2024年高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)Ⅱ卷）（解析卷）

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)II卷）

數(shù)學(xué)

本試卷共10頁，19小題，滿分150分.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證

號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

z=

1.已知z=-1-i，則（）

A.0B.1C.2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.

【詳解】若z=-1-i，則z=-12+-12=2.

故選：C.

2.已知命題p："x?R，|x+1|>1；命題q：$x>0，x3=x，則（）

A.p和q都是真命題B.?p和q都是真命題

C.p和?q都是真命題D.?p和?q都是真命題

【答案】B

【解析】

【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取x=-1、x=1，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.

【詳解】對(duì)于p而言，取x=-1，則有x+1=0<1，故p是假命題，?p是真命題，

對(duì)于q而言，取x=1，則有x3=13=1=x，故q是真命題，?q是假命題，

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綜上，?p和q都是真命題.

故選：B.

rrrrrrrrr

3.已知向量a,b滿足a=1,a+2b=2，且b-2a^b，則b=（）

123

A.B.C.D.1

222

【答案】B

【解析】

rrrr2rrrrrrrr2r2

【分析】由b-2a^b得b=2a×b，結(jié)合a=1,a+2b=2，得1+4a×b+4b=1+6b=4，由此即

可得解.

rrrrrrr2rr

【詳解】因?yàn)閎-2a^b，所以b-2a×b=0，即b=2a×b，

rrr

又因?yàn)閍=1,a+2b=2，

rrr2r2

所以1+4a×b+4b=1+6b=4，

r2

從而b=.

2

故選：B.

4.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并

部分整理下表

畝產(chǎn)[900，[950，[1000，[1100，[1150，

量950）1000）1050）1150）1200）

頻數(shù)612182410

據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

【答案】C

【解析】

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)

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算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34，

100-34

所以低于1100kg的稻田占比為=66%，故B錯(cuò)誤；

100

對(duì)于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300，最小為1150-950=200，故C正確；

對(duì)于D，由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在[1050,1100)的頻數(shù)為100-(6+12+18+24+10)=30，

1

所以平均值為′(6′925+12′975+18′1025+30′1075+24′1125+10′1175)=1067，故D錯(cuò)

100

誤.

故選；C.

5.已知曲線C：x2+y2=16（y>0），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP￠，P￠為垂足，則線段PP￠

的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

x2y2x2y2

A.+=1（y>0）B.+=1（y>0）

164168

y2x2y2x2

C.+=1（y>0）D.+=1（y>0）

164168

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得P(x,2y)，代入圓的方程即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M(x,y)，則P(x,y0),P￠(x,0)，

因?yàn)镸為PP￠的中點(diǎn)，所以y0=2y，即P(x,2y)，

又P在圓x2+y2=16(y>0)上，

x2y2

所以x2+4y2=16(y>0)，即+=1(y>0)，

164

x2y2

即點(diǎn)M的軌跡方程為+=1(y>0).

164

故選：A

6.設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax，當(dāng)x?(-1,1)時(shí)，曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個(gè)

交點(diǎn)，則a=（）

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1

A.-1B.C.1D.2

2

【答案】D

【解析】

【分析】解法一：令Fx=ax2+a-1,Gx=cosx，分析可知曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交

點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得a=2，并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令

hx=f(x)-gx,x?-1,1，可知hx為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知hx的零點(diǎn)只能為

0，即可得a=2，并代入檢驗(yàn)即可.

【詳解】解法一：令f(x)=gx，即a(x+1)2-1=cosx+2ax，可得ax2+a-1=cosx，

令Fx=ax2+a-1,Gx=cosx，

原題意等價(jià)于當(dāng)x?(-1,1)時(shí)，曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

注意到Fx,Gx均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，

可得F0=G0，即a-1=1，解得a=2，

若a=2，令Fx=Gx，可得2x2+1-cosx=0

因?yàn)閤?-1,1，則2x230,1-cosx30，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

可得2x2+1-cosx30，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

則方程2x2+1-cosx=0有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

所以a=2符合題意；

綜上所述：a=2.

