專題19平行四邊形(原卷版+解析)

專題19平行四邊形平行四邊形知識(shí)內(nèi)容主要包括平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)與判定，作為比較重要的幾何知識(shí)，在廣東中考中占有一定的考查比重，從往年考查來看，考查的頻率還是相對(duì)較高，基礎(chǔ)知識(shí)的單獨(dú)考查一般就是選擇或填空題，若考查知識(shí)的綜合性運(yùn)用則在解答題里以中等或較難的綜合題進(jìn)行考查，例如和三角形全等、解直角三角形以及函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行綜合應(yīng)用考查。平行四邊形的復(fù)習(xí)要多注重基礎(chǔ)，性質(zhì)與判定的掌握是重點(diǎn)，幾何思維的培養(yǎng)是難點(diǎn)，多進(jìn)行反復(fù)練習(xí)，達(dá)到迎接中考的水準(zhǔn)，便可顯得輕松自如?？枷蛞唬浩叫兴倪呅?．定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行且相等；（2）對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；（3）對(duì)角線互相平分；（4）中心對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．（6）一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；（7）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.1．在四邊形中，對(duì)角線和交于點(diǎn)，下列條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，2．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列各式不一定正確的是（）A． B．C． D．3．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是（）A．8 B．9 C．10 D．114．如圖，在平行四邊形D中，，在上取，則的度數(shù)是_____度．5．如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)，，且，．求證：四邊形是平行四邊形．6．如圖，將平行四邊形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)A落在E處．若，，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．7．1.如圖，在?ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE＝3，連接DE，過點(diǎn)C作CF∥DE，交AB的延長線于點(diǎn)F，則BF的長為（）A．5 B．4 C．3 D．28．將一個(gè)三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．70° D．60°9．如圖，在四邊形ABCD中，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為___________（寫一個(gè)即可）．10．如圖，在中，，若，則的度數(shù)是______．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是______．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，且BE＝DF．求證：(1)△ABE≌△CDF；(2)四邊形AECF是平行四邊形．考向二：矩形1．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對(duì)角線互相平分且相等；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：４．判定：（1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.5.由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．1．對(duì)于任意的矩形，下列說法一定正確的是（）A．對(duì)角線垂直且相等B．四邊都互相垂直C．四個(gè)角都相等D．是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形2．在下列條件中，能夠判定為矩形的是（

）A． B． C． D．3．如圖，在矩形中，，則D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．則四邊形EFGH的周長為（

）A． B． C． D．5．如圖，矩形中，，，對(duì)角線的垂直平分線交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，則線段的長為_______．6．如圖，在中，E為的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，連接，，若，求證：四邊形是矩形．7．要檢驗(yàn)一個(gè)四邊形的桌面是否為矩形，可行的測(cè)量方案是（

）A．測(cè)量兩條對(duì)角線是否相等B．度量兩個(gè)角是否是90°C．測(cè)量兩條對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等D．測(cè)量兩組對(duì)邊是否分別相等8．如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知，則（

）A．48° B．66° C．72° D．78°9．如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝________．10．如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，若的面積是，則的面積是______．11．如圖，矩形ABCD中，，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，，垂足為點(diǎn)H，若，則AD的長為_______________．12．如圖，在菱形中，，，過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：），且，過作于點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證：四邊形是矩形．(2)連結(jié)，，點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，與是否能夠全等？若能，求出此時(shí)的值；若不能，請(qǐng)說明理由．考向三：菱形1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.1．順次連接菱形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形2．如圖，下列條件中能使成為菱形的是（

）A． B． C． D．3．如圖，在菱形中，分別以、為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)、，連接，若直線恰好過點(diǎn)與邊交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．若，則C． D．4．如圖，已知四邊形是平行四邊形，從①，②，③中選擇一個(gè)作為條件，補(bǔ)充后使四邊形成為菱形，則其選擇是___（限填序號(hào)）．5．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，，，則（

）A．4 B． C．2 D．6．如圖，四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且，連接BF．FD，DE，EB．求證：四邊形DEBF是菱形．7．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC8．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（

）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形9．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個(gè)菱形的面積為（）A．16 B．6 C．12 D．3010．如圖，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在上，連接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，則的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．80° D．90°11．如圖，菱形的邊長為，，將該菱形沿AC方向平移得到四邊形，交CD于點(diǎn)E，則點(diǎn)E到AC的距離為____________．12．如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連接CE．(1)求證：四邊形AECD為菱形；(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．考向四：正方形1.定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行；（2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；（5)兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：邊長×邊長＝×對(duì)角線×對(duì)角線4．判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.1．如圖，正方形的邊長為，將正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．如圖,P為AB上任意一點(diǎn),分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則為（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α3．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線AC下方的一點(diǎn)，∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為_____°．4．如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在對(duì)角線上，且，．求證：四邊形是正方形．5．如圖，O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，為等邊三角形．若，則的長度為（

