2023屆福建省三明市A片區(qū)高中聯盟校數學高三上期末聯考試題含解析

2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．2．已知空間兩不同直線、，兩不同平面，，下列命題正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若不垂直于，且，則不垂直于3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長為（）A． B． C． D．4．函數的一個單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．5．已知橢圓的焦點分別為，，其中焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓與拋物線的兩個交點連線正好過點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．6．如圖，平面與平面相交于，，，點，點，則下列敘述錯誤的是（）A．直線與異面B．過只有唯一平面與平行C．過點只能作唯一平面與垂直D．過一定能作一平面與垂直7．已知復數滿足，(為虛數單位)，則()A． B． C． D．38．已知正方體的棱長為1，平面與此正方體相交.對于實數，如果正方體的八個頂點中恰好有個點到平面的距離等于，那么下列結論中，一定正確的是A． B．C． D．9．設是虛數單位，若復數，則（）A． B． C． D．10．已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．已知（為虛數單位，為的共軛復數），則復數在復平面內對應的點在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則的最小值為.14．已知數列中，為其前項和，，，則_________，_________.15．我國著名的數學家秦九韶在《數書九章》提出了“三斜求積術”．他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜．三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數的一半，自乘而得一個數，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個數，相減后余數被4除，所得的數作為“實”，1作為“隅”，開平方后即得面積．所謂“實”、“隅”指的是在方程中，p為“隅”，q為“實”．即若的大斜、中斜、小斜分別為a，b，c，則.已知點D是邊AB上一點，，，，，則的面積為________．16．定義在封閉的平面區(qū)域內任意兩點的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個點，，，在半徑為的圓上，且，分別以各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和構成平面區(qū)域，則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱錐中，（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知曲線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為（為參數）.（1）求和的普通方程；（2）過坐標原點作直線交曲線于點（異于），交曲線于點，求的最小值.19．（12分）已知數列中，a1=1，其前n項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）記，若數列為遞增數列，求λ的取值范圍．20．（12分）已知三棱錐P-ABC（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形ABCD為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：（1）證明：平面平面ABC；（2）若點M在棱PA上運動，當直線BM與平面PAC所成的角最大時，求直線MA與平面MBC所成角的正弦值.21．（12分）交通部門調查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.（1）完成下面的列聯表，并據此判斷是否有的把握認為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關；平均車速超過的人數平均車速不超過的人數合計男性駕駛員女性駕駛員合計（2）根據這些樣本數據來估計總體，隨機調查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數為，假定抽取的結果相互獨立，求的分布列和數學期望.參考公式：其中臨界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知函數.（1）若曲線的切線方程為，求實數的值；（2）若函數在區(qū)間上有兩個零點，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

分類討論，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個，再取沒有陽爻的坤卦，計算滿足條件的種數，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數是；僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時取兩卦滿足條件的種數是，于是所求的概率．故選：C【點睛】本題考查了古典概型的應用，考查了學生綜合分析，分類討論，數學運算的能力，屬于基礎題.2、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線也成立，故不正確；答案C中的直線可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可能垂直于直線，故不正確．應選答案C．3、D【解析】

先根據三視圖還原幾何體是一個四棱錐，根據三視圖的數據，計算各棱的長度.【詳解】根據三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，如圖所示：由三視圖知：，所以，所以，所以該幾何體的最長棱的長為故選：D【點睛】本題主要考查三視圖的應用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.4、D【解析】

利用同角三角函數的基本關系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達式，再根據三角函數單調區(qū)間的求法，求得的單調區(qū)間，由此確定正確選項.【詳解】因為，由單調遞增，則（），解得（），當時，D選項正確.C選項是遞減區(qū)間，A，B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點睛】本小題考查三角函數的恒等變換，三角函數的圖象與性質等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數形結合思想，應用意識.5、B【解析】

根據題意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.【詳解】易知，且故有，則故選：B【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質、拋物線的幾何性質，考查了學生的計算能力，屬于中檔題6、D【解析】

根據異面直線的判定定理、定義和性質，結合線面垂直的關系，對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據異面直線的性質知，過只有唯一平面與平行，故正確.C.根據過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據異面直線的性質知，過不一定能作一平面與垂直，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查異面直線的定義，性質以及線面關系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.7、A【解析】，故，故選A.8、B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖（1）恰好有3個點到平面的距離為；如圖（2）恰好有4個點到平面的距離為；如圖（3）恰好有6個點到平面的距離為.所以本題答案為B.【點睛】本題以空間幾何體為載體考查點，面的位置關系，考查空間想象能力，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力，屬于難題.9、A【解析】

