福建省2004年-2012年數(shù)學高考試題匯編

2004年高考試題福建卷數(shù)學試題(理科)

數(shù)學試題(理工農(nóng)醫(yī)類)

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

(1)復數(shù)(1二)1°的值是

1+Z

(A)-1(B)1(C)-32(D)32

(2)tanl50+cotl5°的值是

4A

(A)2(B)2+V3(C)4(D)—

3

(3)命題p：若4、b￡R,則lal+切>1是kz+bl>l的充要條件.

命題g：函數(shù)y=Jlx—ll—2的定義域是(―oo,—1]U[3,+。。).則

(A)“p或g”為假(B)“p且q”為真(C)p真4假(D)p假q真

(4)已知Q、F2是橢圓的兩個焦點，過Q且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于4、B兩點，若△ABF?

是真正三角形，則這個橢圓的離心率是

(A)也(B)旦(C)顯(D)旦

3322

(5)己知根、〃是不重合的直線，a、s是不重合的平面，有下列命題：

①若mua,a,則〃z〃〃；

②箱a,彼,則a〃4；

③若aCl夕=〃，ri,則m〃a且加〃夕；

④若機J_a,mIfJ,則a〃H.

其中真命題的個數(shù)是

(A)0(B)1(C)2(D)3

(6)某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排

2名，則不同的安排方案種數(shù)為

(A)(B)(C)A；A：(D)2A；

(7)己知函數(shù))，=/og2X的反函數(shù)是y=/T(x),則函數(shù)y=/T(l—x)的圖象是

(A)(B)(C)(D)

(8)己知a、b是非零向量且滿足(a-?)_la,(Z>-2a)Lb,則a與。的夾角是

(A)-(B)-(C)—(D)-

6336

(9)若(1—2')9展開式的第3項為288,則lim(』+-V+的值是

“T8XX，x"

(A)2(B)1(C)-(D)-

25

(10)如圖，A、B、C是表面積為48兀的球面上三點，48=2,BC=4,乙4BC=60°,。為球心，則直

線OA與截面4BC所成的角是

V3

(A)arcsin

~6~

旦

(B)arccos

.百

(C)arcsin----

3

(D)arccos----

3

(11)定義在R上的偶函數(shù)於)滿足於)于>+2),當x￡[3,5]時，於)=24r?4l,則

7T7T

(A)/(sin—)</(cos-)(B)/(sin1)>/(cos1)

6o

-2〃2TT

(C)/(cos—)</(sin—)(D)/(cos2)>/(sin2)

(12)如圖，6地在4地的正東方向4%相處，。地在5地的北偏東30。方向2km處，河流的沒岸

PQ(曲線)上任意一點到4的距離比到8的距離遠26.現(xiàn)要在曲線P。上選一處〃建一座碼頭，

向3、。兩地轉運貨物.經(jīng)測算，從M到仄M兩地修建公路的費用分別是。萬元加小2a方元/km,

那么修建這兩條公路的總費用最低是北

(A)(2J7-2)a萬元

(B)5。萬元

\9

(C)(2J7+l)d萬元

(D)(2+3)?萬元

第H卷（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應位置.

（13）直線x+2），=0被曲線x2+y2_6x?/5=0所截得的弦長等于.

(14)設函數(shù)/（X）在A=0處連續(xù)，則實數(shù)a的值為

（15）某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互

之間沒有影響.有下列結論:

①他第3次擊中目標的概率是0.9；

②他恰好擊中目標3次的概率是0.9-x0.1；

③他至少擊中目標1次的概率是1-0.14.

其中正確結論的序號是（寫出所有正確結論的序號）.

（16）如圖1,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一

的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器.當

六棱柱容器的底面邊長為時，其容積最大.

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說

明過程或演算步驟.

（17）（本小題滿分12分）

設函數(shù)?），其中向量a=（2cosx,1）,Z>=（cosx,

V3sin2x),xGR.

（I）若且,（］,求x；

rr

（II）若函數(shù)y=2sin2r的圖象按向量〃）（1機1<一）平移后得到函數(shù)）fx）的圖象，求實數(shù)加、〃

2

的值.

（18）（本小題滿分12分）

甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答

對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.

（I）求甲答對試題數(shù)&的概率分布及數(shù)學期望；

（II）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.