）A． B． C． D．6．如圖，在正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長交線段于點(diǎn)P，若，則的長度為___________．8．問題解決：如圖1，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是正方形；（2）延長到點(diǎn)，使得，判斷的形狀，并說明理由．類比遷移：如圖2，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，與相交于點(diǎn)，，求的長．1．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，一定正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=4，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．EH=HG B．四邊形EFGH是平行四邊形C．AC⊥BD D．的面積是的面積的2倍3．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)，分別在邊，上，．若將四邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，則的長度為（

）A．1 B． C． D．24．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知菱形，是動(dòng)點(diǎn)，邊長為4，，則下列結(jié)論正確的有幾個(gè)（

）①；

②為等邊三角形

③

④若，則A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)E在邊CD上，且CE=1，∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，則MN的長為（

）A． B．C． D．7．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）菱形的邊長為5，則它的周長為____________．8．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，AD=10，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC+BD=22，則△BOC的周長為________9．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，取大于的長為半徑，分別以點(diǎn)，為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過此兩點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)（作圖痕跡如圖所示），連接，，則的度數(shù)為_________．10．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖在正方形中，，將沿翻折，使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在對(duì)角線上，將沿翻折，使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，求______.11．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．過點(diǎn)D作，垂足為E，則______．12．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP'，CP'．當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為________；當(dāng)線段CP'的長度最小時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為________13．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最??？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說明理由．14．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為1的正方形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．連接，將沿折疊得到交于點(diǎn)G，求的長．15．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)F，使，且CF、DE相交于點(diǎn)G（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，求AE的長；（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度．1．在ABCD中，∠A=80°，∠B=100°，則∠D等于（

）A．60° B．80° C．100° D．120°2．菱形不具備的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．對(duì)角線一定相等 C．對(duì)角線平分對(duì)角 D．是中心對(duì)稱圖形3．如圖，將矩形沿著裁剪得到一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，設(shè)四邊形的外角和與的外角和分別為，則（

