華師大八級(jí)下學(xué)期193正方形與一次函數(shù)反比例函數(shù)綜合題專訓(xùn)含答案解析

華師大版八年級(jí)下冊(cè)19.3正方形與一次函數(shù)反比例函數(shù)綜合題專訓(xùn) 一、利用正方形的性質(zhì)求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)問題 試題１、（2015春監(jiān)利縣期末）如圖，點(diǎn)B、C分別在兩條直線y=2x和y=kx上，點(diǎn)A、D是x軸上兩點(diǎn)，已知四邊形ABCD是正方形，則k值為． 【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)正方形的性質(zhì)分別表示出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再將C的坐標(biāo)代入函數(shù)中從而可求得k的值．【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則B的縱坐標(biāo)是a，把點(diǎn)B代入直線y=2x的解析式，則設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，a）， 則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（+a，a）， 把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=kx中得，a=k（+a），解得，k=． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)及正比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，建立起關(guān)系，靈活運(yùn)用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 試題２（2015閬中市模擬）如圖，點(diǎn)B是反比例函數(shù)上一點(diǎn)，矩形OABC的周長(zhǎng)是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面積之和為68，則反比例函數(shù)的解析式是（） A． B． C． D．【解答】解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）， 根據(jù)題意得x2+y2=68，x+y=10， ∴（x+y）2=100， ∴x2+2xy+y2=100，即68+2xy=100， ∴xy=16， ∴反比例函數(shù)的解析式為y=． 故選D． 試題３、（2015衡南縣自主招生）已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形． （1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng)； （2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式． 【解答】解：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)， ∵OC=0D=1， ∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)CD=； ∵當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)， ∴設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a， ∴3a=CD=． ∴a=， ∴正方形邊長(zhǎng)為， ∴一次函數(shù)y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長(zhǎng)為或； （2）如圖2，作DE，CF分別垂直于x、y軸， ∵AB=AD=BC，∠DAE=∠OBA=∠FCB， ∴△ADE≌△BAO≌△CBF． ∵m＜2， ∴DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m， ∴OF=BF+OB=2， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣m，2）， 設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：， ∵D（2，m），C（2﹣m，2） ∴， ∴由②得：k=2m③， ∴把k=2m代入①得：2m=2（2﹣m）， ∴解得m=1，k=2， ∴反比例函數(shù)的解析式為y=． 試題４、（2015韶關(guān)模擬）如圖，點(diǎn)A（2，2）在雙曲線y1=（x＞0）上，點(diǎn)C在雙曲線y2=﹣（x＜0）上，分別過A、C向x軸作垂線，垂足分別為F、E，以A、C為頂點(diǎn)作正方形ABCD，且使點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)D在y軸的正半軸上． （1）求k的值； （2）求證：△BCE≌△ABF； （3）求直線BD的解析式． 【解答】（1）解：把點(diǎn)A（2，2）代入y1=， 得：2=， ∴k=4； （2）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴BC=AB，∠ABC=90°，BD=AC， ∴∠EBC+∠ABF=90°， ∵CE⊥x軸，AF⊥x軸， ∴∠CEB=∠BFA=90°， ∴∠BCE+∠EBC=90°， ∴∠BCE=∠ABF， 在△BCE和△ABF中， ， ∴△BCE≌△ABF（AAS）； （3）解：連接AC，作AG⊥CE于G，如圖所示： 則∠AGC=90°，AG=EF，GE=AF=2， 由（2）得：△BCE≌△ABF， ∴BE=AF=2，CE=BF， 設(shè)OB=x，則OE=x+2，CE=BF=x+2， ∴OE=CE， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（﹣x﹣2，x+2）， 代入雙曲線y2=﹣（x＜0）得：﹣（x+2）2=﹣9， 解得：x=1，或x=﹣5（不合題意，舍去）， ∴OB=1，BF=3，CE=OE=3， ∴EF=2+3=5，CG=1=OB，B（﹣1，0），AG=5， 在Rt△BOD和Rt△CGA中， ， ∴Rt△BOD≌Rt△CGA（HL）， ∴OD=AG=5， ∴D（0，5）， 設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b， 把B（﹣1，0），D（0，5）代入得：， 解得：k=5，b=5． ∴直線BD的解析式為：y=5x+5． 試題５、（2015春四川校級(jí)期中）如圖，正方形OABC的面積為16，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在雙曲線y=（x＞0）上，點(diǎn)P（m，n）是雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF在正方形OABC之外部分的面積為S． （1）求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值； （2）當(dāng)S=8時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）寫出S與m的函數(shù)關(guān)系式． 【解答】解：（1）∵正方形OABC的面積為16， ∴OA=OC=4， ∴B（4，4）， 又∵點(diǎn)B（4，4）在函數(shù)的圖象上， ∴k=16； 故點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，4），k=16； （2）分兩種情況： ①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)， ∵P（m，n）在函數(shù)y=上， ∴mn=16， ∴S=m（n﹣4）=mn﹣4m=8， 解得m=2， ∴n=8， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（2，8）； ②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)， ∵P（m，n）在函數(shù)y=上， ∴mn=16， ∴S=4（4﹣n）=16﹣4n=8， 解得n=2， ∴=2， 解得m=8， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（8，2）， 綜上所述：P（2，8），（8，2）． （3）當(dāng)0＜m＜4時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊，此時(shí)S=16﹣4m， 當(dāng)m≥4時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊，此時(shí)S=16﹣4n=16﹣4×=16﹣． 試題６、（2014本溪）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，），則k的值為（） A．