新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.2立體圖形的直觀圖教師用書(shū)新人教A版必修第二冊(cè)

8.2立體圖形的直觀圖學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解“斜二測(cè)畫法”的概念并駕馭斜二測(cè)畫法的步驟．(數(shù)學(xué)抽象)2．能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)潔空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)潔組合體)的直觀圖．(直觀想象)在美術(shù)畫圖中，空間圖形或?qū)嵨镌诋嫲迳袭嫷眉雀挥辛Ⅲw感，又能表達(dá)出各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系．問(wèn)題：在畫板上畫實(shí)物圖時(shí)，其中的直角在圖中確定畫成直角嗎？學(xué)問(wèn)點(diǎn)直觀圖的畫法1．斜二測(cè)畫法我們常用斜二測(cè)畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．斜二測(cè)畫法是一種特別的平行投影畫法．2．平面圖形直觀圖的畫法1．斜二測(cè)畫法中“斜”和“二測(cè)”分別指什么？[提示]“斜”是指在已知圖形的xOy平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x′軸成45°或135°；“二測(cè)”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x′軸的線段長(zhǎng)度不變；平行于y′軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半．3．幾何體直觀圖的畫法畫幾何體的直觀圖時(shí)，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的平行性和長(zhǎng)度都不變．2．空間幾何體的直觀圖唯一嗎？[提示]不唯一．作直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，畫出的直觀圖也不同．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列說(shuō)法正確的________．①原來(lái)長(zhǎng)度相等的線段在直觀圖中長(zhǎng)度仍相等；②原來(lái)垂直的直線在直觀圖中仍垂直；③原來(lái)平行的直線在直觀圖中仍平行；④相等的角在直觀圖中仍相等．[答案]③類型1畫平面圖形的直觀圖【例1】(源自蘇教版教材)畫水平放置的正三角形的直觀圖．[解]如圖，按如下步驟完成：第一步在已知的正三角形ABC中，取AB所在的直線為x軸，取對(duì)稱軸CO為y軸．畫對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°．其次步在x′軸上取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y′軸上取O′C′＝12OC第三步連接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′就是水平放置的正三角形ABC的直觀圖．畫平面圖形的直觀圖的技巧(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn)．(2)畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變)，與坐標(biāo)軸不平行的線段通過(guò)與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連接成線段．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．畫水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示．[解](1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，如圖①②所示．(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝12OD，過(guò)點(diǎn)D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC．連接B′C′，如圖②(3)擦去幫助線，所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③．類型2畫空間幾何體的直觀圖【例2】(源自北師大版教材)用斜二測(cè)畫法畫正五棱錐的直觀圖．[解](1)依據(jù)平面圖形的直觀圖畫法畫底面(如圖)；(2)畫z′軸(z′軸與x′軸的交角為90°)，并畫高(與原長(zhǎng)相等)(如圖(1))；(3)連線成圖，擦去幫助線，且將被遮線畫成虛線(如圖(2))，就得到正五棱錐的直觀圖S′-A′B′C′D′E′(如圖(3))．畫空間幾何體時(shí)，首先依據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則畫出幾何體的底面直觀圖，然后依據(jù)平行于z軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變，畫出幾何體的各側(cè)面，所以畫空間多面體的步驟可簡(jiǎn)潔總結(jié)為：畫軸→畫底面→畫側(cè)棱→成圖[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．畫正六棱柱(底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面)的直觀圖．(底面邊長(zhǎng)尺寸不作要求，側(cè)棱長(zhǎng)為2cm)[解]畫法：(1)畫軸．畫x′軸、y′軸、z′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，∠x(chóng)′O′z′＝90°．(2)畫底面．依據(jù)x′軸，y′軸，畫正六邊形的直觀圖ABCDEF．(3)畫側(cè)棱．過(guò)A，B，C，D，E，F(xiàn)各點(diǎn)分別作z′軸的平行線，在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，F(xiàn)F′都等于側(cè)棱長(zhǎng)2cm．(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′，并加以整理(去掉幫助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正六棱柱的直觀圖．類型3直觀圖的還原與計(jì)算【例3】(1)如圖所示為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的()ABCD(2)如圖，Rt△O′A′B′是一個(gè)平面圖形的直觀圖，若O′B′＝2，則這個(gè)平面圖形的面積是()A．1 B．2C．22 D．42(1)A(2)C[(1)由直觀圖知，原四邊形一組對(duì)邊平行且不相等，為梯形，且梯形兩腰不能與底垂直．故選A．(2)由題圖知，平面圖形△OAB為直角三角形．∵O′B′＝2，∠A′O′B′＝45°，∴A′B′＝2，O′A′＝2．∴在原△OAB中，OB＝2，OA＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝12×2×4＝22[母題探究]本例(2)中直觀圖中△O′A′B′的面積與原圖形面積之比是多少？[解]由本例(2)中直觀圖可得S△O′A′B′＝12×2原圖形面積為S△OAB＝22．所以S△O'A'1．直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可．2．直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個(gè)平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝24S或S＝22S[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么由斜二測(cè)畫法得到的△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A．34a2B．38a2C．68a2D．D[法一：建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．如圖②所示，建立平面直角坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，應(yīng)有A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34過(guò)點(diǎn)C′作C′D′⊥O′x′于點(diǎn)D′，則C′D′＝22O′C′＝68所以△A′B′C′的面積是S＝12·A′B′·C′D′＝12·a·68a＝6法二：S△ABC＝34a2又S△A′B′C′＝24S△ABC，∴S△A′B′C′＝24×34a2＝61．(多選)關(guān)于斜二測(cè)畫法所得到的水平放置的平面圖形的直觀圖，下列說(shuō)法正確的是()A．三角形的直觀圖是三角形B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是正方形D．菱形的直觀圖是菱形AB[斜二測(cè)畫法得到的圖形與原圖形中的線線相交、線線平行關(guān)系不會(huì)變更，因此三角形的直觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形．]2．如圖，△A′B′C′是由斜二測(cè)畫法得到的水平放置的△ABC的直觀圖，其中A′B′，A′C′所在直線分別與x′軸、y′軸平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是()A．等腰三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形D[因?yàn)樗椒胖玫摹鰽BC的直觀圖中，∠x(chóng)′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′軸，A′C′∥y′軸，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形．]3．已知一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長(zhǎng)方體，且四棱錐的底面與長(zhǎng)方體的上底面尺寸一樣，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為20m，5m，10m，四棱錐的高為8m．假如按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么在直觀圖中，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為()A．4cm，1cm，2cm，1.6cmB．4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cmD．4cm，0.5cm，1cm，0.8cmC[由比例尺可知，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為4cm，1cm，2cm和1.6cm，再結(jié)合直觀圖的畫法，知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和四棱錐的高應(yīng)分別為4cm，0.5cm，2cm，1.6cm．]4．在如圖所示的直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長(zhǎng)為2cm，則在平面直角坐標(biāo)系中原四邊形OABC為_(kāi)_______(填詳細(xì)形態(tài))，其面積為_(kāi)_______cm2．矩形8[由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，在四邊形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2cm，OC＝2O′C′＝4cm，所以四邊形OABC是矩形，其面積為2×4＝8(cm2)．]回顧本節(jié)學(xué)問(wèn)，自主完成以下問(wèn)題：1．如何用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖？[提示]用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí)，應(yīng)牢登記列口訣：橫不變，縱折半；平行關(guān)系永不變；九十度畫一半．2．直觀圖的面積與原圖形的面積之間有什么關(guān)系？[提示]若設(shè)原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝24S課時(shí)分層作業(yè)(二十三)立體圖形的直觀圖一、選擇題1．若利用斜二測(cè)畫法把一個(gè)高為10cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上，則圓柱的高應(yīng)()A．平行于z′軸且大小為10cmB．平行于z′軸且大小為5cmC．與z′軸成45°且大小為10cmD．與z′軸成45°且大小為5cmA[平行于z軸(或在z軸上)的線段，在直觀圖中的方向和長(zhǎng)度都與原來(lái)保持一樣．]2．(多選)如圖，已知等腰三角形ABC，則如圖所示的四個(gè)圖中，可能是△ABC的直觀圖的是()ABCDCD[原等腰三角形畫成直觀圖后，原來(lái)的腰長(zhǎng)不相等，CD兩圖分別為在∠x(chóng)′O′y′成135°和45°的坐標(biāo)系中的直觀圖．]3．如圖所示，正方形O′A′B′C′的邊長(zhǎng)為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是()A．8cm B．6cmC．2(1＋3)cm D．2(1＋2)cmA[依據(jù)直觀圖的畫法，可得原幾何圖形如圖所示，四邊形OABC為平行四邊形，且OB＝22cm，OA＝1cm，AB＝3cm，從而四邊形OABC的周長(zhǎng)為8cm．]4．如圖為水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，則在用斜二測(cè)畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為()A．12 B．C．1 D．2B[12×2×sin45°＝25．(多選)已知水平放置的正方形一條邊在x軸上，其由斜二測(cè)畫法得到的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一個(gè)邊長(zhǎng)為4，則此正方形的面積可以為()A．16 B．64C．32 D．無(wú)法確定AB[等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64．]二、填空題6．關(guān)于斜二測(cè)畫法，下列說(shuō)法不正確的是________．(填序號(hào))①原圖形中平行于x軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于x′軸，長(zhǎng)度不變；②原圖形中平行于y軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于y′軸，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的12③畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的x′O′y′時(shí)，∠x(chóng)′O′y′必需是45°；④在畫直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同．③[畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′時(shí)，∠x(chóng)′O′y′也可以是135°．]7．水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為_(kāi)_______．2.5[由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，計(jì)算得AB＝5，所求中線長(zhǎng)為2.5．]8．水平放置的△ABC在直角坐標(biāo)系中的直觀圖△A′B′C′如圖所示，其中D′是A′C′的中點(diǎn)，且∠ACB≠30°且∠ACB≠60°，則原圖形中與線段BD的長(zhǎng)相等的線段有________條．2[△ABC為直角三角形，因?yàn)镈為AC中點(diǎn)，所以BD＝AD＝CD，所以與BD的長(zhǎng)相等的線段有2條．]三、解答題9．畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖．[解](1)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，如圖①所示，畫出對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，如圖②所示．(2)如圖②所示，在x′軸上取點(diǎn)B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′軸上取一點(diǎn)D′，使得O′D′＝12OD；過(guò)點(diǎn)E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝12(3)連接B′C′，C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些幫助線，如圖③所示，四邊形O′B′C′D′就是所求的直觀圖．10．如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝3，O′C′＝1，則原圖形是()A．面積為62的矩形B．面積為32C．面積為62的菱形D．面積為32C[∠D′O′A′＝45°，O′C′＝1，所以O(shè)′D′＝2，故在原圖中，OD＝22，OC＝OD2+CD2所以四邊形OABC為菱形(如圖所示)，OA＝3，則面積為62．故選C．]11．如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊上的一點(diǎn)，且D′C′<D′B′，又A′D′∥y′軸，那么原△ABC的AB，AD，AC三條線段中()A．最長(zhǎng)的是AB，最短的是ACB．最長(zhǎng)的是AC，最短的是ABC．最長(zhǎng)的是AB，最短的是ADD．最長(zhǎng)的是AD，最短的是ACC[由題意得，原△ABC的平面圖如圖所示，其中，AD⊥BC，BD>DC，∴AB>AC>AD，∴△ABC的AB，AD，AC三條線段中，最長(zhǎng)的是AB，最短的是AD．故選C．]12．(多選)如圖所示，用斜二測(cè)畫法作水平放置的△ABC的直觀圖，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1邊上的中線，則由圖形可知下列結(jié)論中正確的是()A．AB＝BC＝ACB．AD⊥BCC．AB⊥BCD．AC>AD>AB>BCCD[由直觀圖知△ABC為直角三角形，AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，D為BC的中點(diǎn)，如圖所示，又A1B1＝B1C1，故A、B錯(cuò)誤，C、D正確