）A． B． C． D．無法比較與4．如圖，正方形的邊長為，，，連結(jié)，則線段的長為（

）A． B． C． D．5．在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，只需添加一個(gè)條件，即可證明平行四邊形ABCD是矩形，這個(gè)條件可以是__________（寫出一個(gè)即可）．6．如圖，菱形中，已知，則的大小是____________．7．如圖，已知矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，若，那么______．8．在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是___________．9．在平行四邊形中，、分別是、上的點(diǎn)，且．求證：．10．如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA＝OD．求證：四邊形ABCD是矩形．11．如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊的延長線上，點(diǎn)在邊的延長線上，且，連接和相交于點(diǎn)．求證：．12．在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，菱形的面積為40．求菱形的周長．專題19平行四邊形平行四邊形知識(shí)內(nèi)容主要包括平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)與判定，作為比較重要的幾何知識(shí)，在廣東中考中占有一定的考查比重，從往年考查來看，考查的頻率還是相對(duì)較高，基礎(chǔ)知識(shí)的單獨(dú)考查一般就是選擇或填空題，若考查知識(shí)的綜合性運(yùn)用則在解答題里以中等或較難的綜合題進(jìn)行考查，例如和三角形全等、解直角三角形以及函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行綜合應(yīng)用考查。平行四邊形的復(fù)習(xí)要多注重基礎(chǔ)，性質(zhì)與判定的掌握是重點(diǎn)，幾何思維的培養(yǎng)是難點(diǎn)，多進(jìn)行反復(fù)練習(xí)，達(dá)到迎接中考的水準(zhǔn)，便可顯得輕松自如?？枷蛞唬浩叫兴倪呅?．定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行且相等；（2）對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；（3）對(duì)角線互相平分；（4）中心對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．（6）一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；（7）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.1．在四邊形中，對(duì)角線和交于點(diǎn)，下列條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，答案:D分析：利用平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．【詳解】A、根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；B、根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；C、根據(jù)一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列各式不一定正確的是（）A． B．C． D．答案:D【詳解】由?ABCD的性質(zhì)及圖形可知：A、∠1和∠2是鄰補(bǔ)角，故∠1+∠2=180°，正確；B、因?yàn)锳D∥BC，所以∠2+∠3=180°，正確；C、因?yàn)锳B∥CD，所以∠3+∠4=180°，正確；D、根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，∠2=∠4，∠2+∠4=180°不一定正確；故選D．3．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是（）A．8 B．9 C．10 D．11答案:C分析：通過平行四邊形性質(zhì)，可計(jì)算得；再結(jié)合AB⊥AC推導(dǎo)得為直角三角形，通過勾股定理計(jì)算得，再結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，計(jì)算得到答案．【詳解】解：∵?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，∴∠BAO＝90°，OA＝3∴，∴BD＝2BO＝10，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形、勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和勾股定理的性質(zhì)．4．如圖，在平行四邊形D中，，在上取，則的度數(shù)是_____度．答案:##度分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而可求解．【詳解】解：在平行四邊形中，，，∴，，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，找到角之間的關(guān)系并正確求解是解答的關(guān)鍵．5．如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)，，且，．求證：四邊形是平行四邊形．答案:見解析分析：結(jié)合已知條件推知；然后由全等三角形的判定定理證得，則其對(duì)應(yīng)邊相等：；最后根據(jù)“對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．【詳解】證明：，．．在與中，．．．四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．6．如圖，將平行四邊形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)A落在E處．若，，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．答案:C分析：先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，根據(jù)折疊得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠A的度數(shù)即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，根據(jù)折疊可知，，∴，，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，折疊性質(zhì)，根據(jù)已知條件求出是解題的關(guān)鍵．7．1.如圖，在?ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE＝3，連接DE，過點(diǎn)C作CF∥DE，交AB的延長線于點(diǎn)F，則BF的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2答案:C分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的長，再判定四邊形DEFC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得EF的長，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．【詳解】解：∵在?ABCD中，AB＝8，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∵AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5，∵CF∥DE，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC＝EF＝8，∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及判定，能夠熟練運(yùn)用平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．8．將一個(gè)三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．70° D．60°答案:B分析：由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥DC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠GEF的度數(shù)，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠EGC的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠AEG=∠EGC，∵∠EFG=90°，∠EGF=60°，∴∠GEF=30°，∴∠GEA=80°，∴∠EGC=80°．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．9．如圖，在四邊形ABCD中，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為___________（寫一個(gè)即可）．答案:ABDC(答案不唯一)分析：根據(jù)平行四邊形的判定條件解答即可．【詳解】解：∵AB=DC，再加ABDC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：ABDC(答案不唯一)【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，若，則的度數(shù)是______．答案:##40度分析：根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行可得，利用平行線的性質(zhì)可得，因此利用直角三角形兩個(gè)銳角互余求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，難度較小，解題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí)．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是______．答案:或分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：BM=B1M1=B2M2=3，∠AOA1=∠AOA2=90°，可得B1和B2的坐標(biāo)，即是B'的坐標(biāo)．【詳解】解：∵A(-1，2)，OC=4，∴C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)，BM=3，AB//x軸，BM=3．將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O分別順時(shí)針、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，由旋轉(zhuǎn)得：OM=OM1=OM2=2，∠AOA1=∠AOA2=90°BM=B1M1=B2M2=3，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴B1和B2的坐標(biāo)分別為：(-2，3)，(2，-3)，∴B'即是圖中的B1和B2，坐標(biāo)就是，B'(-2，3)，(2，-3)，故答案為：(-2，3)或(2，-3)．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，且BE＝DF．求證：(1)△ABE≌△CDF；(2)四邊形AECF是平行四邊形．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件根據(jù)SAS即可證明；（2）根據(jù)可得，根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義可得，可得，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等即可得出．【詳解】（1）證明：解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又，∴（SAS）；（2）證明：∵，∴∴，∴四邊形AECF是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．考向二：矩形1．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對(duì)角線互相平分且相等；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：４．判定：（1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.5.由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．1．對(duì)于任意的矩形，下列說法一定正確的是（）A．對(duì)角線垂直且相等B．四邊都互相垂直C．四個(gè)角都相等D．是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形答案:C分析：直接利用矩形的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：A、矩形的對(duì)角線相等，但不垂直，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、矩形的鄰邊都互相垂直，對(duì)邊互相平行，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、矩形的四個(gè)角都相等，正確；D、矩形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，正確把握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．在下列條件中，能夠判定為矩形的是（

）A． B． C． D．答案:D分析：根據(jù)矩形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】當(dāng)AB=AC時(shí)，不能說明是矩形，所以A不符合題意；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，是菱形，所以B不符合題意；當(dāng)AB=AD時(shí)，是菱形，所以C不符合題意；當(dāng)AC=BD時(shí)，是矩形，所以D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．3．如圖，在矩形中，，則D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．答案:D分析：先根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AB的長，則CD=AB=6，并證明軸，同理可得軸，由此即可得到答案．【詳解】解：∵A（-3，2），B（3，2），∴AB=6，軸，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，軸，同理可得軸，∵點(diǎn)C（3，-1），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，-1），故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，熟知矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．則四邊形EFGH的周長為（

