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專題19平行四邊形平行四邊形知識(shí)內(nèi)容主要包括平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)與判定,作為比較重要的幾何知識(shí),在廣東中考中占有一定的考查比重,從往年考查來看,考查的頻率還是相對(duì)較高,基礎(chǔ)知識(shí)的單獨(dú)考查一般就是選擇或填空題,若考查知識(shí)的綜合性運(yùn)用則在解答題里以中等或較難的綜合題進(jìn)行考查,例如和三角形全等、解直角三角形以及函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行綜合應(yīng)用考查。平行四邊形的復(fù)習(xí)要多注重基礎(chǔ),性質(zhì)與判定的掌握是重點(diǎn),幾何思維的培養(yǎng)是難點(diǎn),多進(jìn)行反復(fù)練習(xí),達(dá)到迎接中考的水準(zhǔn),便可顯得輕松自如??枷蛞唬浩叫兴倪呅?.定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2.性質(zhì):(1)對(duì)邊平行且相等;(2)對(duì)角相等;鄰角互補(bǔ);(3)對(duì)角線互相平分;(4)中心對(duì)稱圖形.3.面積:4.判定:(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;(5)兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形.(6)一組對(duì)邊平行,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形;(7)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.1.在四邊形中,對(duì)角線和交于點(diǎn),下列條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是(
)A., B.,C., D.,2.如圖,在平行四邊形ABCD中,下列各式不一定正確的是()A. B.C. D.3.如圖,?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,則BD的長是()A.8 B.9 C.10 D.114.如圖,在平行四邊形D中,,在上取,則的度數(shù)是_____度.5.如圖,在四邊形中,與交于點(diǎn),,,垂足分別為點(diǎn),,且,.求證:四邊形是平行四邊形.6.如圖,將平行四邊形沿對(duì)角線折疊,使點(diǎn)A落在E處.若,,則的度數(shù)為(
)A. B. C. D.7.1.如圖,在?ABCD中,AB=8,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),AE=3,連接DE,過點(diǎn)C作CF∥DE,交AB的延長線于點(diǎn)F,則BF的長為()A.5 B.4 C.3 D.28.將一個(gè)三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上,∠EFG=90°,∠EGF=60°,∠AEF=50°,則∠EGC的度數(shù)為()A.100° B.80° C.70° D.60°9.如圖,在四邊形ABCD中,,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使四邊形ABCD成為平行四邊形,你所添加的條件為___________(寫一個(gè)即可).10.如圖,在中,,若,則的度數(shù)是______.11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),,將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是______.12.如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上,且BE=DF.求證:(1)△ABE≌△CDF;(2)四邊形AECF是平行四邊形.考向二:矩形1.定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.性質(zhì):(1)具有平行四邊形的所有性質(zhì);(2)四個(gè)角都是直角;(3)對(duì)角線互相平分且相等;(4)中心對(duì)稱圖形,軸對(duì)稱圖形.3.面積:4.判定:(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.(2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.(3)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.5.由矩形得直角三角形的性質(zhì):(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;(2)直角三角形中,30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.1.對(duì)于任意的矩形,下列說法一定正確的是()A.對(duì)角線垂直且相等B.四邊都互相垂直C.四個(gè)角都相等D.是軸對(duì)稱圖形,但不是中心對(duì)稱圖形2.在下列條件中,能夠判定為矩形的是(
)A. B. C. D.3.如圖,在矩形中,,則D的坐標(biāo)為(
)A. B. C. D.4.如圖,E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點(diǎn),AH=CF,AE=CG,∠EHF=60°,∠GHF=45°.若AH=2,AD=5+.則四邊形EFGH的周長為(
)A. B. C. D.5.如圖,矩形中,,,對(duì)角線的垂直平分線交于點(diǎn)、交于點(diǎn),則線段的長為_______.6.如圖,在中,E為的中點(diǎn),連接并延長交的延長線于點(diǎn)F,連接,,若,求證:四邊形是矩形.7.要檢驗(yàn)一個(gè)四邊形的桌面是否為矩形,可行的測(cè)量方案是(
)A.測(cè)量兩條對(duì)角線是否相等B.度量兩個(gè)角是否是90°C.測(cè)量兩條對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等D.測(cè)量兩組對(duì)邊是否分別相等8.如圖所示,將一矩形紙片沿AB折疊,已知,則(
)A.48° B.66° C.72° D.78°9.如圖,將矩形紙片ABCD沿CE折疊,使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處.若點(diǎn)E在邊AB上,AB=3,BC=5,則AE=________.10.如圖,在矩形中,是邊上一點(diǎn),且,與相交于點(diǎn),若的面積是,則的面積是______.11.如圖,矩形ABCD中,,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,,垂足為點(diǎn)H,若,則AD的長為_______________.12.如圖,在菱形中,,,過點(diǎn)作的垂線,交的延長線于點(diǎn).點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn),的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(單位:),且,過作于點(diǎn),連結(jié).(1)求證:四邊形是矩形.(2)連結(jié),,點(diǎn),在運(yùn)動(dòng)過程中,與是否能夠全等?若能,求出此時(shí)的值;若不能,請(qǐng)說明理由.考向三:菱形1.定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.性質(zhì):(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì);(2)四條邊相等;(3)兩條對(duì)角線互相平分且垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;(4)中心對(duì)稱圖形,軸對(duì)稱圖形.3.面積:4.判定:(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;(2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形;(3)四邊相等的四邊形是菱形.1.順次連接菱形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是(
)A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.正方形2.如圖,下列條件中能使成為菱形的是(
)A. B. C. D.3.如圖,在菱形中,分別以、為圓心,大于為半徑畫弧,兩弧分別交于點(diǎn)、,連接,若直線恰好過點(diǎn)與邊交于點(diǎn),連接,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
)A. B.若,則C. D.4.如圖,已知四邊形是平行四邊形,從①,②,③中選擇一個(gè)作為條件,補(bǔ)充后使四邊形成為菱形,則其選擇是___(限填序號(hào)).5.如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E為AD的中點(diǎn),連接OE,,,則(
)A.4 B. C.2 D.6.如圖,四邊形ABCD是菱形,E,F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),且,連接BF.FD,DE,EB.求證:四邊形DEBF是菱形.7.如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(
)A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC8.如圖,?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,下列說法正確的是(
)A.若OB=OD,則?ABCD是菱形 B.若AC=BD,則?ABCD是菱形C.若OA=OD,則?ABCD是菱形 D.若AC⊥BD,則?ABCD是菱形9.如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,E為AD邊的中點(diǎn),連接CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F.若∠DEF=∠DFE,則這個(gè)菱形的面積為()A.16 B.6 C.12 D.3010.如圖,在菱形紙片ABCD中,E是BC邊上一點(diǎn),將△ABE沿直線AE翻折,使點(diǎn)B落在上,連接.已知∠C=120°,∠BAE=50°,則的度數(shù)為()A.50° B.60° C.80° D.90°11.如圖,菱形的邊長為,,將該菱形沿AC方向平移得到四邊形,交CD于點(diǎn)E,則點(diǎn)E到AC的距離為____________.12.如圖,在四邊形ABCD中,ABCD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E為AB中點(diǎn),連接CE.(1)求證:四邊形AECD為菱形;(2)若∠D=120°,DC=2,求△ABC的面積.考向四:正方形1.定義:四條邊都相等,四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2.性質(zhì):(1)對(duì)邊平行;(2)四個(gè)角都是直角;(3)四條邊都相等;(4)對(duì)角線互相垂直平分且相等,對(duì)角線平分對(duì)角;(5)兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形;(6)中心對(duì)稱圖形,軸對(duì)稱圖形.3.面積:邊長×邊長=×對(duì)角線×對(duì)角線4.判定:(1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形;(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形;(3)對(duì)角線相等的菱形是正方形;(4)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形;(5)對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形;(6)四條邊都相等,四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.1.如圖,正方形的邊長為,將正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(
