第05講 傾斜角與斜率（教師版）-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

第05講傾斜角與斜率

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解直線的傾斜角與斜率的概念.掌握

直線的傾斜角的范圍與斜率存在的意

義.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解直線的傾斜角與斜率的概念，

2.了解直線的方向向量與直線、直線的了解直線的方向向量與直線的斜率的關(guān)系，會(huì)求直線的

斜率的關(guān)系.斜率與傾斜角，掌握確定直線的條件及直線傾斜角與斜

3.會(huì)用兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線的斜率.率的取值范圍.

4.在平面直角坐標(biāo)系中探索確定直線位

置的幾何要素.

趣知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01直線的傾斜角

直線傾斜角的概念

當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線/向上的方向之間所成的角a叫做直線/

的傾斜角.

傾斜角的取值范圍

當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0。.因此，直線的傾斜角a的取值范圍是

0°a<180°.

如下圖：4的傾斜角為0。，的傾斜角為銳角，的傾斜角為直角，,4的傾斜角為鈍角.

【微點(diǎn)撥】直線的確定：

在平面直角坐標(biāo)系中，確定一條直線位置的兒何要素是：已知直線上的一點(diǎn)和這條直線的方向，二者

缺一不可.

傾斜角與傾斜程度：

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角a,且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾

斜程度不同的直線，其傾斜角不相等.因此，我們可用傾斜角a表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程

度.

【即學(xué)即練1】已知直線/的傾斜角為a-15。，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.0°<a<180°B.15°<a<180°

C.15°<?<180°D.150<a<195°

【答案】D

【分析】

由直線的傾斜角的取值范圍求解即可.

【詳解】

設(shè)直線/的傾斜角為夕，則夕的范圍是0°學(xué)<180。.由題意知左a-15。，則0。稅-1的<180°,解得15。女<195。.

【即學(xué)即練2］（多選）若直線/的向上的方向與y軸的正方向成30。角，則直線/的傾斜角可能為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】BC

【分析】

由》軸正方向?qū)?yīng)的直線的傾斜角為90。，可得結(jié)論.

【詳解】

y軸正方向?qū)?yīng)的直線的傾斜角為90°,因此所求直線的傾斜角為60?；?20°.

故選：BC.

知識(shí)點(diǎn)02直線的斜率

斜率的定義

我們把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，通常用小寫(xiě)字母后表示，即攵=tana.

注：傾斜角是90。的直線沒(méi)有斜率.

過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式

1.公式

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)乂）,%）（玉中々）的直線的斜率公式為k=五』.

x2一%]

2.公式的推導(dǎo)

如圖（1）,（2）,設(shè)直線66的傾斜角為a（存90。），當(dāng)直線《鳥(niǎo)的方向（即從6指向巴的方向）

向上時(shí)，過(guò)點(diǎn)[作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn)尸2作y軸的平行線，兩條直線相交于點(diǎn)。，于是點(diǎn)。的坐標(biāo)為

（尤2，%）?

r*

Zv4%)

Q&j

V

(2)

如圖（1）,當(dāng)a為銳角時(shí)，a=/?！丁?玉<82，乂<%?

在中，tana=tanNQqR=

I[Q]乙一玉

如圖（2）,當(dāng)a為鈍角時(shí),儀=180°-。（設(shè)NQ々鳥(niǎo)=夕），%>x2,y1<y2-tana=tan（l80°—。）=一tan。.

在中,tane=l^=9乃一M

\P\Q\%一％2x2-X]

于是可得tana=%一乂，即％=.

x2一%x2-Xj

同樣，當(dāng)直線的方向向上時(shí)，如圖（3）,（4）,也有tana=%一%,即％=如二21.

x2-x}x2-Xy

綜上所述，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)《（看,必）,以（工2，%）（%。/）的直線的斜率公式為左=上二工.

x2-Xj

【微點(diǎn)撥】已知兩點(diǎn)求直線的斜率時(shí)，首先應(yīng)檢驗(yàn)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等.若相等，則斜率不存在；若不

相等，則可用斜率公式％=&^""（無(wú)尸%2）直接計(jì)算.