）A． B． C． D．答案:A分析：證明四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)K，設(shè)，表示出，，，，進(jìn)一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，進(jìn)一步可求出邊形EFGH的周長．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴，，∵，，∴，，在和中，∴，∴，同理：，∴，∴四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)K，設(shè)，∵，，，，∴，，，，∴，，∴，∵，∴ABKH為矩形，即，∵，，∴，即，解得：，∴四邊形EFGH的周長為：，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用求出a的值．5．如圖，矩形中，，，對(duì)角線的垂直平分線交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，則線段的長為__．答案:##7.5分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出EF即可．【詳解】解：如圖：四邊形是矩形，，又，，，是的垂直平分線，，，又，，，，解得，，四邊形是矩形，，，，是的垂直平分線，，，在和中，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的四個(gè)角是直角、對(duì)邊相等以及線段垂直平分線的定義是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，E為的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，連接，，若，求證：四邊形是矩形．答案:見解析分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和E為的中點(diǎn)，易得，得到，，結(jié)合得到四邊形ABFC是平行四邊形，再利用，得到，最后利用矩形的判定定理判定即可．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，，∴，．∵E為的中點(diǎn)，∴．在和中，∴，∴，．∵，延長交的延長線于點(diǎn)F，∴，∴四邊形ABFC是平行四邊形．∵，，∴．∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，得到是解答關(guān)鍵．7．要檢驗(yàn)一個(gè)四邊形的桌面是否為矩形，可行的測(cè)量方案是（

）A．測(cè)量兩條對(duì)角線是否相等B．度量兩個(gè)角是否是90°C．測(cè)量兩條對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等D．測(cè)量兩組對(duì)邊是否分別相等答案:C分析：由對(duì)角線的相等不能判定平行四邊形，可判斷A，兩個(gè)角為不能判定矩形，可判斷B，對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，可判斷矩形，從而可判斷C，由兩組對(duì)邊分別相等判斷的是平行四邊形，可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：A、測(cè)量兩條對(duì)角線是否相等，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、度量兩個(gè)角是否是90°，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、測(cè)量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等，可以判定為矩形，故選項(xiàng)C符合題意；D、測(cè)量兩組對(duì)邊是否相等，可以判定為平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本題的關(guān)鍵．8．如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知，則（

）A．48° B．66° C．72° D．78°答案:C分析：由折疊及矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)周角的定義求解即可．【詳解】∵將一矩形紙片沿AB折疊，∴，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝________．答案:##分析：由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．設(shè)BE=EF=x，則AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根據(jù)勾股定理，建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，∵∠D=90°，∴，所以，所以BE=EF=x，則AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:，∴，解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，在直角三角形AEF中運(yùn)用勾股定理建立方程求解是關(guān)鍵．10．如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，若的面積是，則的面積是______．答案:27分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)，很容易證明∽，相似三角形之比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方，即可求出的面積．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，學(xué)生要靈活應(yīng)用．掌握相似三角形的面積比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵．11．如圖，矩形ABCD中，，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，，垂足為點(diǎn)H，若，則AD的長為_______________．答案:分析：由矩形的性質(zhì)得，，求出，利用30°角的直角三角形的性質(zhì)求出CH的長度，再利用勾股定理求出DH的長度，根據(jù)求出，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，，，，，，∴在中，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)以及直角三角形30°的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形30°的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖，在菱形中，，，過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：），且，過作于點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證：四邊形是矩形．(2)連結(jié)，，點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，與是否能夠全等？若能，求出此時(shí)的值；若不能，請(qǐng)說明理由．答案:(1)見解析(2)與能夠全等，此時(shí)分析：（1）根據(jù)題意可得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到FG=EH，再由FG∥EH，可得四邊形EFGH是平行四邊形，即可求證；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得∠CBF=∠CDE，，然后分兩種情況討論，即可求解．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意得：，在菱形ABCD中，AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，∵∠ABC=60°，，∴，∠CBO=30°，又∵∠BGF=90°，∴，∴FG=EH，∵，DH⊥BH，∴FG∥EH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵∠H=90°，∴四邊形是矩形．（2）解：能，∵AB∥CD，∠ABC=60°，∴∠DCH=60°，∵∠H=90°，∴∠CDE=30°，∴∠CBF=∠CDE，，∴，∵BC=DC，∴當(dāng)∠BFC=∠CED或∠BFC=∠DCE時(shí)，與能夠全等，當(dāng)∠BFC=∠CED時(shí)，，此時(shí)BF=DE，∴，解得：t=1；當(dāng)∠BFC=∠DCE時(shí)，BC與DE是對(duì)應(yīng)邊，而，∴BC≠DE，則此時(shí)不成立；綜上所述，與能夠全等，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．考向三：菱形1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.1．順次連接菱形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形答案:C分析：畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ACBD，根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理證明結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴ACBD，∵E，F(xiàn)，G，H是菱形各邊的中點(diǎn)，∴EFBD，F(xiàn)GAC，∴EFFG，同理：FGHG，GHEH，HEEF，∴四邊形EFGH是矩形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握菱形的性質(zhì)定理、矩形的判定定理以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，下列條件中能使成為菱形的是（