)A. B. C. D.2.如圖,P為AB上任意一點(diǎn),分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則為()A.2α B.90°﹣α C.45°+α D.90°﹣α3.如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線AC下方的一點(diǎn),∠1=∠2,則∠BPC的度數(shù)為_____°.4.如圖,在菱形中,對(duì)角線,相交于點(diǎn),點(diǎn),在對(duì)角線上,且,.求證:四邊形是正方形.5.如圖,O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn),為等邊三角形.若,則的長度為(
)A. B. C. D.6.如圖,在正方形中,,分別是,的中點(diǎn),,交于點(diǎn),連接.下列結(jié)論:①;②;③.其中正確的結(jié)論是(
)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③7.如圖,四邊形為正方形,點(diǎn)E是的中點(diǎn),將正方形沿折疊,得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,延長交線段于點(diǎn)P,若,則的長度為___________.8.問題解決:如圖1,在矩形中,點(diǎn)分別在邊上,于點(diǎn).(1)求證:四邊形是正方形;(2)延長到點(diǎn),使得,判斷的形狀,并說明理由.類比遷移:如圖2,在菱形中,點(diǎn)分別在邊上,與相交于點(diǎn),,求的長.1.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,一定正確的是(
)A. B. C. D.2.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=4,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且E,F(xiàn),G,H分別是AO,BO,CO,DO的中點(diǎn),則下列說法正確的是(
)A.EH=HG B.四邊形EFGH是平行四邊形C.AC⊥BD D.的面積是的面積的2倍3.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)如圖,在正方形中,,點(diǎn),分別在邊,上,.若將四邊形沿折疊,點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處,則的長度為(
)A.1 B. C. D.24.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,矩形的對(duì)角線,交于點(diǎn),,,過點(diǎn)作,交于點(diǎn),過點(diǎn)作,垂足為,則的值為(
)A. B. C. D.5.(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題)已知菱形,是動(dòng)點(diǎn),邊長為4,,則下列結(jié)論正確的有幾個(gè)(
)①;
②為等邊三角形
③
④若,則A.1 B.2 C.3 D.46.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,正方形ABCD的面積為3,點(diǎn)E在邊CD上,且CE=1,∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F,點(diǎn)M,N分別是BE,BF的中點(diǎn),則MN的長為(
)A. B.C. D.7.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)菱形的邊長為5,則它的周長為____________.8.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,AD=10,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC+BD=22,則△BOC的周長為________9.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)如圖,在菱形中,,取大于的長為半徑,分別以點(diǎn),為圓心作弧相交于兩點(diǎn),過此兩點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)(作圖痕跡如圖所示),連接,,則的度數(shù)為_________.10.(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題)如圖在正方形中,,將沿翻折,使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在對(duì)角線上,將沿翻折,使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上,求______.11.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,.過點(diǎn)D作,垂足為E,則______.12.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在矩形ABCD中,BC=2AB,點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP',連接PP',CP'.當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí),∠PP'C的度數(shù)為________;當(dāng)線段CP'的長度最小時(shí),∠PP'C的度數(shù)為________13.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,AB=6,連接BD.(1)求BD的長;(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,D重合),點(diǎn)F在邊AD上,且BE=DF,①當(dāng)CE丄AB時(shí),求四邊形ABEF的面積;②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí),CE+CF的值是否也最???如果是,求CE+CF的最小值;如果不是,請(qǐng)說明理由.14.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)如圖,邊長為1的正方形中,點(diǎn)E為的中點(diǎn).連接,將沿折疊得到交于點(diǎn)G,求的長.15.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在菱形ABCD中,,,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長BA到點(diǎn)F,使,且CF、DE相交于點(diǎn)G(1)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),證明:四邊形DFEC是平行四邊形;(2)當(dāng)時(shí),求AE的長;(3)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度.1.在ABCD中,∠A=80°,∠B=100°,則∠D等于(
)A.60° B.80° C.100° D.120°2.菱形不具備的性質(zhì)是(
)A.四條邊都相等 B.對(duì)角線一定相等 C.對(duì)角線平分對(duì)角 D.是中心對(duì)稱圖形3.如圖,將矩形沿著裁剪得到一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形,設(shè)四邊形的外角和與的外角和分別為,則(
)A. B. C. D.無法比較與4.如圖,正方形的邊長為,,,連結(jié),則線段的長為(
)A. B. C. D.5.在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,只需添加一個(gè)條件,即可證明平行四邊形ABCD是矩形,這個(gè)條件可以是__________(寫出一個(gè)即可).6.如圖,菱形中,已知,則的大小是____________.7.如圖,已知矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn),若,那么______.8.在正方形ABCD中,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),且AE=AB,則∠EBC的度數(shù)是___________.9.在平行四邊形中,、分別是、上的點(diǎn),且.求證:.10.如圖,四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且OA=OD.求證:四邊形ABCD是矩形.11.如圖,在正方形中,點(diǎn)在邊的延長線上,點(diǎn)在邊的延長線上,且,連接和相交于點(diǎn).求證:.12.在中,,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn).(1)求證:四邊形是菱形;(2)若,菱形的面積為40.求菱形的周長.專題19平行四邊形平行四邊形知識(shí)內(nèi)容主要包括平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)與判定,作為比較重要的幾何知識(shí),在廣東中考中占有一定的考查比重,從往年考查來看,考查的頻率還是相對(duì)較高,基礎(chǔ)知識(shí)的單獨(dú)考查一般就是選擇或填空題,若考查知識(shí)的綜合性運(yùn)用則在解答題里以中等或較難的綜合題進(jìn)行考查,例如和三角形全等、解直角三角形以及函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行綜合應(yīng)用考查。平行四邊形的復(fù)習(xí)要多注重基礎(chǔ),性質(zhì)與判定的掌握是重點(diǎn),幾何思維的培養(yǎng)是難點(diǎn),多進(jìn)行反復(fù)練習(xí),達(dá)到迎接中考的水準(zhǔn),便可顯得輕松自如??枷蛞唬浩叫兴倪呅?.定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2.性質(zhì):(1)對(duì)邊平行且相等;(2)對(duì)角相等;鄰角互補(bǔ);(3)對(duì)角線互相平分;(4)中心對(duì)稱圖形.3.面積:4.判定:(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;(5)兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形.(6)一組對(duì)邊平行,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形;(7)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.1.在四邊形中,對(duì)角線和交于點(diǎn),下列條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是(
