天津市四校(楊柳青一中、47中、百中、咸水沽一中)2022-2023學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷（解析）

高中數(shù)學精編資源天津市2022-2023學年度高二第二學期期末四校聯(lián)考高二數(shù)學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共計150分，考試時間120分鐘.一、選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共計45分.每小題有且僅有一項符合題目要求.1.集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集運算求解.【詳解】解：因為集合，，所以，故選：B2.若，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】先解不等式，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】由，得，或，得或，因為當或時，不一定成立，而當時，或成立，所以“”是“”的必要而不充分條件，故選：B3.鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略堅持農(nóng)業(yè)農(nóng)村優(yōu)先發(fā)展，建立健全城鄉(xiāng)融合發(fā)展體制機制和政策體系，加快推進農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)通過建立幫扶政策，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)財政收入（單位：億元）與年份（單位：年）具有線性相關關系，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)用最小二乘法近似得到回歸直線方程為，則下列結論中不正確的是（）A.回歸直線過樣本的中心點B.與具有正線性相關關系C.若該鄉(xiāng)鎮(zhèn)在第7年，則可斷定其財政收入必為4.07D.若該鄉(xiāng)鎮(zhèn)每經(jīng)過一年，則其財政收入約增加0.94億元【答案】C【解析】【分析】A.根據(jù)回歸直線過樣本的中心點判斷；B.根據(jù)判斷；C.根據(jù)回歸分析的意義判斷；D.根據(jù)回歸直線方程為判斷.【詳解】A.回歸直線過樣本的中心點，故正確；B.因為，所以與具有正線性相關關系，故正確；C.該鄉(xiāng)鎮(zhèn)在第7年，只能估計，不能斷定其財政收入為4.07，故錯誤；D.若該鄉(xiāng)鎮(zhèn)每經(jīng)過一年，則其財政收入約增加0.94億元，故正確，故選：C4.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.則的解析式可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的圖象關于原點對稱排除部分選項，再由，時的函數(shù)值判斷.【詳解】解：的圖象關于原點對稱，則是奇函數(shù)，排除B；當時，，排除C；當時，，排除D；故選：A5.從5名醫(yī)生和2名護士中選出3人，要求醫(yī)生護士都需要參加，將這3人分別分配到3個醫(yī)院參加交流活動，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.300 B.240 C.180 D.150【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理，結合排列組合即可求解.【詳解】由題意，先選出三人分兩種情況，即2名醫(yī)生和1名護士，有種選法，或1名醫(yī)生和2名護士，有種選法，再將選出的三個人全排列即可，所以，共有種安排方法.故選：D6.已知正項等比數(shù)列首項為1，且成等差數(shù)列，則前6項和為（）A.31 B. C. D.63【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】∵成等差數(shù)列，∴，∴，即，解得或，又∵，∴，∴，故選：C.7.已知函數(shù)滿足，且當，時，，則大小關系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用變形，由給定不等式確定函數(shù)的單調(diào)性，再利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小作答.【詳解】由，得，由當，時，，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，顯然，則，而，因此，即有，所以.故選：D8.已知，則的值（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由，得到，然后由求解.【詳解】解：因為，所以，所以，故選：C9.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且對任意的實數(shù)都有（是自然對數(shù)的底數(shù)），，若不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數(shù)，結合和，利用導數(shù)畫出的圖象，結合函數(shù)圖象即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由已知得，令，則，即，∵，∴，∴，∴，∴，令得，，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增可知時，取得極大值，時，取得極小值，其中，，，當趨近于負無窮時，趨近于零，則函數(shù)的草圖如下圖，∵不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，∴當時，不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，即實數(shù)的取值范圍是，故選：.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共計30分.10.在的展開式中，二項式系數(shù)和是32，的系數(shù)為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)之和可得，進而結合二項展開式通項公式運算求解.【詳解】由題意可得：，解得，可得的展開式的通項為，令，解得，則，所以的系數(shù)為.故答案為：.11.某校高二年級一次數(shù)學考試的成績服從正態(tài)分布.若平均分為100，120分以下人數(shù)概率為0.8，理論上說在80~120分數(shù)段人數(shù)概率為____________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意得，，所以所以，故答案為：12.若，是假命題，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得，是真命題，結合對勾函數(shù)單調(diào)性運算求解.【詳解】由題意可得：，是真命題，因為在上單調(diào)遞增，則，可得所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.已知，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】巧用1的代換根據(jù)基本不等式求最值.【詳解】∵，∴，，且，∴，當且僅當時，即時等號成立，所以的最小值為，故答案為：.14.天津相聲文化是天津具有代表性的地域文化符號，天津話妙趣橫生，天津相聲精彩紛呈，是最具特色的旅游亮點之一.