高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1-3-3函數(shù)y=Asinωx+φ的圖象教案蘇教版必修4-

1．3.3函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計))教學(xué)分析本節(jié)通過圖象變換，揭示參數(shù)φ、ω、A變化時對函數(shù)圖象的形狀和位置的影響，討論函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與正弦曲線的關(guān)系，以及A、ω、φ的物理意義，并通過圖象的變化過程，進(jìn)一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，它是研究函數(shù)圖象變換的一個延伸，也是研究函數(shù)性質(zhì)的一個直觀反映．如何經(jīng)過變換由正弦函數(shù)y＝sinx來獲取函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象呢？通過引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換規(guī)律的探索，讓學(xué)生體會到由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的化歸思想；并通過對周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后，將影響圖象變換這一難點的突破，讓學(xué)生學(xué)會抓住問題的主要矛盾來解決問題的基本思想方法；通過對參數(shù)φ、ω、A的分類討論，讓學(xué)生深刻認(rèn)識圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系．本節(jié)課建議充分利用多媒體，倡導(dǎo)學(xué)生自主探究，在教師的引導(dǎo)下，通過圖象變換，通過“五點”作圖法，正確找出函數(shù)y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換規(guī)律，這也是本節(jié)課的重點所在．本節(jié)課的難點是對周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后，將影響圖象平移量的理解．因此，分析清不管哪種順序變換，都是對一個字母x而言的變換成為突破本節(jié)課教學(xué)難點的關(guān)鍵．三維目標(biāo)1．通過學(xué)生自主探究，理解φ對y＝sin(x＋φ)的圖象的影響，ω對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響，A對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響．2．通過探究圖象變換，會用圖象變換法畫出y＝Asin(ωx＋φ)圖象的簡圖，并會用“五點法”畫出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖．3．通過學(xué)生對問題的自主探究，滲透數(shù)形結(jié)合思想．培養(yǎng)學(xué)生理解動與靜的辯證關(guān)系，善于從運動的觀點觀察問題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題抓主要矛盾的思想．重點難點教學(xué)重點：用參數(shù)思想分層次、逐步討論字母φ、ω、A變化時對函數(shù)圖象的形狀和位置的影響，掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的簡圖的作法．教學(xué)難點：由正弦曲線y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的變換過程．課時安排2課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))第1課時導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)在物理和工程技術(shù)的許多問題中，都要遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)(其中A、ω、φ是常數(shù))．例如，物體做簡諧振動時位移y與時間x的關(guān)系，交流電中電流強度y與時間x的關(guān)系等，都可用這類函數(shù)來表示．這些問題的實際意義往往可從其函數(shù)圖象上直觀地看出，因此，我們有必要畫好這些函數(shù)的圖象．揭示課題：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．思路2.(直接導(dǎo)入)從解析式來看，函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)存在著怎樣的關(guān)系？從圖象上看，函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)存在著怎樣的關(guān)系？接下來，我們就分別探索φ、ω、A對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與函數(shù)y＝sinx的圖象關(guān)系振幅變換：y＝Asinx(A>0，A≠1)的圖象，可以看作是y＝sinx圖象上所有點的縱坐標(biāo)都伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到的．周期變換：y＝sinωx(ω>0，ω≠1)的圖象，可以看作是把y＝sinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)都縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的eq\f(1,ω)倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的，由于y＝sinx的周期為2π，故y＝sinωx(ω>0)的周期為eq\f(2π,ω).相位變換：y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的圖象，可以看作是把y＝sinx的圖象上各點向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個單位而得到的．由y＝sinx的圖象得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象主要有下列兩種方法．分別在y＝sinx和y＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖象上恰當(dāng)?shù)剡x取一個縱坐標(biāo)相同的點，同時移動這兩點并觀察其橫坐標(biāo)的變化，你能否從中發(fā)現(xiàn)，φ對圖象有怎樣的影響？對φ任取不同的值，作出y＝sin(x＋φ)的圖象，看看與y＝sinx的圖象是否有類似的關(guān)系？利用上述研究問題的方法，討論探究參數(shù)ω對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響，為了作圖的方便，先不妨固定為φ＝eq\f(π,3)，從而使y＝sin(ωx＋φ)在ω變化過程中的比較對象固定為y＝sin(x＋eq\f(π,3))．類似地，參數(shù)A對y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象有什么影響呢？為了研究方便，不妨令ω＝2，φ＝eq\f(π,3).此時，可以對A任取不同的值，利用計算器或計算機(jī)作出這些函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象，觀察它們與y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象之間的關(guān)系．活動：教師先引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本本節(jié)開頭部分，并得出：設(shè)物體做簡諧運動時，位移s和時間t的關(guān)系為s＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，其中A是物體振動時離開平衡位置的最大距離，稱為振動的振幅；往復(fù)振動一次所需的時間T＝eq\f(2π,ω)，稱為這個振動的周期；單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)，稱為振動的頻率；ωt＋φ稱為相位，t＝0時的相位φ稱為初相．