沈陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

沈陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列中，，，則等于()A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A． B．C． D．3．對(duì)數(shù)列,“對(duì)于任意成立”是“其前n項(xiàng)和數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．非充分非必要條件4．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是A． B． C． D．5．用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，從“k到”左邊需增乘的代數(shù)式是（）A． B．C． D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的，則輸出A． B． C． D．7．已知，，且，則實(shí)數(shù)等于（）A．-1 B．-9 C．3 D．98．設(shè)，則“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列滿(mǎn)足”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件9．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位10．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知斜率為的直線(xiàn)的傾斜角為，則________．12．已知，則的最大值是____．13．已知角滿(mǎn)足，則_____14．在中，，則_____________15．已知數(shù)列中，，，，則的值為_(kāi)____．16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．四棱柱中，底面為正方形，,為中點(diǎn)，且．（1）證明；（2）求點(diǎn)到平面的距離．18．已知圓的半徑是2，圓心為.（1）求圓的方程；（2）若點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，的最大值等于7，求點(diǎn)的坐標(biāo).19．已知曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)、距離之和為，直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）若不過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，記線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求證：直線(xiàn)的斜率與的斜率的乘積為定值；（3）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，求面積的最大值，以及取最大值時(shí)直線(xiàn)的方程．20．已知圓，點(diǎn)，直線(xiàn).（1）求與直線(xiàn)l垂直，且與圓C相切的直線(xiàn)方程；（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)B（不同于點(diǎn)A），使得對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，為常數(shù)？若存在，試求這個(gè)常數(shù)值及所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別是，且.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值；（Ⅱ）當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

變形為，利用累加法和裂項(xiàng)求和計(jì)算得到答案.【詳解】故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了累加法和裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列方法的靈活應(yīng)用.2、A【解析】

逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【詳解】A.是偶函數(shù),并且在區(qū)間時(shí)增函數(shù)，滿(mǎn)足條件；B.不是偶函數(shù),并且在上是減函數(shù)，不滿(mǎn)足條件；C.是奇函數(shù),并且在區(qū)間上時(shí)減函數(shù)，不滿(mǎn)足條件；D.是偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，不滿(mǎn)足條件；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.3、A【解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的性質(zhì)和充分必要條件判斷即可【詳解】對(duì)于任意成立可以推出其前n項(xiàng)和數(shù)列為遞增數(shù)列，但反過(guò)來(lái)不成立如當(dāng)時(shí)其，此時(shí)為遞增數(shù)列但所以“對(duì)于任意成立”是“其前n項(xiàng)和數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分非必要條件故選：A【點(diǎn)睛】要說(shuō)明一個(gè)命題不成立，只需舉出一個(gè)反例即可.4、D【解析】試題分析：在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上先增后減；在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上為減函數(shù)，選D.考點(diǎn)：函數(shù)增減性5、C【解析】

分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式，和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式．【詳解】當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當(dāng)n＝k+1時(shí)，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數(shù)式是故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，是解題的關(guān)鍵．6、B【解析】

首先確定流程圖所實(shí)現(xiàn)的功能，然后利用裂項(xiàng)求和的方法即可確定輸出的數(shù)值.【詳解】由流程圖可知，程序輸出的值為：，即.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查流程圖功能的識(shí)別，裂項(xiàng)求和的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7、C【解析】

由可知,再利用坐標(biāo)公式求解.【詳解】因?yàn)?,且,所以,即,解得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,解題關(guān)鍵是明確.8、A【解析】

“數(shù)列為等比數(shù)列”，則，數(shù)列滿(mǎn)足．反之不能推出，可以舉出反例．【詳解】解：“數(shù)列為等比數(shù)列”，則，數(shù)列滿(mǎn)足．充分性成立；反之不能推出，例如，數(shù)列滿(mǎn)足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，即必要性不成立；故“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列滿(mǎn)足”的充分非必要條件故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的定義、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9、B【解析】試題分析：記函數(shù)，則函數(shù)∵函數(shù)f（x）圖象向右平移單位，可得函數(shù)的圖象∴把函數(shù)的圖象右平移單位，得到函數(shù)的圖象,故選B.考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．10、A【解析】