馬一再

【即學(xué)即練3】若直線的傾斜角為120。，則直線的斜率為（）

A.gB.-^3C.立D.-立

33

【答案】B

【分析】

求得傾斜角的正切值即得.

【詳解】

k=tan120°=一6.

故選：B.

【即學(xué)即練4】已知點(diǎn)A（2,4）,B（3,6）,則直線AB的斜率為（）

A.4B.--C.2D.-2

22

【答案】C

【分析】

直角利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率的公式計(jì)算即可.

【詳解】

因?yàn)?2,4）,8（3,6）,

所以原3=o—O=2.

3一乙

故選：C

知識(shí)點(diǎn)03傾斜角與斜率的關(guān)系

【微點(diǎn)撥】

斜率與傾斜角之間的關(guān)系

當(dāng)直線的傾斜角a=0。時(shí)，斜率仁0,直線與x軸平行中重合；

當(dāng)0?！?lt;90。時(shí)，斜率&>0,且人值增大，傾斜角隨著增大；

當(dāng)a=90。時(shí)，斜率火不存在（此時(shí)直線是存在的，直線與x軸垂直）；

當(dāng)90。傘<180。時(shí)，斜率A<0,且左值增大，傾斜角也隨著增大.

直線的傾斜程度

（1）傾斜角a不是90。的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同.因此，我們可以用斜率表

示直線的傾斜程度.

（2）直線的斜率和傾斜角都是刻畫(huà)直線傾斜程度的量，斜率側(cè)重于代數(shù)角度，傾斜角側(cè)重于幾何角度.

【即學(xué)即練5】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)0（0,0）,A（2,2）的直線/的傾斜角等于（）

A.150°B.90°C.45°D.15°

【答案】C

【分析】

由已知求出直線的斜率，從而求得傾斜角.

【詳解】

2

解：直線/的斜率Z=5=i,

所以傾斜角等丁45。.

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)04直線的斜率與直線的方向向量

【微點(diǎn)撥】若直線/的斜率為攵它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（x,y）,則攵=2.

X

若直線/的斜率為左且直線過(guò)兩點(diǎn)￡（々，%），6（西，乂），它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為

而-y），則k=土.

【即學(xué)即練61過(guò)A（4,），）,8（2,-3）兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為“=（-1,-1），則產(chǎn)（）

G百

A.-------B.----C.-l

22

【答案】c

解法一:由直線上的兩點(diǎn)4(4,y),8(2,-3),得AB=(-2,-3-y),

又直線AB的一個(gè)方向向量為因此“〃AB,

二(-2)x(-1)-(-3-y)x(-1)=0,解得)，=-1,故選C.

解法二油直線的方向向量為(-1,-1)得，直線的斜率為匚=1,

-1

所以解得產(chǎn)T?故選C?

Q能力拓展

考法01

求直線的斜率

(1)已知傾斜角求斜率時(shí)，若a#90,根據(jù)公式攵=tana直接計(jì)算.當(dāng)傾斜角未給出時(shí)，可根據(jù)直

線與其他直線的位置關(guān)系(如平行、垂直等)確定出所求直線的傾斜角，再代入％=tana計(jì)算.

(2)已知兩點(diǎn)求直線的斜率時(shí)，首先應(yīng)檢驗(yàn)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等.若相等，則斜率不存在；若不相

等，則可用斜率公式左=上二上(%直接計(jì)算.

x2-%,

【典例1】已知點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別是(2,-3),(-3,-2),直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(1,1),且與線段MN相交.

(1)求直線與PN的斜率；

(2)求直線/的斜率左的取值范圍.

【解析】(1)由題意與斜率公式可知，

—3—1_7_13

直線PM與PN的斜率分別為kpM=--=-4,kpN=-T=7-

2-1-3-14

(2)如圖，直線/相當(dāng)于繞著點(diǎn)P在直線PM與PN間旋轉(zhuǎn)，

/'是過(guò)戶點(diǎn)且與x軸垂直的直線，

當(dāng)I由PN位置旋轉(zhuǎn)到「位置時(shí)，傾斜角增大到90°,

33

又kpN——?:.kN—.

川44

當(dāng)/從/'位置旋轉(zhuǎn)到位置時(shí)，傾斜角大于90。,

乂kpM=—4?k￡—4.

