情況，設(shè)計相對論的時空效應(yīng)、相對論能量等知識內(nèi)容.另外，解答過程中關(guān)于的運算也是應(yīng)引起大家注意的，閱讀時不要一晃而過，先試一試，便知這一運算并不容易，更不要產(chǎn)生這是“湊”答案的思維，從而忽視了科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.17．（2019·全國·高三競賽）如圖所示，有一均勻帶負(fù)電的正方形絕緣線框，每邊邊長為，線框上串有許多帶正電的小球（看成質(zhì)點），每個小球的帶電量為，每邊的總帶電量為零（即線框的帶電量和各小球的帶電量互相抵消）.今各小球相對線框以速率沿絕緣線做勻速運動，在線框參考系中測得相鄰兩小球的間距為，線框又沿邊以速率在自身平面內(nèi)相對系做勻速運動.在線框范圍內(nèi)存在一均勻電場，其方向與線框平面的傾角為.考慮相對論效應(yīng)，試在系中計算以下各量.（1）線框各邊上相鄰兩小球的間距，，，（2）線框各邊的凈電量，，，（3）線框和小球系統(tǒng)所受的電力矩大小（4）線框和小球系統(tǒng)的電勢能.【答案】（1）

（2）

（3）（4）【詳解】（1）令為觀察到的環(huán)路以速度運動的實驗室參照系，為環(huán)路參照系（系的軸與同向，沿著邊的方向，軸則垂直于環(huán)路所在平面）.系各軸平行于系各對應(yīng)軸，與系的坐標(biāo)原點在時重合.（a）邊建立與邊上的小球一起運動的參照系，它的各坐標(biāo)軸與，系的坐標(biāo)軸平行.相對具有速度.據(jù)洛倫茲收縮，測得的邊上相鄰兩個小球之間的距離為.

①（只要是在相對小球靜止的參照系中測得的相鄰兩球間距，上式對任何一條邊均成立）據(jù)相對論速度求和公式，系中的觀察者認(rèn)為邊上各球具有的速度為.

②再據(jù)洛倫茲收縮，此觀察者將測得邊上相鄰兩球的間距為.

③將①②式代入到③式，可得.

④（b）邊對系中的觀察者而言，邊上小球的速度為.

⑤再據(jù)洛倫茲收縮有.

⑥將①⑤式代入到⑥式，便得.

⑦（c）邊在系中，令邊上的某一小球在時刻位于處.在同一時刻，鄰近的一個小球應(yīng)位于，，處.各球相對于系的空——時坐標(biāo)可由洛倫茲變換式給出；，；.

⑧據(jù)此，第一個小球在系中有；，；.

⑨第二個小球則為；，；.

⑩由于，系中這兩個小球之間的距離便為，

?即得.

?（4）邊重復(fù)上述相似的結(jié)論，可得.

?

（其實，由于，邊與垂直，無洛倫茲收縮，故）（2）在環(huán)路參照系中，每一條邊線上的電荷量為.

?在此已考慮到為各邊上的小球數(shù).由于電荷是運動不變量，在實驗室參照系中測得的各邊線電荷量也為此值.（a）邊在實驗室參照系中，邊上各球電荷量之和為.

?此式系由邊上小球數(shù)乘以每一小球電荷量（運動不變量）來獲得.?式右邊第一項中的分子為系中觀察者測得的運動收縮邊長，分母則為相鄰小球的間距.將④式代入到?式中，可得.

?將?式和式?相加，便得邊上總電荷量為.

?（b）邊用相同的方法可得.

?將?和式?式相加，可得.

?（c）邊和邊在系中觀察者測得這兩條邊的邊長均為，相鄰兩球的間距也均為，因此.

?將?和?式相加，可得，

（21.1）.

（21.2）（3）作用在邊上的電場力為.

?作用在邊上的電場力為.

?與形成一力偶.據(jù)力偶的力矩表達式，可得（參見圖1）.

?最后可表達成.

?（4）顯然，線框上與兩邊上的電荷的總電勢能為零，或者不予考慮.令和分別為邊上各點和邊上各點的靜電勢（指場強為的外電場的電勢），那么有.

?將電勢零位（）選在與垂直的一個平面上，此平面與邊的間距為某一任意量（見圖2），于是.

?但，故.

?將?式代入到?式，便得.

