2023-2024學(xué)年蘇科版七下數(shù)學(xué)提優(yōu)專(zhuān)題 神奇的完全平方數(shù)（含答案）

PAGE1頁(yè)（13頁(yè)）2023-2024學(xué)年蘇科版七下數(shù)學(xué)提優(yōu)專(zhuān)題神奇的完全平方數(shù)一．選擇題（共7小題）下（ 表的一不某然的方其中n非自數(shù)．A．3n2﹣3n+3 B．4n2+4n+4C．5n2﹣5n﹣5 D．7n2﹣7n+7E．11n2+11n﹣11使得3n+81為完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為（ ）A．2 B．3 C．4 D．53201?侯校自招）得2012n完平數(shù)正數(shù)n個(gè)為（ ）A．0 B．1 C．2 D．無(wú)窮個(gè)有（ ）個(gè)整數(shù)對(duì)（x，y）滿(mǎn)足方程x2020+y2＝2y．A．1 B．2 C．3 E．無(wú)數(shù)若四位數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，五位數(shù)也是一個(gè)完全平方數(shù)，則＝（ ）A．1234 B．5265 C．5625 D．2341設(shè)n是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的n的個(gè)數(shù)是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6使n5﹣5n3+4n+7成為完全平方數(shù)的自然數(shù)n的取值（ ）有且只有一個(gè)C．有無(wú)窮多個(gè)D．不存在二．填空題（共7小題）8（200?浙江自主招生）設(shè)N＝23x92y為完全平方數(shù)，且N不超過(guò)2392，則滿(mǎn)足上述條件的一切正整數(shù)對(duì)（x，y）共有 對(duì)．9202?波擬使得n21995完平數(shù)自數(shù)n值是 ．若x﹣45和x+44都為完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的值為 ．九個(gè)連續(xù)正整數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)列a1，a2，…，a9.若a1+a3+a5+a7+a9為平方數(shù)，a2+a4+a6+a8為立方數(shù)，則a1+a2+…+a9的最小值為 ．把1，2，…，30這30個(gè)數(shù)分成k個(gè)組（每個(gè)數(shù)只能在一個(gè)組中出現(xiàn)，使得每一個(gè)組中任意兩個(gè)不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù)，則k的最小值為 ．能使2n+256是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為 ．如果28+212+2n為完全平方數(shù)，則正整數(shù)n為 ．三．解答題（共7小題）aa2+2004aa的最大值．16．證明數(shù)列49，4489，44489，4448889，…的每一項(xiàng)都是一個(gè)完全平方數(shù)．17ab92ab＝504a5b1）a，b的值．nn2+9n﹣3n的值．A、nA＝n2+15n+26n的值．mm＜2006nm﹣n為質(zhì)數(shù)，mn是一個(gè)完全平方數(shù)．求證：任意五個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和不是完全平方數(shù)．參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1＝2時(shí)，n﹣33＝＝3，∴A選項(xiàng)不符合題意；∵n4n4＝4nn1n2n2n1（n1），∴B選項(xiàng)一定不是完全平方數(shù)，∴B選項(xiàng)符合題意；當(dāng)n＝3時(shí)，5n2﹣5n﹣5＝25＝52，∴C選項(xiàng)不符合題意；∵當(dāng)n＝3時(shí)，7n2﹣7n+7＝49＝72，∴D選項(xiàng)不符合題意；∵當(dāng)n＝3時(shí)，11n2+11n﹣11＝121＝112，∴E選項(xiàng)不符合題意．故選：B．2解：當(dāng)n4n≥4時(shí)，381343﹣4，∴只需3n﹣4+1是完全平方數(shù)即可．