(1)定義法.己知直線的傾斜角為呢且存90。，則斜率Z=tana.

公式法.若直線過(guò)兩點(diǎn)4(冷乂),5(%,必)，且不中尤2,則斜率

X2~X\

(3)數(shù)形結(jié)合法.已知一條線段AB的端點(diǎn)及線段外一點(diǎn)P,求過(guò)點(diǎn)P的直線I與線段AB有交點(diǎn)的情

況下/的斜率，若直線抬，P8的斜率均存在，則步驟為:

①連接PA,P8；

②山k=七-二九求出kpA，kpB；

X2一%

③結(jié)合圖形即可寫(xiě)出滿足條件的直線/的斜率的取值范圍.

考法02

三點(diǎn)共線問(wèn)題

兩點(diǎn)即可確定一條直線，要證三點(diǎn)共線，只要證過(guò)同一點(diǎn)的兩直線的斜率相等即可.用斜率公式解決三

點(diǎn)共線問(wèn)題時(shí)，首先要估測(cè)三點(diǎn)中是否任意兩點(diǎn)的連線垂直于X軸，即斜率不存在的情況.斜率存在的

前提下，當(dāng)三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)所確定的直線的斜率相等時(shí)，三點(diǎn)共線.

【典例2】若A(-1,-2),8(4,8),C(5,x),且A,B,C三點(diǎn)共線，求x的值.

【解析】法一：由題意，可知直線A8,AC的斜率存在,

8—(—2)x—(—2)

又A,B,。三點(diǎn)共線，則總產(chǎn)以c,即^~/不=7—W，解得戶10.

4-(-1)5-(-1)

法二：因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以直線的方向向量共線，所以有通=(5/0)與前=(6,x+2),所以

有當(dāng)=小，解得x=10.

56

考法03

直線的斜率、傾斜角的應(yīng)用

(1)解決幾何圖形中直線的傾斜角與斜率的綜合問(wèn)題時(shí)，要善于利用幾何圖形的幾何性質(zhì)，注意傾斜角是幾

何圖形中的夾角還是它的鄰補(bǔ)角；也可以利用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，先求斜率，再求傾斜角.光的

反射問(wèn)題中，反射角等于入射角，但反射光線所在直線的斜率并不等于入射光線所在直線的斜率.當(dāng)鏡面

水平放置時(shí)，上述斜率之間是互為相反數(shù)的關(guān)系.另外，在光的反射問(wèn)題中也經(jīng)常使用對(duì)稱(chēng)的方法求解.

(2)①直線的傾斜角a與斜率々的關(guān)系：A=tana(a*90),由直線的傾斜角能求斜率，反過(guò)來(lái)，由直線

的斜率能求傾斜角.注意傾斜角的取值范圍是0Ka<180.

②在0°<a<90°范圍內(nèi)，％>0,且%隨著a的增大而增大；在90<。<180范圍內(nèi)，k<0,且&隨著

a的增大而增大.但在0<々<180范圍內(nèi)，k并不是隨著a的增大而增大的.

【典例3】光線從點(diǎn)A(2,1)射到y(tǒng)軸上的點(diǎn)Q,經(jīng)y軸反射后過(guò)點(diǎn)8(4,3),試求點(diǎn)。的坐標(biāo)及

入射光線的斜率.

(解析】設(shè)Q(0,刃，則由題意得kQA=一kQB.

-1^-■v=一、3-上V，解得y=：5,即點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,：5),

【典例4】直線/經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線/的傾斜角范圍是()

A.0°<?<90°B.90°<a<180°

C.90°<a<180°D.0°<a<180°

【答案】C

【解析】直線傾斜角的取值范圍是0。&<180。，又直線/經(jīng)過(guò)第二、四象限，所以直線/的傾斜角范圍是

90°<?<180°.

【典例5】已知直線/的傾斜角范圍為［45。，135。］,求直線/的斜率的范圍.

【解析】應(yīng)進(jìn)行分類(lèi)討論：

當(dāng)傾斜角a=90。時(shí)，/的斜率不存在；

當(dāng)ae[45。，90°）時(shí)，/的斜率女=tanae[l,+oo）：

當(dāng)ae（90°,135。]時(shí)，/的斜率上=tanae（YO,-1].