教師引導(dǎo)學(xué)生思考研究問題的方法，同時引導(dǎo)學(xué)生觀察y＝sin(x＋eq\f(π,3))圖象上點的坐標(biāo)和y＝sinx的圖象上點的坐標(biāo)的關(guān)系，獲得φ對y＝sin(x＋φ)的圖象的影響的具體認(rèn)識．然后通過計算機(jī)作動態(tài)演示變換過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察變化過程中的不變量，得出它們的橫坐標(biāo)總是相差eq\f(π,3)的結(jié)論．并讓學(xué)生討論探究．最后共同總結(jié)出：先分別討論參數(shù)φ、ω、A對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響，然后再整合．由學(xué)生作出φ取不同值時，函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象，并探究它與y＝sinx的圖象的關(guān)系，看看是否仍有上述結(jié)論．教師引導(dǎo)學(xué)生獲得更多的關(guān)于φ對y＝sin(x＋φ)的圖象影響的經(jīng)驗．為了研究的方便，不妨先取φ＝eq\f(π,3)，利用計算機(jī)作出在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象，如圖1，分別在兩條曲線上恰當(dāng)?shù)剡x取一個縱坐標(biāo)相同的點A，B，沿兩條曲線同時移動這兩點，并保持它們的縱坐標(biāo)相等，觀察它們橫坐標(biāo)的關(guān)系．可以發(fā)現(xiàn)，對于同一個y值，y＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖象上的點的橫坐標(biāo)總是等于y＝sinx的圖象上對應(yīng)點的橫坐標(biāo)減去eq\f(π,3).這樣的過程可通過多媒體課件，使得圖中A、B兩點動起來(保持縱坐標(biāo)相等)，在變化過程中觀察A、B的坐標(biāo)、xB－xA、|AB|的變化情況，這說明y＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖象，可以看作是把正弦曲線y＝sinx上所有的點向左平移eq\f(π,3)個單位長度而得到，同時多媒體動畫演示y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,3)，使之與y＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖象重合的過程，以加深學(xué)生對該圖象變換的直觀理解．再取φ＝－eq\f(π,4)，用同樣的方法可以得到y(tǒng)＝sinx的圖象向右平移eq\f(π,4)后與y＝sin(x－eq\f(π,4))的圖象重合．圖1如果再變換φ的值，類似的情況將不斷出現(xiàn)，這時φ對y＝sin(x＋φ)的圖象的影響的鋪墊已經(jīng)完成，學(xué)生關(guān)于φ對y＝sin(x＋φ)的圖象的影響的一般結(jié)論已有了大致輪廓．y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向左(當(dāng)φ>0時)或向右(當(dāng)φ<0時)平行移動|φ|個單位長度而得到．教師指導(dǎo)學(xué)生獨立或小組合作進(jìn)行探究ω對圖象的影響，教師作適當(dāng)指導(dǎo)．注意提醒學(xué)生按照從具體到一般的思路得出結(jié)論．具體過程是：(1)以y＝sin(x＋eq\f(π,3))為參照，把y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象與y＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖象作比較，取點A、B觀察．發(fā)現(xiàn)規(guī)律：如圖2，對于同一個y值，y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象上點的橫坐標(biāo)總是等于y＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖象上對應(yīng)點的eq\f(1,2)倍．教學(xué)中應(yīng)當(dāng)非常認(rèn)真地對待這個過程，展示多媒體課件，體現(xiàn)伸縮變換過程，引導(dǎo)學(xué)生在自己獨立思考的基礎(chǔ)上給出規(guī)律．(2)取ω＝eq\f(1,2)，讓學(xué)生自己比較y＝sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3))的圖象與y＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖象．教學(xué)中可以讓學(xué)生通過作圖、觀察和比較圖象、討論等活動，得出結(jié)論：把y＝sin(x＋eq\f(π,3))圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)就得到y(tǒng)＝sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3))的圖象．圖2當(dāng)取ω為其他值時，觀察相應(yīng)的函數(shù)圖象與y＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖象的關(guān)系，得出類似的結(jié)論．這時ω對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響的鋪墊已經(jīng)完成，學(xué)生關(guān)于ω對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響的一般結(jié)論已有了大致輪廓．教師指導(dǎo)學(xué)生將上述結(jié)論一般化，歸納y＝sin(ωx＋φ)的圖象與y＝sin(x＋φ)的圖象之間的關(guān)系，得出結(jié)論：函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象可以看作是把y＝sin(x＋φ)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω>1時)或伸長(當(dāng)0<ω<1時)到原來的eq\f(1,ω)倍(縱坐標(biāo)不變)而得到．教師適時點撥學(xué)生，探索A對圖象的影響的過程，與探索ω、φ對圖象的影響過程完全一致，鼓勵學(xué)生獨立完成．學(xué)生觀察y＝3sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象和y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象之間的關(guān)系．如圖3，分別在兩條曲線上各取一個橫坐標(biāo)相同的點A、B，沿兩條曲線同時移動這兩點，并使它們的橫坐標(biāo)保持相同，觀察它們縱坐標(biāo)的關(guān)系．可以發(fā)現(xiàn)，對于同一個x值，函數(shù)y＝3sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象上的點的縱坐標(biāo)等于函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象上點的縱坐標(biāo)的3倍．這說明，y＝3sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象，可以看作是把y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象上所有的點的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍(橫坐標(biāo)不變)而得到的．通過實驗可以看到，A取其他值時也有類似的情況．有了前面兩個參數(shù)的探究，學(xué)生得出一般結(jié)論：圖3函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的圖象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)上所有點的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A>1時)或縮短(當(dāng)0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到，從而，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A.由此我們得到了參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的圖象變化的影響情況．