?本題是第22屆國際物理奧林匹克競賽試題.首先，對于運動的系統(tǒng)，在考慮相對論效應(yīng)時，不同的參照系間的時空會發(fā)生變化，物體的質(zhì)量也要發(fā)生變化，但電量卻是不變的.其次，不要糾結(jié)于為什么在線框系中各邊的總電量為零，而到了實驗室參照系中各邊的總電量就不為零了.因為對于邊線而言，它在線框系中是靜止的，在實驗室系看來，其上的電荷分布是與線框在一起的，因而，線框上的電量不會變化，但小球是運動的，在實驗室系中看，雖然每個球上的電量是不變的，但每個邊上的小球數(shù)量并不相同，于是有了解答中的結(jié)果.再次，本題也提示我們在學(xué)習(xí)相對論知識的過程中，應(yīng)該注意到哪些是與參照系相關(guān)的量，哪些是與參照系無關(guān)的不變量.最后，本題所要求的量很多，上面的解答也為我們提供了一個很好的程序法的示例：將問題逐個排序解決，從而保證了解答過程的清晰明了，避免出現(xiàn)疏漏及錯誤.18．（2019·全國·高三競賽）假設(shè)電磁作用理論在所有慣性系都成立，慣性系、間的相對運動關(guān)系如圖1所示開始時系測得全空間有不隨時間變化的電磁作用場為，，為軸方向上的單位矢量．在系中放一塊原不帶電的長方導(dǎo)體平板，與軸、軸平行的兩條直邊足夠長（分別可模型化為無限長），與軸平行的直邊較短．今如圖2所示，令導(dǎo)體板以勻速度相對系沿軸方向運動，在其上、下表面上分別累積正、負(fù)電荷，穩(wěn)定時電荷面密度分別記為常量和．將空間分為導(dǎo)體板上方區(qū)域、導(dǎo)體板內(nèi)區(qū)域和導(dǎo)體板下方區(qū)域（1）在系中求解以及上述三區(qū)域內(nèi)的電磁作用場強度量、、和、、（2）此導(dǎo)體板相對系靜止，如果已經(jīng)認(rèn)知：（i）系測得的導(dǎo)體板沿軸方向的線度是系測得的沿軸方向線度的倍，導(dǎo)體板在系沿軸、軸方向的線度與在系沿軸、軸方向的線度相同（ii）系測得導(dǎo)體板上、下表面電荷均勻分布，電荷總量為，則系測得導(dǎo)體板上、下表面電荷也是均勻分布，電荷總量也為（iii）系中一個靜止質(zhì)點，在系中必沿軸反方向以速率運動；系中一個運動質(zhì)點若沿軸（或軸）方向分速度為零，則在系中沿軸（或軸）方向分速度也為零①試求系三區(qū)域內(nèi)的電場強度、、（答案中不可包含）②再求系三區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強度、、（答案中不可包含）③用所得結(jié)果糾正下述手抄相對論電磁場變換公式時出現(xiàn)的錯誤．，，，，，【答案】(1)進而可得，;電場分布則為，(2)

見解析【詳解】（1）穩(wěn)定時，系中導(dǎo)體板上表面電荷運動形成沿軸方向的面電流，電流線密度大小為．下表面電荷運動形成沿軸負(fù)方向的面電流，電流線密度大小為．據(jù)磁場安培環(huán)路定理，這兩個反向面電流在導(dǎo)體板上、下方區(qū)域和板內(nèi)區(qū)域形成的附加磁場分別為，．全空間磁場分布便為，．導(dǎo)體板上、下表面電荷在空間形成的附加電場為，，為軸方向上的單位矢量．全空間電場分布為，．導(dǎo)體板內(nèi)微觀帶點粒子受力平衡，有，．又，所以，．進而可得，．電場分布則為，．（2）系中導(dǎo)體板上表面面積和總電荷量記為和，系中對應(yīng)量分別記為和，則有，．系中電荷面密度便為，所以，．此電荷在系全空間形成附加電場為，．①電荷只能來源于原靜電場產(chǎn)生的靜電感應(yīng)，又因?qū)w板無論開始時放在系中沿軸上、下方何處均有電荷積累，故系中必有分布于全空間的原勻強電場，即有，便得，．（在系中，導(dǎo)體板垂直于、軸方向的側(cè)面上無面電荷分布，也可用來說明必沿軸方向）②、求解