（19）（本小題滿分12分）

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形,

平面S4CJ_平面ABC,SA=SC=28，M.N分別為48、

SB的中點.

(［)證明：AC1SB；

(II)求二面角N-CM-B的大??；

(HI)求點B到平面CMN的距離.

(20)(本小題滿分12分)

某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能

進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600

萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第〃年(今年為第一年)的利潤為

500(1+()萬元(n為正整數(shù)).

(I)設從今年起的前〃年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為A“萬元，進行技術改造后的

累計純利潤為以萬元(須扣除技術改造資金)，求4、8“的表達式；

(II)依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技

術改造的累計純利潤？

(21)(本小題滿分14分)

已知共的=2年r上—(a工丘/?)在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù).

X-+2

(I)求實數(shù)。的值組成的集合4

(11)設關于X的方程/(x)=L的兩個非零實根為修、X2.試問：是否存在實數(shù)m,使得不等式

x

疝對任意及￡［/，1］恒成立？若存在，求，”的取值范圍；若不存在，請說明理由.

(22)(本小題滿分12分)

如圖，尸是拋物線C：上一點，直線/過點P且與拋物線C交于另一點0.

(I)若直線/與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；

(H)若直線/不過原點且與/軸交于點5,與)，軸交于點7,試求IS*T」I+以IST」I的取值范圍.

\SP\\SQ\

x

參考答案:

1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.B8.B9.A10.D11.D12.B

二、

13.4A/514.1/215.1,316.2/3

三、

17.本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能，考查

運算能力.滿分12分.

解(I)依題設，f(x)=2cos2x+A/3sin2x=l+2sin(2x+—).

由l+2sin(2xn—)=1-y[3t得sin(2x+—)=----.

662

：.2x+-=--

63

即x=-巴.

4

(II)函數(shù)y=2sinZt的圖象按向量c=(m,”)平移后得到函數(shù)y=2sin2(x-〃?)+"的圖象，即函數(shù)產(chǎn)雙r)

的圖象.

TT

由(I)得/(x)=2sin2(x+—)+1.

I,MI<——，m=---,n=l.

212

18.本小題主要考查概率統(tǒng)計的基礎知識，運用數(shù)學知識解決問題的能力.滿分12分.

解(I)依題意，甲答對試題數(shù)匕的概率分布如下:

0123

13

30io26

甲答對試題數(shù)1的數(shù)學期望

13119

￡^=0x--+lx—+2x—+3x—=—

3010265

(11)設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、8,則

ClC\+Cl60+20_2

P(A)=

120-3

C;C'+Cg56+5614

P(8)=82,_8_

120-15

因為事件A、B相互獨立,

方法一：

???甲、乙兩人考試均不合格的概率為

————2141

P(A?8)=P(A)P(B)=l--)(1--)=——.

31545

...甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

——144

P-1-P(A,B)=1---=—.

4545

44

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為一.

45

方法二：

甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為

P=P(4B)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

2111421444

=-X------1--X------1----X------=

31531531545

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為二.

45

19.本小題主要考查直線與直線，直線與平面，二面角，點到平面的距離等基礎知識，考查空間想

象能力和邏輯推理能力.滿分12分.

解法一：(I)取AC中點。，連結S。、DB.

"：SA=SC,AB=BC,

."C_LSO且AC_LB￡>,

；.AC_L平面SZM,又SBu平面SOB,

，AC_LS8.

(H)平面SOB,ACu平面CBC,

平面SOB_L平面ABC.

過足作NELBD于E,NEJL平面ABC,過E作

于F,連結NF,

則N凡LCM.

:.NNFE為二面角N-CM-B的平面角.

?.?平面S4C_L平面ABC,SD±AC,平面4BC.

又；NE_L平面ABC,：.NE//SD.

,/SN=NB,:.NE=-SD=-SA2-AD2=-712-4=血，且ED=EB.

222

在正AASC中，由平幾知識可求得

42

ENr-

在Rt/\NEF中，tanNNFE=——=2,2,

EF

二面角N-CM-B的大小是arctan2瓢-

(III)在RfZXNEF中，NF=4EF2+EN23

2

I3?_

S^CMN=—CM，NF=—V3,S^CMB=-BM,CM=2yfi.

222

設點B到平面CMN的距離為h,

,*,^B-CMN—^N-CMB^NE_L平面CA/8,???二5純河川〃二二S2XCMBWE，

，即點到平面的距離為生&.

