廣東省惠陽區(qū)某中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)必修一學(xué)案：函數(shù)的基本性質(zhì)

必修一第一章第3單元

第一課時：1.3-1函數(shù)的單調(diào)性(1)(課前先學(xué)案)

【自主學(xué)習(xí)】精讀課本P22第二段一P23,P15—P17,完成課前先學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標】

1、理解函數(shù)的單調(diào)性定義；

2、會判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。

【知識梳理】

(一)函數(shù)的單調(diào)性、增函數(shù)、減函數(shù)的概念

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為A,區(qū)間對于M內(nèi)的任意兩個自變量小、xz,

如果任意x《xz,都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù);

如果任意X〈X2,都有f(X|)>f(X2),那么就說f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù).

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間M上具有單調(diào)

性，M稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

要點詮釋：

[1]關(guān)鍵字詞：“任意”和“都”；

[2]關(guān)系：單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，而定義域和值域是函數(shù)的整體性質(zhì)；

[3]單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)(一致則增，相

反則減)；

[4]不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間，每一個單調(diào)區(qū)間必須最大化，單獨的一個點沒有單調(diào)變化。

(二)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

(1)取值：設(shè)玉，々是/(X)定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且西<工2；

(2)比較大小：一般用作差法比較大小，然后變形(變形方法：因式分解、配方、有理

化等)；

(3)定號(依據(jù)符號法則判斷變形后式子的符號)并得出結(jié)論。

(三)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：

1、圖象法(適合于有圖且不需要詳細過程的題)；

2、定義法(適合于函數(shù)單調(diào)性的證明題)；

【預(yù)習(xí)自測】

1、畫出下列(初中)函數(shù)的圖像，然后判斷其單調(diào)性并寫出其單調(diào)區(qū)間。

(1)/(x)=2x+l：(2)/(x)=-2x+l；(3)/(x)=3；(4)

/(%)=—

第一課時：1.3-1函數(shù)的單調(diào)性（1）（上課正學(xué)案）

【課堂檢測】

1、依據(jù)函數(shù)圖象，判斷下列函數(shù)的單調(diào)性并指出其單調(diào)區(qū)間。

(4)

【拓展探究】

例1.用定義法證明函數(shù)f(x)=x+，在區(qū)間(0,1］上是減函數(shù).

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

2

1、用定義法證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,7］上是減函數(shù).

x-1

【小結(jié)與反饋】

[1]證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；

[2]如何比較兩個量的大??？（作差）

[3]如何判斷一個式子的符號？（對差適當(dāng)變形）

第一課時：L3T函數(shù)的單調(diào)性(1)(課后溫學(xué)案)

【課外拓展】

必做：

1.書P39A組TL2,3

選做(考重點大學(xué)必做):

1

1、證明函數(shù)八幻在(0,+00)上的單調(diào)性.

y/x

2、已知函數(shù)f(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，比較fS'-a+l)與/(：3)的大小.

參考答案:

1、證明：在(0,+8)上任取X］、X2,且X2>X1,則

玉-x

/(工2)-/(%)2

+厄)

Vxi>0,x2>0,>0,>0,Xj-x2<0

,

...上式<0,..f(x2)-f(x1)<0

f(x)=在(0,+oo)上遞減.

yJX

133

2、解：a2-a+l=(a—)2+->->0

244

又f(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，則/(/-a+DW

第二課時：L3-2函數(shù)的單調(diào)性(2)--最值(課前先學(xué)案)

【自主學(xué)習(xí)】精讀課本P30

【學(xué)習(xí)目標】

求函數(shù)的最大值或最小值。

【知識梳理】

(一)、最值的定義(書P30)：

1、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,若一存在一個實數(shù)M滿足以下兩個條件:

(1)任意xel,都有f(x)WM恒成立；(2)存在x°el,使得f(x0)=M；

則稱M為函數(shù)f(x)的最大值。

2,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,若一存在一個實數(shù)M滿足以下兩個條件：

(1)任意xel,都有f(x)NM恒成立；(2)存在X°GI,使得f(x0)=M；

則稱M為函數(shù)f(x)的最小值。

(二)、最值的求法：

1、依據(jù)函數(shù)的圖象求最值；

2、依據(jù)函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性求最值。

【預(yù)習(xí)自測】

1、已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［-6,5］的圖象如下圖,求：

(1)當(dāng)xe［-6,5］時，f(x)的最大值為,f(x)的最小值為,f(x)的值域

為:

(2)當(dāng)xd(-6,5)時，f(x)的最大值為,f(x)的最小值為,f(x)的值域

為;

(3)當(dāng)xG［-l,1］時，f(x)的最大值為,f(x)的最小值為,f(x)的值域

為;

(4)當(dāng)xC(-1,1)時，f(x)的最大值為,f(x)的最小值為,f(x)的值域

為o

(5)當(dāng)xd(-5,3)時，f(x)的最大值為,f(x)的最小值為,f(x)的值域

為。

2、已知函數(shù)f(x)=x?-2x+3,求

(1)作函數(shù)f(x)的圖象，并指出其單調(diào)區(qū)間；

(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間x￡[-l,1]的最大(小)值以及值域;

(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間x￡[l,2]的最大(小)值以及值域；

(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間xe[-2,2]的最大(小)值以及值域。

思路點撥：(1)可應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；(2)數(shù)形結(jié)合.

第二課時：1.3-2函數(shù)的單調(diào)性(2)--最值(上課正學(xué)案)

【課堂檢測】

1+3x

1、已知函數(shù)f(x)=7亍.

(1)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(；,+8)上單調(diào)遞增；

⑵當(dāng)XG[1,3]時,求函數(shù)f(x)的值域.

【拓展探究】

例1、已知函數(shù)f(x)=x*-2x+3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間xG[a-1,a+1]的最小值。

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1、已知函數(shù)f(x)=-x?-2x+3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間xe[a-l,a+1]的最大值。

【小結(jié)與反饋】

二次函數(shù)的最值解，一般借助于二次函數(shù)的圖像.當(dāng)對稱軸與所給定義域區(qū)間的相對

位置關(guān)系不確定，則需分類討論.

第二課時：1.3-2函數(shù)的單調(diào)性(2)--最值(課后溫學(xué)案)

【課外拓展】

必做：

1、求下列函數(shù)的最大值、最小值和值域：

(1)f(x)=x2-2x-3,%e[2,4]；(2)f(x)=x2-2x-3,xe[^4,2]

(3)/(x)=4x2-3x+4：(4)y=V-x2+2x+8,

2、2知函數(shù)f(x)=/+4x+3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間xe[a-l,a+1]的最小值。

3、己知函數(shù)f(x)=-x'+4x+3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間xG[a-1,a+1]的最大值。

選做：

已知函數(shù)f(x)=-x?+4x+3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間xG[a-1,a+1]的最大值和最小值。

第三課時：1.3-3函數(shù)的單調(diào)性(3)——應(yīng)用篇(課前先學(xué)案)

【預(yù)習(xí)自測】

1、已知二次函數(shù)f(x)=x?-2x+5,判斷下列說法是否正確(體會三種說法的細微差別)。

(1)f(x)的單調(diào)遞增在區(qū)間是(1,+8)；

(2)f(x)在區(qū)間(2,3)上是增函數(shù);

(3)f(x)在區(qū)間(2,3)上是單調(diào)函數(shù).

2、最值與不等式恒成立問題：

已知函數(shù)f(x)的定義域為I和實數(shù)M,判斷下列說法是否正確。

(1)若f(x)max=M,則任意xel,都有f(x)?M恒成立；

(2)若任意xel,都有f(x)WM恒成立，則

(3)若f(x)mm=M,則任意xel,都有f(x)NM恒成立;

(4)若任意XGl,都有f(X)NM恒成立，則f(X)mm=M:

第三課時：1.3-3函數(shù)的單調(diào)性(3)——應(yīng)用篇(上課正學(xué)案)

【拓展探究】

例1、已知二次函數(shù)f(x)=x,-2(aT)x+5求實數(shù)a的取值(范圍)。

(1)f(x)的單調(diào)遞增在區(qū)間是(；,+8);

(2)f(x)在區(qū)間(；，1)上是增函數(shù)；

(3)f(x)在區(qū)間(；』)上是單調(diào)函數(shù).

例2、最(界)值與不等式恒成立問題：

已知函數(shù)f(x)=2x-l,

(1)若任意xe[—1,2],都有f(x)<M恒成立，求實數(shù)M的取值范圍;

(2)若任意xe[—l,2],都有f(x)>M恒成立，求實數(shù)M的取值范圍;

(3)若任意xe(—1,2),都有f(x)<M恒成立，求實數(shù)M的取值范圍;

(4)若任意xe(-l,2),都有f(x)>M恒成立，求實數(shù)M的取值范圍;

例3、(06年江西改編)已知f(x)=x?+ax+1,若f(x)20對于一切xw(0,—)恒成立，求

2

實數(shù)a的取值范圍。

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1、設(shè)函數(shù)f(x)=(3a-1)x+a,x￡［0,1］,若恒成立，求a的取值范圍.