）A． B． C． D．答案:D分析：根據(jù)菱形的判定定理可得．【詳解】解：A、AB=CD不能判定?ABCD是菱形，故不符合題意；B、AC=BD只能判定?ABCD是矩形，故不符合題意；C、∠BAD=90°只能判定?ABCD是矩形，故不符合題意；D、AB=BC能判定?ABCD是菱形，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定，熟練地掌握菱形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．3．如圖，在菱形中，分別以、為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)、，連接，若直線恰好過點(diǎn)與邊交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．若，則C． D．答案:B分析：利用菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：由作法得MN垂直平分CD，∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC=AD，∴AB=BC=AC，∴ΔABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°∴∠BCD=120°，即A選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意；當(dāng)AB=3，則CE=DE=，∵∠D=60°，∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°在Rt△ABE中，BE=，所以B選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；∵菱形ABCD∴.BC=CD=2CE，即，所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意；∵ABCD，AB=2DE，∴，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考作已知線段的垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，已知四邊形是平行四邊形，從①，②，③中選擇一個(gè)作為條件，補(bǔ)充后使四邊形成為菱形，則其選擇是___（限填序號(hào)）．答案:①分析：根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：①時(shí)，平行四邊形是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；②時(shí)，平行四邊形是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）；③由平行四邊形的性質(zhì)可知，，則不能作為構(gòu)成菱形的條件；故答案為：①．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．5．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，，，則（

）A．4 B． C．2 D．答案:C分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得出．利用菱形性質(zhì)、直角三角形邊長公式求出，進(jìn)而求出．【詳解】是菱形，E為AD的中點(diǎn)，，．是直角三角形，．，，，．，即，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形、直角三角形的性質(zhì)的理解與應(yīng)用能力．解題關(guān)鍵是得出并求得．求解本題時(shí)應(yīng)恰當(dāng)理解并運(yùn)用菱形對(duì)角線互相垂直且平分、對(duì)角相等，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)．6．如圖，四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且，連接BF．FD，DE，EB．求證：四邊形DEBF是菱形．答案:見解析分析：先證明四邊形DEBF是平行四邊形，再結(jié)合可得結(jié)論．【詳解】連接BD，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是茥形，∴，，，又∵，∴，即，∴四邊形DEBF是平行四邊形．又∵，即，∴四邊形DEBF是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明四邊形是菱形，證明四邊形DEBF是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC答案:C分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D選項(xiàng)正確，不能得出，故C選項(xiàng)不正確，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（