)A., B.,C., D.,答案:D分析:利用平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可.【詳解】A、根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形,故此選項(xiàng)不合題意;B、根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形,故此選項(xiàng)不合題意;C、根據(jù)一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形,能判定四邊形ABCD是平行四邊形,故此選項(xiàng)不符合題意;D、根據(jù)一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形不能判定四邊形ABCD是平行四邊形,故此選項(xiàng)符合題意;故選:D.【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定,關(guān)鍵是掌握(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.(5)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.2.如圖,在平行四邊形ABCD中,下列各式不一定正確的是()A. B.C. D.答案:D【詳解】由?ABCD的性質(zhì)及圖形可知:A、∠1和∠2是鄰補(bǔ)角,故∠1+∠2=180°,正確;B、因?yàn)锳D∥BC,所以∠2+∠3=180°,正確;C、因?yàn)锳B∥CD,所以∠3+∠4=180°,正確;D、根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等,∠2=∠4,∠2+∠4=180°不一定正確;故選D.3.如圖,?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,則BD的長是()A.8 B.9 C.10 D.11答案:C分析:通過平行四邊形性質(zhì),可計(jì)算得;再結(jié)合AB⊥AC推導(dǎo)得為直角三角形,通過勾股定理計(jì)算得,再結(jié)合平行四邊形性質(zhì),計(jì)算得到答案.【詳解】解:∵?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB⊥AC,AB=4,AC=6,∴∠BAO=90°,OA=3∴,∴BD=2BO=10,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形、勾股定理的知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和勾股定理的性質(zhì).4.如圖,在平行四邊形D中,,在上取,則的度數(shù)是_____度.答案:##度分析:根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得,,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得,進(jìn)而可求解.【詳解】解:在平行四邊形中,,,∴,,∵,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì),找到角之間的關(guān)系并正確求解是解答的關(guān)鍵.5.如圖,在四邊形中,與交于點(diǎn),,,垂足分別為點(diǎn),,且,.求證:四邊形是平行四邊形.答案:見解析分析:結(jié)合已知條件推知;然后由全等三角形的判定定理證得,則其對(duì)應(yīng)邊相等:;最后根據(jù)“對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論.【詳解】證明:,..在與中,...四邊形是平行四邊形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定,三角形全等的判定及性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定:(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.6.如圖,將平行四邊形沿對(duì)角線折疊,使點(diǎn)A落在E處.若,,則的度數(shù)為(
)A. B. C. D.答案:C分析:先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),得出,根據(jù)平行線的性質(zhì),得出,根據(jù)折疊得出,根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠A的度數(shù)即可.【詳解】解:∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴,,根據(jù)折疊可知,,∴,,∴,故C正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,折疊性質(zhì),根據(jù)已知條件求出是解題的關(guān)鍵.7.1.如圖,在?ABCD中,AB=8,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),AE=3,連接DE,過點(diǎn)C作CF∥DE,交AB的延長線于點(diǎn)F,則BF的長為()A.5 B.4 C.3 D.2答案:C分析:根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知CD=AB=8,由AE=3,可得BE的長,再判定四邊形DEFC是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得EF的長,由BF=EF﹣BE,即可求出BF.【詳解】解:∵在?ABCD中,AB=8,∴CD=AB=8,AB∥CD,∵AE=3,∴BE=AB﹣AE=5,∵CF∥DE,∴四邊形DEFC是平行四邊形,∴DC=EF=8,∴BF=EF﹣BE=8﹣5=3.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及判定,能夠熟練運(yùn)用平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.8.將一個(gè)三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上,∠EFG=90°,∠EGF=60°,∠AEF=50°,則∠EGC的度數(shù)為()A.100° B.80° C.70° D.60°答案:B分析:由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥DC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,即可得到∠GEF的度數(shù),依據(jù)平行線的性質(zhì),即可得到∠EGC的度數(shù).【詳解】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴,∴∠AEG=∠EGC,∵∠EFG=90°,∠EGF=60°,∴∠GEF=30°,∴∠GEA=80°,∴∠EGC=80°.故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì),掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.9.如圖,在四邊形ABCD中,,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使四邊形ABCD成為平行四邊形,你所添加的條件為___________(寫一個(gè)即可).答案:ABDC(答案不唯一)分析:根據(jù)平行四邊形的判定條件解答即可.【詳解】解:∵AB=DC,再加ABDC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,故答案為:ABDC(答案不唯一)【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定,熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.10.如圖,在中,,若,則的度數(shù)是______.答案:##40度分析:根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行可得,利用平行線的性質(zhì)可得,因此利用直角三角形兩個(gè)銳角互余求出即可.【詳解】解:∵四邊形是平行四邊形,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,難度較小,解題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí).11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),,將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是______.答案:或分析:根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得:BM=B1M1=B2M2=3,∠AOA1=∠AOA2=90°,可得B1和B2的坐標(biāo),即是B'的坐標(biāo).【詳解】解:∵A(-1,2),OC=4,∴C(4,0),B(3,2),M(0,2),BM=3,AB//x軸,BM=3.將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O分別順時(shí)針、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,由旋轉(zhuǎn)得:OM=OM1=OM2=2,∠AOA1=∠AOA2=90°BM=B1M1=B2M2=3,A1B1⊥x軸,A2B2⊥x軸,∴B1和B2的坐標(biāo)分別為:(-2,3),(2,-3),∴B'即是圖中的B1和B2,坐標(biāo)就是,B'(-2,3),(2,-3),故答案為:(-2,3)或(2,-3).【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.12.如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上,且BE=DF.求證:(1)△ABE≌△CDF;(2)四邊形AECF是平行四邊形.答案:(1)見解析(2)見解析分析:(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得,,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,結(jié)合已知條件根據(jù)SAS即可證明;(2)根據(jù)可得,根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義可得,可得,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等即可得出.【詳解】(1)證明:解:∵四邊形是平行四邊形,∴,,∴,又,∴(SAS);(2)證明:∵,∴∴,∴四邊形AECF是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定,全等三角形的性質(zhì)與判定,掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.考向二:矩形1.定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.性質(zhì):(1)具有平行四邊形的所有性質(zhì);(2)四個(gè)角都是直角;(3)對(duì)角線互相平分且相等;(4)中心對(duì)稱圖形,軸對(duì)稱圖形.3.面積:4.判定:(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.(2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.(3)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.5.由矩形得直角三角形的性質(zhì):(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;(2)直角三角形中,30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.1.對(duì)于任意的矩形,下列說法一定正確的是()A.對(duì)角線垂直且相等B.四邊都互相垂直C.四個(gè)角都相等D.是軸對(duì)稱圖形,但不是中心對(duì)稱圖形答案:C分析:直接利用矩形的性質(zhì)分析得出答案.【詳解】解:A、矩形的對(duì)角線相等,但不垂直,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、矩形的鄰邊都互相垂直,對(duì)邊互相平行,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、矩形的四個(gè)角都相等,正確;D、矩形是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì),正確把握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.2.在下列條件中,能夠判定為矩形的是(
