2023屆湖北省荊州市公安縣第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當(dāng)好的成績(jī).若將6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（）A． B． C． D．3．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位4．已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．5．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．－60 B．240 C．－80 D．1806．已知函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象()A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度7．的展開式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．308．若，則下列關(guān)系式正確的個(gè)數(shù)是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．49．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個(gè)關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時(shí)近30年,證明了包括這個(gè)公式在內(nèi)的三個(gè)公式,同時(shí)求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個(gè)新級(jí)數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級(jí)數(shù)計(jì)算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開式”計(jì)算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A． B．C． D．10．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若，則λ＋μ的值為（）A． B． C． D．11．設(shè)是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．12．世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“”猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半；如果是奇數(shù)，則將它乘加，不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到.如圖是驗(yàn)證“”猜想的一個(gè)程序框圖，若輸入正整數(shù)的值為，則輸出的的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，的系數(shù)為_______（用數(shù)字作答）.14．已知，，且，則的最小值是______.15．曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為____.16．已知，，，則的最小值是__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a5=45，a2+a6=1．（I）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足：…，求{bn}的前n項(xiàng)和．18．（12分）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，四邊形為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且，，（1）若分別為，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，與平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值．20．（12分）如圖所示，在三棱錐中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)為中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上任意一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿足（分別為直線的斜率），求的面積為時(shí)直線的方程.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線的極坐標(biāo)方程為（）.設(shè)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化，求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點(diǎn)，進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，,當(dāng)時(shí)，單減，當(dāng)時(shí)，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當(dāng)與（）相切時(shí)，得，解得；當(dāng)與（）相切時(shí)，滿足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題2、A【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有，利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知，所求概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.3、D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可；【詳解】解：函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.5、D【解析】

求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)，再求和即可得出答案.【詳解】由題意，中常數(shù)項(xiàng)為，中項(xiàng)為，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像平移原則，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋室玫?，只需將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由知，展開式中項(xiàng)有兩項(xiàng)，一項(xiàng)是中的項(xiàng)，另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【詳解】由已知，，因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開式中的特定項(xiàng)，解決這類問題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫準(zhǔn)確，本題是一道基礎(chǔ)題.8、D【解析】

a，b可看成是與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令，，作出圖象如圖，由，的圖象可知，，，②正確；，，有，①正確；，，有，③正確；，，有，④正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.9、B【解析】

執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，逐次循環(huán)，找到計(jì)算的規(guī)律，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第10次循環(huán)：，此時(shí)滿足判定條件，輸出結(jié)果，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計(jì)算，得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示，利用，列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0，0).不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得則.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了由平面向量線性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)，屬于中檔題.11、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

列出循環(huán)的每一步，可得出輸出的的值.【詳解】，輸入，，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)不成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，成立，跳出循環(huán)，輸出的值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)，即可求得的系數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，則所求項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：60【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

先將前兩項(xiàng)利用基本不等式去掉，，再處理只含的算式即可．【詳解】解：，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，但是由于有3個(gè)變量，導(dǎo)致該題不易找到思路，屬于中檔題．15、【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解：∵，

∴，

則，

又，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

則函數(shù)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為，

即，

故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.16、．【解析】

因?yàn)?，展開后利用基本不等式，即可得到本題答案.【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào).故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則依題設(shè)．由,可得．由，得，可得．所以．可得．（Ⅱ）設(shè)，則.即，可得，且．所以，可知．所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．所以前項(xiàng)和．考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式、用數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)公式．18、（1）；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域，即可求出結(jié)論；（2）化簡(jiǎn)集合，根據(jù)確定集合的端點(diǎn)位置，建立的不等量關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）由，即得或，所以集合或.（2）集合，由得或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，集合間的關(guān)系求參數(shù)，考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)見解析(2)【解析】試題分析：（1）第（1）問，轉(zhuǎn)化成證明平面,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第（2）問，先利用幾何法找到與平面所成角，再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角的余弦值.試題解析：（1）連接,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，，所以平?又平面，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)椋云矫?因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以，所以平面（2）設(shè)，由（1）得平面.由，，得，.過點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示，又，所以為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，故平面.因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以，所以平?又因?yàn)?，所以平?因?yàn)椋云矫嫫矫?由（1），得平面，所以平面，所以.因?yàn)椋云矫?，所以是與平面所成角.因?yàn)椋?，所以平面，平面，因?yàn)椋云矫嫫矫?所以，，解得.在梯形中，易證，分別以，，的正方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，由，及，得，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得令，得m=(3,1,2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得令，得.所以又因?yàn)槎娼鞘氢g角，所以二面角的余弦值是.20、（1）答案見解析．（2）【解析】

（1）通過證明平面，證得，證得，由此證得平面，進(jìn)而證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)?，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，則，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，則，，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義求得，得橢圓方程；（2）設(shè)，由得，應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入已知條件可得，再由橢圓中弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，原點(diǎn)到直線的距離，得三角形面積，從而可求得，得直線方程．【詳解】解：（1）據(jù)題意設(shè)橢圓的方程為則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）據(jù)得設(shè)，則又原點(diǎn)到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題．解題時(shí)采取設(shè)而不求思想，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，把這個(gè)結(jié)論代入題中條件求得參數(shù)，用它求弦長(zhǎng)等等，從而解決問題．