一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的圖象，可以看作用下面的方法得到：先畫出函數(shù)y＝sinx的圖象，再把正弦曲線向左(右)平移|φ|個單位長度，得到函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象；然后使曲線上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,ω)倍，得到函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象；最后把曲線上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，這時的曲線就是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．最后教師引導(dǎo)學(xué)生類比得出，也可先伸縮后平移，其順序是：先伸縮橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))，再伸縮縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))，最后平移．但學(xué)生很容易在第三步出錯，在圖象變換時，對比變換可以引起學(xué)生注意，并體會一些細(xì)節(jié)．由此我們完成了參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)圖象影響的探究．教師適時地引導(dǎo)學(xué)生回顧思考整個探究過程中體現(xiàn)的思想：由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想．規(guī)律總結(jié)先伸縮后平移(提醒學(xué)生盡量先平移)的步驟程序如下：y＝sinx的圖象eq\o(→,\s\up7(縱坐標(biāo)伸長A＞1或縮短0＜A＜1),\s\do5(為原來的A倍橫坐標(biāo)不變))得y＝Asinx的圖象eq\o(→,\s\up7(橫坐標(biāo)伸長0＜ω＜1或縮短ω＞1),\s\do5(到原來的\f(1,ω)縱坐標(biāo)不變))得y＝Asin(ωx)的圖象eq\o(→,\s\up7(向左φ＞0或向右φ＜0),\s\do5(平移|\f(φ,ω)|個單位))得y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．先平移后伸縮的步驟程序如下：y＝sinx的圖象eq\o(→,\s\up7(向左φ＞0或向右φ＜0),\s\do5(平移|φ|個單位長度))得y＝sin(x＋φ)的圖象eq\o(→,\s\up7(橫坐標(biāo)伸長0＜ω＜1或縮短ω＞1),\s\do5(到原來的\f(1,ω)縱坐標(biāo)不變))得y＝sin(ωx＋φ)的圖象eq\o(→,\s\up7(縱坐標(biāo)伸長A＞1或縮短0＜A＜1),\s\do5(為原來的A倍橫坐標(biāo)不變))得y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1見課本本節(jié)例1.變式訓(xùn)練畫出函數(shù)y＝2sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))的簡圖．活動：本例訓(xùn)練學(xué)生的畫圖基本功及鞏固本節(jié)所學(xué)知識．(1)可引導(dǎo)學(xué)生從圖象變換的角度來探究，這里的φ＝－eq\f(π,6)，ω＝eq\f(1,3)，A＝2，鼓勵學(xué)生根據(jù)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容自己寫出得到y(tǒng)＝2sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))的圖象的過程：只需把y＝sinx的曲線上所有點向右平行移動eq\f(π,6)個單位長度，得到y(tǒng)＝sin(x－eq\f(π,6))的圖象；再把后者所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))的圖象；再把所得圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)而得到函數(shù)y＝2sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))的圖象．如圖4所示．圖4 (2)學(xué)生完成以上變換后，為了進(jìn)一步掌握圖象的變換規(guī)律，教師可引導(dǎo)學(xué)生做換個順序的圖象變換，要讓學(xué)生自己獨立完成仔細(xì)體會變化的實質(zhì)．(3)學(xué)生完成以上兩種變換后，就得到了兩種畫函數(shù)y＝2sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))簡圖的方法，教師再進(jìn)一步地啟發(fā)學(xué)生能否利用“五點法”作圖畫出函數(shù)y＝2sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))的簡圖，并鼓勵學(xué)生動手按“五點法”作圖的要求完成這一畫圖過程．解：方法一：畫出函數(shù)y＝2sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))簡圖的方法為方法三：(利用“五點法”作圖——作一個周期內(nèi)的圖象)令X＝eq\f(1,3)x－eq\f(π,6)，則x＝3(X＋eq\f(π,6))．列表：X0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,2)2πeq\f(7π,2)5πeq\f(13π,2)y020－20描點畫圖，如圖5所示．圖5點評：學(xué)生獨立完成以上探究后，對整個的圖象變換及“五點法”作圖會有一個新的認(rèn)識．但教師要強調(diào)學(xué)生注意方法二中第三步的變換，左右平移變換只對“單個”x而言，這是個難點，學(xué)生極易出錯．對于“五點法”作圖，要強調(diào)：這五個點應(yīng)該是使函數(shù)取最大值、最小值以及曲線與x軸相交的點．找出它們的方法是先作變量代換，設(shè)X＝ωx＋φ，再用方程思想由X取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π來確定對應(yīng)的x值.變式訓(xùn)練1．為了得到函數(shù)y＝sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6))，x∈R的圖象，只需把函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象上所有的點()A．向左平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,3)倍(縱坐標(biāo)不變)B．向右平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,3)倍(縱坐標(biāo)不變)C．向左平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)D．向右平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)答案：C2.將函數(shù)y＝f(x)的圖象沿x軸向右平移eq\f(π,3)，再保持圖象上的縱坐標(biāo)不變，而橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的曲線與y＝sinx的圖象相同，則y＝f(x)是()A．y＝sin(2x＋eq\f(π,3))B．y＝sin(2x－eq\f(π,3))C．y＝sin(2x＋eq\f(2π,3))D．y＝sin(2x－eq\f(2π,3))點評：這是三角圖象變換問題的又一類逆向型題，解題的思路是逆推法．解析：y＝sinx的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)壓縮為原來的eq\f(1,2)，得y＝sin2x；再沿x軸向左平移eq\f(π,3)得y＝sin2(x＋eq\f(π,3))，即f(x)＝sin(2x＋eq\f(2π,3))．答案：C例2將函數(shù)y＝sinx的圖象怎樣變換可得到函數(shù)y＝2sin(2x＋eq\f(π,4))＋1的圖象？活動：可以用兩種圖象變換得到．但無論哪種變換都是針對字母x而言的．由y＝sin2x的圖象向左平移eq\f(π,8)個單位長度得到的函數(shù)圖象的解析式是y＝sin2(x＋eq\f(π,8))而不是y＝sin(2x＋eq\f(π,8))，把y＝sin(x＋eq\f(π,4))的圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來的eq\f(1,2)倍，得到的函數(shù)圖象的解析式是y＝sin(2x＋eq\f(π,4))而不是y＝sin2(x＋eq\f(π,4))．