)A. B. C. D.答案:D分析:根據(jù)矩形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】當(dāng)AB=AC時(shí),不能說明是矩形,所以A不符合題意;當(dāng)AC⊥BD時(shí),是菱形,所以B不符合題意;當(dāng)AB=AD時(shí),是菱形,所以C不符合題意;當(dāng)AC=BD時(shí),是矩形,所以D符合題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定,掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形;對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.3.如圖,在矩形中,,則D的坐標(biāo)為(
)A. B. C. D.答案:D分析:先根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AB的長,則CD=AB=6,并證明軸,同理可得軸,由此即可得到答案.【詳解】解:∵A(-3,2),B(3,2),∴AB=6,軸,∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=6,軸,同理可得軸,∵點(diǎn)C(3,-1),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,-1),故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形,矩形的性質(zhì),熟知矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4.如圖,E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點(diǎn),AH=CF,AE=CG,∠EHF=60°,∠GHF=45°.若AH=2,AD=5+.則四邊形EFGH的周長為(
)A. B. C. D.答案:A分析:證明四邊形EFGH為平行四邊形,作交于點(diǎn)P,交于點(diǎn)K,設(shè),表示出,,,,進(jìn)一步表示出,,,利用勾股定理即可求出a的值,進(jìn)一步可求出邊形EFGH的周長.【詳解】解:∵四邊形ABCD為矩形,∴,,∵,,∴,,在和中,∴,∴,同理:,∴,∴四邊形EFGH為平行四邊形,作交于點(diǎn)P,交于點(diǎn)K,設(shè),∵,,,,∴,,,,∴,,∴,∵,∴ABKH為矩形,即,∵,,∴,即,解得:,∴四邊形EFGH的周長為:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定及性質(zhì),平行四邊形的判定及性質(zhì),勾股定理,全等三角形的判定及性質(zhì),解題的關(guān)鍵是利用求出a的值.5.如圖,矩形中,,,對(duì)角線的垂直平分線交于點(diǎn)、交于點(diǎn),則線段的長為__.答案:##7.5分析:根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD,證明△BOF∽△BCD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式,求出EF即可.【詳解】解:如圖:四邊形是矩形,,又,,,是的垂直平分線,,,又,,,,解得,,四邊形是矩形,,,,是的垂直平分線,,,在和中,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用,掌握矩形的四個(gè)角是直角、對(duì)邊相等以及線段垂直平分線的定義是解題的關(guān)鍵.6.如圖,在中,E為的中點(diǎn),連接并延長交的延長線于點(diǎn)F,連接,,若,求證:四邊形是矩形.答案:見解析分析:根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和E為的中點(diǎn),易得,得到,,結(jié)合得到四邊形ABFC是平行四邊形,再利用,得到,最后利用矩形的判定定理判定即可.【詳解】證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴,,,∴,.∵E為的中點(diǎn),∴.在和中,∴,∴,.∵,延長交的延長線于點(diǎn)F,∴,∴四邊形ABFC是平行四邊形.∵,,∴.∴四邊形是矩形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),矩形的判定,得到是解答關(guān)鍵.7.要檢驗(yàn)一個(gè)四邊形的桌面是否為矩形,可行的測(cè)量方案是(
)A.測(cè)量兩條對(duì)角線是否相等B.度量兩個(gè)角是否是90°C.測(cè)量兩條對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等D.測(cè)量兩組對(duì)邊是否分別相等答案:C分析:由對(duì)角線的相等不能判定平行四邊形,可判斷A,兩個(gè)角為不能判定矩形,可判斷B,對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,可判斷矩形,從而可判斷C,由兩組對(duì)邊分別相等判斷的是平行四邊形,可判斷D,從而可得答案.【詳解】解:A、測(cè)量兩條對(duì)角線是否相等,不能判定為平行四邊形,更不能判定為矩形,故選項(xiàng)A不符合題意;B、度量兩個(gè)角是否是90°,不能判定為平行四邊形,更不能判定為矩形,故選項(xiàng)B不符合題意;C、測(cè)量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等,可以判定為矩形,故選項(xiàng)C符合題意;D、測(cè)量兩組對(duì)邊是否相等,可以判定為平行四邊形,故選項(xiàng)D不符合題意;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定,掌握“矩形的判定方法”是解本題的關(guān)鍵.8.如圖所示,將一矩形紙片沿AB折疊,已知,則(
)A.48° B.66° C.72° D.78°答案:C分析:由折疊及矩形的性質(zhì)可得,再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出,根據(jù)周角的定義求解即可.【詳解】∵將一矩形紙片沿AB折疊,∴,,,,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì),折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì),熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.9.如圖,將矩形紙片ABCD沿CE折疊,使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處.若點(diǎn)E在邊AB上,AB=3,BC=5,則AE=________.答案:##分析:由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5,BE=EF,由矩形性質(zhì)有CD=AB=3,BC=AD=5,勾股定理求得DF,AF.設(shè)BE=EF=x,則AE=AB-BE,在直角三角形AEF中,根據(jù)勾股定理,建立方程,解方程即可求解.【詳解】解:由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5,BE=EF,由矩形性質(zhì)有CD=AB=3,BC=AD=5,∵∠D=90°,∴,所以,所以BE=EF=x,則AE=AB-BE=3-x,在直角三角形AEF中:,∴,解得,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形折疊的性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì),在直角三角形AEF中運(yùn)用勾股定理建立方程求解是關(guān)鍵.10.如圖,在矩形中,是邊上一點(diǎn),且,與相交于點(diǎn),若的面積是,則的面積是______.答案:27分析:根據(jù)矩形的性質(zhì),很容易證明∽,相似三角形之比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方,即可求出的面積.【詳解】解:四邊形是矩形,,,,∽,,,::,::,即::,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),綜合性比較強(qiáng),學(xué)生要靈活應(yīng)用.掌握相似三角形的面積比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵.11.如圖,矩形ABCD中,,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,,垂足為點(diǎn)H,若,則AD的長為_______________.答案:分析:由矩形的性質(zhì)得,,求出,利用30°角的直角三角形的性質(zhì)求出CH的長度,再利用勾股定理求出DH的長度,根據(jù)求出,然后由含角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】解:四邊形ABCD是矩形,,,,,,∴在中,,,,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)以及直角三角形30°的性質(zhì),熟練掌握直角三角形30°的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.12.如圖,在菱形中,,,過點(diǎn)作的垂線,交的延長線于點(diǎn).點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn),的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(單位:),且,過作于點(diǎn),連結(jié).(1)求證:四邊形是矩形.(2)連結(jié),,點(diǎn),在運(yùn)動(dòng)過程中,與是否能夠全等?若能,求出此時(shí)的值;若不能,請(qǐng)說明理由.