湖北省荊州市沙市中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末考試試題含解析

湖北省荊州市沙市中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末考試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．2．已知向量，，，且，則（）A． B． C． D．3．將兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5，4，3的長(zhǎng)方體壘在一起，使其中兩個(gè)面完全重合，組成一個(gè)大長(zhǎng)方體，則大長(zhǎng)方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．4．已知向量a=(2,1)，a?b=10,A．5 B．10 C．5 D．255．已知在中，，那么的值為（）A． B． C． D．6．已知圓C1:x2+y2+4y+3=0，圓C2:x2+A．210-3 B．210+37．在銳角中，若，則角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°8．若，則（）A．-4 B．3 C．4 D．-39．已知函數(shù)和的定義域都是，則它們的圖像圍成的區(qū)域面積是（）A． B． C． D．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α0≤α≤π的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2至OB，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為Q．記線段BQ的長(zhǎng)為y，則函數(shù)A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某射手的一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1，則此射手在一次射擊中不超過(guò)8環(huán)的概率為_(kāi)________．12．已知，且，.則的值是________.13．若、是方程的兩根，則__________.14．明代程大位《算法統(tǒng)宗》卷10中有題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”則尖頭共有__________盞燈．15．在等差數(shù)列中，若，則的前13項(xiàng)之和等于______.16．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積S＝_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)向量，，令函數(shù)，若函數(shù)的部分圖象如圖所示，且點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及對(duì)稱軸方程；（3）若把方程的正實(shí)根從小到大依次排列為，求的值.18．如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，為的中點(diǎn)，且，，.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，求四棱錐的體積.19．等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，，且．（1）求與；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球，每個(gè)球被取出的可能性相等.（1）求取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為相同數(shù)字的概率；（2）若兩人分別從甲、乙兩個(gè)盒子中各摸出一球，規(guī)定：兩人誰(shuí)摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰(shuí)就獲勝（若數(shù)字相同則為平局），這樣規(guī)定公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知直線l1：ax﹣y﹣2＝0與直線l2：（3﹣2a）x+y﹣1＝0（a∈R）.（1）若l1與l2互相垂直，求a的值：（2）若l1與l2相交且交點(diǎn)在第三象限，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】如圖，過(guò)時(shí)，取最小值，為。故選A。2、C【解析】

由可得,代入求解可得,則,進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式求解即可【詳解】由可得,即,所以,因?yàn)?所以,則,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查垂直向量的應(yīng)用,考查里利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值3、B【解析】

要計(jì)算長(zhǎng)方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線是外接球的直徑這一性質(zhì)，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長(zhǎng)寬的兩個(gè)面重合；（2）長(zhǎng)高的兩個(gè)面重合；（3）高寬兩個(gè)面重合，分別計(jì)算出新長(zhǎng)方體的對(duì)角線，然后分別計(jì)算出外接球的表面積，最后通過(guò)比較即可求出最大值.【詳解】（1）當(dāng)長(zhǎng)寬的兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為5，寬為4，高為6，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為；（2）當(dāng)長(zhǎng)高兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)5，寬為8，高為3，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為；（3）當(dāng)寬高兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為10，寬為4，高為3，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為，顯然大長(zhǎng)方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、C【解析】

將|a+b5、A【解析】

，不妨設(shè)，,則，選A.6、A【解析】

求出圓C1,C2的圓心坐標(biāo)和半徑，作出圓C1關(guān)于直線l的對(duì)稱圓C1'，連結(jié)C1'C2，則C1'C2與直線l的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時(shí)M點(diǎn)為P【詳解】由圓C1:x可知圓C1圓心為0,-2圓C2圓心為3,-1圓C1關(guān)于直線l:y=x+1的對(duì)稱圓為圓C連結(jié)C1'C2，交l于P，則此時(shí)M點(diǎn)為PC1'與圓C1'的交點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)，N最小值為C1而C1∴PM+PN【點(diǎn)睛】本題考查了圓方程的綜合應(yīng)用，考查了利用對(duì)稱關(guān)系求曲線上兩點(diǎn)間的最小距離，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.解決解析幾何中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.7、B【解析】

直接利用正弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)正弦定理得到：，故，是銳角三角形，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、A【解析】

已知等式左邊用誘導(dǎo)公式變形后用正弦和二倍角公式化簡(jiǎn)，右邊用切化弦法變形，再由二倍角公式化簡(jiǎn)后可得．【詳解】，，∴，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式，考查二倍角公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，掌握三角函數(shù)恒等變形公式，確定選用公式的順序是解題關(guān)鍵．9、C【解析】