）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形答案:D分析：由矩形的判定和菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個(gè)菱形的面積為（）A．16 B．6 C．12 D．30答案:B分析：連接AC交BD于O，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，證明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，則BD＝6，所以O(shè)B＝OD＝3，接著利用勾股定理計(jì)算出OC，從而得到AC＝，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算它的面積．【詳解】解：連接AC交BD于O，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，∵E為AD邊的中點(diǎn)，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，，∴AC＝2OC＝，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形面積＝ab（a、b是兩條對(duì)角線的長度）．10．如圖，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在上，連接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，則的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．80° D．90°答案:C分析：由翻折的性質(zhì)知∠BAE==50°，=AB，再由菱形的性質(zhì)得∠BAD=120°，=AD，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠C=120°，∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，∵將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在上，∴∠BAE==50°，=AB，∴=100°，=AD，∴=20°，∴==（180°-20°）÷2=80°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，求出=20°是解題的關(guān)鍵．11．如圖，菱形的邊長為，，將該菱形沿AC方向平移得到四邊形，交CD于點(diǎn)E，則點(diǎn)E到AC的距離為____________．答案:2分析：首先根據(jù)菱形對(duì)角線的性質(zhì)得出AC的長，然后利用菱形對(duì)角線平分對(duì)角和平移的性質(zhì)得出等腰，過頂點(diǎn)作垂線段EF，利用三線合一得出CF的長，再利用直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半和勾股定理列出方程，即可求解．【詳解】∵∠BAD=60°，∴連接對(duì)角線AC,BD，則AC⊥BD，且AC平分∠BAD,∴在Rt△ADO中，利用勾股定理得又∵AC=2AO,∴AC=，由題可知=，∴A’C=;由平移可知=∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,∴=∠DCA，即==30°，∴是等腰三角形；過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F，如圖所示：則由等腰三角形三線合一可得：A’F=FC=,在Rt△ECF中，,設(shè)EF=x，則EC=2x，由勾股定理得：，解得x=2，故填：2．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一，直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半和勾股定理；菱形對(duì)角線互相垂直且平分，一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，熟知概念定理是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連接CE．(1)求證：四邊形AECD為菱形；(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．答案:(1)見詳解(2)△ABC的面積為分析：（1）由題意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，則有四邊形AECD是平行四邊形，然后問題可求證；（2）由（1）及題意易得，則有△BCE是等邊三角形，然后可得△ACB是直角三角形，則，進(jìn)而問題可求解．【詳解】（1）證明：∵ABCD，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∵AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，∴，∵，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵DA=DC，∴四邊形AECD是菱形；（2）解：由（1）知：，∵∠D＝120°，∴，∵E為AB中點(diǎn)，∴，∴△BCE是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考向四：正方形1.定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行；（2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；（5)兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：邊長×邊長＝×對(duì)角線×對(duì)角線4．判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.1．如圖，正方形的邊長為，將正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．答案:D分析：連接OB，由正方形ABCD繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，推出，得到△為等腰直角三角形，點(diǎn)在y軸上，利用勾股定理求出O即可．【詳解】解：連接OB，∵正方形ABCD繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，∴，，∴，∴△為等腰直角三角形，點(diǎn)在y軸上，∵，∴=2，∴（0，2），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)角證明點(diǎn)B1在y軸上．2．如圖,P為AB上任意一點(diǎn),分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則為（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α答案:B分析：根據(jù)題意可得，從而即可．【詳解】∵四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，∴AP=CP，PF=PB，，∴，∴∠AFP=∠CBP，又∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線AC下方的一點(diǎn)，∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為_____°．答案:135分析：由正方形的性質(zhì)可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠BAC＝45°∴∠2+∠BCP＝45°∵∠1＝∠2∴∠1+∠BCP＝45°∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP∴∠BPC＝135°故答案為：135．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．4．如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在對(duì)角線上，且，．求證：四邊形是正方形．答案:證明過程見解析分析：菱形的兩條對(duì)角線相互垂直且平分，再根據(jù)兩條對(duì)角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形即可證明四邊形AECF是正方形．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形∴OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，又∵BE=DF∴OB-BE=OD-DF即OE=OF∵OE=OA∴OA=OC=OE=OF且AC=EF又∵AC⊥EF∴四邊形DEBF是正方形．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)和正方形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)．5．如圖，O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，為等邊三角形．若，則的長度為（

）A． B． C． D．答案:B分析：利用勾股定理求出AC的長度，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】在正方形中：，∴，∵O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∵為等邊三角形,O為的中點(diǎn)，∴，，∴,∴,故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③答案:D分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=CD=AD，∠B＝∠BCD＝90°，得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確；求得∠CGD＝90°，根據(jù)垂直的定義得到CE⊥DF，故②正確；延長CE交DA的延長線于H，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AE=BE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AH=AD，由AG是斜邊的中線，得到，求得∠ADG＝∠AGD，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AGE＝∠CDF，故③正確．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，在與中，，，，，故①正確；，，，，故②正確；，如圖，延長交的延長線于，∵AD//BC，∴∠AHE=∠BCE，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，是斜邊的中線，，，，，．故③正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長交線段于點(diǎn)P，若，則的長度為___________．答案:2分析：連接AP，根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．【詳解】解：連接AP，如圖所示，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得x＝2，則DP的長度為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．8．問題解決：如圖1，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是正方形；（2）延長到點(diǎn)，使得，判斷的形狀，并說明理由．類比遷移：如圖2，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，與相交于點(diǎn)，，求的長．答案:問題解決：（1）見解析；（2）等腰三角形，理由見解析；類比遷移：8分析：問題解決：（1）證明矩形ABCD是正方形，則只需證明一組鄰邊相等即可．結(jié)合和可知，再利用矩形的邊角性質(zhì)即可證明，即，即可求解；（2）由（1）中結(jié)論可知，再結(jié)合已知，即可證明，從而求得是等腰三角形；類比遷移：由前面問題的結(jié)論想到延長到點(diǎn)，使得，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可以得到，再結(jié)合已知可得等邊，最后利用線段BF長度即可求解．【詳解】解：問題解決：（1）證明：如圖1，∵四邊形是矩形，．．．．又．∴矩形是正方形．（2）是等腰三角形．理由如下：，．又，即是等腰三角形．類比遷移：如圖2，延長到點(diǎn)，使得，連接．∵四邊形是菱形，．．．又．是等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的證明、菱形的性質(zhì)、三角形全等的判斷與性質(zhì)等問題，屬于中檔難度的幾何綜合題．理解題意并靈活運(yùn)用，做出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．1．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，一定正確的是（

）A． B． C． D．答案:C分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=4，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．EH=HG B．四邊形EFGH是平行四邊形C．AC⊥BD D．的面積是的面積的2倍答案:B分析：根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng)即可解答，【詳解】解：因?yàn)镋、H為OA、OD的中點(diǎn)，所以，EH＝＝2，同理，HG＝＝1，所以，A錯(cuò)誤；EH∥AD，EH＝，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)G＝，因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，AD＝BC，且AD∥BC，所以，EH＝FG，且EH∥FG，所以，四邊形EFGH是平行四邊形，B正確．AC與BD不一定垂直，C錯(cuò)誤；由相似三角形的面積比等于相似比的平方，知：△ABC的面積是△EFO的面積的4倍，D錯(cuò)誤；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.3．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)，分別在邊，上，．若將四邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，則的長度為（

）A．1 B． C． D．2答案:D分析：由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折疊得到，進(jìn)而得到，然后在中由30°所對(duì)直角邊等于斜邊一半即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠EFD=∠FEB=60°，由折疊前后對(duì)應(yīng)角相等可知：，∴，∴，設(shè)AE=x，則，∴AB=AE+BE=3x=3，∴x=1，∴BE=2x=2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題借助正方形考查了折疊問題，30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)點(diǎn)，折疊問題的性質(zhì)包括折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，折疊產(chǎn)生角平分線，由此即可解題．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則的值為（

）A． B． C． D．答案:C分析：根據(jù)勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性質(zhì)得出AO=5，證明得到OE的長，再證明可得到EF的長，從而可得到結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，，，，，，，，，又，，，，，，，同理可證，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知菱形，是動(dòng)點(diǎn)，邊長為4，，則下列結(jié)論正確的有幾個(gè)（

）①；

②為等邊三角形

③

④若，則A．1 B．2 C．3 D．4答案:D分析：①易證△ABC為等邊三角形，得AC=BC，∠CAF=∠B，結(jié)合已知條件BE=AF可證△BEC≌△AFC；②得FC=EC，∠FCA=∠ECB，得∠FCE=∠ACB，進(jìn)而可得結(jié)論；③證明∠AGE=∠BFC則可得結(jié)論；④分別證明△AEG∽△FCG和△FCG∽△ACF即可得出結(jié)論.【詳解】在四邊形是菱形中，∵，∴∵∴∴△ABC為等邊三角形，∴又，∴，故①正確；∴，∴∠FCE=∠ACB=60°,∴為等邊三角形，故②正確；∵∠AGE+∠GAE+∠AEG=180°，∠BEC+∠CEF+∠AEG=180°，又∵∠CEF=∠CAB=60°,∴∠BEC=∠AGE，由①得，∠AFC=∠BEC，∴∠AGE=∠AFC，故③正確；∴∠AEG=∠FCG∴△AEG∽△FCG，∴，∵∠AGE=∠FGC，∠AEG=∠FCG∴∠CFG=∠GAE=∠FAC，∴△ACF∽△FCG，∴∴∵AF=1，∴BE=1，∴AE=3，∴，故④正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用菱形的性質(zhì)求解，主要的知識(shí)點(diǎn)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，綜合性較強(qiáng)，是一道好題.6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)E在邊CD上，且CE=1，∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，則MN的長為（

）A． B．C． D．答案:D分析：如圖，連接EF，先證明再求解可得再求解可得為等腰直角三角形，求解再利用三角形的中位線的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，連接EF，∵正方形ABCD的面積為3，∵∴∴∴∵平分∴∴∴為等腰直角三角形，∵分別為的中點(diǎn)，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的中位線的性質(zhì)，求解是解本題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）菱形的邊長為5，則它的周長為____________．答案:20分析：根據(jù)菱形的四條邊相等，即可求出．【詳解】∵菱形的四條邊相等．∴周長：，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)是本題解題關(guān)鍵．8．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，AD=10，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC+BD=22，則△BOC的周長為________答案:21分析：根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分，求出OC+OB的長，即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10,∵AC+BD=22，∴OC+BO=11，∵BC=10，∴△BOC的周長=OC+OB+BC=16+10=21．故答案為：21．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及三角形周長等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住平行四邊形的對(duì)角線互相平分，屬于中考基礎(chǔ)題．9．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，取大于的長為半徑，分別以點(diǎn)，為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過此兩點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)（作圖痕跡如圖所示），連接，，則的度數(shù)為_________．答案:45°分析：根據(jù)題意知虛線為線段AB的垂直平分線，得AE=BE，得；結(jié)合°，，可計(jì)算的度數(shù)．【詳解】∵∴∴故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，及垂直平分線的性質(zhì)，熟知以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖在正方形中，，將沿翻折，使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在對(duì)角線上，將沿翻折，使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，求______.答案:分析：作于點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解即可.【詳解】作于點(diǎn)，由折疊可知：，，∴正方形邊長∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，11．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．過點(diǎn)D作，垂足為E，則______．答案:分析：首先根據(jù)題目中的，求出ED的長度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長，即可求出．【詳解】∵，∴△ADE為直角三角形，又∵，∴,解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：,又∵AB=12,∴,又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：,過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F,如圖在△EBC中：S△EBC=;又∵S△EBC∴,解得,在Rt△BFC中，,故填：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算和等面積法求一邊上的高．12．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP'，CP'．當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為________；當(dāng)線段CP'的長度最小時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為________答案:

120°##120度

75°##75度分析：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠BEP′＝90°，推出點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動(dòng)，如圖1中，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，再證明△BEO是等腰直角三角形，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．∵△BPP′是等邊三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動(dòng)，如圖1中，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)P′落在BC上時(shí)，點(diǎn)P′與O重合，此時(shí)∠PP′C＝180°－60°＝120°，當(dāng)CP′⊥EP′時(shí)，CP′的長最小，此時(shí)∠EBO＝∠OCP′＝30°，∴EO＝OB，OP′＝OC，∴EP′＝EO＋OP′＝OB＋OC＝BC，∵BC＝2AB，∴EP′＝AB＝EB，∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°．故答案為：120°，75°．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．13．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說明理由．答案:(1)；(2)①四邊形ABEF的面積為；②最小值為12分析：（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO=，即可求解；（2）過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，根據(jù)菱形的面積可求出MN=，設(shè)BE=，則EN=，從而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF，①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，可得點(diǎn)E是△ABC重心，從而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由，可得當(dāng)，即BE=時(shí)，s達(dá)到最小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，即可求解．【詳解】（1）解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BO=AB?sin60°==，∴BD=2BO=；（2）解：如圖，過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE∵，∴MN=，設(shè)BE=，則EN=，∴EM=MN-EN=，∵S菱形ABCD=AD?MN=，∴S△ABD=S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF?EM==，記四邊形ABEF的面積為s，∴s=S△ABD-S△DEF=-（），∵點(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，∴0<BE<BD，即；①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，∵OB⊥AC，∴點(diǎn)E是△ABC重心，∴BE=CE=BO=，此時(shí)=，∴當(dāng)CE⊥AB時(shí)，四邊形ABEF的面積為；②作CH⊥AD于H，如圖，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而點(diǎn)E和F分別在BD和AD上，∴當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，∵，∴當(dāng)，即BE=時(shí)，s達(dá)到最小值，∵BE=DF，∴DF=3，此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，∴當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，∴CE+CF的值達(dá)到最小，其最小值為CO+CH==12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為1的正方形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．連接，將沿折疊得到交于點(diǎn)G，求的長．答案:分析：根據(jù)題意，延長交于H連，通過證明、得到，再由得到，進(jìn)而即可求得的長．【詳解】解：延長交于H連，∵由沿折疊得到，∴，，∵E為中點(diǎn)，正方形邊長為1，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)幾何知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．15．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)F，使，且CF、DE相交于點(diǎn)G（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，求AE的長；（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度．答案:（1）見解析；（2）；（3）．分析：（1）根據(jù)E為AB中點(diǎn)可得，再由菱形的性質(zhì)推出CD∥AB，，則，即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB交FB的延長線于點(diǎn)H，利用菱形及直角三角形的性質(zhì)可求出，并由勾股定理求得，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)可證得，設(shè)，則，可表示出，，即可由建立關(guān)于x的方程，求解后可得出AE的長；（3）連接AG并延長交CD于點(diǎn)M，連接BD交AM于點(diǎn)N，并連接BM，首先由菱形的性質(zhì)得出△ABD為等邊三角形，則，再由CD∥AB，得，，由此可證得，再結(jié)合得出，則由等腰三角形性質(zhì)推出，并分別求出，，最后根據(jù)題意可得點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度為線段AN的長，由平行線分線段成比例性質(zhì)可得出，此題得解．【詳解】（1）證明：∵E為AB中點(diǎn)，∴．∴．∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥AB，．∴．∴四邊形DFEC是平行四邊形；（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB交FB的延長線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是菱形，，∴AD∥BC，．∴．∴．∴．則由勾股定理得