代入可得n＝5時(shí)符合題意．故選：D．3解：201224126n﹣）∵2016+2n為完全平方數(shù)，∴126+2n﹣4是完全平方數(shù)，而126不是完全平方數(shù)，且126＝2×1×3×3×7∴2n﹣4＝12+632或32+212或92+72，∴2n﹣4＝3970或450或130，∴不存在正整數(shù)n，使2n﹣4＝3970或450或130，∴使得2016+2n為完全平方數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為0，故選：A．4解：x2y＝2，x2020+y2﹣2y＝0．方程的兩邊都加上1，得x2020+（y﹣1）2＝1．∵x、y都是整數(shù)，∴0≤x2020≤1，0≤（y﹣1）2≤1x2020（y﹣1）2都為整數(shù)．當(dāng)x2＝0y﹣）1，此時(shí)x＝0，y＝2或0，所以滿(mǎn)足條件的整數(shù)對(duì)有 或 ；當(dāng)x2＝1y﹣）0，x＝±1，y＝1，所以滿(mǎn)足條件的整數(shù)對(duì)有 或 ．故選：D．51234∴A選項(xiàng)不符合題意；∵5265不是完全平方數(shù)，∴B選項(xiàng)不符合題意；∵5625＝752，15625＝1252，∴C選項(xiàng)符合題意；∵2341不是完全平方數(shù)，∴D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．6解】：設(shè)N（N完平數(shù)N01，，916…，即是：＝所以＝N+1，（N1（209n＝10，N1和200﹣n100∴N＝49時(shí)，n＝2007；N＝9時(shí)，n＝1999；N＝4，n＝1989，N＝1，n＝1959．故選：B．7n﹣5347＝nn﹣547＝（n1n247＝（n2n1n1n2）7，又∵當(dāng)nnn﹣（﹣1（n1（n2一定是10∴n5﹣5n3+4n+7的個(gè)位數(shù)是7，∵完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)只有0或1或4或9或6或5，沒(méi)有7，∴n5﹣5n3+4n+7不可能是完全平方數(shù)．故選D．二．填空題（共7小題）解：＝2x92＝2（x4yN232設(shè)x4y＝2mm正數(shù)且＝2m239得：m2＝5∴m2＝1或4．（1）當(dāng)m2＝1時(shí)，由x+4y＝23，（xy＝3，7，3（1，2（1，5（2）當(dāng)m2＝4時(shí)，由x+4y＝92，（xy＝4，2821（1，21619…88122綜上所述，滿(mǎn)足條件的（x，y）共有27對(duì)．故答案為：27．【解答】解：①n＝1，2，3，4時(shí)顯然不符合題意；②當(dāng)≥5n102n﹣1n95n，n21995n10?＝5（2219n9n9?n14n514．故答案為：5【解答】解：∵x﹣45x+44都為完全平方數(shù)，x為正整數(shù)，∴可設(shè)x﹣45＝m2，x+44＝n2，其中m，n為正整數(shù)，∴n2﹣m2＝（x+44）﹣（x﹣45）＝89，（nm（+m＝8＝189，∵m，n為正整數(shù)，∴n﹣m＜n+m，∴n﹣m＝1，n+m＝89，解得：m＝44，n＝45，∴x﹣45＝m2＝442，∴x＝1981．故答案為：1981．【解答】解：設(shè)這九個(gè)連續(xù)的正整數(shù)為：a﹣4，a﹣3，…，a+3，a+4，a1+a3+a5+a7+a9為平方數(shù)得，5a＝m2，同理4a＝n3，則，即4m2＝5n3．m，n10m＝10p，n＝10q，則4（10p）2＝5（10q）3，故4p2＝50q3．則取p＝10，q＝2即可，此時(shí)m＝100，n＝20，則a＝2000，所以a1+a2+…+a9＝9a＝18000．故答案為：18000．121，，…，30這306195630＝619307，∴6，19，30這三個(gè)數(shù)不能分到同一組，（鴿巢原理23∴k的最小值為3．故答案為：3．13解：當(dāng)n8時(shí)，225＝n128﹣n是2若n＝2，則2n+256＝22×65；PAGE10頁(yè)（13頁(yè)）n＝42n+256＝24×17；n＝62n+256＝26×5；n＝82n+256＝28×2．所以，當(dāng)n≤8時(shí)，2n+256都不是完全平方數(shù)．當(dāng)n＞8時(shí)，22562（2﹣1﹣812n﹣1（k）（k2﹣1kk．