...h=5CMBNE=4V2.8CMN

SCMN33

解法二：(I)取4c中點。，連結OS、OB.

'：SA=SC,AB=BC,

J.ACVSO^.ACLBO.

?.?平面5AC±TffiABC,平面SAC。平面ABC=AC

，S。_L面ABC,：.SOLBO.

如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz.

則A(2,0,0),B(0,273,0),C(-2,0,0),

S(0,0,2V2),M(l,V3,0),N(0,V3.V2).

：.AC=(-4,0,0),SB=(0,2TL272),

AC-S5=(-4,0,0)?(0,2也,272)=0,

AAC±SB.

(II)由(I)得屈=(3,g,0),'MN=(-10,V2).設n=(x,y,z)為平面CMN的一

個法向量，

"CM.n=3x+y=0,

則<取z=L則x=-x/2,y=-V6,

MN-n=-x+V2z=0,

/.n=(V2,-V6,1),

又說=(0,0,2J5)為平面ABC的一個法向量,

n-OS1

/.cos(n,OS)=

\n\-\OS\3

二面角N-CM-B的大小為arccos-.

3

(Ill)由(I)(H)得礪=(-1,V3,0),n=(V2,-76,1)為平面CMN的一個法向量,

.??點B到平面CMN的距離d二號考

20.本小題主要考查建立函數(shù)關系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎知識，考查運用數(shù)學知識解決實

際問題的能力.滿分12分.

2

解(I)依題設，An=(500-20)+(500-40)+...+(500-20n)=490n-lOn；

111500

B=500[(l+-)+(l+—)+...+(l+一)]-600=500n------100.

n222"2"

2

(II)Bn-An=(500n------100)-(490n-10n)

,50050

=10n2+10n---100=10[n(n+l)---10].

因為函數(shù)y=x(x+l)-竺-10在(0,+oo)上為增函數(shù),

當l<n<3時，n(n+l)-―--1Q<12----10<0；

2"8

當nN4時，n(n+l)-----10^20-■—■-10>0.

2"16

,僅當位4時,Bn>An.

答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤.

21.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用和不等式等有關知識，考查數(shù)形結合及分類討論思

想和靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分.

向,4+2,cix—2x"—2(x"—ax—2)

解(TI)f'(x)=——------—

U2+2)2(x2+2)2

?；f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),

...f'(x巨0對XG[-1,1]恒成立，

即x2-ax-2W0對xd[-l,1]恒成立.①

設(p(x)=x2-ax-2,

方法一：

C^?(l)=l-a-2<0,

①。<O-lWagl,

[^(-l)=l+a-2<0.

??,對1],f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當a=l時,f'(-1)=0以及當時,V(1)=0

A={al-l<a<l}.

方法二：

u,<0,

2

①=或

^(-l)=l+a-2<0(l)=l-a-2<0

<=>0<a<l或-iSagO

=-l<a<l.

???對x￡[-l,1],f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=l時，f'(-1)=0以及當a=-l時，f(1)=0

/.A={al-l<a<l}.

(II)由—y——=--,得x2-ax-2=0,

x+2x

'：A=a2+8>0

；.xi，X2是方程x2-ax-2=0的兩非零實根，

rX|+X2=a,

2

JY從而lxrx2l=yj(x]+x2)-4X]X2-\a~+8.

LXIX2=-2,

V-l<a<l,/.Ixi-x2l=J4?+8<3.

要使不等式m,tm+GIxi-xzl對任意a￡A及t￡［-L1］恒成立,

當且僅當m2+tm+l>3對任意1］恒成立，

即m2+tm-2>0對任意［-1,1］恒成立.②

設g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),

方法一：

Cg(-l)=m2-m-2>0,

②oj

Lg(l)=m2+m-2>0,

Om>2或m<-2.

所以，存在實數(shù)m,使不等式m2+tm+lN|xrX2l對任意a￡A及1］恒成立，其取值范圍是{mln^2,

或m<-2}.

方法二：

當m=0時，②顯然不成立；

當m^O時，

,m<0,

②OY或Y

'-g(-l)=m2-m-2>0>(l)=m2+m-2>0

<=>m>2或m<-2.