點撥：為使得函數(shù)在［0,1］上恒有f(x)W1成立，只需使在區(qū)間［0,1］上的f(x)最大

值W1即可，但解析式中一次項系數(shù)含字母，故需分情況討論以確定自變量取何值時函數(shù)有

最大值，最大值是多少.

【小結(jié)與反饋】

1、若能夠取得到相應(yīng)的最值，那么不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題

(1)f(x)>m恒成立，即/(X)min>m；(2)f(x)〈m恒成立，即/(X)max<m；

2、若不能夠取得到相應(yīng)的最值，那么不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的界值問題.

對于界值的取舍可以依據(jù)圖形進行單獨的判斷。

第三課時：1.3-3函數(shù)的單調(diào)性(3)——應(yīng)用篇(課后溫學(xué)案)

【課外拓展】

1、(05天津卷改編)若函數(shù)/(x)=V一℃在區(qū)間(_g,O)內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范

圍；

若函數(shù)/(幻=/一公：在區(qū)間(_g,O)內(nèi)單調(diào),

2、求實數(shù)a的取值范圍；

3、已知函數(shù)f(x)=:x2-2ax+a2-1.

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上是單調(diào)的，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)x￡［-1,1］時，求函數(shù)f(x)的最小值g(a),并畫出最小值函數(shù)y=g(a)的圖象.

4、函數(shù)f(x)=x?-ax+3在［-2,2］上恒有f(x)2a,求實數(shù)a的取值范圍。

第4題參考答案

解：由題意知：在［-2,2］上有/(X)minN。成立,

2

又f(x)=x?-QX+3=(x--|-)2+3—5，所以曲線y=f(x)的對稱軸為直線x,

開口向上

(1)當(dāng)@＜一2即av-4時，對稱軸x=3在所給區(qū)間的左外側(cè)，有

22

/(x)min=/(-2)>a,即4+2a+3—a20,解得a2—7,A-7^a<-4

2°當(dāng)一2<@K2即-4WaW4時，對稱軸x=色在所給區(qū)間［-2,2］之間，有

22

22

/（x）min=/（］）2a，即?一;+32a,化簡為：?2+4?—12<0,

解得-6WaW2,<a<2

3°當(dāng)@>2即a>4時，對稱軸x=色在所給區(qū)間［-2,2］的右外側(cè)，有

22

7

/（x）min=/（2）Na,即4-2a+3-a》0,（舍）

綜上，-7WaW2。

第四課時：1.3-4函數(shù)的奇偶性（課前先學(xué)案）

【自主學(xué)習(xí)】精讀課本P33—P36,完成課前先學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標】：1、了解函數(shù)奇偶性的含義，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，能證明一些簡單

函數(shù)的奇偶性；2、初步學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。

【知識梳理】

（-）數(shù)學(xué)常識

1、中心對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某點旋轉(zhuǎn)180°后的圖形與原來的圖形完

全重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，該點叫做對稱中心；

2、軸對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個圖形沿一條直線折疊后兩旁的圖形完全重合，那么

這個圖形叫做軸對稱圖形，該直線叫做對稱軸；

3、點（x（）,%）關(guān)于y軸的對稱點的坐標是，點（/,%）關(guān)于x軸的對稱點的的坐標

是,

點（玉）,X））關(guān)于原點的對稱點的坐標是.

4、“function”的含義：康熙大帝時期的數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的單詞"function”具有雙

含義（"幕"和"函數(shù)"）。如：f（x）=X2、f（x）=X4./（x）=x、f（x）=x3>

/（X）=XT=L......等。

X

243

函數(shù)y=xy=xy=x

X

圖形的對稱

性

賽次數(shù)的奇

偶

兩個對稱點

的坐標關(guān)系

/(X)與

f(-x)的關(guān)

系

(三)偶、奇函數(shù)的定義(大學(xué)數(shù)學(xué)教材):

已知函數(shù)丁=/(X)的定義域D在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱，且對于任意XG。，

(1)/(-x)=/(x)都恒成立O稱函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù).

(2)/(-X)=-/(x)都恒成立O稱函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù).

如果函數(shù)^=/(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)y=，(x)具有奇偶性.

