信號(hào)與系統(tǒng) 課件 朱剛 第4-7章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析-離散時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

信號(hào)與系統(tǒng)第四章

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析主要內(nèi)容

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析引言123拉普拉斯變換系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)45系統(tǒng)的方框圖和信號(hào)流圖主要內(nèi)容

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析引言123拉普拉斯變換系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)45系統(tǒng)的方框圖和信號(hào)流圖4.1

引言在第三章中，我們學(xué)習(xí)了傅里葉級(jí)數(shù)、傅

里葉變換和頻域分析，并引入了信號(hào)頻譜和系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念，具有清晰的物理含義。信心·恒心·責(zé)任心4.1

引言在第三章中，我們學(xué)習(xí)了傅里葉級(jí)數(shù)、傅

里葉變換和頻域分析，并引入了信號(hào)頻譜和系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念，具有清晰的物理含義。然而，如果函數(shù)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，那么它的傅里葉變換不一定存在。信心·恒心·責(zé)任心4.1

引言在本章中，我們將傅里葉變換從頻域推廣到復(fù)頻域，建立在此基礎(chǔ)上的系統(tǒng)分析方法稱(chēng)為復(fù)頻域分析。信心·恒心·責(zé)任心主要內(nèi)容

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析引言123拉普拉斯變換系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)4系統(tǒng)的方框圖和信號(hào)流圖5信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換拉普拉斯變換在數(shù)學(xué)中是從積分變換的觀點(diǎn)定義的，是求解線(xiàn)性微分方程的有效數(shù)學(xué)工具。下面，我們將從信號(hào)分析的角度出發(fā)，有傅里葉變換推廣到拉普拉斯變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換函數(shù)

若不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，往往是由于隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，函數(shù)不衰減造成的。為此，如果乘上一個(gè)“衰減因子”

，則構(gòu)成的新函數(shù)

就可能符合絕對(duì)可積條件。信心·恒心·責(zé)任心· ·4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換函數(shù)

若不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，往往是由于隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，函數(shù)不衰減造成的。為此，如果乘上一個(gè)“衰減因子”

，則構(gòu)成的新函數(shù)

就可能符合絕對(duì)可積條件。假如這個(gè)因子乘得合適，則 絕對(duì)可積，從而信心

恒心

責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換令，顯然上式積分的結(jié)果就是s的函數(shù)，于是有：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換令，顯然上式積分的結(jié)果就是s的函數(shù)，于是有：反之，我們有：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換由于 ，從而 ，可得：這樣就得到了雙邊拉普拉斯變換和雙邊拉普拉斯反變換：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換在實(shí)際的系統(tǒng)分析中，更常用的是單邊拉普拉斯變換，定義為：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換可以看出，單邊拉普拉斯變換與雙邊拉普拉斯變換的區(qū)別僅僅在于兩者積分下限的不同。原因在于，實(shí)際中物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)是因果的，加入到系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)通常也是有始的，即

時(shí)

。當(dāng)，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換一、雙邊拉氏變換和單邊拉氏變換函數(shù) 與 是一對(duì)拉普拉斯變換對(duì)，它們是同一信號(hào)在時(shí)域和復(fù)頻域的不同表示，且兩者是一一對(duì)應(yīng)的：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域函數(shù) 是否可積，要看取得是否合適。拉普拉斯變換的收斂域是指使?jié)M足絕對(duì)可積的

的取值范圍。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域函數(shù) 是否可積，要看取得是否合適。拉普拉斯變換的收斂域是指使?jié)M足絕對(duì)可積的

的取值范圍。例如，，當(dāng)

取不同值時(shí)，函數(shù)是否滿(mǎn)足絕對(duì)可積也會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足絕對(duì)可積，因此，該函數(shù)拉普拉斯變換的收斂域?yàn)?。信心·恒心·?zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域這個(gè)區(qū)域可更為直觀地在一個(gè)稱(chēng)為s平面的復(fù)平面中表示出來(lái)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域這個(gè)區(qū)域可更為直觀地在一個(gè)稱(chēng)為s平面的復(fù)平面中表示出來(lái)：收斂軸信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域這個(gè)區(qū)域可更為直觀地在一個(gè)稱(chēng)為s平面的復(fù)平面中表示出來(lái)：收斂軸收斂坐標(biāo)信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域例4.1：求下列函數(shù)的拉普拉斯變換及其收斂域：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（1），只要 ，即可保證本身就滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，因此絕對(duì)可積。收斂域可分為三種情況：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（1）這個(gè)函數(shù)是持續(xù)時(shí)間有限的信號(hào)，它的收斂域幾乎是整個(gè)s平面，三種情況的主要區(qū)別在于收斂域是否包含負(fù)無(wú)窮和正無(wú)窮。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（2）這個(gè)函數(shù)是一個(gè)有始信號(hào)，或稱(chēng)右邊信號(hào)，它的收斂域位于收斂軸的右邊。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（2）信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（3）這個(gè)函數(shù)是一個(gè)左邊信號(hào)，它的收斂域位于收斂軸的左邊。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（3）信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（4）參數(shù)需滿(mǎn)足，否則就沒(méi)有收斂域，其拉普拉斯變換也就不存在。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域解：（4）信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域使得 的點(diǎn)稱(chēng)為極點(diǎn)，如果是一個(gè)有理分式，那么極點(diǎn)就是分母多項(xiàng)式的根。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域使得 的點(diǎn)稱(chēng)為極點(diǎn)，如果是一個(gè)有理分式，那么極點(diǎn)就是分母多項(xiàng)式的根。