解法二：令hx=f(x)-gx=ax2+a-1-cosx,x?-1,1，

原題意等價(jià)于hx有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)閔-x=a-x2+a-1-cos-x=ax2+a-1-cosx=hx，

則hx為偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知hx的零點(diǎn)只能為0，

即h0=a-2=0，解得a=2，

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若a=2，則hx=2x2+1-cosx,x?-1,1，

又因?yàn)?x230,1-cosx30當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

可得hx30，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

即hx有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以a=2符合題意；

故選：D.

52

7.已知正三棱臺(tái)ABC-ABC的體積為，AB=6，AB=2，則AA與平面ABC所成角的正切值為

1113111

（）

1

A.B.1C.2D.3

2

【答案】B

【解析】

43

【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高h(yuǎn)=，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求

3

43

得AM=，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1補(bǔ)成正三棱錐

3

P-ABC，A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得VP-ABC=18，進(jìn)而可

求正三棱錐P-ABC的高，即可得結(jié)果.

【詳解】解法一：分別取BC,B1C1的中點(diǎn)D,D1，則AD=33,A1D1=3，

131

可知S=′6′6′=93,S=′2′3=3，

VABC22VA1B1C12

設(shè)正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的為h，

15243

則VABC-ABC=93+3+93′3h=，解得h=，

111333

如圖，分別過A1,D1作底面垂線，垂足為M,N，設(shè)AM=x，

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16

則AA=AM2+AM2=x2+，DN=AD-AM-MN=23-x，

113

216

可得DD=DN2+DN2=23-x+，

113

2

?6-2?

結(jié)合等腰梯形BCCB可得22,

11BB1=?÷+DD1

è2?

2

2161643

即x+=23-x++4，解得x=，

333

AM

所以AA與平面ABC所成角的正切值為tanDAAD=1=1；

11AM

解法二：將正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1補(bǔ)成正三棱錐P-ABC，

則A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，

PAAB1VP-ABC1

因?yàn)?=11=，則111=，

PAAB3VP-ABC27

2652

可知V=V=，則VP-ABC=18，

ABC-A1B1C127P-ABC3

113

設(shè)正三棱錐P-ABC的高為d，則V=d′′6′6′=18，解得d=23，

P-ABC322

取底面ABC的中心為O，則PO^底面ABC，且AO=23，

PO

所以PA與平面ABC所成角的正切值tanDPAO==1.

AO

故選：B.

8.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)30，則a2+b2的最小值為（）

111

A.B.C.D.1

842

【答案】C

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【解析】

【分析】解法一：由題意可知：f(x)的定義域?yàn)?b,+￥，分類討論-a與-b,1-b的大小關(guān)系，結(jié)合符

號(hào)分析判斷，即可得b=a+1，代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析ln(x+b)的符號(hào)，進(jìn)而

可得x+a的符號(hào)，即可得b=a+1，代入可得最值.

【詳解】解法一：由題意可知：f(x)的定義域?yàn)?b,+￥，

令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b；

若-a￡-b，當(dāng)x?-b,1-b時(shí)，可知x+a>0,lnx+b<0，

此時(shí)f(x)<0，不合題意；

若-b<-a<1-b，當(dāng)x?-a,1-b時(shí)，可知x+a>0,lnx+b<0，

此時(shí)f(x)<0，不合題意；

若-a=1-b，當(dāng)x?-b,1-b時(shí)，可知x+a<0,lnx+b<0，此時(shí)f(x)>0；

當(dāng)x?1-b,+￥時(shí)，可知x+a30,lnx+b30，此時(shí)f(x)30；

可知若-a=1-b，符合題意；

若-a>1-b，當(dāng)x?1-b,-a時(shí)，可知x+a0,lnx+b0，

此時(shí)f(x)<0，不合題意；

綜上所述：-a=1-b，即b=a+1，

2

2222?1?1111

則a+b=a+a+1=2?a+÷+3，當(dāng)且僅當(dāng)a=-,b=時(shí)，等號(hào)成立，

è2?2222

所以22的最小值為1；

a+b2

解法二：由題意可知：f(x)的定義域?yàn)?b,+￥，

令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b；

則當(dāng)x?-b,1-b時(shí)，lnx+b<0，故x+a￡0，所以1-b+a￡0；

x?1-b,+￥時(shí)，lnx+b>0，故x+a30，所以1-b+a30；

2

2222?1?11

故1-b+a=0，則a+b=a+a+1=2?a+÷+3，

è2?22

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11

當(dāng)且僅當(dāng)a=-,b=時(shí)，等號(hào)成立，

22

1

所以22的最小值為.