；./的斜率不存在或斜率kel]UU,+8）,

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.若直線過(guò)兩點(diǎn)A（1,2）,B（3,6）,則該直線的斜率為（）

A.2B.3

C.4D.5

【答案】A

6-24

【解析】；兩點(diǎn)A(1,2),8(3,6),.?.以B=——=-=2.故選A.

AB3-12

2.已知直線/過(guò)A(2,-1),B(-1,3)兩點(diǎn)，則直線/的斜率為()

33

A.---B.—

44

44

C.——D.-

33

【答案】C

【解析】???直線/過(guò)A(2,-1),B(-1,3)兩點(diǎn)，則直線/的斜率為三'4

---,故選C.

-1-23

3.過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為()

A.30°B.45°

C.60°D.75°

【答案】A

【解析】過(guò)4（也,1）,8（3,&）兩點(diǎn)的直線的斜率氏

設(shè)過(guò)B（3,⑹兩點(diǎn)的直線的傾斜角為6（0。公180。），

貝！Jlan0=旦二6=30°.故選A.

3，

4.經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2,〃於）、N（m，4）的直線的斜率等于2,則m的值為（）

A.0B.0或-2

C.-2D.0或2

【答案】A

4―

【解析】經(jīng)過(guò)點(diǎn)歷（-2,蘇）、N（m，4）的直線的斜率等于2,可得：------=2,解得〃i=0或〃?=-2

m+2

（舍去）.故選A.

5.已知直線/過(guò)不同的兩點(diǎn)A（5,6）,B（5,y）,貝U/的斜率（）

A.等于0B.等于5

C.不存在D.與y的取值有關(guān)

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，A（5,6）,B（5,y）,則有4、2的橫坐標(biāo)相同，則直線48與x軸垂直，則/的斜

率不存在，故選C.

6.若直線經(jīng)過(guò)A（1,0）,8（4,―百）兩點(diǎn)，則直線AB的傾斜角為（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

【答案】D

【解析】若直線經(jīng)過(guò)A（1,0）,B（4,-V3）兩點(diǎn)，則直線的斜率等于處8=

1-43

設(shè)直線的傾斜角等于仇則有tan6=-」一.再由0上，＜180?？傻?=150°,故選D.

3

7.過(guò)點(diǎn)P（-6，m）,Q（Gm,4）的直線的傾斜角為60。，則機(jī)的值為（）

【答案】C

【解析】：過(guò)點(diǎn)P(-加，Q(gm,4)的直線的傾斜角為60。,

4—mr~j

:,k=—j=-----j==tan60°=v3,解得"?=一,故選C.

V3m+v34

8.直線/：百x-y+2=0與無(wú)軸交于點(diǎn)A,把/繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得直線加，〃的傾斜角為。，則cosa=

()

AV64-V2p\/2—5/6

44

C^6+-72D>/6—V2

'-4--

【答案】C

【分析】

先求出原直線/的傾斜角度數(shù)，再表示出旋轉(zhuǎn)后度數(shù)，求余弦值即可.

【詳解】

設(shè)/的傾斜角為。，則tan"石，.??6=60。，

由題意知夕=。一45°=60°-45°,

/.cosa=cos(60°-45°)=cos600cos450+sin600sin45°

72V3V2&+#

x--1-——x——=-------

22224

故選：C.

9.如圖所示，下列四條直線中，斜率最大的是()

A.AB./,C.%D.14

【答案】D

【分析】

先判斷直線斜率的正負(fù)，當(dāng)斜率為正時(shí)，再根據(jù)傾斜程度比較斜率大小.

【詳解】

由圖可知：4斜率為負(fù)，4斜率為o，44的斜率為正,

又力的傾斜程度大于4,所以乙的斜率最大,

故選：D.

10.若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)4（2,-加），B（-九2，〃-1）且傾斜角為135°,則，〃的值為（）

A.2B-1C.1D-4

【答案】B

【分析】

「四二上士迎=tan135°,求解即可.

根據(jù)直線的斜率公式，可得k

-m—2

【詳解】

由題意，可知宜線A8的斜率存在,且心0=-------=tan135，

所以一得一'解得〃智

故選：B.