只有在它的收斂域內(nèi)才有意義，在收斂域外是沒(méi)有意義的。因此，在收斂域中不應(yīng)該包含極點(diǎn)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域嚴(yán)格地說(shuō)，給出一個(gè)函數(shù)的拉普拉斯變換，必須同時(shí)給出它的收斂域。但是，在系統(tǒng)分析中，通常只用單邊拉普拉斯變換，單邊拉普拉斯變換的收斂域比較簡(jiǎn)單，總是在收斂軸的右邊。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域下面，總結(jié)單邊拉普拉斯變換的收斂域如下：1、對(duì)于持續(xù)時(shí)間有限且絕對(duì)可積的函數(shù)，其拉普拉斯變換的收斂域是幾乎整個(gè)s平面；2、單邊拉普拉斯變換的收斂域總是在收斂軸的右邊；3、在收斂域中不包含極點(diǎn)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換的收斂域課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換三、拉普拉斯變換的物理意義與傅里葉變換類(lèi)似，將改寫(xiě)為：上式表明，拉普拉斯變換是將信號(hào)在s平面沿收斂域中 的路徑分解成無(wú)窮多的分量，這些分量的系數(shù)即 。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換三、拉普拉斯變換的物理意義而傅里葉變換則是沿虛軸的分解與合成，如下圖所示：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換三、拉普拉斯變換的物理意義因此，傅里葉變換是拉普拉斯變換的特

例，即

時(shí)的拉普拉斯變換，或虛軸上的拉普拉斯變換。，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換三、拉普拉斯變換的物理意義因此，傅里葉變換是拉普拉斯變換的特

例，即

時(shí)的拉普拉斯變換，或虛軸上的拉普拉斯變換。（1）如果函數(shù)拉普拉斯變換的收斂域包

含虛軸，說(shuō)明這個(gè)函數(shù)的傅里葉變換一定存在，并且它的拉普拉斯變換和傅里葉變換可以相互轉(zhuǎn)化，只要將 改成 即可。，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換三、拉普拉斯變換的物理意義（2）如果函數(shù)拉普拉斯變換的收斂域不

包含虛軸，則這個(gè)函數(shù)的傅里葉變換不一定

存在，它的拉普拉斯變換和傅里葉變換就不能相互轉(zhuǎn)化。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換四、復(fù)指數(shù)信號(hào)的含義拉普拉斯變換將信號(hào)在s平面沿收斂域中信號(hào) ，其中，的路徑分解成無(wú)窮多復(fù)指數(shù)稱(chēng)復(fù)頻率。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換四、復(fù)指數(shù)信號(hào)的含義拉普拉斯變換將信號(hào)在s平面沿收斂域中信號(hào) ，其中，的路徑分解成無(wú)窮多復(fù)指數(shù)稱(chēng)復(fù)頻率。一般情況下，表達(dá)一個(gè)實(shí)信號(hào)需要一對(duì)共軛的復(fù)頻率，于是信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換四、復(fù)指數(shù)信號(hào)的含義下圖畫(huà)出了復(fù)頻率在s平面中不同位置時(shí)對(duì)應(yīng)的不同信號(hào)形式。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換四、復(fù)指數(shù)信號(hào)的含義信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換與傅里葉變換類(lèi)似，在實(shí)際計(jì)算拉普拉斯變換和反變換時(shí)，一般并不用定義式直接計(jì)算，而是熟記下面介紹的幾個(gè)常用的變換對(duì)，再結(jié)合拉普拉斯變換的性質(zhì)來(lái)推演得到結(jié)果。記憶時(shí)，應(yīng)同時(shí)記住原函數(shù)和其拉普拉斯變換，以用于求解拉普拉斯變換與反變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換1、單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)記為 ，其變換對(duì)為：參數(shù)

既可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)時(shí)收斂域?yàn)?，復(fù)數(shù)時(shí)收斂域?yàn)樾判摹ず阈摹へ?zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換1、單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)記為 ，其變換對(duì)為：參數(shù)

既可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)時(shí)收斂域?yàn)?，復(fù)數(shù)時(shí)收斂域?yàn)楫?dāng)

0時(shí)，單邊指數(shù)函數(shù)就變成單位階躍函數(shù)，于是：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換1、單邊指數(shù)函數(shù)

s

00022e sin

tt u t

信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換2、t的正冪函數(shù)t的正冪函數(shù)記為如下：，它的變換對(duì)推演信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換