a+b2

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求x+a=0、ln(x+b)=0的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類討

論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

π

9.對(duì)于函數(shù)f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-)，下列正確的有（）

4

A.f(x)與g(x)有相同零點(diǎn)B.f(x)與g(x)有相同最大值

C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖像有相同的對(duì)稱軸

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對(duì)稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.

kπ

【詳解】A選項(xiàng)，令f(x)=sin2x=0，解得x=,k?Z，即為f(x)零點(diǎn)，

2

πkππ

令g(x)=sin(2x-)=0，解得x=+,k?Z，即為g(x)零點(diǎn)，

428

顯然f(x),g(x)零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，顯然f(x)max=g(x)max=1，B選項(xiàng)正確；

2π

C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，f(x),g(x)的周期均為=π，C選項(xiàng)正確；

2

πkππ

D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)f(x)的對(duì)稱軸滿足2x=kπ+?x=+,k?Z，

224

ππkπ3π

g(x)的對(duì)稱軸滿足2x-=kπ+?x=+,k?Z，

4228

顯然f(x),g(x)圖像的對(duì)稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

10.拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一條切線，Q為切點(diǎn)，

過P作l的垂線，垂足為B，則（）

A.l與eA相切

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B.當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|=15

C.當(dāng)|PB|=2時(shí)，PA^AB

D.滿足|PA|=|PB|的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為x=-1，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)，先

求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根據(jù)PB=2先算出P的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證kPAkAB=-1是否成立；

D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，PB=PF，于是問題轉(zhuǎn)化成PA=PF的P點(diǎn)的存在性問題，此時(shí)考察AF

的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.

【詳解】A選項(xiàng)，拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1，

eA的圓心(0,4)到直線x=-1的距離顯然是1，等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線l和eA相切，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)，即PA^l，則P的縱坐標(biāo)yP=4，

2

由yP=4xP，得到xP=4，故P(4,4)，

此時(shí)切線長(zhǎng)PQ=PA2-r2=42-12=15，B選項(xiàng)正確；

2

C選項(xiàng)，當(dāng)PB=2時(shí)，xP=1，此時(shí)yP=4xP=4，故P(1,2)或P(1,-2)，

4-24-2

當(dāng)P(1,2)時(shí)，A(0,4),B(-1,2)，k==-2，k==2，

PA0-1AB0-(-1)

不滿足kPAkAB=-1；

4-(-2)4-(-2)

當(dāng)P(1,-2)時(shí)，A(0,4),B(-1,2)，k==-6，k==6，

PA0-1AB0-(-1)

不滿足kPAkAB=-1；

于是PA^AB不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化

根據(jù)拋物線的定義，PB=PF，這里F(1,0)，

于是PA=PB時(shí)P點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成PA=PF時(shí)P點(diǎn)的存在性問題，

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?1?11

A(0,4),F(1,0)，AF中點(diǎn)?,2÷，AF中垂線的斜率為-=，

è2?kAF4

2x+15

于是AF的中垂線方程為：y=，與拋物線y2=4x聯(lián)立可得y2-16y+30=0，

8

D=162-4′30=136>0，即AF的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

即存在兩個(gè)P點(diǎn)，使得PA=PF，D選項(xiàng)正確.

方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）

?t2?

設(shè)P?,t÷，由PB^l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，

è4?

t4t2

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，+(t-4)2=+1，整理得t2-16t+30=0，

164

D=162-4′30=136>0，則關(guān)于t的方程有兩個(gè)解，

即存在兩個(gè)這樣的P點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

11.設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3ax2+1，則（）

A.當(dāng)a>1時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時(shí)，x=0是f(x)的極大值點(diǎn)

C.存在a，b，使得x=b為曲線y=f(x)的對(duì)稱軸

D.存在a，使得點(diǎn)1,f1為曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

【答案】AD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0,x=a，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出f(x)在

(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存

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在這樣的a,b，使得x=b為f(x)的對(duì)稱軸，則f(x)=f(2b-x)為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存

在這樣的a，使得(1,3-3a)為f(x)的對(duì)稱中心，則f(x)+f(2-x)=6-6a，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利

用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.

