小學數學奧數方法講義30講(一)

第一講觀察法

----------------------------------姚老師數學樂園

廣安岳池姚文國

在解答數學題時，第一步是觀察。觀察是基礎，是發(fā)現問題、解決問題的首要步驟。小學

數學教材，特別重視培養(yǎng)觀察力，把培養(yǎng)觀察力作為開發(fā)與培養(yǎng)學生智力的第一步。

觀察法，是通過觀察題目中數字的變化規(guī)律及位置特點，條件與結論之間的關系，題目的

結構特點及圖形的特征，從而發(fā)現題目中的數量關系，把題目解答出來的一種解題方法。

觀察要有次序，要看得仔細、看得真切，在觀察中要動腦，要想出道理、找出規(guī)律。

*例1（適于一年級程度）此題是九年義務教育六年制小學教科書數學

圖i-i

第二冊，第11頁中的一道思考題。書中除圖1-1的圖形外沒有文字說明。這道題旨在引

導兒童觀察、思考，初步培養(yǎng)他們的觀察能力。這時兒童已經學過20以內的加減法，基于他們

已有的知識，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形內的小方格中填入數字后，使大正方形中

的每一橫行，每一豎列，以及兩條對角線上三個數字的和，都等于左邊小正方形中的數字18o

實質上，這是一種

幻方，或者說是一種方陣。

解：現在通過觀察、思考，看小方格中應填入什么數字。從橫中行10+6+口=18會想到，

18-10-6=2,在橫中行右面的小方格中應填入2（圖1-2）。

從豎右列7+2+口=18（圖1-2）會想到，18-7-2=9,在豎右列下面的小方格中應填入9

（圖1~3）o

onnn

圖1-3

圖1-2

從正方形對角線上的左上角9+6+口=18（圖1-3）會想到,18-9-6=3，在大正方形

的小方格中應填入3（圖1-4）。

從正方形對角線上的左下角7+6+口=18（圖1-3）會想到,18-7-6=5,在大正方形

的小方格中應填入5（圖1-4）。

n習廠1

FQn

M1-41-5

從橫上行3+口+7=18（圖1-4）會想到，18-3-7=8,在橫上行中間的小方格中應填入

8（圖1-5）。

又從橫下行5+口+9=18（圖1-4）會想到，18-5-9=4,在橫下行中間的小方格中應填入

4（圖1-5）。

圖1-5是填完數字后的幻方。

例2看每一行的前三個數，想一想接下去應該填什么數。（適于二年級程度）

6、16、26、_______、、、。_____________

9、18^27、、、、。

80、73、66、、、、

解：觀察6、16、26這三個數可發(fā)現，6、16、26的排列規(guī)律是：16比6大10,26比

16大10,即后面的每一個數都比它前面的那個數大10。

觀察9、18、27這三個數可發(fā)現，9、18、27的排列規(guī)律是：18比9大9,27比18大

9,即后面的每一個數都比它前面的那個數大9。

觀察80、73、66這三個數可發(fā)現，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小7,66比73

小7,即后面的每一個數都比它前面的那個數小7。

這樣可得到本題的答案是：

&16、26、36、46、56、660

9、18、27、3645、54、630

80、73、66、59、52、45、38。

例3將1?9這九個數字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號均成立。（適于三年

級程度

解：仔細觀察圖中不等號及方框的排列規(guī)律可發(fā)現：只有中心的那個方框中的數小于周

圍的四個數，看來在中心的方框中應填入最小的數lo再看它周圍的

方框和不等號，只有左下角的那個方框中的數大于相鄰的兩個方框中的數，其它

方框中的數都是一個比一個大，而且方框中的數是按順時針方向排列越來越小。

所以，在左下角的那個方框中應填9,在它右鄰的方框中應填2,在2右面的方框中填3,

在3上面的方框中填4,以后依次填5、&7、8o

#V□>0>0

□

/\

Q

圖1-7是填完數字的圖形。

例4從一個長方形上剪去一個角后，它還剩下幾個角?（適于三年級程度）

解：此題不少學生不加思考就回答：“一個長方形有四個角，剪去一個角剩下三個角?！?/p>

我們認真觀察一下，從一個長方形的紙上剪去一個角，都怎么剪？都是什么情況？

（1）從一個角的頂點向對角的頂點剪去一個角，剩下三個角（圖1-8）。

（3）從一個邊上任意一點向鄰邊上任意一點剪去一個角,

圖1-9圖1-10

剩下五個角（圖1-10）O

例5甲、乙兩個人面對面地坐著，兩個人中間放著一個三位數。這個三位數的每個數字都

相同，并且兩人中一個人看到的這個數比另一個人看到的這個數大一半，這個數是多少？（適于

三年級程度）

解：首先要確定這個三位數一定是用阿拉伯數字表示的，不然就沒法考慮了。

甲看到的數與乙看到的數不同，這就是說，這個三位數正看、倒看都表示數。在阿拉伯數

字中，只有0、1,6、89這五個數字正看、倒看都表示數。

這個三位數在正看、倒看時，表示的數值不同，顯然這個三位數不能是000,也不能是111

和888,只可能是666或999。

如果這個數是666,當其中一個人看到的是666時，另一個人看到的一定是999,

999-666=333,333正好是666的一半。所以這個數是666,也可以是999。

*例61966、1976、1986、1996、2006這五個數的總和是多少？（適于三年級程度）

解：這道題可以有多種解法，把五個數直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數字大，

計算起來容易出錯。

如果仔細觀察這五個數可發(fā)現,第一個數是1966,第二個數比它大10,第三個數比它大20,

第四個數比它大30,第五個數比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計算：

1966+1976+1986+1996+2006

=1966X5+1OX(1+2+3+4)