2、t的正冪函數(shù)當(dāng)n=0時(shí)，原函數(shù)就變?yōu)閱挝浑A躍函數(shù)，由這個(gè)變換對(duì)即可推出 等等的拉普拉斯變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換3、單位沖激函數(shù)信心·恒心·責(zé)任心信4.2

拉普拉斯變換五、常用函數(shù)的拉普拉斯變換

0心·恒心·責(zé)任心220s

4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)由于拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，許多性質(zhì)是相似的，在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意其相同之處和不同之處。拉普拉斯變換性質(zhì)的證明也與傅里葉變換類(lèi)似，因此，我們只對(duì)部分性質(zhì)做出證明。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)1、線(xiàn)性性質(zhì)信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)2、尺度變換注：由于是單邊拉普拉斯變換，常數(shù)a應(yīng)大于0。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

2、尺度變換

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

2、尺度變換

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

時(shí)域移位：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

時(shí)域移位：復(fù)頻域移位：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

時(shí)域移位：復(fù)頻域移位：注：時(shí)域移位對(duì)應(yīng)復(fù)頻域中乘以一個(gè)復(fù)指數(shù)，而復(fù)頻域移位對(duì)應(yīng)時(shí)域中乘以復(fù)指數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)

例4.3：兩函數(shù)如下所示，且有拉普拉斯變換關(guān)系 ，求兩函數(shù)的拉普拉斯變換，并指出收斂域。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)解：由于質(zhì)和時(shí)域移位性質(zhì)，可得：，利用線(xiàn)性性其中收斂域?yàn)?，是絕對(duì)可積的單個(gè)脈沖，因而其。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)解：斯變換為：為一個(gè)有始周期信號(hào)，其拉普拉信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)

從這個(gè)例子，我們可以得出以下結(jié)論：1、對(duì)于周期為T(mén)的有始周期函數(shù)，求其拉普拉斯變換，只要求出第一個(gè)周期的變換，然后再乘以

即可。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)

從這個(gè)例子，我們可以得出以下結(jié)論：2、如果的分母含有類(lèi)似 的因子，則原函數(shù)為有始周期函數(shù)。做反變換時(shí)，需要先將

分母中的這個(gè)因子去掉，然后再

求拉普拉斯反變換，最后以T為周期延拓即可。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)

下面，我們?cè)倥e一個(gè)類(lèi)似的例子。例4.4：已知，求原函數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)解：由于

F

s

1

e

sT

1

e

2sT

，令則有：11

e

sT信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)3、移位性質(zhì)

解：根據(jù)下圖，可寫(xiě)成更為簡(jiǎn)潔的形式：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

3、移位性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

時(shí)域微分：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

時(shí)域微分：證明：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

時(shí)域微分：如果該函數(shù)存在n階導(dǎo)數(shù)，這個(gè)性質(zhì)可推廣到n階導(dǎo)數(shù)的情形：.信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

時(shí)域微分：如果該函數(shù)存在n階導(dǎo)數(shù)，這個(gè)性質(zhì)可推廣到n階導(dǎo)數(shù)的情形：對(duì)于單邊拉普拉斯變換，則有.信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

時(shí)域微分：于是，也就是說(shuō)，時(shí)域信號(hào)微分一次，對(duì)應(yīng)在

復(fù)頻域中乘以一個(gè)s。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

復(fù)頻域微分：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)4、微分性質(zhì)

對(duì)參變量的微分：如果，則有：，其中

為一個(gè)參變量信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

4、微分性質(zhì)

例4.5：已知：普拉斯變換。，求該函數(shù)的拉信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)4、微分性質(zhì)例4.5：已知：普拉斯變換。，求該函數(shù)的拉解：1、利用時(shí)域微分性質(zhì)；信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)4、微分性質(zhì)例4.5：已知：普拉斯變換。，求該函數(shù)的拉解：1、利用時(shí)域微分性質(zhì)；2、利用復(fù)頻域移位性質(zhì)；信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)4、微分性質(zhì)例4.5：已知：普拉斯變換。，求該函數(shù)的拉解：1、利用時(shí)域微分性質(zhì)；2、利用復(fù)頻域移位性質(zhì)；3、利用參變量微分性質(zhì)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

時(shí)域積分：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

時(shí)域積分：證明：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

復(fù)頻域積分：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

復(fù)頻域積分：證明：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)5、積分性質(zhì)

對(duì)參變量積分：如果，則有：，其中

為一個(gè)參變量信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

5、積分性質(zhì)

課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

6、卷積定理

時(shí)域卷積：這個(gè)性質(zhì)與傅里葉變換的卷積定理是類(lèi)似的，時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)復(fù)頻域乘積。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

6、卷積定理

復(fù)頻域卷積：這個(gè)性質(zhì)與傅里葉變換的卷積定理也是類(lèi)似的，時(shí)域乘積對(duì)應(yīng)復(fù)頻域卷積，還有一個(gè)

常數(shù)

。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

初值定理：如果函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)及其拉普拉斯變換存在，則該函數(shù)的初值為：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