題組B能力提升練

1.已知直線4：＞=履+6,右：y=，x+Z則它們的圖像可能是（）

【答案】C

【分析】

由兩直線的解析式可得宜線人的斜率為左、縱截距為6,4的斜率為6，縱截距為3

再逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).

【詳解】

由4：y=Ax+b,l2:y=bx+k

可知直線4的斜率為k、縱截距為。，

4的斜率為b，縱截距為%,

對(duì)于選項(xiàng)A：中&<0力>0,4中6>0，/<0，不成立;

對(duì)于選項(xiàng)B：4中無(wú)>0,6<0,乙中8>0,k>0,不成立;

對(duì)于選項(xiàng)C：4中左>0力>0,6中6>0,左>0，成立;

對(duì)于選項(xiàng)D：4中k<0/>0,4中b<。，々<。，不成立;

故選：C.

2.直線m:x-2y+2=0,〃：2x-y+l=0,若直線/過(guò)尸(1,3)且與直線叭n在第一象限圍成一個(gè)等腰銳角三

角形，則直線/的斜率是()

21

A.—1B.—C.—D.2

32

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線/的斜率為我,分析直線加、〃的交點(diǎn)為(0,1),設(shè)40,1),而點(diǎn)尸(1,3)在直線〃上,

2-ko長(zhǎng)

求出tan/PAB的值，分析可得NR4Bv45。，故A必為頂點(diǎn)，由此可得=必有『一丁二-J-,

1+2%1+￡

2

解可得及的值，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線/的斜率為4,

直線m:x-2y+2=0,〃：2x-y+l=0,兩直線相交于點(diǎn)(0,1),設(shè)4。/)，

點(diǎn)尸(1,3)在直線〃上，直線/與直線〃相交于點(diǎn)8,A/%3為等腰銳角三角形，

2--a

貝IjtanNPAB=----=-<1,貝?。軿PAB<45°,

\+2x-4

2

故A必為頂點(diǎn)，必有&<0.

則有NAPB=ZABP,

2T

匕

有

必=4

解可得：&=1或一1,

142

則k=-l,

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)tanZPAB的值小于45。判斷其A必為頂點(diǎn)，然后根據(jù)

=得出上的值.本題考查直線的斜率計(jì)算，涉及直線夾角的計(jì)算，屬于中檔題.

3.如圖，在矩形43co中，BC=&B,直線AC的斜率為且，則直線BC的斜率為（）

3

23

【答案】A

【分析】

利用宜角三角形求N4CB,設(shè)直線AC的傾斜角為。，由直線BC的傾斜角為6+4CB,應(yīng)用兩角和正切公

式即可求直線BC的斜率.

【詳解】

由題意，在心AABC中，ZABC=y,BC=6AB,

：.tanZACB=—=^,即=

BC36

設(shè)直線AC的傾斜角為。，則tan?=@,

3

八汽

tan夕+tan一

直線BC的傾斜角為e+g7C故蹴=（

lane+?_________6^=

61i-tan八tan—刀

6

故選：A.

4.（多選）下列說(shuō)法中正確的是

A.若a是直線/的傾斜角，則OVa<180

B.若Z是直線/的斜率，則ZeR

C.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率

D.任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角

【答案】ABC

【分析】

利用所學(xué)的直線的傾斜角和斜率的知識(shí)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)命題判斷分析得解.

【詳解】

A.若a是直線/的傾斜角，則0'4a<180。,是正確的；

B.若人是直線/的斜率，則左=taneeR,是正確的；

C.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率，傾斜角為90。的直線沒(méi)有斜率，是正確的;

D.任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角，是錯(cuò)誤的，傾斜角為90。的直線沒(méi)有斜率.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線的傾斜角和斜率，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

5.（多選）如圖，直線乙，4，4的斜率分別為K，網(wǎng)，勺，傾斜角分別為四，%,%,則下列選項(xiàng)正確

的是（）

C.?1<a3<a2D.a3<a2<

【答案】AD

【分析】

根據(jù)直線的圖象特征，結(jié)合查直線的斜率和傾斜角，得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，直線4，4，4的斜率分別為占，區(qū)，傾斜角分別為名，?2>%，

則攵2>占>0，用<0,

JF

故]>a?>a?>0,且必為鈍角，

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線的傾斜角與斜率，考查數(shù)形結(jié)合思想.