解：方法一：①把y＝sinx的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,4)個單位長度，得y＝sin(x＋eq\f(π,4))的圖象；②將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來的eq\f(1,2)倍，得y＝sin(2x＋eq\f(π,4))的圖象；③將所得圖象的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得y＝2sin(2x＋eq\f(π,4))的圖象；④最后把所得圖象沿y軸向上平移1個單位長度得到y(tǒng)＝2sin(2x＋eq\f(π,4))＋1的圖象．方法二：①把y＝sinx的圖象的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得y＝2sinx的圖象；②將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來的eq\f(1,2)倍，得y＝2sin2x的圖象；③將所得圖象沿x軸向左平移eq\f(π,8)個單位長度，得y＝2sin2(x＋eq\f(π,8))的圖象；④最后把圖象沿y軸向上平移1個單位長度得到y(tǒng)＝2sin(2x＋eq\f(π,4))＋1的圖象．點評：三角函數(shù)圖象變換是個難點．本例很好地鞏固了本節(jié)所學(xué)知識方法，關(guān)鍵是教師引導(dǎo)學(xué)生理清變換思路和各種變換對解析式的影響.變式訓(xùn)練要得到函數(shù)y＝sinx的圖象，只需將函數(shù)y＝cos(x－eq\f(π,3))的圖象()A．向右平移eq\f(π,6)個單位B．向右平移eq\f(π,3)個單位C．向左平移eq\f(π,3)個單位D．向左平移eq\f(π,6)個單位答案：Aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．由學(xué)生自己回顧總結(jié)本節(jié)課探究的知識與方法，以及對三角函數(shù)圖象及三角函數(shù)解析式的新的認(rèn)識，使本節(jié)的總結(jié)成為學(xué)生凝練提高的平臺．2．教師強調(diào)，本節(jié)課借助于計算機(jī)討論并畫出y＝Asin(ωx＋eq\f(π,3))的圖象，分別觀察參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)圖象變化的影響，同時通過具體函數(shù)的圖象的變化，領(lǐng)會由簡單到復(fù)雜、特殊到一般的化歸思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))1．用圖象變換的方法在同一坐標(biāo)系內(nèi)由y＝sinx的圖象畫出函數(shù)y＝－eq\f(1,2)sin(－2x)的圖象．2．要得到函數(shù)y＝cos(2x－eq\f(π,4))的圖象，只需將函數(shù)y＝sin2x的圖象通過怎樣的變換得到？3．指出曲線y＝cos2x＋1與余弦曲線y＝cosx的關(guān)系．解答：1.y＝－eq\f(1,2)sin(－2x)＝eq\f(1,2)sin2x，作圖過程：y＝sinxy＝sin2xy＝eq\f(1,2)sin2x.2．∵y＝cos(2x－eq\f(π,4))＝sin[eq\f(π,2)＋(2x－eq\f(π,4))]＝sin(2x＋eq\f(π,4))＝sin2(x＋eq\f(π,8))，∴將曲線y＝sin2x向左平移eq\f(π,8)個單位長度即可．3．∵y＝cos2x＋1，∴將余弦曲線y＝cosx上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，再將所得曲線上所有的點向上平移1個單位長度，即可得到曲線y＝cos2x＋1.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計感想))1．本節(jié)圖象較多，學(xué)生活動量大，因此本節(jié)設(shè)計的主要指導(dǎo)思想是充分利用信息技術(shù)工具，從整體上探究參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象整體變化的影響．這符合新課標(biāo)精神，符合教育課改新理念．現(xiàn)代教育要求學(xué)生在富有的學(xué)習(xí)動機(jī)下主動學(xué)習(xí)，合作探究，教師僅是學(xué)生主動學(xué)習(xí)的激發(fā)者和引導(dǎo)者．2．對于函數(shù)y＝sinx的圖象與函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象間的變換，由于“平移變換”與“伸縮變換”在“順序”上的差別，直接會對圖象平移量產(chǎn)生影響，這點也是學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象變換的難點所在，設(shè)計意圖旨在通過對比讓學(xué)生領(lǐng)悟它們的異同．3．學(xué)習(xí)過程是一個認(rèn)知過程，學(xué)生內(nèi)部的認(rèn)知因素和學(xué)習(xí)情景的因素是影響學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變量．如果學(xué)生本身缺乏學(xué)習(xí)動機(jī)和原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，外部的變量就不能發(fā)揮它們的作用，但外部變量所提供的刺激也能使內(nèi)部能力引起學(xué)習(xí)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))一、關(guān)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的奇偶性1．若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)是奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)，反之也成立；若y＝Asin(ωx＋φ)是偶函數(shù)，則φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，反之也成立．2．若函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)是奇函數(shù)，則φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，反之也成立；若y＝Acos(ωx＋φ)是偶函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)，反之也成立．以下僅對命題“若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)是奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)，反之也成立”給出證明．若y＝Asin(ωx＋φ)是奇函數(shù)，則Asin(－ωx＋φ)＝－Asin(ωx＋φ)對x∈R成立，即sin(ωx－φ)＝sin(ωx＋φ)對x∈R成立．令x＝0，則sin(－φ)＝sinφsinφ＝0，φ＝kπ(k∈Z)．反之，若φ＝kπ(k∈Z)，則y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝Asin(ωx＋kπ)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Asinωx，k為偶函數(shù)，,－Asinωx，k為奇數(shù)，))∴f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Asin－ωx，k為偶數(shù),－Asin－ωx，k為奇數(shù)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－Asinωx，k為偶數(shù),Asinωx，k為奇數(shù)))＝－f(x)．∴當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時，y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)．二、備用習(xí)題1．下列變換中，正確的是()A．將y＝sin2x圖象上的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)即可得到y(tǒng)＝sinx的圖象B．