初值定理：如果函數(shù)在t=0處有沖激且其導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)的拉普拉斯變換必可分解為一個(gè)多項(xiàng)式和另一個(gè)真分式之和：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

初值定理：如果函數(shù)在t=0處有沖激且其導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)的拉普拉斯變換必可分解為一個(gè)多項(xiàng)式和另一個(gè)真分式之和：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

初值定理：如果函數(shù)在t=0處有沖激且其導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)的拉普拉斯變換必可分解為一個(gè)多項(xiàng)式和另一個(gè)真分式之和：這時(shí)，初值定理應(yīng)修正為：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

終值定理：如果函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)及其拉普拉斯變換存在，并且該函數(shù)拉普拉斯變換的所有極點(diǎn)位

于s平面的左半平面內(nèi)，或僅在原點(diǎn)處存在單極點(diǎn)，則該函數(shù)的終值為：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

使用初值定理和終值定理時(shí)，應(yīng)注意它們的適用條件。（1）如果函數(shù)在t=0處存在沖激及其導(dǎo)數(shù)，表現(xiàn)為該函數(shù)的拉普拉斯變換是一個(gè)假分式，需要將其化成多項(xiàng)式和真分式之和，然后求初值。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

7、初值定理和終值定理

使用初值定理和終值定理時(shí)，應(yīng)注意它們的適用條件。（2）終值定理應(yīng)注意函數(shù)拉普拉斯變換的極點(diǎn)分布，只有它的極點(diǎn)全部位于s平面的

左半平面，或者僅在原點(diǎn)處有一個(gè)單極點(diǎn)時(shí)，才能求終值；否則，終值就不存在。信心·恒心·責(zé)任心信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換拉普拉斯變換對(duì)是同一信號(hào)在時(shí)域和復(fù)頻域中的不同表示，是一一對(duì)應(yīng)的。在已知某函數(shù)拉普拉斯變換的情況下，求出原函數(shù)，就是拉普拉斯反變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換拉普拉斯變換對(duì)是同一信號(hào)在時(shí)域和復(fù)頻域中的不同表示，是一一對(duì)應(yīng)的。在已知某函數(shù)拉普拉斯變換的情況下，求出原函數(shù)，就是拉普拉斯反變換。求解拉普拉斯反變換：（1）可直接代入定義式進(jìn)行求解，是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分問(wèn)題。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換求解拉普拉斯反變換：（2）依靠常用變換對(duì)，再結(jié)合性質(zhì)和典

型例子，通過(guò)將拉普拉斯變換化成認(rèn)識(shí)的變換對(duì)，然后直接寫(xiě)出原函數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法

部分分式分解法又稱(chēng)為部分分式展開(kāi)法，如果

是有理分式，可以通過(guò)部分分式分解將它寫(xiě)成一些簡(jiǎn)單的分式之和，然后根據(jù)拉普拉斯變換對(duì)直接寫(xiě)出原函數(shù)

。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法當(dāng)n>m時(shí)，上式為真分式，反之，上式為假分式。當(dāng)

為假分式時(shí)，可用長(zhǎng)除法將它

化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和，分別求出其拉普拉斯反變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點(diǎn)當(dāng)有n個(gè)單極點(diǎn)時(shí)，可以得到：其中，稱(chēng)為部分分式的系數(shù)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點(diǎn)也可由下式求得：由單邊指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換對(duì)，有信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點(diǎn)于是：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點(diǎn)例4.8：已知分別求拉普拉斯反變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點(diǎn)解：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點(diǎn)解：由于 是假分式，用長(zhǎng)除法化為多項(xiàng)式和真分式之和，利用前面的結(jié)論有：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（1）單極點(diǎn)課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點(diǎn)設(shè)有1個(gè)p階極點(diǎn) ，而其他的n-p個(gè)極點(diǎn)仍是單極點(diǎn)，這時(shí)，只需考慮以下有理分式的分解：信心·恒心·責(zé)任心信心·恒心·責(zé)任4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點(diǎn)設(shè)有1個(gè)p階極點(diǎn) ，而其他的n-p個(gè)極點(diǎn)仍是單極點(diǎn)，這時(shí)，只需考慮以下有理分式的分解：心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點(diǎn)部分分式系數(shù)信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點(diǎn)根據(jù)t的正冪函數(shù)的變換對(duì)及復(fù)頻域移位性質(zhì)，有：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點(diǎn)于是，可得：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點(diǎn)例4.9：已知，求原函數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點(diǎn)例4.9：已知，求原函數(shù)。解：根據(jù)該函數(shù)的極點(diǎn)，可將其分解為信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點(diǎn)解：其中，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點(diǎn)解：于是，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點(diǎn)解：于是，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（2）多重極點(diǎn)課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)時(shí)仍為單極點(diǎn)，因此，仍然可以用單極點(diǎn)的方法進(jìn)行部分分式分解，但這樣運(yùn)算比較復(fù)雜。下面先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)例4.10：已知數(shù)。，求其原函解：對(duì)于該拉普拉斯變換，可以將它的分