說明：1.“任意”、“恒成立”等關(guān)鍵詞，奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個x

都必須成立；

2.前提條件：奇、偶函數(shù)的定義域(數(shù)集)在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱.

如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

(四)判斷函數(shù)奇偶性的方法：

1.圖像法：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于)，軸對稱；

2.定義法(三步)：判斷定義域關(guān)于原點對稱=>/(—%)與/(%)的關(guān)系n作結(jié)論。

第四課時：1.3-4函數(shù)的奇偶性(上課正學(xué)案)

【課堂檢測】

1、判斷下列函數(shù)的奇偶性(定義法或者圖象法)：

X^(X4-

(1)f(x)=x2(-2<x<3)：(2)/(x)=x2(-2<x<2)：(3)/(x)=:----------,(4)

x+1

/(x)=|x|+2

【拓展探究】

例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)/(X)=3X6-8X4+5X2-9,(2)/(x)=1lx7-3x5+4x3-x,(3)/(x)=0：

小結(jié)：1.根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進行判斷.

2.根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、既不

是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

3、整式函數(shù)的奇偶性與賽指數(shù)的關(guān)系：

4、整式函數(shù)的奇偶性的加減規(guī)律：

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)/(%)=x12+%8+x4+x2+9；(2)/(%)=x"+x9+x5+x3+9%；(3)

f(x)=;

第四課時：1.3-4函數(shù)的奇偶性（課后溫學(xué)案）

【課外拓展】

必做：

1、判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)f(x)=X2-4|x|+3;

\Jl-X2

⑶f(x)=|x+3|-|x-3|(4)”x)=

\x+2\-2

⑸/(x)=:[g(x)—g(—x)](xeR)。

第五課時：1.3-5函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性(課前先學(xué)案)

【預(yù)習(xí)自測】

1、己知定義在區(qū)間［-5,-1］［1,5］上的函數(shù)/(X)的部分圖象(如圖)，試完成

(1)若函數(shù)/(劃為偶函數(shù)，則/(x)在區(qū)間［—5,-1］上的單調(diào),最大值為—，最

小值為_；

(2)若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，則/(x)在區(qū)間［-5,7］上的單調(diào),最大值為—,最小

值為一；

2、已知奇函數(shù)/(x)在區(qū)間［-5,-1］上單調(diào)遞增，最大值為3,最小值為-1,則f(x)在區(qū)

間［1,5］上的單調(diào),最大值為,最小值為；

3、已知偶函數(shù)/(x)在區(qū)間［-5,-1］上單調(diào)遞增，最大值為3,最小值為T,則f(x)在區(qū)

間［1,5］上的單調(diào),最大值為,最小值為；

4、已知f(x)=x、ax3-bx,且f(-2)=10,則f(2)=.

第五課時：1.3-5函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性（上課正學(xué)案）

【課堂檢測】

1、已知函數(shù)/（X）=（/〃-2）%2+（加一1?的圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)加的值為—

2、已知函數(shù)/（x）=（根-2）f+Q”-l）x+3在區(qū)間（a-4,a）上是偶函數(shù)，則加=

3、已知f(x)=x、ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).

【拓展探究】

y_LZ7

例1、若函數(shù)/(x)=］：：；+］在［-U］上是奇函數(shù),求/(X)的解析式。

點撥：奇函數(shù)/(X)在其定義域內(nèi)/(-幻=-/(幻恒成立，因此可以應(yīng)用恒等式的相關(guān)

方法進行處理。

例2、f(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=x-x,試畫出函數(shù)圖象并求f(x)的解

析式。

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1、已知奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有意義，貝”/(0)的值為

2、若偶函數(shù)/(x)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是()

33

A./(--)</(-D</(2)B./(-1)</(--)</(2)

C./(2)</(-1)</(-|)D./(2)</(-|)</(-1)

【小結(jié)與反饋】

能利用函數(shù)的奇偶性的定義和圖象特征解決一些簡單的問題.