所以，存在實數(shù)m,使不等式m2+im+?xrX2l對任意a￡A及te［-l,1］恒成立，其取值范圍是{mln^2,

或m<-2}.

22.本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和

綜合解題能力.滿分12分.

解(I)設P(X],yO,Q(X2,y2)，M(x(),y0),依題意x[#),yi>0,y2>0.

由y=-^x2,①

得yr=x.

???過點P的切線的斜率k切=xP

1

???直線1的斜率k尸-

k切

，直線1的方程為y-'x」--!-（x-xi）,

2x.

方法一:

7

聯(lián)立①②消去y,得X2+*X-XF2=0.

修

?；M是PQ的中點

X1+x1

Xo=2

2%)

121

yo=-Xi——(X0-X1).

2Xj

消去x?,得y（）=x（）2+-Z

+1(X0M),

2%

???PQ中點M的軌跡方程為y=x2+—!-v+l(x/0).

2%

方法二:

?1212X]+%2

由yi=/X[,y2=-x2\x()=---

2

得yrY2=(gX2=；(X|+X2)(XrX2)=Xo(Xi-X2),

則Xo=/匚」?.=k尸-J_,

x{-x2x{

將上式代入②并整理，得

21

yo=xo~+------+1(x()M),

2x0_

APQ中點M的軌跡方程為y=x2+—1-^+1(\#)).

2x()

(II)設直線l:y=kx+b,依題意k#0,b#),則T(0,b).

分別過P、Q作PP'軸，QQ'軸，垂足分別為P'、Q',則

ISTIISTI\0T\\0T\\b\\b\

ISPIIs。I一IP'PI\Q'Q\~\y\iy1-

t2

由v消去x,Wy2-2(k2+b)y+b?=0.③

y=kx+b

"yi+y2=2(k2+b),

則V

2

Iy?2=b.

方法一：

VyI.y2可取一切不相等的正數(shù),

...I以67」I+*IST」I的取值范圍是(2,+8).

\SP\I52I

方法二:

ISTI+回出2(公+b)

-p-

TSP]1521y^2

ISTI\ST\,2(k2+b)2(公+b)2k2…

當b>0時,-F2>2；

\SP\ISQIb2bb

ISTI\ST\l(k2+b)2(k2+b)

當b<0時,v

ISPIIS2Ib2-b

又由方程③有兩個相異實根，得△=4（k?+b尸-41）2=41<2（1?+2口>0,

于是k2+2b>0,即k2>-2b.

\ST\\ST\2(-2b+b)、

所以

\SP\\SQ\-b

??,當b>0時，——可取一切正數(shù),

b

ISTIIVTI

:.以「+必」的取值范圍是(2,+00).

ISPI\SQ\

方法三：

由P、Q、T三點共線得kTQ=Kpp,

丁2_b

即

則xiy2-bxi=x2yi-bx2,即b(X2-Xi)=(x2y1-x?y2).

1212

X2'oX1——1'不"2

于是1

b=_Z------------2_-X|X2?

x2—x]2

,,1,

\b\l-2x,xII——x,xI

.\ST\\ST\\b\二9+=二9=1當+電但2.

>?----------1----------=-------+

ISPI\SQ\ly,II力I1212xix2

：I三I可取一切不等于1的正數(shù),

修

ISTIII

的取值范圍是(2,+oo).

ISPIISQI

2004年普通高等學校招生福建文史類卷數(shù)學試題.

卸卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共6()分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的..

1.設集合U={123,4,5},A={1,3,5),B={2,3,5},則Q(AQ8)等于()

A.{1,2,4}B.{4}C.{3,5}D.0

2.tan15。+cot15。的值是)

4出

A.2B.2+73C.4D.

3

3.命題P：若。、b￡R,則hl+lbl>l是la+bl>l的充要條件；

命題q：函數(shù)y=山-11-2的定義域是(-00-1]U[3,+oo).則()

A.“p或q”為假B."p且q”為真C.p真q假D.p假q真

4.已知B、F?是橢圓的兩個焦點，過P且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若4ABF2

是真正三角形，則這個橢圓的離心率是()

A.縣B.2C.也D.近

3322

設是等差數(shù)列｛%｝的前項和，若空=3,則邑

5.S”n)