將y＝sin2x圖象上的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍(縱坐標(biāo)不變)即可得到y(tǒng)＝sinx的圖象C．將y＝－sin2x圖象上的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即得到y(tǒng)＝sinx的圖象D．將y＝－3sin2x圖象上的橫坐標(biāo)縮小一倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的eq\f(1,3)倍，且變?yōu)橄喾磾?shù)，即得到y(tǒng)＝sinx的圖象2．若將某函數(shù)的圖象向右平移eq\f(π,2)以后所得到的圖象的函數(shù)式是y＝sin(x＋eq\f(π,4))，則原來的函數(shù)表達(dá)式為()A．y＝sin(x＋eq\f(3π,4))B．y＝sin(x＋eq\f(π,2))C．y＝sin(x－eq\f(π,4))D．y＝sin(x＋eq\f(π,4))－eq\f(π,4)3．函數(shù)y＝sin(2x－eq\f(π,3))的圖象可由函數(shù)y＝sin2x的圖象經(jīng)過下列哪種變換得到……()A．向右平移eq\f(π,3)個單位長度B．向右平移eq\f(π,6)個單位長度C．向左平移eq\f(π,3)個單位長度D．向左平移eq\f(π,6)個單位長度4．函數(shù)f(x)＝Msin(ωx＋φ)(其中M>0，ω>0)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f(a)＝－M，f(b)＝M，則函數(shù)g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上()A．是增函數(shù)B．是減函數(shù)C．可以取得最大值MD．可以取得最小值－M5．把函數(shù)y＝sin(x＋eq\f(π,8))的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)，則所得圖象對應(yīng)的函數(shù)的解析式為________________．6．關(guān)于y＝4sin(2x＋eq\f(π,3))(x∈R)有下列命題：①由f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必是π的整數(shù)倍；②y＝f(x)的表達(dá)式可改寫為y＝4cos(2x－eq\f(π,6))；③y＝f(x)的圖象關(guān)于點(－eq\f(π,6)，0)對稱；④y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(π,6)對稱．其中正確的命題的序號為__________．7．同時具有性質(zhì)“①最小正周期是π；②圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱；③在[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是()A．y＝sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6))B．y＝cos(2x＋eq\f(π,3))C．y＝sin(2x－eq\f(π,6))D．y＝cos(2x－eq\f(π,6))參考答案：1.A2.A3.B4.C5.f(x)＝sin(2x＋eq\f(3π,8))6.②③7.B第2課時導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)上一節(jié)課中，我們分別探索了參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響及“五點法”作圖．現(xiàn)在我們進(jìn)一步熟悉掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，φ≠0)的圖象變換及其物理背景．由此展開新課．思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)請同學(xué)們分別用圖象變換及“五點作圖法”畫出函數(shù)y＝4sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,3))的簡圖，學(xué)生動手畫圖，教師適時地點撥、糾正，并讓學(xué)生回答有關(guān)的問題．在學(xué)生回顧與復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上展開新課．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))進(jìn)一步熟悉并掌握三角函數(shù)的圖象變換．練習(xí)：(1)在上節(jié)課的學(xué)習(xí)中，用“五點作圖法”畫函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象時，列表中最關(guān)鍵的步驟是什么？(2)①把函數(shù)y＝sin2x的圖象向__________平移__________個單位長度得到函數(shù)y＝sin(2x－eq\f(π,3))的圖象；②把函數(shù)y＝sin3x的圖象向__________平移__________個單位長度得到函數(shù)y＝sin(3x＋eq\f(π,6))的圖象；③如何由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象？(3)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移eq\f(π,2)個單位長度，所得到的曲線是y＝eq\f(1,2)sinx的圖象，試求函數(shù)y＝f(x)的解析式．對這個問題的求解現(xiàn)給出以下三種解法，請說出甲、乙、丙各自解法的正誤(多媒體出示各自解法)．甲生：所給問題即是將y＝eq\f(1,2)sinx的圖象先向右平移eq\f(π,2)個單位長度，得到y(tǒng)＝eq\f(1,2)sin(x－eq\f(π,2))的圖象，再將所得的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，得到y(tǒng)＝eq\f(1,2)sin(2x－eq\f(π,2))，即y＝－eq\f(1,2)cos2x的圖象，∴f(x)＝－eq\f(1,2)cos2x.乙生：設(shè)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，將它的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)＝Asin(eq\f(ω,2)x＋φ)的圖象，再將所得的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位長度，得到y(tǒng)＝Asin(eq\f(ω,2)x＋eq\f(π,2)＋φ)＝eq\f(1,2)sinx，∴A＝eq\f(1,2)，eq\f(ω,2)＝1，eq\f(π,2)＋φ＝0，即A＝eq\f(1,2)，ω＝2，φ＝－eq\f(π,2).∴f(x)＝eq\f(1,2)sin(2x－eq\f(π,2))＝－eq\f(1,2)cos2x.丙生：設(shè)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，將它的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)＝Asin(eq\f(ω,2)x＋φ)的圖象，再將所得的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位長度，得到y(tǒng)＝Asin[eq\f(ω,2)(x＋eq\f(π,2))＋φ]＝Asin(eq\f(ω,2)x＋eq\f(ωπ,4)＋φ)＝eq\f(1,2)sinx，∴A＝eq\f(1,2)，eq\f(ω,2)＝1，eq\f(ωπ,4)＋φ＝0.解得A＝eq\f(1,2)，ω＝2，φ＝－eq\f(π,2)，∴f(x)＝eq\f(1,2)sin(2x－eq\f(π,2))＝－eq\f(1,2)cos2x.活動：通過以上回顧練習(xí)，復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)三種基本變換，同時為導(dǎo)入本節(jié)課重、難點創(chuàng)設(shè)情境．讓學(xué)生回答并回憶A、ω、φ對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象變化的影響．引導(dǎo)學(xué)生回顧“五點作圖法”，既復(fù)習(xí)了舊知識，又為學(xué)生準(zhǔn)確使用本節(jié)課的工具提供必要的保障．