【詳解】A選項(xiàng)，f￠(x)=6x2-6ax=6x(x-a)，由于a>1，

故x?-￥,0èa,+￥時(shí)f￠(x)>0，故f(x)在-￥,0,a,+￥上單調(diào)遞增，

x?(0,a)時(shí)，f￠(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

則f(x)在x=0處取到極大值，在x=a處取到極小值，

由f(0)=1>0，f(a)=1-a3<0，則f(0)f(a)<0，

根據(jù)零點(diǎn)存在定理f(x)在(0,a)上有一個(gè)零點(diǎn)，

又f(-1)=-1-3a<0，f(2a)=4a3+1>0，則f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0，

則f(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是a>1時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，f￠(x)=6x(x-a)，a<0時(shí)，x?(a,0),f￠(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

x?(0,+￥)時(shí)f￠(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

此時(shí)f(x)在x=0處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的a,b，使得x=b為f(x)的對(duì)稱軸，

即存在這樣的a,b使得f(x)=f(2b-x)，

即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1，

333033

根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊(2b-x)展開式含有x的項(xiàng)為2C3(2b)(-x)=-2x，

于是等式左右兩邊x3的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的a,b，使得x=b為f(x)的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，

方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)

f(1)=3-3a，若存在這樣的a，使得(1,3-3a)為f(x)的對(duì)稱中心，

則f(x)+f(2-x)=6-6a，事實(shí)上，

f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a，

第11頁/共25頁

于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a

ì12-6a=0

?

即í12a-24=0，解得a=2，即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

?

?18-12a=6-6a

方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，

f(x)=2x3-3ax2+1，f￠(x)=6x2-6ax，f￠￠(x)=12x-6a，

a?a?a??

由f￠￠(x)=0?x=，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為?,f?÷÷，

2è2è2??

a

由題意(1,f(1))也是對(duì)稱中心，故=1?a=2，

2

即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）f(x)的對(duì)稱軸為x=b?f(x)=f(2b-x)；（2）f(x)關(guān)于(a,b)對(duì)稱

?f(x)+f(2a-x)=2b；（3）任何三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心是三次

?b?b??

函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是f￠￠(x)=0的解，即?-,f?-÷÷是三次函數(shù)的對(duì)稱中心

è3aè3a??

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，則S10=________.

【答案】95

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出a1,d，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.

ìa1+2d+a1+3d=7ìa1=-4

【詳解】因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，則由題意得í，解得í，

?3a1+d+a1+4d=5?d=3

10′9

則S=10a+d=10′-4+45′3=95.

1012

故答案為：95.

13.已知a為第一象限角，b為第三象限角，tana+tanb=4，tanatanb=2+1，則sin(a+b)=

_______.

第12頁/共25頁

22

【答案】-

3

【解析】

【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得tana+b=-22，再縮小a+b的范圍，最后結(jié)合同角

的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

tana+tanb4

【詳解】法一：由題意得tana+b===-22，

1-tanatanb1-2+1

?π??3π?

因?yàn)閍??2kπ,2kπ+÷,b??2mπ+π,2mπ+÷，k,m?Z，

è2?è2?

則a+b?2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m?Z，

又因?yàn)閠ana+b=-22<0，

?3π?

則a+b??2m+2kπ+,2m+2kπ+2π÷，k,m?Z，則sina+b<0，

è2?

sina+b2222

則=-22，聯(lián)立sina+b+cosa+b=1，解得sina+b=-.

cosa+b3

法二：因?yàn)閍為第一象限角，b為第三象限角，則cosa>0,cosb<0,

cosa1cosb-1

cosa==，cosb==，

sin2a+cos2a1+tan2asin2b+cos2b1+tan2b

則sin(a+b)=sinacosb+cosasinb=cosacosb(tana+tanb)

-4-4-422

=4cosacosb====-

1+tan2a1+tan2b(tana+tanb)2+(tanatanb-1)242+23

22

故答案為：-.