6.已知43,2),8(^,1),(?(0,-1),點(diǎn)。線段43上的點(diǎn)，則直線C。的斜率取值范圍是

【答案】(F,-gu[i,田)

【分析】

求出直線CAC8的斜率，再結(jié)合圖象即可求出答案.

【詳解】

解：VA(3,2),B(-4,l),C(0,-l),

直線CA的斜率k=二￡=1,直線CB的斜率k==-；,

CA0—3U—(T)LCBJ[

?.?點(diǎn)。線段A8上的點(diǎn)，

,山圖可知，直線CQ的斜率取值范圍是：1-8,-；U[L+8),

故答案為：U[h+0°).

7.知直線x+〃/y-2=0Q”eR)的傾斜角為a,則a的取值范圍是

汽

【答案】

【分析】

當(dāng)利=0時(shí)，直線為x=2,傾斜角a=X；當(dāng)機(jī)/0時(shí)，化為斜截式>利用斜率左=-4<0,

2/n-mtn"

可知傾斜角a的范圍，即可得結(jié)果.

【詳解】

7T

當(dāng)帆=0時(shí)，直線為x=2,斜率不存在，傾斜角a=—：

2

1?

當(dāng)〃2。0時(shí)，直線12y-2=00￡R)化為直線的斜截式方程：V=---TX+~

m~m

斜率k=-<0,即tana<0,一<oc<TT.

m2

綜上可知，傾斜角a的取值范圍是

故答案為：

【點(diǎn)睛】直線傾斜角的范圍是[0,萬(wàn))，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍

時(shí)，要分0,與(5，萬(wàn))兩種情況討論.由正切函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)aw0,5)時(shí)，斜率Are[0,收))；當(dāng)

夕=]時(shí)，斜率不存在；當(dāng)T)時(shí)，斜率Ze(-a>,0).

8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x+2y=6,當(dāng)xw[l,2)u(2,3]]時(shí)，2二的取值范圍為_(kāi)______.

x-2

【答案】(y0，：U:80)

【分析】

由言的幾何意義是過(guò)M(x,y),N(2,l)兩點(diǎn)的直線的斜率，結(jié)合圖象可得即4=-5,幻8=3,進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

三的幾何意義是過(guò)M2,D兩點(diǎn)的直線的斜率，如圖所示：

由題知點(diǎn)M在直線x+2y=6上，且xe[l,2)u(2,3],當(dāng)x=l時(shí)，y=|;當(dāng)x=3時(shí)，y=|.設(shè),B(3,|

31

又冊(cè)4=一,心8=5,結(jié)合圖象可得，

U；,田

X」的取值范圍是(YO，-

x-2\。2

故答案為：I-00，-；UJ,4"00)

【點(diǎn)睛】本題考查了斜率的幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力.

9.直線2x+3y+5=0的一個(gè)方向向量是,一個(gè)法向量是,斜率是,傾斜角是

【答案】(3,-2)(2,3)-j2乃-arctan：2

【分析】

根據(jù)直線的一般方程的性質(zhì)得出直線的一個(gè)方向向量以及法向量，將直線方程化為斜截式方程，即可得出

斜率和傾斜角.

【詳解】

?.?直線方程2x+3y+5=0

/.A=2,B=3

直線2x+3y+5=0的一個(gè)方向向量是(3,-2),一個(gè)法向量是(2,3)

2x+3y+5=0可化為y=—"2―51，貝|J斜率為、2

72

設(shè)傾斜角為。，6e[0,7)，則tan，=-；解得。=i-arctan§

22

故答案為：(3,-2)：(2,3)；arctan-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求直線的方向向量，法向量，斜率，傾斜角，屬于中檔題.

10.若過(guò)點(diǎn)P(l-a,1+a)與Q(4,2”)的直線的傾斜角為鈍角，且機(jī)=3〃-4“，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

【答案】

【分析】

根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線的斜率，求出?的取值范圍，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【詳解】

解：設(shè)直線的傾斜角為a,斜率為％

,.2a—(1+a)62-1一,...