讓學(xué)生通過實例綜合以上兩種變換，再次回顧比較兩種方法平移量的區(qū)別和導(dǎo)致這一現(xiàn)象的根本原因，以此培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生變換的逆向思維能力，訓(xùn)練學(xué)生對變換實質(zhì)的理解及使用誘導(dǎo)公式的綜合能力．練習(xí)③甲生的解法是考慮以上變換的“逆變換”，即將以上變換倒過來，由y＝eq\f(1,2)sinx變換到y(tǒng)＝f(x)，解答正確．乙、丙兩名同學(xué)都是采用代換法，即設(shè)y＝Asin(ωx＋φ)，然后按題設(shè)中的變換得到兩次變換后圖象的函數(shù)解析式，這種思路清晰，但值得注意的是：乙生的解答過程中存在實質(zhì)性的錯誤，就是將y＝Asin(eq\f(ω,2)x＋φ)的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位長度時，把y＝Asin(eq\f(ω,2)x＋φ)函數(shù)中的自變量x變成x＋eq\f(π,2)，應(yīng)該變換成y＝Asin[eq\f(ω,2)(x＋eq\f(π,2))＋φ]，而不是變換成y＝Asin(eq\f(ω,2)x＋eq\f(π,2)＋φ)，雖然結(jié)果一樣，但這是巧合，丙同學(xué)的解答是正確的．三角函數(shù)圖象的“逆變換”一定要注意其順序，比如甲生解題的過程中如果交換了順序就會出錯，故在對這種方法不是很熟練的情況下，用丙同學(xué)的解法較合適(即待定系數(shù)法)．平移變換是對自變量x而言的，比如乙同學(xué)的變換就出現(xiàn)了這種錯誤．以上練習(xí)的答案是：(1)將ωx＋φ看作一個整體，令其分別為0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π.(2)①右eq\f(π,6)②左eq\f(π,18)③先將y＝sinx的圖象左移eq\f(π,3)個單位，再把所有點的橫坐標(biāo)壓縮到原來的eq\f(1,2)倍(縱坐標(biāo)不變)．(3)略．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1圖1是某簡諧運動的圖象．試根據(jù)圖象回答下列問題：(1)這個簡諧運動的振幅、周期和頻率各是多少？(2)從O點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復(fù)運動？如從A點算起呢？(3)寫出這個簡諧運動的函數(shù)表達(dá)式．圖1活動：本例是根據(jù)簡諧運動的圖象求解析式．教師可引導(dǎo)學(xué)生再次回憶物理學(xué)中學(xué)過的相關(guān)知識，并提醒學(xué)生注意本課開始時探討的知識，思考y＝Asin(ωx＋φ)中的參數(shù)φ、ω、A在圖象上是怎樣反映的，要解決這個問題，關(guān)鍵要抓住什么？讓學(xué)生明確解題思路是由形到數(shù)地解決問題，學(xué)會數(shù)形結(jié)合地處理問題．完成解題后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思學(xué)習(xí)過程，概括出研究函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的思想方法，找兩名學(xué)生闡述思想方法，教師作點評、補充．解：(1)從圖象上可以看到，這個簡諧運動的振幅為2cm；周期為0.8s；頻率為eq\f(5,4).(2)如果從O點算起，到曲線上的D點，表示完成了一次往復(fù)運動；如果從A點算起，則到曲線上的E點，表示完成了一次往復(fù)運動．(3)設(shè)這個簡諧運動的函數(shù)表達(dá)式為y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，那么A＝2；由eq\f(2π,ω)＝0.8，得ω＝eq\f(5π,2)；由圖象知初相φ＝0.于是所求函數(shù)表達(dá)式是y＝2sineq\f(5π,2)x，x∈[0，＋∞)．點評：本例的實質(zhì)是由函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，要抓住關(guān)鍵點．應(yīng)用數(shù)學(xué)中重要的思想方法——數(shù)形結(jié)合的思想方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練地掌握這種方法.變式訓(xùn)練函數(shù)y＝6sin(eq\f(1,4)x－eq\f(π,6))的振幅是__________，周期是__________，頻率是__________，初相是__________，圖象最高點的坐標(biāo)是__________．解：68πeq\f(1,8π)－eq\f(π,6)(8kπ＋eq\f(8π,3)，6)(k∈Z)思路2例1若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)在其一個周期內(nèi)的圖象上有一個最高點(eq\f(π,12)，3)和一個最低點(eq\f(7π,12)，－5)，求這個函數(shù)的解析式．活動：讓學(xué)生自主探究題目中給出的條件，本例中給出的實際上是一個圖象，它的解析式為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)，這是學(xué)生未遇到過的．教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考它與y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的關(guān)系，它只是把y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的圖象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|個單位．由圖象可知，取最大值與最小值時相應(yīng)的x的值之差的絕對值只是半個周期．這里φ的確定學(xué)生會感到困難，因為題目中畢竟沒有直接給出圖象，不能明顯地看出來，應(yīng)告訴學(xué)生一般都會在條件中注明|φ|<π，如不注明，就取離y軸最近的一個即可．解：由已知條件，知ymax＝3，ymin＝－5，則A＝eq\f(1,2)(ymax－ymin)＝4，B＝eq\f(1,2)(ymax＋ymin)＝－1，eq\f(T,2)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,12)＝eq\f(π,2).∴T＝π，得ω＝2.故有y＝4sin(2x＋φ)－1.由于點(eq\f(π,12)，3)在函數(shù)的圖象上，故有3＝4sin(2×eq\f(π,12)＋φ)－1，即sin(eq\f(π,6)＋φ)＝1.一般要求|φ|<π，故取eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2).∴φ＝eq\f(π,3).故所求函數(shù)的解析式為y＝4sin(2x＋eq\f(π,3))－1.點撥：這是數(shù)形結(jié)合的又一典型應(yīng)用，應(yīng)讓學(xué)生明了，題中無圖但腦中應(yīng)有圖或根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖象可直接求得A、ω，進(jìn)而求得初相φ.但要注意初相φ的確定．求初相也是這節(jié)課的一個難點.變式訓(xùn)練1.圖2是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，|φ|＜π的圖象的一部分，由圖中條件，寫出該函數(shù)解析式．圖2解：由圖象得：A＝5，eq\f(T,2)＝eq\f(5π,2)－π，∴T＝3π，∴eq\f(2π,ω)＝T，ω＝eq\f(2,3).方法一：單調(diào)性法．∵點(π，0)在遞減的那段曲線上，∴eq\f(2π,3)＋φ∈[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(2π,3)＋2kπ](k∈Z)．由sin(eq\f(2π,3)＋φ)＝0，得eq\f(2π,3)＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．∵|φ|＜π，∴φ＝eq\f(π,3).方法二：最值點法．將最高點坐標(biāo)(eq\f(π,4)，5)代入y＝5sin(eq\f(2,3)x＋φ)，得5sin(eq\f(π,6)＋φ)＝5，∴eq\f(π,6)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2).∴φ＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，取φ＝eq\f(π,3).方法三：起始點法．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象一般由“五點法”作出，而起始點的橫坐標(biāo)x正是由ωx＋φ＝0解得的，故只要找出起始點橫坐標(biāo)x0，就可以迅速求得初相φ.