圓錐曲線的方程（八）講義 高三數(shù)學一輪復習

高中數(shù)學高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時八知識點一根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程,橢圓中的定值問題典例1、如圖，已知橢圓分別是長軸的左、右兩個端點，是右焦點．橢圓C過點，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設直線上有兩個點，且，連接交橢圓C于另一點P（不同于點），證明：三點共線．

隨堂練習：已知橢圓：（）過點，且焦距與長軸之比為.設，為橢圓的左?右頂點，為橢圓上異于，的一點，直線，分別與直線：相交于，兩點，且直線與橢圓交于另一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：直線與的斜率之積為定值；（3）判斷三點，，是否共線，并證明你的結論.典例2、已知橢圓，由E的上?下頂點，左?右焦點構成一個邊長為的正方形.（1）求E的方程；（2）過E的右焦點F做相互垂直的兩條直線，，分別和E交點A，B，C，D，若由點A，B，C，D構成的四邊形的面積是，求，的方程.

隨堂練習：已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合．（1）求橢圓的離心率與拋物線的方程；（2）過焦點的動直線與拋物線交于，兩點，從原點作直線的垂線，垂足為，求動點的軌跡方程；（3）點為橢圓上的點，設直線與平行，且直線與橢圓交于，兩點，若的面積為1，求直線的方程．典例3、橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．（1）求橢圓的離心率；（2）直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．

隨堂練習：已知橢圓的上頂點與橢圓左、右頂點連線的斜率之積為．（1）求橢圓的離心率；（2）若直線與橢圓相交于、兩點，且的面積為（為坐標原點），求橢圓的標準方程．知識點二根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程,根據(jù)韋達定理求參數(shù),根據(jù)弦長求參數(shù)典例4、已知橢圓與的離心率相同，過的右焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓、的交點從上到下依次為、、、，且，求的值．

隨堂練習：已知①如圖，長為，寬為的矩形，以?為焦點的橢圓恰好過兩點②設圓的圓心為，直線過點，且與軸不重合，直線交圓于兩點，過點作的平行線交于，判斷點的軌跡是否橢圓（1）在①②兩個條件中任選一個條件，求橢圓的標準方程；（2）根據(jù)（1）所得橢圓的標準方程，若直線被橢圓截得的弦長等于短軸長，求的值.典例5、已知橢圓，過點．（1）求C的方程；（2）若不過點的直線l與C交于M，N兩點，且滿足，試探究：l是否過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．

隨堂練習：已知為橢圓上一點，上、下頂點分別為、，右頂點為，且.（1）求橢圓的方程；（2）點為橢圓上異于頂點的一動點，直線與交于點，直線交軸于點.求證：直線過定點.典例6、已知直線經過橢圓的右焦點，且橢圓C的離心率為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，若點M是第一象限內圓周上一點，過點M作圓的切線交橢圓C于P，Q兩點，橢圓C的右焦點為，試判斷的周長是否為定值．若是，求出該定值．

隨堂練習：已知橢圓的長軸長是焦距的2倍，點是橢圓的右焦點，且點在橢圓上，直線與橢圓交于A，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）當時，求的面積；（3）對，的周長是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說明理由.2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時八答案典例1、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由題意可知：，，橢圓C的方程為；（2）證明：設，由于，因此，，直線的斜率為，直線的方程為，代入橢圓方程得：，整理得：，設，代入直線的方程得，直線的斜率為，直線的斜率為，，所以三點共線．隨堂練習：答案：（1）；（2）定值為，證明見解析；（3），，三點共線，證明見解析.解:（1）由題知：，所以橢圓：.（2）由題知：，存在，且不為零，設，，，則，即..所以直線與的斜率之積為定值.（3），，三點共線，證明如下：設直線：，則直線：，將代入直線，得：，，，設直線：，，設，則，解得，所以，即，所以，，所以，為公共點，所以，，三點共線.典例2、答案：（1）（2）與的方程分別為：，解：（1）由已知，，，所以E的方程為.（2）又題意中，，①若或斜率不存在，易知，不符合題意；②若斜率存在，設，和的方程聯(lián)立得：，，，，設，同理可得，所以解得，，所以與的方程分別為：，，隨堂練習：答案：（1）離心率為；拋物線的方程為（2）（3）解：（1）因，，故，從而橢圓的離心率為．且橢圓的右焦點坐標為．于是由橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，得，即．從而拋物線的方程為．（2）設動點的坐標為，由條件，且點，在直線上，可得．于是．即．故動點的軌跡方程為：．（3）由于，設直線方程為，，．由得，故．則．又點到直線的距離，故由，解得，從而．因此，直線的方程為．典例3、答案：（1）（2）解：（1），離心率為.（2）由（1）可知橢圓的方程為，易知直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立得，由，①，，由可得，②由可得，③聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標準方程為．隨堂練習：答案：（1）（2）解：（1）由題知橢圓上頂點的坐標為，左、右頂點的坐標分別為、，所以，即，又，所以，所以橢圓的離心率.（2）設、，聯(lián)立得，所以，可得，，，所以，又原點到直線的距離，所以，解得，因此，橢圓的方程為．典例4、答案：（1）；（2）．解:（1）設橢圓的方程為，焦距為，將代入的方程可得，解得.由題意得，解得，因此的方程為；（2）設、、、，由，得（或），與、相交，只需當時，，解得.當時，，由韋達定理可得，所以，與的中點相同，所以，，即，整理可得，解得，滿足條件.隨堂練習：答案：（1）;（2）.解:（1）選①：由已知，將代入橢圓方程得：故橢圓方程為：選②：由題設可得如下示意圖，易知：△為等腰三角形且，∴，又，即，∴，則，∵，∴橢圓定義知：動點到兩定點的距離和為定值4，∴的軌跡方程為.（2）聯(lián)立與橢圓方程可得：，且，若交點為，則，，∴直線被橢圓截得的弦長為，而短軸長為2，∴，解得.典例5、答案：（1）（2）直線過定點解：（1）由題意，，解得，所以橢圓C的標準方程為．（2）因為，兩邊平方，化簡整理得，易知直線l的斜率存在，設其方程為，其中．由，得，，設，則，所以，所以，即，因為，所以，所以，得，解得，滿足，所以直線l的方程為：，即直線過定點隨堂練習：答案：（1）（2）證明見解析解：（1）因為為橢圓上一點，所以.因為，所以，整理得，解得或.當時，，與矛盾.所以，.橢圓的方程為.（2）設直線的斜率為，則.因為，由解得，.因為，所以，整理得，所以，.所以，所以.令，得.所以，所以.所以.所以直線過定點.典例6、答案：（1）（2）周長是定值，且定值為4解：（1）因為經過橢圓的右焦點，令，則，所以橢圓的右焦點為，可得：，又，可得：，由，所以，∴橢圓的標準方程為；（2）設直線的方程為，由得：，所以，設，，則：，所以.因為直線與圓相切，所以，即，所以，因為，又，所以，同理.所以，即的周長是定值，且定