高中數(shù)學(xué)人教A版必修4課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十二）平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十二）平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角θ為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：選C由題意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,3).2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影為eq\f(3,2)，則a·b等于()A．3 B.eq\f(9,2)C．2 D.eq\f(1,2)解析：選B設(shè)a與b的夾角為θ.∵|a|cosθ＝eq\f(3,2)，∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).3．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c與d垂直，則k的值為()A．－6 B．6C．3 D．－3解析：選B∵c·d＝0，∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，∴2k＝12，∴k＝6.4．已知a，b滿足|a|＝4，|b|＝3，夾角為60°，則|a＋b|＝()A．37 B．13C.eq\r(37) D.eq\r(13)解析：選C|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(42＋2×4×3cos60°＋32)＝eq\r(37).5．在四邊形ABCD中，＝，且·＝0，則四邊形ABCD是()A．矩形 B．菱形C．直角梯形 D．等腰梯形解析：選B∵＝，即一組對(duì)邊平行且相等，·＝0，即對(duì)角線互相垂直，∴四邊形ABCD為菱形．6．給出以下命題：①若a≠0，則對(duì)任一非零向量b都有a·b≠0；②若a·b＝0，則a與b中至少有一個(gè)為0；③a與b是兩個(gè)單位向量，則a2＝b2.其中，正確命題的序號(hào)是________．解析：上述三個(gè)命題中只有③正確，因?yàn)閨a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.當(dāng)非零向量a，b垂直時(shí)，有a·b＝0，顯然①②錯(cuò)誤．答案：③7．設(shè)e1，e2是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為60°，則(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6eeq\o\al(2,1)＋7e1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝－6＋7×cos60°－2＝－eq\f(9,2).答案：－eq\f(9,2)8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________．解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2).又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.答案：120°9．已知e1與e2是兩個(gè)夾角為60°的單位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a與b的夾角．解：因?yàn)閨e1|＝|e2|＝1，所以e1·e2＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝eq\r(7)，|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝eq\r(7)，且a·b＝－6eeq\o\al(2,1)＋2eeq\o\al(2,2)＋e1·e2＝－6＋2＋eq\f(1,2)＝－eq\f(7,2)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq\f(1,2)，所以a與b的夾角為120°.10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影為－1.(1)求a與b的夾角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)當(dāng)λ為何值時(shí)，向量λa＋b與向量a－3b互相垂直？解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影為|a|cosθ＝－1，∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.∴cosθ＝－eq\f(1,2)，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(3)∵λa＋b與a－3b互相垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝eq\f(4,7).層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a與b的夾角為eq\f(π,3)，則向量m＝a－4b的模為()A．2 B．2eq\r(3)C．6 D．12解析：選B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×eq\f(1,2)＋16＝12，所以|m|＝2eq\r(3).2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，則·等于()A．－16 B．－8C．8 D．16解析：選D法一：因?yàn)閏osA＝eq\f(AC,AB)，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故選D.法二：在上的投影為||cosA＝||，故·＝||||cosA＝||2＝16，故選D.3．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相等，則|a－b|＝()A．1 B.eq\r(3)C.eq\r(5) D．3解析：選C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因?yàn)閨a|＝1，|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，則|a－b|＝eq\r(|a|2＋|b|2－2a·b)＝eq\r(5).4.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為BC的中點(diǎn)，則·＝()A．－3 B．0C．－1 D．1解析：選C·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AB→＋\f(1,2)AD→))·(－)＝eq\f(1,2)·－||2＋eq\f(1,2)||2＝eq\f(1,2)×2×2×cos60°－22＋eq\f(1,2)×22＝－1.5．設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.則c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.法二：如圖，作＝＝a，＝b，則＝c.∵a⊥b，∴AB⊥BC，又∵a－b＝－＝，(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，所以△ABC是等腰直角三角形，∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.答案：46．已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))·(2a－3b)＝12，則|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))·(2a－3b)＝a2＋eq\f(1,2)a·b－3b2＝12，即3|b|2－eq\r(2)|b|－4＝0，解得|b|＝eq\r(2)(舍負(fù))，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1.答案：eq\r(2)17．已知非零向量a，b，滿足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，且a·b＝eq\f(1,2).(1)求向量a，b的夾角；(2)求|a－b|.解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，∴a2－b2＝eq\f(1,2)，即|a|2－|b|2＝eq\f(1,2).又|a|＝1，∴|b|＝eq\f(\r(2),2).∵a·b＝eq\f(1,2)，∴|a|·|b|cosθ＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2)，∴向量a，b的夾角為45°.(2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝eq\f(1,2)，∴|a－b|＝eq\f(\r(2),2).8．設(shè)兩個(gè)向量e1，e2，滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為eq\f(π,3)，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．解：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，得eq\f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2|·|e1＋te2|)<0.即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化簡(jiǎn)即得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－eq\f(1,2).當(dāng)夾角為π時(shí)，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此時(shí)夾角不是鈍角，設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\