9

1

A.1B.-1C.2D.-

2

6.已知m、n是不重合的直線，a、B是不重合的平面，有下列命題：①若mua,n〃a,則m

〃n；②若m〃a,m//B,則a〃B；③若anP=n,m//n,則m〃a且m〃B；④若mJ.a,m

則&〃B.其中真命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

7.已知函數(shù)y=log2X的反函數(shù)是y三廠lx）,則函數(shù)丫=廠［1-x）的圖象是（）

8.已知I、6是非零向量且滿足（之一25）

A.—

636

9.已知（x-q）'展開式中常數(shù)項為1120,其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是

x

A.28B.38C.1或38D.1或展

10.如圖，A、B、C是表面積為48n的球面上三點，AB=2,BC=4,ZABC=60°,。為球心，則直

線

OA與截面ABC所成的角是()

A.arcsinVIB.arccos舊C.arcsinD.arccos

6633

11.定義在R上的偶函數(shù)/W滿足於月m+2）,當x￡［3,4］時，段）=%一2,貝ij（十）

11R冗b一一3

A./（sin—）＜^（cos—）B.f（sin—）＞/（cos—）C./（sinl）＜/（cosl）D.f（sin——）

223322

12.如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，現(xiàn)要

在曲線PQ上任意選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉運貨物，經(jīng)測算，從M到

B、C兩地修建公路的費用都是。萬元/km、那么修建這兩條公路的總費用最低是（）

A.（J7+l）a萬元B.（2行一2）。萬元A

C.2近〃萬元D.（行一1）〃萬元

第II卷（非選擇題共90分）

填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應位置.

13.直線x+2y=0被曲線x2+y2—6x—2y—15=0所截得的弦長等于.

-x—l(x>0),

14.設函數(shù)=I若f(a)>a.則實數(shù)。的取值范圍是

-(x<0).

J

15.一個總體中有100個個體，隨機編號0,1,2,99,依編號順序平均分成10個小組，組號

依次為1,2,3,…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機

抽取的號碼為m,那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同，若m=6,則在

第7組中抽取的號碼是.

16.圖1,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個

無蓋的正六棱柱容器（圖2）.當這個正六棱柱容器的底面邊長為時，其容積最大.

三、解答題：本關臉共6小題，共74分.解答應寫出蜘說明，證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

設函數(shù)二。?b,其中向量。=（2cosx,1）,b=（cos尢，V3sin2x）,x￡R.

（I）若一當且[―X,—],求x；

TT

（II）若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=（m,rOQmk^）平移后得到函數(shù)y4㈤的圖象，求實數(shù)m^n

的值.

18.（本小題滿分12分）

甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答

對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.

（I）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；

（II）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.

19.（本小題滿分12分）

在三棱錐S—ABC中，AABC是邊長為4的正三角形，平面SAC_L平面ABC,SA=SC=2后,

M為AB的中點.

（I）證明：AC±SB；

（II）求二面角N—CM—B的大小;

（III）求點B到平面SMN的距離.

20.（本小題滿分12分）

某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進

行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬

元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500（1+1-）

2"

萬元（n為正整數(shù)）.

（I）設從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為A。萬元，進行技術改造

后的累計純利潤為&萬元（須扣除技術改造資金），求A。、B”的表達式；

（II）依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技

術改造的累計純利潤？

21.（本小題滿分12分）

如圖，P是拋物線C：上一點，直線/過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，/與拋物

2

線C相交于另一點Q

（1）當點P的橫坐標為2時，求直線/的方程；

（II）當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距

離.

22.(本小題滿分14分)

2

已知Wx)=4x+ax2—§x3(xwR)在區(qū)間［―1,1］上是增函數(shù).

(I)求實數(shù)。的值組成的集合A；

1-

(II)設關于X的方程#幻=2x+§/的兩個非零實根為小、X2.試問：是否存在實數(shù)m,使得不

等式m2+tm+l2k1一對對任意&WA及tW［—1,1］恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，

請說明理由.

2004年普通高等學校招生福建文史類卷數(shù)學試題參考答案

一、l.A2.C3.D4.B5.A6.B7.C8.B9.C10.Dll.C12.B

二、13.4石14.(-w-1)15.6316.2/3

三、

17.本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能，考查運

算能力.滿分12分.

解：(I)依題設，f(x)=2cos2x+V3sin2x=1+2sin(2x+—).

6

由l+2sin(2xd—)=1—,得sin(2—H—.