由圖象求得x0＝－eq\f(π,2)，∴φ＝－ωx0＝－eq\f(2,3)×(－eq\f(π,2))＝eq\f(π,3).故函數(shù)解析式為y＝5sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(π,3))．點評：求初相角是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個難點，怎樣求初相角？初相角有幾個？讓學(xué)生在探究一題多解中細(xì)細(xì)體會，在應(yīng)用中逐漸掌握它．2．函數(shù)y＝sin(2x－eq\f(π,3))在區(qū)間[－eq\f(π,2)，π]上的簡圖是()圖3答案：Aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))課本本節(jié)練習(xí)5、6.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．由學(xué)生自己回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：簡諧運動的有關(guān)概念．本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法：簡單到復(fù)雜、特殊到一般、具體到抽象的化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想，待定系數(shù)法，數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值．2．三角函數(shù)圖象變換問題的常規(guī)題型是：已知函數(shù)和變換方法，求變換后的函數(shù)或圖象，這種題目的解題思路是：如果函數(shù)同名則按兩種變換方法的步驟進(jìn)行即可；如果函數(shù)不同名，則將異名函數(shù)化為同名函數(shù)，且需x的系數(shù)相同．左右平移時，如果x前面的系數(shù)不是1，需將x前面的系數(shù)提出．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))把函數(shù)y＝cos(3x＋eq\f(π,4))的圖象適當(dāng)變動就可以得到y(tǒng)＝sin(－3x)的圖象，這種變動可以是()A．向右平移eq\f(π,4)B．向左平移eq\f(π,4)C．向右平移eq\f(π,12)D．向左平移eq\f(π,12)解：∵y＝cos(3x＋eq\f(π,4))＝sin(eq\f(π,4)－3x)＝sin[－3(x－eq\f(π,12))]，∴由y＝sin[－3(x－eq\f(π,12))]向左平移eq\f(π,12)個單位才能得到y(tǒng)＝sin(－3x)的圖象．因此答案選D.答案：D點評：本題需逆推，教師在作業(yè)講評時應(yīng)加強學(xué)生注意逆向思維的訓(xùn)練．如本題中的eq\f(π,4)－3x需寫成－3(x－eq\f(π,12))，這樣才能確保平移變換的正確性．eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計感想))1．本節(jié)課符合新課改精神，突出體現(xiàn)了以學(xué)生能力的發(fā)展為主線，應(yīng)用啟發(fā)式、講述式引導(dǎo)學(xué)生層層深入，培養(yǎng)學(xué)生自主探索及發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力．注重利用非智力因素促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識價值、思維價值和人文價值的高度統(tǒng)一．2．由于本節(jié)內(nèi)容綜合性強，所以本節(jié)教案設(shè)計的指導(dǎo)思想是：在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生積極、主動地提出問題，自主分析，再合作交流，達(dá)到殊途同歸．在思維訓(xùn)練的過程中，感受數(shù)學(xué)知識的魅力，成為學(xué)習(xí)的主人．新課改要求教師在新的教學(xué)理念下，要勇于、更要善于把問題拋給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生探求知識的強烈欲望和創(chuàng)新意識．教學(xué)的目的是以知識為平臺，全面提升學(xué)生的綜合能力．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))備用習(xí)題1．函數(shù)f(x)＝cos2x＋sin(eq\f(π,2)＋x)是()A．非奇非偶函數(shù)B．僅有最小值的奇函數(shù)C．僅有最大值的偶函數(shù)D．既有最大值，又有最小值的偶函數(shù)2．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(π＋x)＝f(π－x)，且當(dāng)x∈[0，π]時，其解析式為f(x)＝cosx，則f(x)>0的解集是()A．(2kπ－eq\f(3π,2)，2kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)B．(2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)C．(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)D．(2kπ，2kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)3．將函數(shù)y＝5sin(－3x)的周期擴(kuò)大到原來的2倍，再將函數(shù)圖象右移eq\f(π,3)個單位，得到圖象解析式是()A．y＝5sin(eq\f(3π,2)－eq\f(3,2)x)B．y＝sin(eq\f(7π,10)－eq\f(3,2)x)C．y＝5sin(eq\f(π,6)－6x)D．y＝5coseq\f(3,2)x4．若函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)對任意x都有f(eq\f(π,3)＋x)＝f(eq\f(π,3)－x)，則f(eq\f(π,3))等于…()A．3或0B．－3或0C．0D．－3或35．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值是4，最小值是0，最小正周期為eq\f(π,2)，直線x＝eq\f(π,3)是其圖象的一條對稱軸，若A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2)，則函數(shù)解析式為________________．參考答案：1．D2.B3.D4.D5.y＝2sin(4x＋eq\f(π,6))＋2附：1．3.3函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象作者：蘇康寧，江蘇省宿遷中學(xué)教師，本教學(xué)設(shè)計獲江蘇省教學(xué)設(shè)計大賽一等獎．第1課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計))設(shè)計思想按照新課標(biāo)理念，通過計算機(jī)輔助教學(xué)創(chuàng)設(shè)情境，實施信息技術(shù)與學(xué)科課程整合教學(xué)設(shè)計．引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而較好地完成教學(xué)任務(wù)．動畫效果的展示形成對視覺的強刺激，把通常慣用的語言描述生動形象地刻畫出來，促進(jìn)學(xué)生對重點難點知識的理解掌握．建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，知識不是通過教師傳授獲得的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情境即社會文化背景下，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過意義建構(gòu)的方式而獲得的．本課教學(xué)設(shè)計重點是學(xué)習(xí)環(huán)境的設(shè)計，強調(diào)學(xué)生自主學(xué)習(xí)．關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生主動參與、樂于探究、培養(yǎng)學(xué)生處理信息的能力．本節(jié)課的設(shè)計思想中體現(xiàn)著從特殊到一般，再從一般到特殊的認(rèn)識事物的規(guī)律．