答案:(1)見解析(2)與能夠全等,此時(shí)分析:(1)根據(jù)題意可得,再根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得,從而得到FG=EH,再由FG∥EH,可得四邊形EFGH是平行四邊形,即可求證;(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得∠CBF=∠CDE,,然后分兩種情況討論,即可求解.【詳解】(1)證明:根據(jù)題意得:,在菱形ABCD中,AB=BC,AC⊥BD,OB=OD,∵∠ABC=60°,,∴,∠CBO=30°,又∵∠BGF=90°,∴,∴FG=EH,∵,DH⊥BH,∴FG∥EH,∴四邊形EFGH是平行四邊形,∵∠H=90°,∴四邊形是矩形.(2)解:能,∵AB∥CD,∠ABC=60°,∴∠DCH=60°,∵∠H=90°,∴∠CDE=30°,∴∠CBF=∠CDE,,∴,∵BC=DC,∴當(dāng)∠BFC=∠CED或∠BFC=∠DCE時(shí),與能夠全等,當(dāng)∠BFC=∠CED時(shí),,此時(shí)BF=DE,∴,解得:t=1;當(dāng)∠BFC=∠DCE時(shí),BC與DE是對(duì)應(yīng)邊,而,∴BC≠DE,則此時(shí)不成立;綜上所述,與能夠全等,此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì),矩形的判定,直角三角形的性質(zhì),解直角三角形,熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.考向三:菱形1.定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.性質(zhì):(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì);(2)四條邊相等;(3)兩條對(duì)角線互相平分且垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;(4)中心對(duì)稱圖形,軸對(duì)稱圖形.3.面積:4.判定:(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;(2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形;(3)四邊相等的四邊形是菱形.1.順次連接菱形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是(
)A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.正方形答案:C分析:畫出圖形,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ACBD,根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理證明結(jié)論.【詳解】解:∵四邊形ABCD是菱形,∴ACBD,∵E,F(xiàn),G,H是菱形各邊的中點(diǎn),∴EFBD,F(xiàn)GAC,∴EFFG,同理:FGHG,GHEH,HEEF,∴四邊形EFGH是矩形.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是中點(diǎn)四邊形,掌握菱形的性質(zhì)定理、矩形的判定定理以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵.2.如圖,下列條件中能使成為菱形的是(
)A. B. C. D.答案:D分析:根據(jù)菱形的判定定理可得.【詳解】解:A、AB=CD不能判定?ABCD是菱形,故不符合題意;B、AC=BD只能判定?ABCD是矩形,故不符合題意;C、∠BAD=90°只能判定?ABCD是矩形,故不符合題意;D、AB=BC能判定?ABCD是菱形,故符合題意;故選:D.【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定,熟練地掌握菱形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵.3.如圖,在菱形中,分別以、為圓心,大于為半徑畫弧,兩弧分別交于點(diǎn)、,連接,若直線恰好過點(diǎn)與邊交于點(diǎn),連接,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
)A. B.若,則C. D.答案:B分析:利用菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解:由作法得MN垂直平分CD,∴AD=AC,CM=DM,∠AED=90°,∵四邊形ABCD為菱形,∴AB=BC=AD,∴AB=BC=AC,∴ΔABC為等邊三角形,∴∠ABC=60°∴∠BCD=120°,即A選項(xiàng)的結(jié)論正確,不符合題意;當(dāng)AB=3,則CE=DE=,∵∠D=60°,∴AE=,∠DAE=30°,∠BAD=120°∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°在Rt△ABE中,BE=,所以B選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤,符合題意;∵菱形ABCD∴.BC=CD=2CE,即,所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確,不符合題意;∵ABCD,AB=2DE,∴,所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確,不符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考作已知線段的垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.4.如圖,已知四邊形是平行四邊形,從①,②,③中選擇一個(gè)作為條件,補(bǔ)充后使四邊形成為菱形,則其選擇是___(限填序號(hào)).答案:①分析:根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)即可得.【詳解】解:①時(shí),平行四邊形是菱形(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形);②時(shí),平行四邊形是矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形);③由平行四邊形的性質(zhì)可知,,則不能作為構(gòu)成菱形的條件;故答案為:①.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵.5.如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E為AD的中點(diǎn),連接OE,,,則(
)A.4 B. C.2 D.答案:C分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)得出,,再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得出.利用菱形性質(zhì)、直角三角形邊長公式求出,進(jìn)而求出.【詳解】是菱形,E為AD的中點(diǎn),,.是直角三角形,.,,,.,即,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形、直角三角形的性質(zhì)的理解與應(yīng)用能力.解題關(guān)鍵是得出并求得.求解本題時(shí)應(yīng)恰當(dāng)理解并運(yùn)用菱形對(duì)角線互相垂直且平分、對(duì)角相等,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì).6.如圖,四邊形ABCD是菱形,E,F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),且,連接BF.FD,DE,EB.求證:四邊形DEBF是菱形.答案:見解析分析:先證明四邊形DEBF是平行四邊形,再結(jié)合可得結(jié)論.【詳解】連接BD,交AC于點(diǎn)O,∵四邊形ABCD是茥形,∴,,,又∵,∴,即,∴四邊形DEBF是平行四邊形.又∵,即,∴四邊形DEBF是菱形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明四邊形是菱形,證明四邊形DEBF是平行四邊形是解題的關(guān)鍵.7.如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(
)A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC答案:C分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可求解.【詳解】解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,AC⊥BD,∠DAC=∠BAC,故A、B、D選項(xiàng)正確,不能得出,故C選項(xiàng)不正確,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8.如圖,?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,下列說法正確的是(
)A.若OB=OD,則?ABCD是菱形 B.若AC=BD,則?ABCD是菱形C.若OA=OD,則?ABCD是菱形 D.若AC⊥BD,則?ABCD是菱形答案:D分析:由矩形的判定和菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:A、∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB=OD,故選項(xiàng)A不符合題意;B、∵四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD,∴?ABCD是矩形,故選項(xiàng)B不符合題意;C、∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC=AC,OB=OD=BD,∵OA=OD,∴AC=BD,∴?ABCD是矩形,故選項(xiàng)C不符合題意;D、∵四邊形ABCD是平行四邊形,AC⊥BD,∴?ABCD是菱形,故選項(xiàng)D符合題意;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關(guān)鍵.9.如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,E為AD邊的中點(diǎn),連接CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F.若∠DEF=∠DFE,則這個(gè)菱形的面積為()A.16 B.6 C.12 D.30答案:B分析:連接AC交BD于O,如圖,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到,CB=CD=AD=4,AC⊥AB,BO=OD,OC=AO,再利用∠DEF=∠DFE得到DF=DE=2,證明∠BCF=∠BFC得到BF=BC=4,則BD=6,所以O(shè)B=OD=3,接著利用勾股定理計(jì)算出OC,從而得到AC=,然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算它的面積.【詳解】解:連接AC交BD于O,如圖,∵四邊形ABCD為菱形,∴,CB=CD=AD=4,AC⊥AB,BO=OD,OC=AO,∵E為AD邊的中點(diǎn),∴DE=2,∵∠DEF=∠DFE,∴DF=DE=2,∵,∴∠DEF=∠BCF,∵∠DFE=∠BFC,∴∠BCF=∠BFC,∴BF=BC=4,∴BD=BF+DF=4+2=6,∴OB=OD=3,在Rt△BOC中,,∴AC=2OC=,∴菱形ABCD的面積=AC?BD=.