662

冗7c萬一5萬7T

—W2x-i—W—：.2x+-=-

3326663

即產(chǎn)一生.

4

(II)函數(shù)y=2sin2r的圖象按向量c=(m,n)平移后得到函數(shù)y=2sin2(x—m)+n的圖象，即函數(shù)

的圖象.

■)1

由(I)得#x)=2sin2(x+—)+1.Vlml<—,m=-----，n=l.

12212

18.本小題主要考查概率統(tǒng)計的基礎知識，運用數(shù)學知識解決問題的能力.滿分12分.

解：(I)設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B,則

P,A、_*C：+C：_60+20_2_56+56_14

C,o1203C,o12015

214

答：甲、乙兩人考試合格的概率分別為一和一.

315

(II)解法一、因為事件A、B相互獨立，所以甲、乙兩人考試均不合格的概率為

————2141

P(AB)=P(4)P(3)=1一一)(1一一)=—.

31545

甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

——144

p=l-p(A.8)=l———=——.

4545

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為空44.

45

解法二：因為事件A、B相互獨立，所以甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

P=P(A?B)+P(A?B)+P(A?B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

21I1421444

31531531545

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為二.

45

19.本小題主要考查直線與直線，直線與平面，二面角，點到平面的距離等基礎知識，考查空間想象

能力和邏輯推理能力.滿分12分.

解法一：(I)取AC中點D,連結DS、DB.

：SA=SC,BA=BC,

AACISD且ACXDB,

；.AC_L平面SDB,又SBu平面SDB,

AACISB.

(II)VSD1AC,平面SACJ_平面ABC,

平面ABC.

過D作DE_LCM于E,連結SE,則SE_LCM,

.?.NSED為二面角S-CM-A的平面角.

由已知有OE〃工4W,所以DE=1,又SA=SC=2jI,AC=4,ASD=2.

=2

在RtZ\SDE中，tanNSED=-----=2,

DE

.,.二面角S—CM一A的大小為arctan2.

(Ill)在RtZ\SDE中，SE=y/SD2+DE2=75,CM是邊長為4正AABC的中線,

CM-2A/3.SASCM=_CM,SE=—x2A/3X-\/5--VL5，

22

設點B到平面SCM的距離為h,

由VB-SCM=VS(MB，SD_L平面ABC,得—SZ\SCM?h=—SYMB?SD,

33

???h=SACM8=逑即點B到平面SCM的距離為迪.

Q55

解法二：(1)取AC中點O,連結OS、OB.

VSA=SC,BA=BC,

.?.AC_LSO且AC_LBO.

「平面SAC_L平面ABC,平面SACC平面ABC=AC

；.SO_L面ABC,ASOIBO.

如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz.

則A(2,0,0),C(-2,0,0),

S(0,0,2),B(0,2A/3,0).

AC=(-4,0,0).BS=(0,-2V3，2),

AC,BS=(-4,0,0),(0,—2y/3,2)=0.

AACIBS.

(H)由(I)得M(1,V3,0),CA/=(3,V3,O),

CS=(2,0,2).設n=(x,y,z)為平面SCM的一個法向量,

n-CM=3x+V35=0

則\一取x=T,則y=V3,z=1,

n-CS=2x+2z=0,

.*.n=(-l,V3，1).又OS=(0,0,2)為平面ABC的一個法向量,

cos(n,OS)=--------=—:

InI-I05I5

V5

二面角S-CM-A的大小為arccos----.

5

(III)由(I)(II)得)=(2,2A/3,0),

n=(-1,、回，1)為平面SCM的一個法向量,

_kfhIn-CMI45/5

..點B到平面SCM的距離d=--------=^―

INI5

20.本小題主要考查建立函數(shù)關系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎知識，考查運用數(shù)學知識解決實際

問題的能力.滿分12分.

2

解：(I)依題設，An=(500-20)+(500-40)+--?+(500-20n)=490n-lOn；

111500

Bn=500[(1+—)+(1+=)+…+(1+—)]-600=500n-——-100.

222"2"

(II)Bn-An=(500n-迎一100)-(490n-10n2)

2"

=10n2,+10n--500-100=10[n(n+l)——50-10].

因為函數(shù)y=x(x+l)—丁一10在(0,+°°)上為增函數(shù)，

當lWnW3時，n(n+l)—-10^12-—10<0；

2"8

當