=9830+100

二9930

這五個數還有另一個特點：中間的數是1986,第一個數1966比中間的數1986小20,最后

一個數2006比中間的數1986大20,1966和2006這兩個數的平均數是1986。1976和1996

的平均數也是1986。這樣，中間的數1986是這五個數的平均數。所以，這道題還可以用下面

的方法計算：

1966+1976+1986+1996+2006

=1986X5

二9930

例7你能從400十25二(400X4)-(25X4)=400X4-100=16中得到啟發(fā)，很快

算出(1)600-25(2)900-25(3)1400-25(4)1800-25(5)7250-25的得數嗎？(適

于四年級程度)

解：我們仔細觀察一下算式：

400-25=(400X4)-(25X4)=400X4-100=16

不難看出，原來的被除數和除數都乘以4,目的是將除數變成1后面帶有0的整百數。這樣

做的根據是“被除數和除數都乘以一個相同的數(零除外)，商不變”。

進行這種變化的好處就是當除數變成了1后面帶有0的整百數以后，就可以很快求出商。

按照這個規(guī)律，可迅速算出下列除法的商。

(2)900-25

=(600X4)-(25X4)(900X4)-(25X4)

(1)600-25

=600X4-100=900X4-100

=24=36

(3)1400-25(4)1800-25

=(1400X4)-(25X4)=(1800X4)-(25X4)

=1400X4-100=1800X4-100

=56=72

(5)7250-25

=(7250X4)-(25X4)

=29002100

*例8把1-1000的數字如圖1-11那樣排列,再如圖中那樣用一個長方形框框出六個數，

這六個數的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個數，豎著兩個數）框出的六個數的和是837,

這六個數都是多少？（適于五年級程度）

解：（1）觀察框內的六個數可知：第二個數比第一個數大1,第三個數比第一個數大2,

第四個數比第一個數大7,第五個數比第一個數大8,第六個數比第一個數大9。

假定不知道這幾個數，而知道上面觀察的結果，以及框內六個數的和是87,

要求出這幾個數，就要先求出六個數中的第一個數：

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

................9991000

BI1-11

（87-1-2-7-8-9）-6

=60—6

二10

求出第一個數是10,往下的各數也就不難求了。

因為用同樣的方法框出的六個數之和是837,這六個數之中后面的五個數也定分別比第一

個數大1、2、7、&9,所以，這六個數中的第一個數是：

(837-1-2-7-8-9)—6

=810—6

二135

第二個數是：135+1=136

第三個數是：135+2=137

第四個數是：135+7=142

第五個數是：135+8=143

第六個數是：135+9=144

答略

（2）觀察框內的六個數可知：①上、

下兩數之差都是7;②方框中間堅行

的11和18,分別是上橫行與下橫行三個數的中間數。

11=(10+11+12)+3

18=(17+18+19)十3

所以上橫行與下橫行兩個中間數的和是：

87-3=29

由此可得，和是837的六個數中，橫向排列的上、下兩行兩個中間數的和是:

837-3=279

因為上、下兩個數之差是7,所以假定上面的數是X,則下面的數是x+7o

x+(x+7)=279

2x+7=279

2x=279-7

=272

x=272-2

二136

x+7=136+7

二143

因為上一橫行中間的數是136,所以，第一個數是：136-仁135

第三個數是：135+2=137

因為下一橫行中間的數是143,所以，

第四個數是：143-1=142

第六個數是：142+2=144

答略。

例9有一個長方體木塊，鋸去一個頂點后還有幾個頂點？（適于五年級程

度）

解：（1鋸去一個頂點（圖1-12）,因為正方體原來有8個頂點，鋸去個頂點后，增加

了三個頂點，所以，

8-1+3=10

即鋸去一個頂點后還有10個頂點。

（2）如果鋸開的截面通過長方體的一個頂點，（圖則剩下的頂點是8-1+2=9（個）

1-13）。

（3）如果鋸開的截面通過長方體的兩個頂點，（圖則剩下的頂點是8-1+1=8（個）

1-14）。

（4）如果鋸開的截面通過長方體的三個頂點，則剩下的頂點是8-仁7（個）

（圖『15）。

例10將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體（圖

1-16）,求這個物體的表面積S。（適于六年級程度

解:我們知道，底面半徑為丫，高為h的圓柱體的表面積是2n丫2+2n丫h

本題的物體由三個圓柱組成。如果分別求出三個圓柱的表面積，再把三個圓柱的表面積加

在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個物體的表面積，這種計算方法很麻煩。這是

以一般的觀察方法去解題。

如果我們改變觀察的方法，從這個物體的正上方向下俯視這個物體，會看到這個物體上

H1-1&圖1-17

面的面積就像圖1T7那樣。這三個圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個圓柱的底面積。

所以，這個物體的表面積，就等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側面積。

(2nX1.52+2nX1.5X1)+(2nXIX1)+(2nX0.5X1)

=(4.5n+3n)+2n+n

-7.5n+3n

=10.5n

=10.5X3.14

=32.97(平方米)

答略。

*例11如圖1-18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角

是72°,鑄件長20厘米。求它的表面積和體積。(適于六年級程度)

20

圖1-1S

解：遇到這樣的題目，不但要注意計算的技巧，還要注意觀察的全面性，不可漏掉某一側

面。圖『18表面積中的一個長方形和一個扇形就容易被漏掉，因而在解題時要仔細。

求表面積的方法1：

72兩個扇形面積+兩個長方形面積+圓柱側面積X矜

3.14X152