先利用韋達(dá)定理得到關(guān)于a,b的方程組，解方程組即得a,b的值，即得解.【詳解】由題得，所以a+b=7.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解集，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由直線(xiàn)的斜率公式可得＝，分析可得，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，直線(xiàn)的傾斜角為，其斜率為，則有＝，則，必有，即，平方有：，得，故，解得或（舍）．故答案為﹣【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)的傾斜角，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題．12、4【解析】

利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則以及二次函數(shù)的最值化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】，，，則．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則應(yīng)用以及利用二次函數(shù)的配方法求最值．13、【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的三角公式，化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】解：角滿(mǎn)足，可得

則．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的三角公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．14、【解析】

先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值．【詳解】由，結(jié)合正弦定理可得，故設(shè)，，()，由余弦定理可得，故.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．15、1275【解析】

根據(jù)遞推關(guān)系式可求得，從而利用并項(xiàng)求和的方法將所求的和轉(zhuǎn)化為，利用等差數(shù)列求和公式求得結(jié)果.【詳解】由得：則，即本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查并項(xiàng)求和法、等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用遞推關(guān)系式得到數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而采用并項(xiàng)的方式來(lái)進(jìn)行求解.16、【解析】分析：由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，相減可得，則，由此可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式詳解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)由可得二式相減可得：又則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列點(diǎn)睛：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即數(shù)列遞推式，在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)看到，則用即可算出，需要注意討論的情況。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析;(2)．【解析】試題分析：（1）證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，一般利用線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理，即利用線(xiàn)面垂直進(jìn)行證明，而證明線(xiàn)面垂直，則利用線(xiàn)面垂直判定定理，即從已知的線(xiàn)線(xiàn)垂直出發(fā)給予證明，本題利用平幾知識(shí)，如等邊三角形性質(zhì)、正方形性質(zhì)得線(xiàn)線(xiàn)垂直，（2）求點(diǎn)到直線(xiàn)距離，一般方法利用等體積法轉(zhuǎn)化為求高.試題解析：（1）等邊中,為中點(diǎn),又,且在正方形中，(2)中，,由(1)知,等體積法可得點(diǎn)到平面的距離為．18、（1）；（2）或．【解析】

（1）直接根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，寫(xiě)出圓的方程即可；（2）設(shè)．由等于1．即，解得即可．【詳解】解：（1）已知圓的半徑是2，圓心為．圓的方程：；（2）設(shè)．的最大值等于7，等于1．．解得或，即或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．19、（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）或【解析】

（1）利用橢圓的定義可知曲線(xiàn)為的橢圓，直接寫(xiě)出橢圓的方程．（2）設(shè)直線(xiàn)，設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，通過(guò)韋達(dá)定理求解KOM，然后推出直線(xiàn)OM的斜率與的斜率的乘積為定值．（3）設(shè)直線(xiàn)方程是與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)面積公式，代入根與系數(shù)的關(guān)系，利用換元和基本不等式求最值.【詳解】（1）由題意知曲線(xiàn)是以原點(diǎn)為中心，長(zhǎng)軸在軸上的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則有，所以，∴.（2）證明：設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)則由可得，即∴，∴，，，∴直線(xiàn)的斜率與的斜率的乘積=為定值（3）點(diǎn)，由可得，，解得∴設(shè)當(dāng)時(shí)，取得最大值.此時(shí)，即所以直線(xiàn)方程是【點(diǎn)睛】本題考查橢圓定義及方程、韋達(dá)定理的應(yīng)用及三角形面積的范圍等問(wèn)題，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題．20、（1）或（2）存在，，【解析】

（1）先設(shè)與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)方程為，再結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可；（2）先設(shè)存在，利用都有為常數(shù)及在圓上，列出等式，然后利用恒成立求解即可.【詳解】解：（1）由直線(xiàn).則可設(shè)與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)方程為，又該直線(xiàn)與圓相切，則，則，故所求直線(xiàn)方程為或；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)使得對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，為常數(shù)，則,所以，將代入上式化簡(jiǎn)整理得：對(duì)恒成立，