高三數學二輪培優(yōu)微專題36講04.重要的指對組合型函數及其應用

重要的指對組合型函數及其應用本節(jié)我們介紹幾個重要的函數及其圖象和性質，這些函數或是由熟識的指對函數組合而成.對于第一類由指對函數組合而成的六個重要函數，它們都具有良好的函數性質和圖像，是高考考察的重點對象，本節(jié)將系統(tǒng)梳理其重要的性質，并通過例題來展示其命題手法.一．基本原理上述六個指數或對數函數組合出的新函數及其圖象是特別重要的.須要留意的是，對于函數與在處的極限值，須要由洛必達法則來計算，此處計算一個以展示其原理.，故其圖象在處趨近于.除此之外，還需留意函數與函數的圖象在正無窮遠的特征，其它們圖象都是上去了之后就不再下穿軸.最終，要留意到與函數之間的基本關系，后者事實上是前者向上平移一個單位得到，在實際應用中，后者出現的頻率也相當之高.二．典例分析1.考察函數基本性質.例1．已知函數，若關于的方程有且僅有三個不同的實數解，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．解析：因為，所以，當，；當，，所以在和單調遞減，在單調遞增，且當時，，，故的大致圖象如圖所示：關于的方程等價于，即或，由圖知，方程有且僅有一解，則有兩解，所以，解得，故選:C.例2．已知函數關于的不等式只有一個整數解，則實數的取值范圍是_____解析：由，令，解得，令，解得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故的最大值是，時，時，且，故在時，，在時，，①時，由不等式得或，而時無整數解，的解集為，整數解有多數多個，不合題意；②時，由不等式得解集為，整數解有多數多個，不合題意；③時，由不等式，得或，的解集為無整數解，只需的解集整數解只有一個，且在上遞增，在遞減，而，這一正整數只能為3，，，綜上所述，的取值范圍是，故答案為.2.朗博不等式.朗博不等式是近年來隨著函數同構出現的一個熱門的不等式，其原理如下：下面主要留意的是，那么依據指數函數的基本不等式可得：，等號成立當且僅當.例3．若，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．解法1：因為，所以，設，則且原不等式可化為，只需．設，則，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．所以，所以．故選：B．解法2：由不等式，可得.例4.（2024德陽三診）．已知函數（，為自然對數的底數），.（1）若有兩個零點，求實數的取值范圍；（2）當時，對隨意的恒成立，求實數的取值范圍.解析1.（2）當時，，原命題等價于對一切恒成立對一切恒成立.令，令，，則在上單增，又，，使即①當時，，當時，，即在遞減，在遞增，由①知函數在單調遞增即，實數的取值范圍為.解析2.由不等式，可得.留意：朗博不等式命制的導數題目用通法解決時會出現同構型隱零點情形，即：與這樣的基本關系，讀者在此處需特別留意.3.凸凹反轉凸凹反轉是證明不等式的一種技巧，欲證明，若可將不等式左端拆成，且的話，就可證明原不等式成立.通常狀況，我們一般選取為上凸型函數，為下凹型函數來完成證明.于是，這就須要我們熟識中學階段常見的六個具有這樣特點的函數.關于上述六個函數的性質和圖像的應用在之前已經講過，本節(jié)主要的目標就是來展示凸凹反轉技巧的基本應用手法和命題技術.例如在上面六個函數中，我們可以選取凸函數，求導可得：，故可得在上減，上增，于是.再考慮凹函數，則，故在處取得最大值，即.這樣可得，即，將這個不等式包裝一下就得到了下面這道2013年高考真題.例5.（2013全國卷）設函數，曲線在點處的切線為．（1）求；（2）證明：．解析：（2），從而等價于．設函數，則，所以當時，；當時，．故在上單調遞減，在上單調遞增，從而在上的最小值為．設函數，則．所以當時，；當時，．故在上單調遞增，在上單調遞減，從而在上的最大值為.由于，所以當時，，即．例6．設函數．（1）當時，求的極值；（2）當時，證明：在上恒成立．解析：（2）當時，，下面證，即證，設，則，在上，，是減函數；在上，，是增函數．所以.設，則，在上，，是增函數；在上，，是減函數，所以.所以，即，所以，即，即在上恒成立．注：凸凹反轉技巧性較強，是一種命題的好方法，但對于應試的考生而言，技巧性過強而難以駕馭，同時，它的運用范圍也比較局限.4.指對同構解決指對混合不等式時，常規(guī)的方法計算困難，則將不等式變形為的結構，即為外層函數，其單調性易于探討.常見變形方式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤.答題思路；1.干脆變形：（1）積型：（同左）；（同右）；（取對數）.說明：取對數是最快捷的，而且同構出的函數，其單調性一看便知.（2）商型：（同左）；（同右）；（取對數）.（3）和差型：（同左）；（同右）.2.先湊再變形：若式子無法干脆進行變形同構，往往須要湊常數、湊參數或湊變量，如兩邊同乘以，同加上等，再用上述方式變形.常見的有：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③④⑤例7.（2024全國甲卷）已知函數．（1）若,求的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，，則．解析：（1），令，則，于是.于是等價于在上恒成立，故.（2）由（1）知要使得有兩個零點，則假設.要證明即證明，又由于在單增，即證明.下面構造函數由于，又函數在單減，.時在單調遞增，而得證．例8.已知函數．（為常數）若，若對隨意的，恒成立，求實數的取值范圍.解析：由題意得：；即：因為，當且僅當時等號成立，構造簡潔得：，所以只須要滿意.例9.若，則（）A.B.C.D.解析：A選項：，設，設，則有恒成立，所以在單調遞增，所以，從而存在，使得，由單調性可推斷出：，所以在不單調，不等式不會恒成立B選項：，設可知單調遞增.所以應當，B錯誤C選項：，構造函數，，則在恒成立。所以在單調遞減，所以成立.D選項：，同樣構造，由C選項分析可知D錯誤.例10．已知函數和有相同的最大值.（1）求a；（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.解析：（2）由（1）知，由于時，，時，，因此只有才可能滿意題意，記，且，由（1）得在上單調遞增，在單調遞減，且，所以存在，使得，設，則，設，則，時，，遞減，時，，遞增，所以，所以，是增函數，時，，，又，所以存在，使得，即此時與有兩個交點，其中一個交點在內，另一個交點在內，