通過對圖象變換的認(rèn)識，可以進(jìn)一步分析函數(shù)性質(zhì)的變化，樹立數(shù)形結(jié)合的思想．教學(xué)內(nèi)容分析本課教學(xué)內(nèi)容是能通過變換和五點法作出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，理解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)及它與y＝sinx的圖象的關(guān)系．本節(jié)內(nèi)容是在三種基本變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，進(jìn)一步深入研究正弦函數(shù)的性質(zhì)，y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換是函數(shù)圖象變換的綜合，充分體現(xiàn)利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)解決問題的思想，對前面的基礎(chǔ)知識有很好的小結(jié)作用，這種函數(shù)在物理學(xué)和工程學(xué)中應(yīng)用比較廣泛，高中物理課程內(nèi)容與之緊密相關(guān)，因此它能為實際問題的解決提供良好的理論保證．同時，本課的教材也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、觀察、分析、歸納等數(shù)學(xué)能力的重要素材．教學(xué)重點：掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和變換．教學(xué)難點：學(xué)生能通過自主探究，掌握A，ω，φ對函數(shù)圖象的影響．教學(xué)目標(biāo)分析eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(認(rèn)知目標(biāo)))(1)結(jié)合具體實例，理解y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義，會用“五點法”畫出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖．會用計算機(jī)畫圖，觀察并研究參數(shù)A，ω，φ，進(jìn)一步明確A，ω，φ對函數(shù)圖象的影響．(2)能由正弦曲線通過平移、伸縮變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象．(3)教學(xué)過程中體現(xiàn)由簡單到復(fù)雜、特殊到一般的化歸的數(shù)學(xué)思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(能力目標(biāo)))(1)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)數(shù)學(xué)的情境氛圍，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識．(2)在問題解決過程中，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力．(3)讓學(xué)生經(jīng)歷列表、描點、連線成圖的作圖過程，體會數(shù)形結(jié)合、整體與局部的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探索精神，歸納、發(fā)現(xiàn)的能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(情感目標(biāo)))(1)通過函數(shù)圖象及利用函數(shù)圖象解決問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美，并由欣賞到應(yīng)用．(2)提供適當(dāng)?shù)膯栴}情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)1．創(chuàng)設(shè)情境，2.提出問題，3.學(xué)生探究，4.構(gòu)建知識，5.變式練習(xí)，6.歸納概括，7.能力訓(xùn)練，8.評估學(xué)習(xí)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))創(chuàng)設(shè)情境在現(xiàn)實生活中，我們常常會遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)解析式(其中A，ω，φ都是常數(shù))．利用課件展示物體簡諧振動．定義：A：稱為振幅；T＝eq\f(2π,ω)：稱為周期；f＝eq\f(1,T)：稱為頻率；ωx＋φ：稱為相位．x＝0時的相位φ，稱為初相．提出問題討論函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)x∈R的圖象與y＝sinx的圖象的關(guān)系及畫法．學(xué)生探究例1畫出函數(shù)y＝2sinx(x∈R)；y＝eq\f(1,2)sinx(x∈R)的圖象(簡圖)．解：用“五點法”．∵這兩個函數(shù)都是周期函數(shù)，且周期為2π，∴我們先畫它們在[0,2π]上的簡圖．列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－102sinx020－20eq\f(1,2)sinx0eq\f(1,2)0－eq\f(1,2)0圖1(1)y＝2sinx(x∈R)的值域是[－2,2]．圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍而得(橫坐標(biāo)不變)．(2)y＝eq\f(1,2)sinx，x∈R的值域是[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]．圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍而得(橫坐標(biāo)不變)．教師引導(dǎo)觀察，啟發(fā)點撥：用幾何畫板課件作圖象比較．學(xué)生歸納結(jié)論：振幅變換：y＝Asinx，x∈R(A>0且A≠1)的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍得到的．它的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A.例2畫出函數(shù)y＝sin2x(x∈R)；y＝sineq\f(1,2)x(x∈R)的圖象(簡圖)．解：函數(shù)y＝sin2x，x∈R的周期T＝π.我們先畫在[0，π]上的簡圖，在[0，π]上作圖．2x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx0eq\f(π,4)eq\f(π,2)eq\f(3π,4)πy＝sin2x010－10圖2函數(shù)y＝sineq\f(1,2)x，x∈R的周期T＝4π.我們畫[0,4π]上的簡圖，列表：eq\f(x,2)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx0π2π3π4πsineq\f(x,2)010－10(1)函數(shù)y＝sin2x，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍(縱坐標(biāo)不變)而得到．(2)函數(shù)y＝sineq\f(1,2)x，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)而得到．引導(dǎo)，觀察啟發(fā)：用幾何畫板課件作圖象比較．周期變換：函數(shù)y＝sinωx，x∈R(ω>0且ω≠1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標(biāo)縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的eq\f(1,ω)倍(縱坐標(biāo)不變)．3畫出函數(shù)y＝sin(x＋eq\f(π,3))，x∈R；y＝sin(x－eq\f(π,4))，x∈R的簡圖．解：列表、描點、畫圖：x－eq\f(π,3)eq\f(π,6)eq\f(2π,3)eq\f(7π,6)eq\f(5π,3)x＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsin(x＋eq\f(π,3))010－10xeq\f(π,4)eq\f(3π,4)eq\f(5π,4)eq\f(7π,4)eq\f(9π,4)x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq