專題十內(nèi)切球模型(原卷版+解析)

專題十內(nèi)切球模型【方法總結(jié)】以三棱錐P－ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑．方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和；第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC?VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r＋eq\f(1,3)S△PAC·r＋eq\f(1,3)S△PBC·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝eq\f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq\f(3V,S表)．秒殺公式(萬能公式)：r＝eq\f(3V,S表)【例題選講】[例](1)已知一個三棱錐的所有棱長均為eq\r(2)，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為________．答案eq\f(\r(3),54)π解析由題意可知，該三棱錐為正四面體，如圖所示．AE＝AB·sin60°＝eq\f(\r(6),2)，AO＝eq\f(2,3)AE＝eq\f(\r(6),3)，DO＝eq\r(AD2－AO2)＝eq\f(2\r(3),3)，三棱錐的體積VD-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·DO＝eq\f(1,3)，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則VD-ABC＝eq\f(1,3)r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝eq\f(1,3)，r＝eq\f(\r(3),6)，V內(nèi)切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(\r(3),54)π．(2)(2020·全國Ⅲ)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．答案eq\f(\r(2),3)π解析圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r．作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓．在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，E為切點(diǎn)，則PD＝2eq\r(2)，△PEO∽△PDB，故eq\f(PO,PB)＝eq\f(OE,DB)，即eq\f(2\r(2)－r,3)＝eq\f(r,1)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，故內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2),3)π．(3)阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家．據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”．他特別喜歡這個結(jié)論．要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊．若表面積為54π的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為()A．4πB．16πC．36πD．eq\f(64π,3)答案C解析設(shè)該圓柱的底面半徑為R，則圓柱的高為2R，則圓柱的表面積S＝S底＋S側(cè)＝2×πR2＋2·π·R·2R＝54π，解得R2＝9，即R＝3．∴圓柱的體積為V＝πR2×2R＝54π，∴該圓柱的內(nèi)切球的體積為eq\f(2,3)×54π＝36π．故選C．(4)已知三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，則三棱錐P－ABC的外接球與內(nèi)切球的半徑比為________．答案eq\f(3\r(3)＋3,2)解析以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體，由PA＝PB＝PC＝2，可知此長方體即為正方體．設(shè)外接球的半徑為R，則R＝eq\f(\r(4＋4＋4),2)＝eq\r(3)，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則內(nèi)切球的球心到四個面的距離均為r，由eq\f(1,3)(S△ACP＋S△APB＋S△PCB＋S△ABC)·r＝eq\f(1,3)·S△PCB·AP，解得r＝eq\f(2,3＋\r(3))，所以eq\f(R,r)＝eq\f(\r(3),\f(2,3＋\r(3)))＝eq\f(3\r(3)＋3,2)．(5)正四面體的外接球和內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)、，若線段長度的最大值為，則這個四面體的棱長為________．答案4解析設(shè)這個四面體的棱長為，則它的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑，，依題意得，．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．若一個正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝________.2．已知一個平放的各棱長為4的三棱錐內(nèi)有一個小球O(重量忽略不計)，現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，當(dāng)注入的水的體積是該三棱錐體積的eq\f(7,8)時，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切(與水面也相切)，則小球的表面積等于()A．eq\f(7π,6)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(π,2)3．已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是()A．6B．5C．eq\f(9,2)D．eq\f(9,4)4．將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為()A．πB．2πC．3πD．4π5．體積為eq\f(4π,3)的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為________.6．在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在這個四棱錐內(nèi)放一個球，則該球半徑的最大值為________．7．一個棱長為6的正四面體內(nèi)部有一個任意旋轉(zhuǎn)的正方體，當(dāng)正方體的棱長取得最大值時，正方體的外接球的表面積是A．B．C．D．8．在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．若四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，且，則該陽馬的外接球與內(nèi)切球表面積之和為________．9．在三棱錐中，，，，二面角、、的大小均為，設(shè)三棱錐的外接球球心為，直線交平面于點(diǎn)，則三棱錐的內(nèi)切球半徑為________．________．10．已知直三棱柱中，，，設(shè)二面角的平面角為，且，現(xiàn)在該三棱柱的內(nèi)部空間放一個小球，設(shè)小球的表面積為，三棱柱的外接球的表面積為，則的最大值為________．專題十內(nèi)切球模型【方法總結(jié)】以三棱錐P－ABC為例，求其內(nèi)切球的半徑．方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和；第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC?VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r＋eq\f(1,3)S△PAC·r＋eq\f(1,3)S△PBC·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝eq\f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq\f(3V,S表)．秒殺公式(萬能公式)：r＝eq\f(3V,S表)【例題選講】[例](1)已知一個三棱錐的所有棱長均為eq\r(2)，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為________．答案eq\f(\r(3),54)π解析由題意可知，該三棱錐為正四面體，如圖所示．AE＝AB·sin60°＝eq\f(\r(6),2)，AO＝eq\f(2,3)AE＝eq\f(\r(6),3)，DO＝eq\r(AD2－AO2)＝eq\f(2\r(3),3)，三棱錐的體積VD-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·DO＝eq\f(1,3)，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則VD-ABC＝eq\f(1,3)r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝eq\f(1,3)，r＝eq\f(\r(3),6)，V內(nèi)切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(\r(3),54)π．(2)(2020·全國Ⅲ)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．答案eq\f(\r(2),3)π解析圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r．作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓．在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，E為切點(diǎn)，則PD＝2eq\r(2)，△PEO∽△PDB，故eq\f(PO,PB)＝eq\f(OE,DB)，即eq\f(2\r(2)－r,3)＝eq\f(r,1)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，故內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2),3)π．(3)阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家．據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”．他特別喜歡這個結(jié)論．要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊．若表面積為54π的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為()A．4πB．16πC．36πD．eq\f(64π,3)答案C解析設(shè)該圓柱的底面半徑為R，則圓柱的高為2R，則圓柱的表面積S＝S底＋S側(cè)＝2×πR2＋2·π·R·2R＝54π，解得R2＝9，即R＝3．∴圓柱的體積為V＝πR2×2R＝54π，∴該圓柱的內(nèi)切球的體積為eq\f(2,3)×54π＝36π．故選C．(4)已知三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，則三棱錐P－ABC的外接球與內(nèi)切球的半徑比為________．答案eq\f(3\r(3)＋3,2)解析以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體，由PA＝PB＝PC＝2，可知此長方體即為正方體．設(shè)外接球的半徑為R，則R＝eq\f(\r(4＋4＋4),2)＝eq\r(3)，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則內(nèi)切球的球心到四個面的距離均為r，由eq\f(1,3)(S△ACP＋S△APB＋S△PCB＋S△ABC)·r＝eq\f(1,3)·S△PCB·AP，解得r＝eq\f(2,3＋\r(3))，所以eq\f(R,r)＝eq\f(\r(3),\f(2,3＋\r(3)))＝eq\f(3\r(3)＋3,2)．(5)正四面體的外接球和內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)、，若線段長度的最大值為，則這個四面體的棱長為________．答案4解析設(shè)這個四面體的棱長為，則它的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑，，依題意得，．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．若一個正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝________.1．答案eq\f(6\r(3),π)解析設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S1＝4×eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(π,6)a2)＝eq\f(6\r(3),π).2．已知一個平放的各棱長為4的三棱錐內(nèi)有一個小球O(重量忽略不計)，現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，當(dāng)注入的水的體積是該三棱錐體積的eq\f(7,8)時，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切(與水面也相切)，則小球的表面積等于()A．eq\f(7π,6)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(π,2)2．答案C解析當(dāng)注入水的體積是該三棱錐體積的eq\f(7,8)時，設(shè)水面上方的小三棱錐的棱長為x(各棱長都相等)，依題意，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)，得x＝2．易得小三棱錐的高為eq\f(2\r(6),3)，設(shè)小球半徑為r，則eq\f(1,3)S底面·eq\f(2\r(6),3)＝4·eq\f(1,3)·S底面·r，得r＝eq\f(\r(6),6)，故小球的表面積S＝4πr2＝eq\f(2π,3)．故選C．3．已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是()A．6B．5C．eq\f(9,2)D．eq\f(9,4)3．答案D解析由題意知，四棱錐P－ABCD是正四棱錐，球的球心O在四棱錐的高PH上，過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖：其中PE，PF是斜高，A為球面與側(cè)面的切點(diǎn)．設(shè)PH＝h，易知Rt△PAO∽Rt△PHF，所以eq\f(OA,FH)＝eq\f(PO,PF)，即eq\f(1,3)＝eq\f(h－1,\r(h2＋32))，解得h＝eq\f(9,4)，故選D．4．將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為()A．πB．2πC．3πD．4π4．答案B解析將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個圓錐，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為R，則有2πR＝3×eq\f(2π,3)，所以R＝1，設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為r，結(jié)合圓錐和球的特征，可知內(nèi)切球球心必在圓錐的高線上，設(shè)圓錐的高為h，因為圓錐的母線長為3，所以h＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2)，所以eq\f(r,h－r)＝eq\f(R,3)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，因此內(nèi)切球的表面積S＝4πr2＝2π．故選B．5．體積為eq\f(4π,3)的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為________.5．答案6eq\r(3)解析設(shè)球的半徑為R，由eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3)，得R＝1，所以正三棱柱的高h(yuǎn)＝2，設(shè)底面邊長為a，則eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a＝1，所以a＝2eq\r(3)．所以V＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2×2＝6eq\r(3)．6．在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在這個四棱錐內(nèi)放一個球，則該球半徑的最大值為________．6．答案(2－eq\r(2))a解析解法一：由題意知，球內(nèi)切于四棱錐P－ABCD時半徑最大，設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD，OP，則VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即eq\f(1,3)×2a×2a×2a＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a2＋2×\f(1,2)×2a×2a＋2×\f(1,2)×2a×2\r(2)a))×r，解得r＝(2－eq\r(2))a．解法二：易知當(dāng)球內(nèi)切于四棱錐P－ABCD，即與四棱錐P－ABCD各個面均相切時，球的半徑最大，作出相切時的側(cè)視圖如圖所示，設(shè)四棱錐P－ABCD內(nèi)切球的半徑為r，則eq\f(1,2)×2a×2a＝eq\f(1,2)×(2a＋2a＋2eq\r(2)a)×r，解得r＝(2－eq\r(2))a．7．一個棱長為6的正四面體內(nèi)部有一個任意旋轉(zhuǎn)的正方體，當(dāng)正方體的棱長取得最大值時，正方體的外接球的表面積是A．B．C．D．7．答案B解析正方體可以在正四面體紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，正方體在正四面體的內(nèi)切球中，正方體棱長最大時，正方體的對角線是內(nèi)切球的直徑，點(diǎn)為內(nèi)切球的圓心，連接并延長交底面與點(diǎn)，點(diǎn)是底面三角形的中心，底面，為內(nèi)切球的半徑，連接，則，在中，，，在中，，代入數(shù)據(jù)得，令正方體棱長為，則，解得，正方體棱長的最大值為，此時正方體的外接球半