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì):菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì);菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;菱形面積=ab(a、b是兩條對(duì)角線的長度).10.如圖,在菱形紙片ABCD中,E是BC邊上一點(diǎn),將△ABE沿直線AE翻折,使點(diǎn)B落在上,連接.已知∠C=120°,∠BAE=50°,則的度數(shù)為()A.50° B.60° C.80° D.90°答案:C分析:由翻折的性質(zhì)知∠BAE==50°,=AB,再由菱形的性質(zhì)得∠BAD=120°,=AD,最后利用三角形內(nèi)角和定理可得答案.【詳解】解:∵四邊形ABCD是菱形,∠C=120°,∴∠BAD=∠C=120°,AB=AD,∵將△ABE沿直線AE翻折,使點(diǎn)B落在上,∴∠BAE==50°,=AB,∴=100°,=AD,∴=20°,∴==(180°-20°)÷2=80°,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì),翻折的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),求出=20°是解題的關(guān)鍵.11.如圖,菱形的邊長為,,將該菱形沿AC方向平移得到四邊形,交CD于點(diǎn)E,則點(diǎn)E到AC的距離為____________.答案:2分析:首先根據(jù)菱形對(duì)角線的性質(zhì)得出AC的長,然后利用菱形對(duì)角線平分對(duì)角和平移的性質(zhì)得出等腰,過頂點(diǎn)作垂線段EF,利用三線合一得出CF的長,再利用直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半和勾股定理列出方程,即可求解.【詳解】∵∠BAD=60°,∴連接對(duì)角線AC,BD,則AC⊥BD,且AC平分∠BAD,∴在Rt△ADO中,利用勾股定理得又∵AC=2AO,∴AC=,由題可知=,∴A’C=;由平移可知=∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,∴=∠DCA,即==30°,∴是等腰三角形;過點(diǎn)E作EF⊥AC,垂足為F,如圖所示:則由等腰三角形三線合一可得:A’F=FC=,在Rt△ECF中,,設(shè)EF=x,則EC=2x,由勾股定理得:,解得x=2,故填:2.【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì),等腰三角形三線合一,直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半和勾股定理;菱形對(duì)角線互相垂直且平分,一條對(duì)角線平分一組對(duì)角,熟知概念定理是解題的關(guān)鍵.12.如圖,在四邊形ABCD中,ABCD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E為AB中點(diǎn),連接CE.(1)求證:四邊形AECD為菱形;(2)若∠D=120°,DC=2,求△ABC的面積.答案:(1)見詳解(2)△ABC的面積為分析:(1)由題意易得CD=AE,∠DAC=∠EAC=∠DCA,則有四邊形AECD是平行四邊形,然后問題可求證;(2)由(1)及題意易得,則有△BCE是等邊三角形,然后可得△ACB是直角三角形,則,進(jìn)而問題可求解.【詳解】(1)證明:∵ABCD,AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠EAC,∠EAC=∠DCA,∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC,∵AB=2CD,E為AB中點(diǎn),∴,∵,∴四邊形AECD是平行四邊形,∵DA=DC,∴四邊形AECD是菱形;(2)解:由(1)知:,∵∠D=120°,∴,∵E為AB中點(diǎn),∴,∴△BCE是等邊三角形,∴,,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì),熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.考向四:正方形1.定義:四條邊都相等,四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2.性質(zhì):(1)對(duì)邊平行;(2)四個(gè)角都是直角;(3)四條邊都相等;(4)對(duì)角線互相垂直平分且相等,對(duì)角線平分對(duì)角;(5)兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形;(6)中心對(duì)稱圖形,軸對(duì)稱圖形.3.面積:邊長×邊長=×對(duì)角線×對(duì)角線4.判定:(1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形;(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形;(3)對(duì)角線相等的菱形是正方形;(4)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形;(5)對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形;(6)四條邊都相等,四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.1.如圖,正方形的邊長為,將正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(
)A. B. C. D.答案:D分析:連接OB,由正方形ABCD繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,推出,得到△為等腰直角三角形,點(diǎn)在y軸上,利用勾股定理求出O即可.【詳解】解:連接OB,∵正方形ABCD繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,∴,,∴,∴△為等腰直角三角形,點(diǎn)在y軸上,∵,∴=2,∴(0,2),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),特殊三角形的性質(zhì).關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)角證明點(diǎn)B1在y軸上.2.如圖,P為AB上任意一點(diǎn),分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則為()A.2α B.90°﹣α C.45°+α D.90°﹣α答案:B分析:根據(jù)題意可得,從而即可.【詳解】∵四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形,∴AP=CP,PF=PB,,∴,∴∠AFP=∠CBP,又∵,∴,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定,熟練掌握正方形的性質(zhì),全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.3.如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線AC下方的一點(diǎn),∠1=∠2,則∠BPC的度數(shù)為_____°.答案:135分析:由正方形的性質(zhì)可得∠ACB=∠BAC=45°,可得∠2+∠BCP=45°=∠1+∠BCP,由三角形內(nèi)角和定理可求解.【詳解】解:∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACB=∠BAC=45°∴∠2+∠BCP=45°∵∠1=∠2∴∠1+∠BCP=45°∵∠BPC=180°﹣∠1﹣∠BCP∴∠BPC=135°故答案為:135.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.4.如圖,在菱形中,對(duì)角線,相交于點(diǎn),點(diǎn),在對(duì)角線上,且,.求證:四邊形是正方形.答案:證明過程見解析分析:菱形的兩條對(duì)角線相互垂直且平分,再根據(jù)兩條對(duì)角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形即可證明四邊形AECF是正方形.【詳解】證明:∵四邊形ABCD是菱形∴OA=OC,OB=OD且AC⊥BD,又∵BE=DF∴OB-BE=OD-DF即OE=OF∵OE=OA∴OA=OC=OE=OF且AC=EF又∵AC⊥EF∴四邊形DEBF是正方形.【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)和正方形的判定,解題的關(guān)鍵是掌握上述知識(shí).5.如圖,O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn),為等邊三角形.若,則的長度為(
)A. B. C. D.答案:B分析:利用勾股定理求出AC的長度,再利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題.【詳解】在正方形中:,∴,∵O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn),∴,∵為等邊三角形,O為的中點(diǎn),∴,,∴,∴,故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì),勾股定理,等邊三角形的性質(zhì),掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.6.如圖,在正方形中,,分別是,的中點(diǎn),,交于點(diǎn),連接.下列結(jié)論:①;②;③.其中正確的結(jié)論是(
)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③答案:D分析:根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°,得到,,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ECB=∠CDF,CE=DF,故①正確;求得∠CGD=90°,根據(jù)垂直的定義得到CE⊥DF,故②正確;延長CE交DA的延長線于H,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AE=BE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AH=AD,由AG是斜邊的中線,得到,求得∠ADG=∠AGD,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AGE=∠CDF,故③正確.【詳解】解:四邊形是正方形,,,,分別是,的中點(diǎn),,,,在與中,,,,,故①正確;,,,,故②正確;,如圖,延長交的延長線于,∵AD//BC,∴∠AHE=∠BCE,點(diǎn)是的中點(diǎn),,,,,,,是斜邊的中線,,,,,.故③正確;故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí),此題綜合性很強(qiáng),難度較大,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.7.如圖,四邊形為正方形,點(diǎn)E是的中點(diǎn),將正方形沿折疊,得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,延長交線段于點(diǎn)P,若,則的長度為___________.答案:2分析:連接AP,根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明Rt△AFP≌Rt△ADP(HL),可得PF=PD,設(shè)PF=PD=x,則CP=CD?PD=6?x,EP=EF+FP=3+x,然后根據(jù)勾股定理即可解決問題.