貝ijk=tana=7~一^~~~=-又a為鈍角

4-(l-a)a+3

Q—\

即(a-l)(a+3)<0,故—3<"1,

。+3

2

因?yàn)殛P(guān)于a的函數(shù)相=%2-4a的對(duì)稱(chēng)軸為4=]

二3x(|)-4x|?m<3x(-3)2-4x(-3)

實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是一$39).

【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率.

C培優(yōu)拔尖練

1.已知兩點(diǎn)4—3,4),8(3,2),過(guò)點(diǎn)尸(1,0)的直線:與線段28有公共點(diǎn).

(1)求直線/的斜率k的取值范圍；

(2)求直線/的傾斜角a的取值范圍.

【答案】(1)Z4—1或左31；(2)45°<a<135°

【詳解】

試題分析：(1)由題意畫(huà)出圖形，求出產(chǎn)與線段AB端點(diǎn)連線的傾斜角得答案；(2)由斜率是傾斜角的正切

值即可得到I的斜率k的取值范圍.

試題解析：如圖，由題意可知，直線期的斜率即4=與2=-1,直線PB的斜率即"=蕓=1,

-3—13—1

(1)要使/與線段AB有公共點(diǎn)，則直線/的斜率左的取值范圍是無(wú)4—1,或

(2)由題意可知直線/的傾斜角介于直線P3與抬的傾斜角之間，又直線心的傾斜角是45。，直線P4的傾

斜角是135。,故a的取值范圍是45。4a4135。.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角，考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,

是基礎(chǔ)題；常見(jiàn)題型：(1)已知傾斜角范圍求斜率的范圍；(2)已知斜率求傾斜角的問(wèn)題；(3)斜率在數(shù)

形結(jié)合中的應(yīng)用，關(guān)鍵是臨界臨界位置的取舍.

2.已知直線/:—2a+4)x-ay-3=0.

(1)若直線/過(guò)點(diǎn)4L0),試寫(xiě)出直線/的一個(gè)方向向量：

(2)若實(shí)數(shù)awO,求直線的傾斜角a的取值范圍.

【答案】(1)直線/的一個(gè)方向向量為(1,3)；(2)aearctan2,乃-arctan6.

【分析】

(I)將A代入直線/方程求”，寫(xiě)出直線方程即可得/的方向向量；

(2)由直線方程得斜率%=。+2-2,討論“并利用基本不等式求k的范圍，進(jìn)而可得傾斜角的范圍.

a

【詳解】

⑴把A(l,0)代入直線/的方程，得標(biāo)-24+1=0,解得。=1,此時(shí)直線/的方程為3x-y-3=0,

故直線/的一個(gè)方向向量為(1,3)；

(2)因?yàn)椤ü?,所以直線/的斜率上=4二改以=a+--2,

aa

，當(dāng)a>0時(shí)，，k=a+--2>2^a?--2=2當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)等號(hào)成立；

當(dāng)a<()時(shí);k=—[(—<?)+(—)]—2<—2.1(—a)■(—)—2=—6當(dāng)且僅當(dāng)a=—2時(shí)等號(hào)成'7：；

aVa

綜上有4e(-8,-6]U[2,+=o),可得傾斜角aearctan2,U~arctan6.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：直線?+0y+c=O的方向量為(瓦-。)或(也。)傾斜角a與斜率4的關(guān)系：k=tana或a=arctan&.

3.已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)“。"+3,2〃?+5),N(m—2,1).

(1)當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，直線的傾斜角為銳角？

(2)當(dāng)m為何值時(shí)，直線MN的傾斜角為鈍角？

(3)直線MN的傾斜角可能為直角嗎？

【答案】(1)加>—2.(2)w<-2.(3)不可能為直角.

【分析】

(1)由傾斜角為銳角，則斜率大于0,根據(jù)斜率公式，得到不等式，即可求解；

(2)由傾斜角為鈍角，則斜率小于0,根據(jù)斜率公式，得到不等式，即可求解；

（3）當(dāng)直線MN垂直于無(wú)軸時(shí)宜線的傾斜角為宜角，此時(shí)桁+3=團(tuán)-2,即可作出判定.

【詳解】

（1）若傾斜角為銳角，則斜率大于0，

2m+5—12m+4八

即仁，〃+3-（，“-2）

解