由于k和k+1一奇一偶，2n﹣101×2，k＝12n﹣10＝2，故n＝11．故答案為：11．或或28+212+2n＝（24）2+2×2n﹣1+（26）2，且28+212+2n是完全平方數(shù)，∴4+＝11或6+＝7或4+6＝n﹣1，解得：n＝14n＝2n＝11，n211故答案為：21114．三．解答題（共7小題）15解：由aa2200aa2+2004a＝m2，故a2+2004a+10022＝m2+10022，即（a+1002）2﹣m2＝10022，（a1002m（a100m＝102＝×50202a+1002+m，a+1002﹣m都為偶數(shù)，因?yàn)榍笳麛?shù)a的最大值，a+1002+m＝502002，a+1002﹣m＝2，故a＝2500此時(shí)m25100．16m44...n個(gè)，則（）×9+1＝10n，所以an＝m×10n+2m+1＝m[（）×9+1]+2m+1＝＝（m+1）2，因?yàn)閙最小是4，所以m一定是整數(shù)，所以該數(shù)列的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù)．17解】：①即＝，故設(shè)m＝，n＝，則b＝＝②∴3n﹣511m+6a＝0，又n＝m2，所以3m2﹣511m+6a＝0 ③由①（2ab）2能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是2ab能被509整除，故m為整數(shù)，即關(guān)m的一元二次方程③有整數(shù)根，所以它的判別式Δ＝5112﹣72a為完全平方數(shù)．＝572＝tt7a＝5t（55t．511+t511﹣t511+t≥511，所以只可能有以下幾種情況：① 36a+2＝1022，沒(méi)有整數(shù)解．② 18a+4＝1022，沒(méi)有整數(shù)解．③ 12a+6＝1022，沒(méi)有整數(shù)解．④ 6a+12＝1022，沒(méi)有整數(shù)解．⑤ 4a+18＝1022a＝251．⑥ 2a+36＝1022a＝493493＝17×29不是質(zhì)數(shù)，故舍去．a(chǎn)＝251．時(shí)程③解為m3或m＝舍去．把a(bǔ)＝251，m＝3代入②式，得b＝＝7．答：a＝251，b＝7．18解：①29﹣3n2n7n﹣（n21）（7﹣4＝n1+7n4，∵n2+9n﹣3是完全平方數(shù)，∴（n+1）2+（7n﹣4）是完全平方數(shù)，∴7n﹣4＝0，∴＝，②n9n3＝24n5n3（n4n4+5n7＝（2）（5﹣7，∵n2+9n﹣3是完全平方數(shù)，∴（n+2）2+（5n﹣7）是完全平方數(shù)，∴5n﹣7＝0，∴＝不正數(shù)不合意，③n9n3＝26n3n3（n6n9+3n12＝n3）（n﹣1，∵n2+9n﹣3是完全平方數(shù)，∴（n+3）2+（3n﹣12）是完全平方數(shù)，∴3n﹣12＝0，∴n＝4，④n9n3＝28nn3（n8n16+n﹣1＝（4）（n19，∵n2+9n﹣3是完全平方數(shù)，∴（n+4）2+（n﹣19）是完全平方數(shù)，∵n是正整數(shù)，∴n＝19，⑤n9n3＝210﹣n3（n10n25﹣n﹣2＝（5﹣n﹣2，∵n為正整數(shù)，∴﹣n﹣28＜0，綜上所述，n的值為4或19．19解：設(shè)（n+）＝n1526（na）n2an+，∴15n+26＝2an+a2，∴n＝，∵n26﹣a2＞02a﹣15＞026﹣a2＜02a﹣15＜0，26﹣a2＞02a﹣15＞0a無(wú)解；26﹣a2＜02a﹣15＜06≤a≤7，a＝6，7，代入n＝驗(yàn)證，只有a＝7時(shí)，n＝23．即n的值為23．【解答】m﹣nmn的最大公約數(shù)的倍數(shù)（這句話(huà)應(yīng)該不用解釋?zhuān)焕斫獾脑?huà)就設(shè)m＝adnbdd為m和n1設(shè)為p）若最大公約數(shù)（m，n）＝1mnm，n各自為平方數(shù)，設(shè)m＝a2，n＝b2，m為小于2006的4位數(shù)所以31＜a＜45，pa﹣b（ababp所以a﹣b＝1，a+b是質(zhì)數(shù)，也就是2a﹣1為質(zhì)數(shù)，31＜a＜45，所以61＜2a﹣1＜89，這樣的a共有34，36，37，40，42．m1156，1296，1369，1600，1764共計(jì)五種可能．若（m，n）＝p，則設(shè)m'＝，n'＝，則m﹣'＝mnpm'n'm'n'n''

n'+1）2，左邊的