3

14.在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有________種選法，

在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是________．

第13頁/共25頁

【答案】①.24②.112

【解析】

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，

即可求解.

【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，

則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，

第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，

所以共有4′3′2′1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為(a,b,c,d)，a,b,c,d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個(gè)數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用

列舉法寫出所有的可能結(jié)果.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記VABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2．

（1）求A．

（2）若a=2，2bsinC=csin2B，求VABC的周長(zhǎng)．

π

【答案】（1）A=

6

（2）2+6+32

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【解析】

【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件sinA+3cosA=2進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角

三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；

（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出B，然后根據(jù)正弦定理算出b,c即可得出周長(zhǎng).

【小問1詳解】

方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）

13π

由sinA+3cosA=2可得sinA+cosA=1，即sin(A+)=1，

223

ππ4ππππ

由于A?(0,π)TA+?(,)，故A+=，解得A=

333326

方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）

由sinA+3cosA=2，又sin2A+cos2A=1，消去sinA得到：

3

4cos2A-43cosA+3=0?(2cosA-3)2=0，解得cosA=，

2

π

又A?(0,π)，故A=

6

方法三：利用極值點(diǎn)求解

?π?

設(shè)f(x)=sinx+3cosx(0<x<π)，則f(x)=2sin?x+÷(0<x<π)，

è3?

ππ

顯然x=時(shí)，f(x)=2，注意到f(A)=sinA+3cosA=2=2sin(A+)，

6max3

f(x)max=f(A)，在開區(qū)間(0,π)上取到最大值，于是x=A必定是極值點(diǎn)，

3

即f￠(A)=0=cosA-3sinA，即tanA=，

3

π

又A?(0,π)，故A=

6

方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）

rrrr

設(shè)a=(1,3),b=(sinA,cosA)，由題意，a×b=sinA+3cosA=2，

rrrr

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，ar×b=arbcosar,b=2cosar,b，

rrrrr

則2cosar,b=2?cosar,b=1，此時(shí)ar,b=0，即a,b同向共線，

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3

根據(jù)向量共線條件，1×cosA=3×sinA?tanA=，

3

π

又A?(0,π)，故A=

6

方法五：利用萬能公式求解

A2t3(1-t2)

設(shè)t=tan，根據(jù)萬能公式，sinA+3cosA=2=+，

21+t21+t2

整理可得，t2-2(2-3)t+(2-3)2=0=(t-(2-3))2，

A2t3

解得tan=t=2-3，根據(jù)二倍角公式，tanA==，

21-t23

π

又A?(0,π)，故A=

6

【小問2詳解】

由題設(shè)條件和正弦定理

2bsinC=csin2B?2sinBsinC=2sinCsinBcosB，

2π

又B,C?(0,π)，則sinBsinC10，進(jìn)而cosB=，得到B=，

24

7π

于是C=π-A-B=，

12

2+6

sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=，

4

2bc

abc==

由正弦定理可得，==，即ππ7π，

sinAsinBsinCsinsinsin

6412

解得b=22,c=6+2，

故VABC的周長(zhǎng)為2+6+32

16.已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a3．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)1,f(1)處的切線方程；

（2）若f(x)有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．

【答案】（1）e-1x-y-1=0

（2）1,+￥

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【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

（2）解法一：求導(dǎo)，分析a￡0和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得

a2+lna-1>0，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知f￠(x)=ex-a有零點(diǎn)，可得a>0，進(jìn)而

利用導(dǎo)數(shù)求fx的單調(diào)性和極值，分析可得a2+lna-1>0，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.

【小問1詳解】

當(dāng)a=1時(shí)，則f(x)=ex-x-1，f￠(x)=ex-1，

可得f(1)=e-2，f￠(1)=e-1，

即切點(diǎn)坐標(biāo)為1,e-2，切線斜率k=e-1，

所以切線方程為y-e-2=e-1x-1，即e-1x-y-1=0.