母寫(xiě)成一個(gè)完全平方加一個(gè)常數(shù)的形式，然后利用常用拉普拉斯變換對(duì)寫(xiě)出其反變換。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)解：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)對(duì)于比較復(fù)雜的有理分式，仍然需要分解。但如果其分母多項(xiàng)式存在某些二次多項(xiàng)式且具有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，應(yīng)使分母中的二次多項(xiàng)式保持整體，將

分解成一些二次分式。這時(shí)，二次分式的分子不是一個(gè)常數(shù)，而是一個(gè)一次多項(xiàng)式。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)例4.12：已知求原函數(shù)。，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)解：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)解：信心·恒心·責(zé)任心信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)解：4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)解：于是，有：4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換1、部分分式分解法（3）極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)解：因此，得到：4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

1、部分分式分解法

課堂練習(xí)：4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

1、部分分式分解法

課堂練習(xí)：4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法拉普拉斯反變換是復(fù)變函數(shù)的積分問(wèn)題。因此，可根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，求解原函數(shù)。4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法被積函數(shù)的極點(diǎn)4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的閉合路徑4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法各個(gè)極點(diǎn)上的留數(shù)4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法拉普拉斯反變換中的積

分路徑是其收斂域中的

一條直線(xiàn)，

而非閉合路

徑4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法1.

如果拉普拉斯變換是

有理分式，

只要是真分

式，

則第一個(gè)條件滿(mǎn)足；4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法2.

對(duì)于單邊拉普拉斯變

換，

t>0

，

第

二

個(gè)條

件滿(mǎn)足，補(bǔ)左邊圓弧。4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法拉普拉斯反變換是復(fù)變函數(shù)的積分問(wèn)題。因此，可根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，求解原函數(shù)。對(duì)于單邊拉普拉斯變換，總是取左邊的圓弧，其留數(shù)計(jì)算可以分為兩種情況：1、對(duì)于一階極點(diǎn)，有4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法拉普拉斯反變換是復(fù)變函數(shù)的積分問(wèn)題。因此，可根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，求解原函數(shù)。對(duì)于單邊拉普拉斯變換，其留數(shù)計(jì)算可以分為兩種情況：2、對(duì)于p階極點(diǎn)，有4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法

現(xiàn)在將圍線(xiàn)積分計(jì)算拉普拉斯反變換的方法歸納如下：1、拉普拉斯反變換中的被積函數(shù)是，被積函數(shù)的極點(diǎn)就是 的極點(diǎn)；2、對(duì)于單邊拉普拉斯變換，的收斂域在收斂軸的右邊，因而積分路徑取左半圓??；4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換2、圍線(xiàn)積分法3、因左半圓弧的半徑為無(wú)窮大，從而圍線(xiàn)中包含了 的所有極點(diǎn)；4、在滿(mǎn)足約當(dāng)引理的情況下，左半圓弧上的積分等于0，所以拉普拉斯反變換就等于的所有極點(diǎn)上的留數(shù)之和。4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線(xiàn)積分法

例4.13：已知積分法求原函數(shù)。，用圍線(xiàn)4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線(xiàn)積分法

例4.13：已知積分法求原函數(shù)。，用圍線(xiàn)解：由于是真分式，滿(mǎn)足約當(dāng)引理，且有三個(gè)單極點(diǎn)，信心·恒心·責(zé)4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線(xiàn)積分法

例4.13：已知積分法求原函數(shù)。，用圍線(xiàn)解：由于 是真分式，滿(mǎn)足約當(dāng)引理，且有三個(gè)極點(diǎn)，各極點(diǎn)上的留數(shù)分別為：任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線(xiàn)積分法

例4.13：已知積分法求原函數(shù)。解：，用圍線(xiàn)信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線(xiàn)積分法

例4.14：已知積分法求原函數(shù)。，用圍線(xiàn)解：件，但是假分式，不滿(mǎn)足約當(dāng)引理的條可寫(xiě)成：上式的第二項(xiàng)有兩個(gè)單極點(diǎn)，因此，信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換

2、圍線(xiàn)積分法

例4.14：已知積分法求原函數(shù)。解：，用圍線(xiàn)信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換部分分式分解法和圍線(xiàn)積分法是求解拉普拉斯反變換的兩種基本方法。在工程實(shí)際中，更常用的是部分分式法。對(duì)于一些復(fù)雜的 ，還需要結(jié)合拉普拉斯變換的性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.2