【詳解】解:連接AP,如圖所示,∵四邊形ABCD為正方形,∴AB=BC=AD=6,∠B=∠C=∠D=90°,∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∴BE=CE=AB=3,由翻折可知:AF=AB,EF=BE=3,∠AFE=∠B=90°,∴AD=AF,∠AFP=∠D=90°,在Rt△AFP和Rt△ADP中,,∴Rt△AFP≌Rt△ADP(HL),∴PF=PD,設(shè)PF=PD=x,則CP=CD?PD=6?x,EP=EF+FP=3+x,在Rt△PEC中,根據(jù)勾股定理得:EP2=EC2+CP2,∴(3+x)2=32+(6?x)2,解得x=2,則DP的長度為2,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換,正方形的性質(zhì),勾股定理,解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).8.問題解決:如圖1,在矩形中,點(diǎn)分別在邊上,于點(diǎn).(1)求證:四邊形是正方形;(2)延長到點(diǎn),使得,判斷的形狀,并說明理由.類比遷移:如圖2,在菱形中,點(diǎn)分別在邊上,與相交于點(diǎn),,求的長.答案:問題解決:(1)見解析;(2)等腰三角形,理由見解析;類比遷移:8分析:問題解決:(1)證明矩形ABCD是正方形,則只需證明一組鄰邊相等即可.結(jié)合和可知,再利用矩形的邊角性質(zhì)即可證明,即,即可求解;(2)由(1)中結(jié)論可知,再結(jié)合已知,即可證明,從而求得是等腰三角形;類比遷移:由前面問題的結(jié)論想到延長到點(diǎn),使得,結(jié)合菱形的性質(zhì),可以得到,再結(jié)合已知可得等邊,最后利用線段BF長度即可求解.【詳解】解:問題解決:(1)證明:如圖1,∵四邊形是矩形,....又.∴矩形是正方形.(2)是等腰三角形.理由如下:,.又,即是等腰三角形.類比遷移:如圖2,延長到點(diǎn),使得,連接.∵四邊形是菱形,...又.是等邊三角形,,.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的證明、菱形的性質(zhì)、三角形全等的判斷與性質(zhì)等問題,屬于中檔難度的幾何綜合題.理解題意并靈活運(yùn)用,做出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵.1.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,一定正確的是(
)A. B. C. D.答案:C分析:根據(jù)平行四邊形的性質(zhì):平行四邊形的對(duì)邊相等,然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AD=BC.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).2.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=4,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且E,F(xiàn),G,H分別是AO,BO,CO,DO的中點(diǎn),則下列說法正確的是(
)A.EH=HG B.四邊形EFGH是平行四邊形C.AC⊥BD D.的面積是的面積的2倍答案:B分析:根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng)即可解答,【詳解】解:因?yàn)镋、H為OA、OD的中點(diǎn),所以,EH==2,同理,HG==1,所以,A錯(cuò)誤;EH∥AD,EH=,F(xiàn)G∥BC,F(xiàn)G=,因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中,AD=BC,且AD∥BC,所以,EH=FG,且EH∥FG,所以,四邊形EFGH是平行四邊形,B正確.AC與BD不一定垂直,C錯(cuò)誤;由相似三角形的面積比等于相似比的平方,知:△ABC的面積是△EFO的面積的4倍,D錯(cuò)誤;故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握是解題的關(guān)鍵.3.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)如圖,在正方形中,,點(diǎn),分別在邊,上,.若將四邊形沿折疊,點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處,則的長度為(
)A.1 B. C. D.2答案:D分析:由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°,由折疊得到,進(jìn)而得到,然后在中由30°所對(duì)直角邊等于斜邊一半即可求解.【詳解】解:∵四邊形ABCD是正方形,∴CD∥AB,∴∠EFD=∠FEB=60°,由折疊前后對(duì)應(yīng)角相等可知:,∴,∴,設(shè)AE=x,則,∴AB=AE+BE=3x=3,∴x=1,∴BE=2x=2,故選:D.【點(diǎn)睛】本題借助正方形考查了折疊問題,30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)點(diǎn),折疊問題的性質(zhì)包括折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等,折疊產(chǎn)生角平分線,由此即可解題.4.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,矩形的對(duì)角線,交于點(diǎn),,,過點(diǎn)作,交于點(diǎn),過點(diǎn)作,垂足為,則的值為(
)A. B. C. D.答案:C分析:根據(jù)勾股定理求出AC=BD=10,由矩形的性質(zhì)得出AO=5,證明得到OE的長,再證明可得到EF的長,從而可得到結(jié)論.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形,,,,,,,,,又,,,,,,,同理可證,,,,,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.5.(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題)已知菱形,是動(dòng)點(diǎn),邊長為4,,則下列結(jié)論正確的有幾個(gè)(
)①;
②為等邊三角形
③
④若,則A.1 B.2 C.3 D.4答案:D分析:①易證△ABC為等邊三角形,得AC=BC,∠CAF=∠B,結(jié)合已知條件BE=AF可證△BEC≌△AFC;②得FC=EC,∠FCA=∠ECB,得∠FCE=∠ACB,進(jìn)而可得結(jié)論;③證明∠AGE=∠BFC則可得結(jié)論;④分別證明△AEG∽△FCG和△FCG∽△ACF即可得出結(jié)論.【詳解】在四邊形是菱形中,∵,∴∵∴∴△ABC為等邊三角形,∴又,∴,故①正確;∴,∴∠FCE=∠ACB=60°,∴為等邊三角形,故②正確;∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°,∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°,又∵∠CEF=∠CAB=60°,∴∠BEC=∠AGE,由①得,∠AFC=∠BEC,∴∠AGE=∠AFC,故③正確;∴∠AEG=∠FCG∴△AEG∽△FCG,∴,∵∠AGE=∠FGC,∠AEG=∠FCG∴∠CFG=∠GAE=∠FAC,∴△ACF∽△FCG,∴∴∵AF=1,∴BE=1,∴AE=3,∴,故④正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用菱形的性質(zhì)求解,主要的知識(shí)點(diǎn)有:全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì),難度較大,綜合性較強(qiáng),是一道好題.6.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,正方形ABCD的面積為3,點(diǎn)E在邊CD上,且CE=1,∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F,點(diǎn)M,N分別是BE,BF的中點(diǎn),則MN的長為(
)A. B.C. D.答案:D分析:如圖,連接EF,先證明再求解可得再求解可得為等腰直角三角形,求解再利用三角形的中位線的性質(zhì)可得答案.【詳解】解:如圖,連接EF,∵正方形ABCD的面積為3,∵∴∴∴∵平分∴∴∴為等腰直角三角形,∵分別為的中點(diǎn),故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用,等腰直角三角形的判定與性質(zhì),角平分線的定義,三角形的中位線的性質(zhì),求解是解本題的關(guān)鍵.7.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)菱形的邊長為5,則它的周長為____________.答案:20分析:根據(jù)菱形的四條邊相等,即可求出.【詳解】∵菱形的四條邊相等.∴周長:,故答案為:20.【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì);熟練掌握菱形的性質(zhì)是本題解題關(guān)鍵.8.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,AD=10,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC+BD=22,則△BOC的周長為________答案:21分析:根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分,求出OC+OB的長,即可解決問題.【詳解】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=OC=AC,BO=OD=BD,BC=AD=10,∵AC+BD=22,∴OC+BO=11,∵BC=10,∴△BOC的周長=OC+OB+BC=16+10=21.故答案為:21.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及三角形周長等知識(shí),解題的關(guān)鍵是記住平行四邊形的對(duì)角線互相平分,屬于中考基礎(chǔ)題.9.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)如圖,在菱形中,,取大于的長為半徑,分別以點(diǎn),為圓心作弧相交于兩點(diǎn),過此兩點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)(作圖痕跡如圖所示),連接,,則的度數(shù)為_________.答案:45°分析:根據(jù)題意知虛線為線段AB的垂直平分線,得AE=BE,得;結(jié)合°,,可計(jì)算的度數(shù).【詳解】∵∴∴故答案為:45°.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),及垂直平分線的性質(zhì),熟知以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.10.(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題)如圖在正方形中,,將沿翻折,使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在對(duì)角線上,將沿翻折,使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上,求______.答案:分析:作于點(diǎn),構(gòu)造直角三角形,運(yùn)用勾股定理求解即可.