宜昌一中等“荊荊襄宜四地七校考試聯(lián)盟”高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理-人教版高二數(shù)學(xué)試題

湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”-學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.點(diǎn)M(－8,6,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(－8，－6，－1) B．(8，－6，－1)C．(8，－6,1) D．(－8，－6,1)2.命題“”的否定為()A.B.C.D.3.下列說法中正確的是（）A.先把高二年級(jí)的名學(xué)生編號(hào)：1到，再從編號(hào)為1到50的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號(hào)為m，然后抽取編號(hào)為m+50，m+100，m+150，……的學(xué)生，這種抽樣方法是分層抽樣法.

B.線性回歸直線不一定過樣本中心.

C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1.

D.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，則該組數(shù)據(jù)的方差也是5.4.某學(xué)校的一個(gè)班共有100名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績?chǔ)?ξ∈N)服從正態(tài)分布N(100，102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?10分以上的人數(shù)為()A．20B.10C.14D.215.雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為()A.B.C.D.6.某研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響.部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：使用智能手機(jī)不使用智能手機(jī)合計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀4812學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀16218合計(jì)201030附表：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828經(jīng)計(jì)算，則下列選項(xiàng)正確的是()A．有99.5%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響B(tài)．有99.5%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無影響C．有99.9%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響D．有99.9%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無影響7.下圖是把二進(jìn)制數(shù)11111(2)化成十進(jìn)制數(shù)的一個(gè)程序框圖，判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A．B．C．D．8.已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在內(nèi)，則黃豆落在內(nèi)的概率是（）A．B．C．D．9.若的展開式中的系數(shù)為30，則等于()A.B．2C．1 D．10.若一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個(gè)三位數(shù)為“十全十美數(shù)”，如208,136都是“十全十美數(shù)”，則這樣的“十全十美數(shù)”共有()個(gè)A.32B.64C.54D.9611.如圖，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B為橢圓在第二象限上的點(diǎn)，直線BO交橢圓E于點(diǎn)C，若直線BF平分線段AC于M，則橢圓的離心率是（）A.B.C.D.12.已知雙曲線的離心率的e=2，其左、右焦點(diǎn)分別為，，若是該雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最大值為()A.B.C.D.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知，且，則_____.14.拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少有一枚5點(diǎn)或一枚6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在18次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值為_________.15.已知圓錐曲線的離心率為，則的值為_____.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，則△的面積為________.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分12分）直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為.（1）若線段的長為8，求直線的方程；（2）求證：、、三點(diǎn)共線.18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝PA＝2，E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點(diǎn).（1）證明：AC⊥EF；（2）求直線EF與平面PCD所成角的正弦值．19.（本小題滿分12分）“中國人均讀書本（包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書），比韓國的11本、法國的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書最少的國家”，這個(gè)論斷被各種媒體反復(fù)引用.出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果無疑是令人尷尬的，而且和其他國家相比，我國國民的閱讀量如此之低，也和我國是傳統(tǒng)的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站，由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)看書人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天40名讀書者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問：

（1）估計(jì)在40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)；

（2）求40名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；

（3）若從年齡在的讀書者中任取2名，求這兩名讀書者年齡在的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．20.（本小題滿分12分）某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表)，得到了散點(diǎn)圖(如下圖).1.4720.60.782.350.81?19.316.2表中.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（3）若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比，那么，利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時(shí)，燒開一壺水最省煤氣?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為21.（本小題滿分12分）已知圓和定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)曲線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上異于的任意一點(diǎn)，記直線的斜率分別為，．證明：是定值；（3）設(shè)點(diǎn)是曲線上另一個(gè)異于的點(diǎn)，且直線與的斜率滿足，試探究：直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出該定點(diǎn)，如果不是，請(qǐng)說明理由．22.（本小題滿分10分）已知，設(shè)命題成立,命題方程表示雙曲線.如果“∨”為真，“∧”為假，求的取值范圍.答案一、選擇題123456789101112AADADACCBCCB二、填空題13.414.1015.16.8三、解答題17.解：由題知直線的斜率存在，拋物線C的焦點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，…………4分（1）直線的方程為或.…………8分（2），，、、三點(diǎn)共線.………12分18.解：(1)易知AB，AD，AP兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,0,0)，B(t,0,0)，C(t,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(eq\f(t,2)，0,1)，F(xiàn)(0,1,0)．從而eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－eq\f(t,2)，1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(t,1,0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－t,2,0)．因?yàn)锳C⊥BD，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝－t2＋2＋0＝0.解得t＝eq\r(2)或t＝－eq\r(2)(舍去)．…3分于是eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1,0)．因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝－1＋1＋0＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，即AC⊥EF.…………5分(2)由(1)知，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1，－2)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面PCD的一個(gè)法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋y－2z＝0,2y－2z＝0))令z＝eq\r(2)，則n＝(1，eq\r(2)，eq\r(2))．…………10分設(shè)直線EF與平面PCD所成角為θ，則sinθ＝|cos＜n，eq\o(EF,\s\up6(→))＞|＝eq\f(1,5).即直線EF與平面PCD所成角的正弦值為eq\f(1,5).………………12分19.解：（1）由頻率分布直方圖知年齡在的頻率為，

所以40

名讀書者中年齡分布在的人數(shù)為．………………2（2）40

名讀書者年齡的平均數(shù)為．…………4分

設(shè)中位數(shù)為x，，解得.即

40名讀書者年齡的中位數(shù)為55．………………6分

（3）年齡在的讀書者有2人，年齡在的讀書者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2.

，，．

X

的分布列如下：X012P……………10分?jǐn)?shù)學(xué)期望．…………12分20.解：（1）更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型.……………2分（2）由公式可得：，所以所求回歸方程為.………………7分（3）設(shè)，則煤氣用量，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即時(shí)，煤氣用量最小.………………12分21.解：（1）依題意可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)榫€段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以，動(dòng)點(diǎn)始終滿足，故動(dòng)點(diǎn)滿足橢圓的定義,因此，解得，

橢圓的方程為.……………………3分（2）），設(shè)，則…………6分

（3），由（2）中的結(jié)論可知，所以

，即，………………7分當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，可得，則（*），，

將（*）式代入可得，即，亦即……………………9分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線恒過定點(diǎn)（舍）；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線恒過定點(diǎn)；^……………10分當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，，也過點(diǎn).…………11分綜上所述，直線恒過定點(diǎn).……………………12分22．解：若p為真：對(duì)?x∈[－1,1]，4m2－8m≤x2設(shè)f(x)＝x2－2x－2，配方得f(x)＝(x－1)2－3，∴f(x)在[－1,1]上的最小值為－3，∴4m2－8m≤－