拉普拉斯變換七、拉普拉斯反變換課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心主要內(nèi)容

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析引言123拉普拉斯變換系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)4系統(tǒng)的方框圖和信號(hào)流圖5信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析拉普拉斯變換是求解線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的有效數(shù)學(xué)工具，而線(xiàn)性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型正是一個(gè)線(xiàn)性常系數(shù)微分方程，當(dāng)已知系統(tǒng)的微分方程時(shí)，這種方法簡(jiǎn)單又直接。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析當(dāng)已知系統(tǒng)的微分方程時(shí)，可以利用性質(zhì)對(duì)方程做拉普拉斯變換，從而將微分方程變成一個(gè)代數(shù)方程。下面，用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明這種分析方法。信心·恒心·責(zé)任心，激勵(lì)為單4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析例4.16：已知二階系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的初始條件為位階躍函數(shù)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析解：利用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)，直接對(duì)方程兩邊做拉普拉斯變換得：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析解：利用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)，直接對(duì)方程兩邊做拉普拉斯變換得：代入初始條件，可得：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析解：對(duì)上式做部分分式分解，得到系統(tǒng)的全響應(yīng)為：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析注：由于在求解過(guò)程中同時(shí)計(jì)入了初始條件和激勵(lì)，因而直接求得了全響應(yīng)。這種方法的實(shí)質(zhì)是：已知微分方程，對(duì)方程做拉普拉斯變換，得到代數(shù)方程，求解代數(shù)方程，最后求拉普拉斯反變換，直接得到全響應(yīng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析一、已知系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)分析課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析若已知系統(tǒng)的電路，則可以先根據(jù)電路列出微分方程，然后再由上節(jié)的方法求解。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析若已知系統(tǒng)的電路，則可以先根據(jù)電路列出微分方程，然后再由上節(jié)的方法求解。然而，更為簡(jiǎn)潔的方法是：將電路等效到

復(fù)頻域中，然后列方程，這樣列出的方程就是代數(shù)方程。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析

復(fù)頻域中的等效電路稱(chēng)為運(yùn)算等效電路。通常的電路是時(shí)域中的電路模型，為將電路等效到復(fù)頻域中，首先要將組成電路的元件等效。線(xiàn)性電路的元件有三個(gè)，分別是電阻、電感、電容。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析1、電阻信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析1、電阻信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析1、電阻信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析1、電阻注：電阻的時(shí)域和復(fù)頻域表示相同。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析2、電感信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析2、電感信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析2、電感信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析2、電感在兩個(gè)等效模型中，一個(gè)是將電感初始電流等效為電壓源，另一個(gè)則是等效為電流源。其中，參數(shù) 是電感在復(fù)頻域中的元件參數(shù)，稱(chēng)為運(yùn)算感抗。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析3、電容信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析3、電容信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析3、電容信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析3、電容兩個(gè)等效模型中一個(gè)是將電容初始電壓等效為電壓源，另一個(gè)則是等效為電流源。其中，參數(shù)

是電容在復(fù)頻域中的元件參數(shù)，稱(chēng)為運(yùn)算容抗。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析有了這些元件的等效模型，就可以將整個(gè)電路等效到復(fù)頻域中，時(shí)域中的基爾霍夫定律在復(fù)頻域中同樣成立，然后根據(jù)基爾霍夫定律列出回路方程或節(jié)點(diǎn)方程。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析有了這些元件的等效模型，就可以將整個(gè)電路等效到復(fù)頻域中，時(shí)域中的基爾霍夫定律在復(fù)頻域中同樣成立，然后根據(jù)基爾霍夫定律列出回路方程或節(jié)點(diǎn)方程。下面舉一個(gè)例子。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析例4.17：電路如下圖所示，求回路電流信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析解：首先，根據(jù)時(shí)域電路模型畫(huà)出等效電路：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析解：然后，列出回路方程并求解：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析解：然后，列出回路方程并求解：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析解：最后，求拉普拉斯反變換，得到回路電路的全響應(yīng)：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析注：這種求法的實(shí)質(zhì)是：已知電路，做運(yùn)算等效電路；根據(jù)等效電路列方程直接得到代數(shù)方程；求解代數(shù)方程；最后求拉普拉斯反變換，直接得到全響應(yīng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析二、已知電路的系統(tǒng)分析課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析前面介紹的方法，可以一步直接求出系統(tǒng)的全響應(yīng)，稱(chēng)為一步到位法。然而，這種方法不能看出系統(tǒng)其他方面的特性，因此，下面將系統(tǒng)的全響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)來(lái)求解。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析拉普拉斯變換是將信號(hào)在復(fù)頻域中分解成無(wú)窮多的

分量，對(duì)于信號(hào)

，如果已知它的拉普拉斯變換，那么，信心·恒心·責(zé)任心。4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析拉普拉斯變換是將信號(hào)在復(fù)頻域中分解成無(wú)窮多的

分量，對(duì)于信號(hào)