第五課時：1.3-5函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性(課后溫學(xué)案)

【課外拓展】

必做：1、已知函數(shù)/(x)=(加-1)/+(m—2)x+(加2-7加+12)為偶函數(shù)，則，”的值

是;

2、若函數(shù)/(x)=(左―2%+g1枳是偶函數(shù)，則/(幻的遞減區(qū)間是

3、設(shè)奇函數(shù)/(無)的定義域為［—5,5］,若當(dāng)xe［0,5］時，/(x)的圖象如圖，則不等

式/(%)<0的解集是；

4、(2008上海改編)設(shè)函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)xe(0,+co)

時，f(x)=x-\,則(1)/(0)=,

(2)滿足了(力>0的x的取值范圍是；

5、函數(shù)f(x)是定義在［-6,6］上的偶函數(shù)，且在［-6,0］上是減函數(shù)，則()

A.f(3)+f(4)>0B.f(-3)-f(2)<0C.f(-2)+f(-5)<0D.

f(4)-f(-l)>0

6、(2008全國I)設(shè)奇函數(shù)/(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，且/(1)=0,則不等式

/(X)/(—x)<0的解集為()

X

A.(—LO)(1,+oo)B.(—00,-1)(0,1)C.(—oo，-1)(1,4-oo)

D.(-1,0)(0,1)

7、函數(shù)/(x)在R上為奇函數(shù)，且/(x)=J7+l,x>0,求/(x)的解析式.

選做)1、設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+l,xGR,試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的

最小值.

解:當(dāng)a=0時,f(x)=x2+|x|+l,此時函數(shù)為偶函數(shù)；

當(dāng)a#0時，f(x)=x2+|x-a|+l,為非奇非偶函數(shù).

1,3

(1)當(dāng)x》a時，f(x)=(x+—)-+a

i13

[1]aw-]時，函數(shù)/'(x)在[a,+8)上的最小值為"-5)="a,

且f(-g)<f(a).

[2]a>—g時，函數(shù)/'(尤)在[a,+8)上單調(diào)遞增，

/?/(X)在[。，+30)上的最小值為f(a)=a'l.

13

(2)當(dāng)x〈a時，f(x)—%2-x4-6?+1—(x--)~+aH—

24

⑴時，函數(shù)/'(X)在(-8,可上單調(diào)遞減，

在(-8,同上的最小值為f(a)=a'l

⑵時，/(X)在(-8,句上的最小值為/(；)=[+a,fLf(1)</(a).

1313

綜上：。<-萬時，/(X)Lin="a；a>]時，/Wlmin=4+a；

2

時，/U)lmin=a+1?

第六課時：1.3-6抽象函數(shù)(課前先學(xué)案)

【預(yù)習(xí)自測】

1、已知函數(shù)/(x)的定義域為(—1,1),則

(1)/(1一。)中實數(shù)。的取值范圍；

(2)_/(1一/)中實數(shù)。的取值范圍；

2、己知定義在R上的函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，且/(1一。)</(?2-1),則實數(shù)。的取值范

圍—

第六課時：1.3-6抽象函數(shù)(上課正學(xué)案)

【拓展探究】

例1、已知奇函數(shù)f(x)在定義域為(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，解不等式：

/(1-?)+/(1-?2)<0,

-1<1-6Z<1

22

參考答案：/(1-a)<-/(I-a)^f(a-1),則卜1<1一/<1,.0<a<1

\-a>a2-1

例2、已知函數(shù)/(x)的定義域是(0,+8),且滿足/(盯)=/(x)+/(y),/(-)=1,

如果對于0<x<y,都有/(x)>/(y),(1)求/(I)；⑵解不等式/(—x)+/(3—x)N—2.

參考答案：(1)令x=y=l,則/(1)=/(1)+/(1),/(1)=0

(2)/(-x)+/(3-x)>-2/(1)。/(-%)+/(I)+/(3-x)+/(1)>0=/(I)

=/(-Y/+/(寸3—x)2/⑴x，3-x

-->0

2

3—x

則《二^>0，解得：一lWx<0

2

上工1

22

例3、已知定義在R上的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x

2

>0時，f(x)<0,又f(l)=—§.

(1)求證：f(x)為奇函數(shù);

(2)求證:f(x)在R上是減函數(shù);

(3)求f(x)在［-3,6］上的最大值與最小值.

【答案】

(1)證明：定義域R關(guān)于原點對稱，

令x=y=0,可得f(0)+f(O)=f(0+0),從而f(0)=0.

令■可得f(x)+f(-x)=f(x-x)=0,即f(-x)=-f(x),

故f(x)為奇函數(shù)。

⑵證明：設(shè)Xi、X2GR,且X1>X2,則XI—X2>0,于是f(X1-X2)<0.

從而f(Xl)-f(X2)=f[(X1-X2)+x2]-f(x2)=f(x「X2)+f(X2)-f(X2)=f(X1-X2)<0.

所以f(x)在R上是減函數(shù)。

(3)解析：由(2)知，所求函數(shù)的最