【小問2詳解】

解法一：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，且f￠(x)=ex-a，

若a￡0，則f￠(x)30對(duì)任意x?R恒成立，

可知f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；

若a>0，令f￠(x)>0，解得x>lna；令f￠(x)<0，解得x<lna；

可知f(x)在-￥,lna內(nèi)單調(diào)遞減，在lna,+￥內(nèi)單調(diào)遞增，

則f(x)有極小值flna=a-alna-a3，無極大值，

3

由題意可得：flna=a-alna-a<0，即a2+lna-1>0，

1

構(gòu)建ga=a2+lna-1,a>0，則g￠a=2a+>0，

a

可知ga在0,+￥內(nèi)單調(diào)遞增，且g1=0，

不等式a2+lna-1>0等價(jià)于ga>g1，解得a>1，

所以a的取值范圍為1,+￥；

解法二：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，且f￠(x)=ex-a，

若f(x)有極小值，則f￠(x)=ex-a有零點(diǎn)，

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令f￠(x)=ex-a=0，可得ex=a，

可知y=ex與y=a有交點(diǎn)，則a>0，

若a>0，令f￠(x)>0，解得x>lna；令f￠(x)<0，解得x<lna；

可知f(x)在-￥,lna內(nèi)單調(diào)遞減，在lna,+￥內(nèi)單調(diào)遞增，

則f(x)有極小值flna=a-alna-a3，無極大值，符合題意，

3

由題意可得：flna=a-alna-a<0，即a2+lna-1>0，

構(gòu)建ga=a2+lna-1,a>0，

因?yàn)閯ty=a2,y=lna-1在0,+￥內(nèi)單調(diào)遞增，

可知ga在0,+￥內(nèi)單調(diào)遞增，且g1=0，

不等式a2+lna-1>0等價(jià)于ga>g1，解得a>1，

所以a的取值范圍為1,+￥.

17.如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，DADC=90°，DBAD=30°，點(diǎn)E，

r2rr1r

F滿足AE=AD，AF=AB，將△AEF沿EF對(duì)折至!PEF，使得PC=43．

52

（1）證明：EF^PD；

（2）求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析

865

（2）

65

【解析】

【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得EF=2，利用勾股定理的逆定理可證得EF^AD，則

EF^PE,EF^DE，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；

（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明PE^ED，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-xyz，利

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用空間向量法求解面面角即可.

【小問1詳解】

r2rr1r

由AB=8,AD=53,AE=AD,AF=AB，

52

得AE=23,AF=4，又DBAD=30°，在△AEF中，

3

由余弦定理得EF=AE2+AF2-2AE×AFcosDBAD=16+12-2×4×23×=2,

2

所以AE2+EF2=AF2，則AE^EF，即EF^AD，

所以EF^PE,EF^DE，又PEIDE=E,PE、DEì平面PDE，

所以EF^平面PDE，又PDì平面PDE，

故EF^PD；

【小問2詳解】

連接CE，由DADC=90°,ED=33,CD=3，則CE2=ED2+CD2=36，

222

在VPEC中，PC=43,PE=23,EC=6，得EC+PE=PC，

所以PE^EC，由（1）知PE^EF，又ECIEF=E,EC、EFì平面ABCD，

所以PE^平面ABCD，又EDì平面ABCD，

所以PE^ED，則PE,EF,ED兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-xyz，

則E(0,0,0),P(0,0,23),D(0,33,0),C(3,33,0),F(2,0,0),A(0,-23,0)，

由F是AB的中點(diǎn)，得B(4,23,0)，

rrrr

所以PC=(3,33,-23),PD=(0,33,-23),PB=(4,23,-23),PF=(2,0,-23)，

rr

設(shè)平面PCD和平面PBF的一個(gè)法向量分別為n=(x1,y1,z1),m=(x2,y2,z2)，

ìrrìrr

?n×PC=3x1+33y1-23z1=0?m×PB=4x2+23y2-23z2=0

則í，í，

rrrr

??n×PD=33y1-23z1=0??m×PF=2x2-23z2=0

令y1=2,x2=3，得x1=0,z1=3,y2=-1,z2=1，

rr

所以n=(0,2,3),m=(3,-1,1)，

mr×nr165

所以cosmr,nr===，

mrnr5×1365

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865

設(shè)平面PCD和平面PBF所成角為q，則sinq=1-cos2q=，

65

865

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值為.