由可得，所以的圖像是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的上半部分；再結(jié)合圖形求解.【詳解】由可得，作出兩個(gè)函數(shù)的圖像如下：則區(qū)域①的面積等于區(qū)域②的面積，所以他們的圖像圍成的區(qū)域面積為半圓的面積，即.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于的識(shí)別.10、B【解析】BQ=|y點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．(2)由實(shí)際情景探究函數(shù)圖象．關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解，要注意實(shí)際問(wèn)題中的定義域問(wèn)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0.5【解析】

由互斥事件的概率加法求出射手在一次射擊中超過(guò)8環(huán)的概率，再利用對(duì)立事件的概率求出不超過(guò)8環(huán)的概率即可.【詳解】由題意，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1，所以射手的一次射擊中超過(guò)8環(huán)的概率為：0.2+0.3=0.5故射手的一次射擊中不超過(guò)8環(huán)的概率為：1-0.5=0.5故答案為0.5【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)立事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.12、2【解析】

.13、【解析】

由題意利用韋達(dá)定理求得、的值，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．【詳解】解：、是方程的兩根，，，，或，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查韋達(dá)定理，兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．14、1【解析】

依題意，這是一個(gè)等比數(shù)列，公比為2，前7項(xiàng)和為181，由此能求出結(jié)果．【詳解】依題意，這是一個(gè)等比數(shù)列，公比為2，前7項(xiàng)和為181，∴181，解得a1＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，是基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)題意，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，先得到，再由等差數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，所以，即，記前項(xiàng)和為，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的基本量的運(yùn)算，熟記等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】

用余弦定理求出邊的值，再用面積公式求面積即可．【詳解】解：據(jù)題設(shè)條件由余弦定理得，即，即解得，故的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為；對(duì)稱軸方程為，；(3)14800【解析】

（1）先求出，令求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求對(duì)稱軸方程；（3）由（2）知對(duì)稱軸方程為，，所以，，…，，即得解.【詳解】解:（1）由已知，得∴令，得，，∴，.當(dāng)時(shí)，，∴得坐標(biāo)為（2）單調(diào)遞增區(qū)間，得，∴單調(diào)遞增區(qū)間為對(duì)稱軸，得，∴對(duì)稱軸方程為，（3）由，得，根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，且由（2）知對(duì)稱軸方程為，∴，，…，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查等差數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.18、（1）見(jiàn)解析（2）6【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理可得出平面；（2）過(guò)作交于，由平面，得出平面，可而出，結(jié)合，可證明出平面，可得出，并計(jì)算出，利用平行線的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，再利用錐體的體積公式可計(jì)算出四棱錐的體積.【詳解】（1）連接交于，連接.四邊形為矩形，∴為中點(diǎn).又為中點(diǎn)，∴.又平面，平面，∴平面；（2）過(guò)作交于.∵平面，∴平面.又平面，∴.∵，，，平面，∴平面.連接，則，又是矩形，易證，而，，得，由得，∴.又矩形的面積為8，∴.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明，以及錐體體積的計(jì)算，直線與平面平行的證明，常用以下三種方法進(jìn)行證明：（1）中位線平行；（2）平行四邊形對(duì)邊平行；（3）構(gòu)造面面平行來(lái)證明線面平行．一般遇到中點(diǎn)找中點(diǎn)，根據(jù)已知條件類型選擇合適的方法證明．19、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）的公差為，的公比為，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，由列出關(guān)于的方程組，解出的值，從而得到與的表達(dá)式.（2）根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn),可用錯(cuò)位相減法求它的前項(xiàng)和,由（1）的結(jié)果知，兩邊同乘以2得由(1)(2)兩式兩邊分別相減,可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題解決.試題解析：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，，依題意有，即，解得或者（舍去），故．4分（2）．6分，，兩式相減得8分，所以12分考點(diǎn)：1、等差數(shù)列和等比數(shù)列；2、錯(cuò)位相減法求特?cái)?shù)列的前項(xiàng)和.20、（1）（2）這樣規(guī)定公平，詳見(jiàn)解析【解析】

（1）利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，求得的概率，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球，其數(shù)字分別為x、y.用表示抽取結(jié)果，可得，則所有可能的結(jié)果有16種，（1）設(shè)“取出的兩個(gè)球上的標(biāo)號(hào)相同”為事件A，則，事件A由4個(gè)基本事件組成，故所求概率.（2）設(shè)“甲獲勝”為事件B，“乙獲勝”為事件C，則，.可得，即甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率也是，所以這樣規(guī)定公平.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型的概率的計(jì)算及應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題題.2