【詳解】作于點(diǎn),由折疊可知:,,∴正方形邊長∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找直角三角形解決問題,學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題,11.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)如圖,在中,.過點(diǎn)D作,垂足為E,則______.答案:分析:首先根據(jù)題目中的,求出ED的長度,再用勾股定理求出AE,即可求出EB,利用平行四邊形的性質(zhì),求出CD,在Rt△DEC中,用勾股定理求出EC,再作BF⊥CE,在△BEC中,利用等面積法求出BF的長,即可求出.【詳解】∵,∴△ADE為直角三角形,又∵,∴,解得DE=4,在Rt△ADE中,由勾股定理得:,又∵AB=12,∴,又∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中,由勾股定理得:,過點(diǎn)B作BF⊥CE,垂足為F,如圖在△EBC中:S△EBC=;又∵S△EBC∴,解得,在Rt△BFC中,,故填:.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形,平行四邊形的性質(zhì),勾股定理,三角形的等面積法求一邊上的高線,解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計(jì)算,平行四邊形的性質(zhì),勾股定理的計(jì)算和等面積法求一邊上的高.12.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在矩形ABCD中,BC=2AB,點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP',連接PP',CP'.當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí),∠PP'C的度數(shù)為________;當(dāng)線段CP'的長度最小時(shí),∠PP'C的度數(shù)為________答案:
120°##120度
75°##75度分析:如圖,以AB為邊向右作等邊△ABE,連接EP′.利用全等三角形的性質(zhì)證明∠BEP′=90°,推出點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動(dòng),如圖1中,設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O,再證明△BEO是等腰直角三角形,可得結(jié)論.【詳解】解:如圖,以AB為邊向右作等邊△ABE,連接EP′.∵△BPP′是等邊三角形,∴∠ABE=∠PBP′=60°,BP=BP′,BA=BE,∴∠ABP=∠EBP′,在△ABP和△EBP′中,∴△ABP≌△EBP′(SAS),∴∠BAP=∠BEP′=90°,∴點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動(dòng),如圖1中,設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O,當(dāng)點(diǎn)P′落在BC上時(shí),點(diǎn)P′與O重合,此時(shí)∠PP′C=180°-60°=120°,當(dāng)CP′⊥EP′時(shí),CP′的長最小,此時(shí)∠EBO=∠OCP′=30°,∴EO=OB,OP′=OC,∴EP′=EO+OP′=OB+OC=BC,∵BC=2AB,∴EP′=AB=EB,∴∠EBP′=∠EP′B=45°,∴∠BP′C=45°+90°=135°,∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-60°=75°.故答案為:120°,75°.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),矩形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,屬于中考填空題中的壓軸題.13.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,AB=6,連接BD.(1)求BD的長;(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,D重合),點(diǎn)F在邊AD上,且BE=DF,①當(dāng)CE丄AB時(shí),求四邊形ABEF的面積;②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí),CE+CF的值是否也最?。咳绻?,求CE+CF的最小值;如果不是,請(qǐng)說明理由.答案:(1);(2)①四邊形ABEF的面積為;②最小值為12分析:(1)證明△ABC是等邊三角形,可得BO=,即可求解;(2)過點(diǎn)E作AD的垂線,分別交AD和BC于點(diǎn)M,N,根據(jù)菱形的面積可求出MN=,設(shè)BE=,則EN=,從而得到EM=MN-EN=,再由BE=DF,可得DF=,從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF,①當(dāng)CE⊥AB時(shí),可得點(diǎn)E是△ABC重心,從而得到BE=CE=BO=,即可求解;②作CH⊥AD于H,可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí),CF和CE分別達(dá)到最小值;再由,可得當(dāng),即BE=時(shí),s達(dá)到最小值,從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置,而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置,即可求解.【詳解】(1)解∶連接AC,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,如圖,∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,AB∥CD,AC平分∠DAB,∵∠BAD=120°,∴∠CAB=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴BO=AB?sin60°==,∴BD=2BO=;(2)解:如圖,過點(diǎn)E作AD的垂線,分別交AD和BC于點(diǎn)M,N,∵△ABC是等邊三角形,∴AC=AB=6,由(1)得:BD=;菱形ABCD中,對(duì)角線BD平分∠ABC,AB∥CD,BC=AB=6,∴MN⊥BC,∵∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,∴∠EBN=30°;∴EN=BE∵,∴MN=,設(shè)BE=,則EN=,∴EM=MN-EN=,∵S菱形ABCD=AD?MN=,∴S△ABD=S菱形ABCD=,∵BE=DF,∴DF=,∴S△DEF=DF?EM==,記四邊形ABEF的面積為s,∴s=S△ABD-S△DEF=-(),∵點(diǎn)E在BD上,且不在端點(diǎn),∴0<BE<BD,即;①當(dāng)CE⊥AB時(shí),∵OB⊥AC,∴點(diǎn)E是△ABC重心,∴BE=CE=BO=,此時(shí)=,∴當(dāng)CE⊥AB時(shí),四邊形ABEF的面積為;②作CH⊥AD于H,如圖,∵CO⊥BD,CH⊥AD,而點(diǎn)E和F分別在BD和AD上,∴當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí),CF和CE分別達(dá)到最小值;在菱形ABCD中,AB∥CD,AD=CD,∵∠BAD=120°,∴∠ADC=60°,∴△ACD是等邊三角形,∴AH=DH=3,∴CH=,∵,∴當(dāng),即BE=時(shí),s達(dá)到最小值,∵BE=DF,∴DF=3,此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置,而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置,∴當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時(shí),CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值,∴CE+CF的值達(dá)到最小,其最小值為CO+CH==12.【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),三角形的重心,解直角三角形等知識(shí),熟練掌握菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),三角形的重心,解直角三角形等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.14.(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題)如圖,邊長為1的正方形中,點(diǎn)E為的中點(diǎn).連接,將沿折疊得到交于點(diǎn)G,求的長.答案:分析:根據(jù)題意,延長交于H連,通過證明、得到,再由得到,進(jìn)而即可求得的長.【詳解】解:延長交于H連,∵由沿折疊得到,∴,,∵E為中點(diǎn),正方形邊長為1,∴,∴,∵四邊形是正方形,∴,在和中,,∴,∴,又∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∵,,,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)以及正方形的性質(zhì),熟練掌握相關(guān)幾何知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.15.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在菱形ABCD中,,,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長BA到點(diǎn)F,使,且CF、DE相交于點(diǎn)G(1)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),證明:四邊形DFEC是平行四邊形;(2)當(dāng)時(shí),求AE的長;(3)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度.答案:(1)見解析;(2);(3).分析:(1)根據(jù)E為AB中點(diǎn)可得,再由菱形的性質(zhì)推出CD∥AB,,則,即可證明結(jié)論;(2)過點(diǎn)C作CH⊥AB交FB的延長線于點(diǎn)H,利用菱形及直角三角形的性質(zhì)可求出,并由勾股定理求得,再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)可證得,設(shè),則,可表示出,,即可由建立關(guān)于x的方程,求解后可得出AE的長;(3)連接AG并延長交CD于點(diǎn)M,連接BD交AM于點(diǎn)N,并連接BM,首先由菱形的性質(zhì)得出△ABD為等邊三角形,則,再由CD∥AB,得,,由此可證得,再結(jié)合得出,則由等腰三角形性質(zhì)推出,并分別求出,,最后根據(jù)題意可得點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度為線段AN的長,由平行線分線段成比例性質(zhì)可得出,此題得解.【詳解】(1)證明:∵E為AB中點(diǎn),∴.∴.∵四邊形ABCD是菱形,∴CD∥AB,.∴.∴四邊形DFEC是平行四邊形;(2)解:如圖,過點(diǎn)C作CH⊥AB交FB的延長線于點(diǎn)H,∵四邊形ABCD是菱形,,∴AD∥BC,.∴.∴.∴.則由勾股定理得
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