，如果已知它的拉普拉斯變換，那么，設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，對(duì)于因果系統(tǒng)有信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析因此，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：其中：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析因此，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：其中：系統(tǒng)函數(shù)信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析因此，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：其中：系統(tǒng)函數(shù)信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析因此，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：其中：系統(tǒng)函數(shù)信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì) 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì) 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：1、計(jì)算激勵(lì)的拉普拉斯變換 ；信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì) 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：1、計(jì)算激勵(lì)2、求系統(tǒng)函數(shù)的拉普拉斯變換 ；；信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì) 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：1、計(jì)算激勵(lì)2、求系統(tǒng)函數(shù)的拉普拉斯變換 ；；3、將斯變換 ；與相乘得到響應(yīng)的拉普拉信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì) 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：1、計(jì)算激勵(lì)2、求系統(tǒng)函數(shù)的拉普拉斯變換 ；；3、將斯變換 ；與相乘得到響應(yīng)的拉普拉4、計(jì)算的零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯反變換，得到系統(tǒng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析在復(fù)頻域中求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì) 的零狀態(tài)響應(yīng)步驟如下：1、計(jì)算激勵(lì)2、求系統(tǒng)函數(shù)的拉普拉斯變換 ；；（關(guān)鍵）3、將斯變換 ；與相乘得到響應(yīng)的拉普拉4、計(jì)算的零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯反變換，得到系統(tǒng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析系統(tǒng)函數(shù)是反映系統(tǒng)本身特性的一個(gè)重要函數(shù)，它由構(gòu)成電路系統(tǒng)的元件參數(shù)決定。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析系統(tǒng)函數(shù)是反映系統(tǒng)本身特性的一個(gè)重要函數(shù)，它由構(gòu)成電路系統(tǒng)的元件參數(shù)決定。系統(tǒng)函數(shù)可寫(xiě)成：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析如果已知系統(tǒng)的微分方程：利用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)對(duì)上式兩邊做拉普拉斯變換，得：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析于是，信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析于是，如果已知具體的電路，可以先列出方程，然后根據(jù)上式寫(xiě)出系統(tǒng)函數(shù)。還可以將電容

和電感用運(yùn)算容抗和運(yùn)算感抗代替，然后根據(jù)電路求出系統(tǒng)函數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心，4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析

下面，舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。例4.18：下圖的電路中，以回路電流作為響應(yīng) 為激勵(lì)，求系統(tǒng)函數(shù)及沖激響應(yīng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：根據(jù)電路列方程，分別將電容和電感用運(yùn)算容抗和運(yùn)算感抗代替：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：根據(jù)電路列方程，分別將電容和電感用運(yùn)算容抗和運(yùn)算感抗代替：求出：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：從而，信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析系統(tǒng)函數(shù)的分母多項(xiàng)式就是系統(tǒng)的特征方程。因此，系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)就是特征根。那么，在已知系統(tǒng)激勵(lì)和初始條件的情況下，根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)，既可以求出零狀態(tài)響應(yīng)，也可以求出零輸入響應(yīng)。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析系統(tǒng)函數(shù)的分母多項(xiàng)式就是系統(tǒng)的特征方程。因此，系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)就是特征根。那么，在已知系統(tǒng)激勵(lì)和初始條件的情況下，根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)，既可以求出零狀態(tài)響應(yīng)，也可以求出零輸入響應(yīng)。下面，再舉一個(gè)例子。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析例4.19：如下圖電路，開(kāi)關(guān)S在t=0時(shí)打開(kāi)，求t>0時(shí)電容兩端的電壓。信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：利用分壓公式容易寫(xiě)出系統(tǒng)函數(shù)：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：利用分壓公式容易寫(xiě)出系統(tǒng)函數(shù)：由于，于是：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析解：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析

解：

零輸入響應(yīng)的一般形式為：代入初始條件，可得：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析

解：

零輸入響應(yīng)的一般形式為：代入初始條件，可得：因此，全響應(yīng)為：信心·恒心·責(zé)任心信心·恒4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析

解：

零輸入響應(yīng)的一般形式為：代入初始條件，可得：因此，全響應(yīng)為：心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.3

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析三、基于系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)分析課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心主要內(nèi)容

線(xiàn)性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析引言123拉普拉斯變換系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)4系統(tǒng)的方框圖和信號(hào)流圖5信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)是反映系統(tǒng)本身特性的一個(gè)重要函數(shù)，它包含了系統(tǒng)的一些信息。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)是反映系統(tǒng)本身特性的一個(gè)重要函數(shù)，它包含了系統(tǒng)的一些信息。一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件實(shí)際中，總是希望系統(tǒng)能夠穩(wěn)定可靠地工作，那么，怎樣的系統(tǒng)才是穩(wěn)定的呢？如何判定一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定呢？信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

系統(tǒng)穩(wěn)定是指系統(tǒng)輸入有限（有界）的激勵(lì)，只能產(chǎn)生有限（有界）的響應(yīng)，這種穩(wěn)定通常稱(chēng)為BIBO穩(wěn)定。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

系統(tǒng)穩(wěn)定是指系統(tǒng)輸入有限（有界）的激勵(lì)，只能產(chǎn)生有限（有界）的響應(yīng)，這種穩(wěn)定通常稱(chēng)為BIBO穩(wěn)定。其中，有限的激勵(lì)也包括激勵(lì)為零的情況。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