某位北京游客經(jīng)常來天津聽相聲，每次從北京出發(fā)來天津乘坐高鐵和大巴的概率分別為0.6和0.4，高鐵和大巴準點到達的概率分別為0.9和0.8，則他準點到達天津的概率是_________（分數(shù)作答）.若他已準點抵達天津，則此次來天津乘坐高鐵準點到達比乘坐大巴準點到達的概率高__________（分數(shù)作答）.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式，求得他準點到達天津的概率，再結合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】設事件為他準點到達天津，事件為他乘坐高鐵到達天津，事件為他乘坐大巴到達天津，若他乘坐高鐵，且正點到達天津的概率為；若他乘坐大巴，且正點到達天津的概率為；則，且,所以乘坐高鐵準點到達比乘坐大巴準點到達的概率高.故答案為：，15.設表示不超過的最大整數(shù)，如，.已知函數(shù)有且只有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】設，利用導數(shù)畫出部分的函數(shù)圖象，在求出的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合即可求解.【詳解】設，由已知條件得，則有且只有個根，當時，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，故函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可知，，故答案為：.【點睛】方法點睛：數(shù)形結合判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉化為兩個函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答必需寫出必要的文字說明、推理過程或計算步驟，只有結果的不給分.16.已知函數(shù)其中為常數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，（3）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）先求函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導，再根據(jù)導數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）將問題轉化為，由（2）可求出的最大值，然后解不等式可得結果.【小問1詳解】當時，，則，，所以，所以曲線在點處的切線方程為，【小問2詳解】的定義域為，由，得，當時，，當時，，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，【小問3詳解】由（2）可知當取得最大值，因為對任意，不等式恒成立，所以，即，，解得或，即的取值范圍為.17.如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，上的點，.（1）證明：平面平面；（2）求到平面距離；（3）求直線與平面夾角余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取和的中點和，以為原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量，，結合，即可得證；（2）由平面的法向量為，且，結合向量的夾角公式，即可求解；（3）由平面，得到平面的一個法向量和，結合向量的夾角公式，求得直線與平面夾角余弦值.【小問1詳解】證明：取和的中點和，連接和，在正四棱柱中，可得為正三角形，所以，以為原點，所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，設平面的一個法向量為，則取，可得，所以，因為，即，所以平面平面.【小問2詳解】由平面法向量為，且，設直線與平面所成的角為，可得，又因為，所以到平面的距離為.【小問3詳解】由為正三角形，且為的中點，可得，在正三棱柱中，可得平面，所以為平面的一個法向量，即為平面的一個法向量，又由，可得，設直線與平面夾角為，可得，則，即直線與平面夾角的余弦值為.18.在中國，大熊貓是每個中國人都非常熟悉的動物，有著不可撼動的地位.隨著國寶“萌蘭”、“花花”可愛搞笑視頻的流行，也掀起了一波熱愛、保護動物的熱潮.某動物園為了向游客宣傳保護動物知識，對來訪者開設小型知識問答游戲.游戲規(guī)則：每位游客回答判斷、選擇兩組題目，每組題目各有兩道題，每道題答對得2分，答錯得0分，兩組題目得分的和作為該游客的成績，不低于6分，即可得到一個熊貓玩偶.小明估計答對每道判斷題的概率均為，答對每道選擇題的概率均為.（1）按此估計求小明判斷題得分比選擇題得分多2分的概率；（2）估計小明得到熊貓玩偶的概率；（3）記小明在比賽中的得分為，按此估計的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）（2）（3）分布列見解析；.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，事件包含兩種情況，小明判斷題答對1道，選擇題答對0道，或者小明判斷題答對2道，選擇題答對1道，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，小明得分6分，或者得分分，列出式子即可得到結果；（3）根據(jù)題意，由條件可得的可能取值有，然后分別求出其對應的概率，即可得到結果.【小問1詳解】事件表示“小明判斷題得分比選擇題得分多2分”，則事件包含小明判斷題答對1道，選擇題答對0道，或者小明判斷題答對2道，選擇題答對1道，則.所以小明判斷題得分比選擇題得分多2分的概率.【小問2詳解】事件表示“小明得到熊貓玩偶”，則事件包含小明得分6分，或者得分分，且小明得分6分表示判斷題答對2題且選擇題答對1題，或者判斷題答對1題且選擇題答對2題，概率為，小明得分8分表示判斷題答對2題且選擇題答對2題，概率為，所以.所以小明得到熊貓玩偶的概率為.【小問3詳解】由題意可知，的可能取值有，則，，，，，則分布列為02468則.19.設是等比數(shù)列，是遞增的等差數(shù)列，的前項和為N,，，，.（1）求與的通項公式；（2）設，，求數(shù)列前項和；（3）設，求.【答案】（1），；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的前項和公式，等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項公式求解；（2）利用裂項法求和；（3）利用錯位相減法求和.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，由已知條件得，即，解得（舍去）或，所以，，【小問2詳解】；【小問3詳解】由已知得，，則表示數(shù)列的前項和，令是數(shù)列的前項和，則，，，即，故.20.已知函數(shù).（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)，對任意的，求證：.【答案】（1）在上遞增，在上遞減；（2）（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導，再根據(jù)導數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）將問題轉化為恒成立，設，對函數(shù)求導，分三種情況討論的最值，即可得解；（3）由題意得，求導后可判斷在上遞增，則，令（），則，（），然后利用累加法可證得結論.小問1詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，則，令，則，所以在上遞增，因為，所以當時，，即，當時，，即，所以在上遞增，在上遞減；【小問2詳解】由，得，即，所以，令，則，①若，即時，當時，，所以在上遞增，而，所以當時，，不合題意；②若，即時，當或時，，當