高中數(shù)學(xué)熱點題型增分練專題02空間向量基本定理及范圍最值學(xué)生版新人教A版選擇性必修第一冊

專題2空間向量基本定理及空間范圍與最值【題型一】空間向量基底【典例分析】（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知是空間的一組基底，則下列向量中能與，構(gòu)成一組基底的是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】1.基本零向量能否作為基向量？不能.零向量與隨意兩個向量a，b都共面2.基底的推斷思路(1)推斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是推斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基底．(2)推斷基底時，經(jīng)常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點動身的三條棱對應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的推斷．【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知是空間一個基底，，，確定可以與向量，構(gòu)成空間另一個基底的是（

）A． B． C． D．2.（2024·全國·高二課時練習(xí)）若為空間的一組基底，則下列各項中能構(gòu)成基底的一組向量是（

）A． B．C． D．3.（2024·上海市松江二中高二期中）已知向量是空間的一組基底，則下列可以構(gòu)成基底的一組向量是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【題型二】基底表示向量【典例分析】（2024·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，，點在上，且，則等于（

）A． B．C．- D．【提分秘籍】基本規(guī)律用基底表示向量的步驟(1)定基底：依據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，須要依據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進(jìn)行變形、化簡，最終求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個基底{a，b，c}可以表示出空間全部向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知向量是空間的一個基底，向量是空間的另一個基底，一向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．2.（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M在BB1上，點N在DD1上，且BMBB1，D1ND1D，若，則x+y+z＝（）A． B． C． D．3.（2024·全國·高二課時練習(xí)）在四面體中，，，，點滿意，為的中點，且，則（

）A． B． C． D．【題型三】共面【典例分析】（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知空間中四個點，，，，為空間的一組基底，則下列說法正確的是（

）A．，，，四點共線B．，，，四點共面，但不共線C．，，，四點不共面D．【提分秘籍】基本規(guī)律證明平行、共線、共面問題(1)對于空間隨意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)假如兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知空間四點，，，共面，則的值為（

）A． B． C． D．2.（2024·重慶市巫山大昌中學(xué)校高二期末）已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點，下列條件中能確定點M與點A，B，C確定共面的是A． B．C． D．3.（2024·全國·高二期末）已知A,B,C三點不共線,對于平面ABC外的任一點O,下列條件中能確定點M與點A,B,C確定共面的是A． B．C． D．【題型四】空間向量概念綜合【典例分析】（2024·全國·高二）下列命題中正確的個數(shù)是（

）．①若與共線，與共線，則與共線．②向量，，共面，即它們所在的直線共面．③假如三個向量，，不共面，那么對于空間隨意一個向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得．④若，是兩個不共線的向量，而（且），則是空間向量的一組基底．A．0 B．1 C．2 D．3【變式訓(xùn)練】1.（2024·廣東·順德市李兆基中學(xué)高二期中）以下命題①是共線的充要條件；②若是空間的一組基底，則是空間的另一組基底；③．其中正確的命題有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2.（2024·安徽·阜陽市第三中學(xué)高二期末（理））以下四個命題中正確的是（

）A．空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示B．若為空間向量的一組基底，則構(gòu)成空間向量的另一組基底C．為直角三角形的充要條件是D．任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底3.（2024·全國·高二課時練習(xí)）在以下命題中，不正確的個數(shù)為()①是，b共線的充要條件；②若∥，則存在唯一的實數(shù)λ，使＝λ；③對空間隨意一點O和不共線的三點A，B，C，若＝2－2－，則P，A，B，C四點共面；④若{，，}為空間的一個基底，則{＋，＋，＋}構(gòu)成空間的另一個基底；⑤|(·)·|＝||·||·||.A．2 B．3 C．4 D．5【題型五】空間向量數(shù)量積【典例分析】（2024·遼寧試驗中學(xué)高二期中）已知正四面體的棱長為，為中點，為中點，則（

）A． B．1 C． D．2【提分秘籍】基本規(guī)律1.空間向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b．2.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：①a⊥b?a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交換律)；⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(支配律)．【變式訓(xùn)練】1.（2024·江蘇·泗陽縣試驗高級中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則的值為（）A． B． C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)22.（2024·全國·高二課時練習(xí)）四面體OABC的全部棱長都等于，E，F(xiàn)，G分別為OA，OC，BC中點，則___________.3.如圖，空間四邊形的每條邊和對角線長都等于，點，，分別是，，的中點，則（

）A． B． C． D．【題型六】空間向量求長度【典例分析】（2024·全國·高二課時練習(xí)）如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，則兩點間的距離___．2.【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國·高二專題練習(xí)）在平行六面體中，，，，則（

）A． B．5 C． D．32.（2024·廣東汕頭·高二期末）如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則的值為（