系統(tǒng)穩(wěn)定是指系統(tǒng)輸入有限（有界）的激勵(lì)，只能產(chǎn)生有限（有界）的響應(yīng)，這種穩(wěn)定通常稱(chēng)為BIBO穩(wěn)定。其中，有限的激勵(lì)也包括激勵(lì)為零的情況。用數(shù)學(xué)表述為：如果，則響應(yīng)為，且A、B都是有限正實(shí)數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是單位沖激響應(yīng)絕對(duì)可積，即：（證明可參見(jiàn)書(shū)154-155頁(yè)）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2、系統(tǒng)穩(wěn)定的判別

工程中，可根據(jù)沖激響應(yīng)的形式來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。信心·恒心·責(zé)任心信心·恒心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)·責(zé)任心信心·恒心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)穩(wěn)定穩(wěn)定·責(zé)任心信心·恒心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)穩(wěn)定穩(wěn)定臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)不穩(wěn)定不穩(wěn)定信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2、系統(tǒng)穩(wěn)定的判別

沖激響應(yīng)是系統(tǒng)函數(shù)的拉普拉斯反變換，時(shí)域函數(shù)的形式與復(fù)頻域函數(shù)的極點(diǎn)是密切相關(guān)的。系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式的根稱(chēng)為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱(chēng)為極點(diǎn)。只要求出系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)，然后根據(jù)這些極點(diǎn)在復(fù)平面中的位置，即可對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出判斷。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件2、系統(tǒng)穩(wěn)定的判別

歸納起來(lái)，有三種情況：1、極點(diǎn)全部在左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定；2、在右半平面存在極點(diǎn)，或在虛軸上存在多階極點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定；3、在原點(diǎn)或虛軸上只存在單階極點(diǎn)，而其他的極點(diǎn)都在左半平面，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，只要求出系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)，即系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式的根即可：若所有極點(diǎn)在復(fù)平面的左半平面，或者說(shuō)這些

極點(diǎn)的實(shí)部小于0，那么系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)然而，當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式是一個(gè)高次多項(xiàng)式時(shí)，它的根是不容易求得的，這時(shí)可用羅斯-霍維茨判據(jù)來(lái)判斷它的根在復(fù)平面中的位置。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)然而，當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式是一個(gè)高次多項(xiàng)式時(shí)，它的根是不容易求得的，這時(shí)可用羅斯-霍維茨判據(jù)來(lái)判斷它的根在復(fù)平面中的位置。由系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式構(gòu)成的一個(gè)n次方程，即系統(tǒng)的特征方程：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)假設(shè)特征方程的n個(gè)根為，則有其中，信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)根據(jù)根與特征方程的關(guān)系，可得出以下結(jié)論：1、如果所有的根在左半平面，即所有根的實(shí)部小于0，則特征多項(xiàng)式的系數(shù)都大于且

不等于0；信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)根據(jù)根與特征方程的關(guān)系，可得出以下結(jié)論：1、如果所有的根在左半平面，即所有根的實(shí)部小于0，則特征多項(xiàng)式的系數(shù)都大于且

不等于0；2、如果

，其他系數(shù)不等于0，則必有一個(gè)根等于0；信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)根據(jù)根與特征方程的關(guān)系，可得出以下結(jié)論：3、如果特征多項(xiàng)式所有奇次項(xiàng)的系數(shù)或所有偶次項(xiàng)的系數(shù)等于0，并且沒(méi)有右半平面的根，則所有根的實(shí)部都等于0。說(shuō)明所有的根都在虛軸上，如果這些根都是單根，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)用羅斯-霍維茨判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分為兩個(gè)步驟：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)用羅斯-霍維茨判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分為兩個(gè)步驟：第一步：考察特征多項(xiàng)式的系數(shù)，如果存在小于或等于0的系數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。另外，在寫(xiě)系統(tǒng)函數(shù)時(shí)，通常將分母多項(xiàng)式最高次的系數(shù)歸一化為1，且將方程的系數(shù)盡可能地化為整數(shù)。信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)第二步：如果特征多項(xiàng)式的系數(shù)都大于且不等于0，就不能立即做出判斷，需要計(jì)算羅斯-霍維茨陣列，具體過(guò)程可分為三步。（1）將特征多項(xiàng)式的系數(shù)如下排列：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)（2）根據(jù)系數(shù)計(jì)算出如下的陣列，其中的前兩行就是多項(xiàng)式的系數(shù)：信心·恒心·責(zé)任心信心·恒心·責(zé)4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)（3）最后得到的最左邊的一列數(shù)，稱(chēng)為羅斯-霍維茨數(shù)列，數(shù)列中符號(hào)變化的次數(shù)就

是實(shí)部為正的根的個(gè)數(shù)；若羅斯-霍維茨數(shù)列中的數(shù)有符號(hào)變化，就可判定系統(tǒng)不穩(wěn)定。任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)例4.20：已知系統(tǒng)的特征方程如下，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（1）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（1）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（1）不穩(wěn)定信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（2）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（2）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（2）不穩(wěn)定信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（3）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（3）信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)解：（3）穩(wěn)定信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅斯-霍維茨判據(jù)課堂練習(xí)：信心·恒心·責(zé)任心4.4

系統(tǒng)與系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3、羅