結合復數的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數，∴，，則，故選：A.【點睛】本題考查復數的除法、模長、平方運算，屬于基礎題10、C【解析】

由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，列出方程求出的值，即可求解雙曲線的離心率，得到答案．【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，可得，解得，此時雙曲線，則曲線的離心率為，故選C．【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質，準確運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．11、D【解析】

設，由，得，利用復數相等建立方程組即可.【詳解】設，則，所以，解得，故，復數在復平面內對應的點為，在第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數的幾何意義，涉及到共軛復數的定義、復數的模等知識，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.12、D【解析】

根據指數函數的單調性，即當底數大于1時單調遞增，當底數大于零小于1時單調遞減，對選項逐一驗證即可得到正確答案.【詳解】因為，所以，所以是減函數，又因為，所以，，所以，，所以A,B兩項均錯；又，所以，所以C錯；對于D，，所以，故選D.【點睛】這個題目考查的是應用不等式的性質和指對函數的單調性比較大小，兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質得到大小關系，有時可以代入一些特殊的數據得到具體值，進而得到大小關系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】.14、8（寫為也得分）【解析】

由，得，.當時，，所以，所以的奇數項是以1為首項，以2為公比的等比數列；其偶數項是以2為首項，以2為公比的等比數列.則，.15、.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術”公式即可求得答案.【詳解】，所以，由余弦定理可知，得.根據“三斜求積術”可得，所以.【點睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數的基本關系式,余弦定理的應用,考查學生分析問題的能力和計算整理能力,難度較易.16、【解析】

先找到平面區(qū)域內任意兩點的最大值為，再利用三角恒等變換化簡即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理，得，所以，，取AB中點E，AC中點F，BC中點G，如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點距離最大值為，而，當且僅當時，等號成立.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應用問題，涉及到距離的最值問題，在處理這類問題時，一定要數形結合，本題屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點，連結，證明平面得到答案.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，為平面的一個法向量，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（1）取中點，連結，，，，，為直角，，平面，平面，∴面面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，可取為平面的一個法向量.設平面的一個法向量為.則，其中，，不妨取，則..為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.18、（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：（2）【解析】

（1）消去曲線參數方程中的參數，求得和的普通方程.（2）設出過原點的直線的極坐標方程，代入曲線的極坐標方程，求得的表達式，結合三角函數值域的求法，求得的最小值.【詳解】（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：.（2）設過原點的直線的極坐標方程為；由得，所以曲線的極坐標方程為在曲線中，.由得曲線的極坐標方程為，所以而到直線與曲線的交點的距離為，因此，即的最小值為.【點睛】本小題主要考查參數方程化為普通方程，考查直角坐標方程化為極坐標方程，考查極坐標系下距離的有關計算，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）項和轉換可得，繼而得到，可得解；（2）代入可得，由數列為遞增數列可得，，令，可證明為遞增數列，即，即得解【詳解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵數列為遞增數列，∴，即．令，即．∴為遞增數列，∴，即的取值范圍為．【點睛】本題考查了數列綜合問題，考查了項和轉換，數列的單調性，最值等知識點，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.20、（1）見解析（2）【解析】

(1)設的中點為,連接.由展開圖可知,，.為的中點,則有,根據勾股定理可證得,則平面,即可證得平面平面．(2)由線面成角的定義可知是直線與平面所成的角，且,最大即為最短時,即是的中點建立空間直角坐標系,求出與平面的法向量利用公式即可求得結果.【詳解】（1）設AC的中點為O，連接BO，PO．由題意，得，，．在中，，O為AC的中點，，在中，，，，，．，平面，平面ABC，平面PAC，平面平面ABC．（2）由（1）知，，，平面PAC，是直線BM與平面PAC所成的角，且，當OM最短時，即M是PA的中點時，最大．由平面ABC，，，，于是以OC，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖示空間直角坐標系，則，，設平面MBC的法向量為，直線MA與平面MBC所成角為，則由得：.令，得，，即.則.直線MA與平面MBC所成角的正弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查線面成角問題,借助空間向量是解決線面成角問題的關鍵,難度一般.21、（1）填表見解析；有的把握認為，平均車速超過與性別有關（2）詳見解析【解析】

（1）根據題目所給數據填寫列聯表，計算出