）A． B． C． D．3.（2024·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點，且，，（

）A．1 B． C．2 D．【題型七】數(shù)量積最值與范圍【典例分析】（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點Р在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知球的半徑為，、是球面上的兩點，且，若點是球面上隨意一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知是空間單位向量，，若空間向量滿意，，則的最大值是_______.3.（2024·全國·高二專題練習(xí)）正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿意，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【題型八】空間長度最值與取值范圍【典例分析】（2024·全國·高二期末）如圖，直三棱柱中，側(cè)棱長為，，，點是的中點，是側(cè)面（含邊界）上的動點.要使平面，則線段的長的最大值為A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國·高二專題練習(xí)）棱長均為3的三棱錐，若空間一點滿意，則的最小值為（

）A． B． C． D．12.（2024·湖北武漢·高一期末）設(shè)點是棱長為的正方體的棱的中點，點在面所在的平面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點到點的最短距離是A． B． C． D．3.（2024·北京一零一中雙榆校區(qū)高二期中）正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，平面A1B1C1D1內(nèi)的一動點P，滿意到點A1的距離與到線段C1D1的距離相等，則線段PA長度的最小值為A． B． C． D．【題型九】空間角度范圍最值【典例分析】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，點是平面內(nèi)一個動點，且滿意，則直線與直線所成角的取值范圍為（

）（參考數(shù)據(jù)：A．， B．，C．， D．，【提分秘籍】基本規(guī)律夾角（1）求異面直線所成的角若兩異面直線所成角為，它們的方向向量分別為，則有=______.（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有______=_______.（3）求二面角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則________為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小為，其兩個面的法向量分別為，則=______=_______（4）求平面與平面的夾角平面與平面相交，形成四個二面角，把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面與平面的夾角_________=___________.【變式訓(xùn)練】1.（2024·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在長方體中，，，O是AC的中點，點P在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面相互垂直，動點M在線段上，E、F分別為、的中點，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．3.（2024·上?！げ軛疃懈叨谀┰谡襟w中，點（異于點）是棱上一點，則滿意與，所成的角為45°的點的個數(shù)為A．0 B．3 C．4 D．6【題型十】軌跡【典例分析】（2024·全國·高二專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，為該三棱柱表面上一動點，若，則點的軌跡長度為（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律求軌跡基本思路：設(shè)點-列式-化簡-變量范圍【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國·高二專題練習(xí)）空間向量，，，，，，且，，若點P滿意，且，，，，則動點P的軌跡所形成的空間區(qū)域的體積為__________.2.（2024·全國·高二課時練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，E、F分別是棱AD、上的中點．若點P為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊）動點，且存在x、，使成立，則點P的軌跡長度為_________．3.（2024·全國·高二期末）已知三棱錐的全部棱長均為2，為的中點，空間中的動點滿意，，則動點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1.（2024·全國·高二課時練習(xí)）若為空間的一個基底，則下列各組向量中確定能構(gòu)成空間的一個基底的是______．（填序號）①，，；

②，，；③，，；

④，，．2.（2024·浙江·高二開學(xué)考試）在平行六面體中，為的中點，為的中點，，則（

）A． B．C． D．3.（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二開學(xué)考試）已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)棱、、上分別有一點、、，且滿意，，，若、、、四點共面，則實數(shù)__________．4.（2024·全國·高二課時練習(xí)）在空間四點O，A，B，C中，若是空間的一個基底，則下列命題不正確的是（

）A．O，A，B，C四點不共線B．O，A，B，C四點共面，但不共線C．O，A，B，C四點不共面D．O，A，B，C四點中隨意三點不共線5.（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知四面體，全部棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則（

）A．1 B．2 C．-1 D．-26.（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知斜三棱柱全部棱長均為2，，點?滿意，，則（

）A． B． C．2 D．7.（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知空間向量，，滿意，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．8.（2024·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期中）如圖，二面角的大小為，，分別在平面，內(nèi)，，，，，，則（

）A． B．C． D．9.（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知，.若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是________.培優(yōu)其次階——實力提升練1.（2024·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)且是空間的一組基底，給出下列向量組：①；②③

④其中可以作為空間的基底的向量組是___________(填序號)．2.（2024·福建·廈門海滄試驗中學(xué)高二期中）如圖，在四面體中，，，，且，，則（

）A． B．C． D．3.（2024·福建·廈門雙十中學(xué)高二期中）已知，若三向量共面，則實數(shù)=_____.4.（2024·河北·石家莊市第十二中學(xué)高二期中）下列關(guān)于空間向量的說法中，正確的有___________.①若向量，與空間隨意向量都不能構(gòu)成基底，則②若非零向量，，滿意，，，則有③是，共線的充分不必要條件④若，共線，則5.（2024·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面，.若E是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6.（2024·安徽·高二階段練習(xí)）在平行六面體中，，，，，，則AM的長為（

）A． B． C． D．7.（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知是棱長為4的正方體內(nèi)切球的一條直徑，點在正方體表面上運動，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8.（2024·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，三棱錐各棱的棱長是1，點是棱的中點，點在棱上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．19.（2024·浙江·湖州中學(xué)模擬預(yù)料）已知點是正方體表面上一動點，且滿意，設(shè)與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.（2024·安徽蚌埠·高二期末（理））已知，，，則“”是“，，構(gòu)成空間的一個