考慮系中導(dǎo)體板上方（或下方）初始沿軸方向運動的帶電質(zhì)點，因受洛侖茲力，將做平面上的勻速圓周運動（此處及如下討論中均不考慮重力場的存在）．按照題文中的說明，該帶電質(zhì)點在系中不會出現(xiàn)沿軸方向的分運動及運動趨勢．又因為系中該帶電質(zhì)點所受電場力沿軸方向，故磁場力不會出現(xiàn)軸方向分量，即不存在分量．考慮系中導(dǎo)體板上方（或下方）帶電為的初始靜止質(zhì)點，因受力為零，故將保持靜止?fàn)顟B(tài)．該質(zhì)點在系中必沿軸負(fù)方向勻速運動，不存在沿軸方向的分運動及運動趨勢，故磁場力不會出現(xiàn)軸方向分量，即不存在分量．如上結(jié)論可判斷：沿軸方向．此外，該質(zhì)點在系中受力平衡，即向下的磁場力與向上的電場力之和必定為零，應(yīng)有（或）（或），得．的求解．系中導(dǎo)體板上、下表面電荷靜止，沒有相對系的面電流．據(jù)磁場安培環(huán)路定理，得．③下面驗證相對論電作用場變化公式的“手抄版”．可由系：，，，，，得到：，，．比較可知與前面所得的不符．，（＋、－號之誤未影響此結(jié)果），．，與前面所得的一致．因此，“手抄版”中表達式有誤，應(yīng)糾正為．由系：，，，，，得到系：，，（表達式已被糾正）．與前面所得結(jié)論一致．，，．則與前面所得不符，因此，“手抄版”中表達式有誤，應(yīng)糾正為．附注：系中若在導(dǎo)體板內(nèi)區(qū)域放一個相對系靜止的帶電量為的粒子，它不受磁場力，僅受電場力為．在系該質(zhì)點沿軸反方向勻速運動，受力，．與相對論力變換公式一致19．（2022·全國·高三競賽）考慮質(zhì)量為的非相對論性粒子在勢場中的一維運動。（1.1）若，其中，證明具有非零能量的粒子總會在有限時間內(nèi)到達無窮遠處。（1.2）若有下界，證明粒子不能在有限時間內(nèi)到達無窮遠處?！敬鸢浮浚?.1）見解析；（1.2）見解析【詳解】（1.1）Proof.顯然原問題等價為證明收斂（給出這一等價命題可得一半分）令則有現(xiàn)在分別處理和，首先處理，注意到，當(dāng)時，有因此由比較審斂法知收斂。再處理，注意到，當(dāng)時，有因此由比較審斂法知收斂。因此收斂，從而任意具有非零能量的粒子都會在有限時間內(nèi)到達無窮遠。推廣：對于，勢場中具有非零能量的粒子能在有限時間內(nèi)到達無窮遠處，當(dāng)且僅當(dāng)Proof.問題等價于證明收斂，當(dāng)且僅當(dāng)置換元，則有其中是beta函數(shù)，注意到在宗量的實部趨于時beta函數(shù)趨于正無窮，可以得到積分收斂的條件（1.2）Proof.設(shè)有下界，則具有能量的粒子在時間內(nèi)的位移大小這在有限時不可能為無窮大量。20．（2020·全國·高三競賽）星際飛行器甲、乙、丙如圖所示：在慣性系E（坐標(biāo)系O-xy）中觀測到飛行器甲和乙在同一直線上朝y軸負(fù)方向勻速飛行，飛行器丙在另一直線上朝y軸正方向勻速飛行：兩條飛行直線相互平行，相距d。三艘飛行器的速度在慣性系中分別為、、（是沿y軸正方向的單位矢量），圖中飛行器旁的箭頭表示其飛行速度的方向。假設(shè)飛行器甲、乙、丙的尺寸遠小于d。(1)某時刻，飛行器甲向乙發(fā)射一個光信號，乙收到該信號后立即將其反射回甲。據(jù)甲上的原子鐘讀數(shù)，該光信號從發(fā)出到返回共經(jīng)歷了時間（Δt光信號）甲=T。試求分別從慣性系和乙上的觀測者來看，光信號從甲發(fā)出到返回甲，所經(jīng)歷的時間各是多少？從甲上的觀測者來看，從甲收到返回的光信號到甲追上乙需要多少時間？(2)當(dāng)飛行器甲和丙在慣性系S中相距最近時，從甲發(fā)射一個小貨物（質(zhì)量遠小于飛行器的質(zhì)量，尺寸可忽略），小貨物在慣性系中的速度大小為。為了讓丙能接收到該貨物，從甲上的觀測者來看，該貨物發(fā)射速度的大小和方向是多少？從乙上的觀測者來看，貨物從甲發(fā)射到被丙接收所需時間（Δt貨）乙是多少？【答案】(1)；(2)【詳解】(1)光信號從飛行器甲發(fā)出到返回甲，從慣性系中的觀測者來看，所需時間為根據(jù)狹義相對論速度合成法則，飛行器甲相對于飛行器乙的速度為式中，最后的等號右邊的負(fù)號表示