4 B．6 C．8 D．10【分析】過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于F，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAD=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，然后利用“角角邊”證明△ABE和△DAF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=BE，DF=AE，再求出OF，然后寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式計(jì)算即可求出k． 【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于F， 在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°， ∴∠BAE+∠DAF=90°， ∵∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（AAS）， ∴AF=BE，DF=AE， ∵正方形的邊長(zhǎng)為2，B（，）， ∴BE=，AE==， ∴OF=OE+AE+AF=++=5， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，5）， ∵頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上， ∴k=xy=×5=8． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵． 試題７、（2012北侖區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)D在y軸的正半軸上，以線段AD為邊向外作正方形ABCD如圖所示，該正方形的中心M（3，3），那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），直線BC的解析式是y=﹣2x+14． 【分析】連接MA、MD，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于E，作MF⊥y軸于F，根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)判斷出四邊形OEMF是正方形，然后求出ME=MF，再利用“HL”證明Rt△AEM和Rt△DFM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=AE，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出OA，然后求出AE，再求出OD，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可； 過點(diǎn)B作BG⊥x軸于G，求出∠ADO=∠BAG，然后利用“角角邊”證明△AOD和△BAG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=OD，BG=OA，從而寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，過點(diǎn)C作CH⊥y軸于H，同理可得CH=OD，DH=OA，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可． 【解答】解：如圖，連接MA、MD，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于E，作MF⊥y軸于F， ∵正方形ABCD的中心是M（3，3）， ∴AM=DM，四邊形OEMF是正方形， ∴ME=MF=3， 在Rt△AEM和Rt△DFM中，， ∴Rt△AEM≌Rt△DFM（HL）， ∴DF=AE， ∵A（2，0）， ∴OA=2， ∴AE=OE﹣OA=3﹣2=1， ∴OD=OF+DF=OF+AE=3+1=4， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）；過點(diǎn)B作BG⊥x軸于G， ∵∠ADO+∠OAD=90°，∠BAG+∠OAD=90°， ∴∠ADO=∠BAG， 在△AOD和△BAG中，， ∴△AOD≌△BAG（AAS）， ∴AG=OD=4，BG=OA=2， ∴OG=OA+AG=2+4=6， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，2）， 過點(diǎn)C作CH⊥y軸于H， 同理可得CH=OD=4，DH=OA=2， ∴OH=OD+DH=4+2=6， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，6）， 設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0）， 則， 解得， ∴設(shè)直線BC的解析式為y=﹣2x+14． 故答案為：（0，4）；y=﹣2x+14． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形以及以點(diǎn)O、M為頂點(diǎn)的正方形． 二、利用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)求解正方形問題 試題１、（2015涼山州）以正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)D，則正方形ABCD的面積是（） A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：∵雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)D， ∴第一象限的小正方形的面積是3， ∴正方形ABCD的面積是3×4=12． 故選：C． 試題２、（2015安陸市三模）如圖，四邊形OABC是矩形，ADEF是正方形，點(diǎn)A、D在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y=的圖象上，OA=1，OC=6，則正方形ADEF的面積為（） A．2 B．4 C．6 D．12【解答】解：設(shè)正方形ADEF的邊長(zhǎng)AD=t，則OD=1+t． ∵四邊形ADEF是正方形， ∴DE=AD=t． ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1+t，t）． ∵E點(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上， ∴（1+t）t=6． 整理，得t2+t﹣6=0． 解得t1=﹣3，t2=2． ∵t＞0， ∴t=2． ∴正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2， ∴正方形ADEF的面積為4． 故選B． 試題３、（2015石家莊模擬）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，連接OA并延長(zhǎng)到點(diǎn)B，使AB=OA，過點(diǎn)B作x軸和y軸的垂線，垂足分別為C，D，則圖中陰影部分的面積為（） A．23 B．18 C．11 D．8【解答】解：∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2， ∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2， ∴A（2，2）， ∴OB是∠DOC的平分線， ∵AB=OA，BC⊥OC，BD⊥OD， ∴四邊形OCBD是正方形，∴B（4，4）， ∴S陰影=S△OBD=S△OBD=S正方形OCBD=×4×4=8． 試題４、（2015大慶模擬）正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…，按如圖所示的方式放置．點(diǎn)A1、A2、A3、…和點(diǎn)C1、C2、C3、…分別在直線y=x+1和x軸上，則第2015個(gè)正方形A2015B2015C2015C2014的邊長(zhǎng)為22014．【分析】根據(jù)直線解析式先求出OA1=1，再求出第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為22，得出規(guī)律，即可求出第2015個(gè)正方形的邊長(zhǎng)． 【解答】解：∵直線y=x+1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1， ∴OA1=1，OD=1， ∴∠ODA1=45°， ∴∠A2A1B1=45°， ∴A2B1=A1B1=1， ∴A2C1=2=21， 同理得：A3C2=4=22，…， ∴第2015個(gè)正方形A2015B2015C2015C2014的邊長(zhǎng)為：22014． 故答案為：22014． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及正方形的性質(zhì)；通過求出第一個(gè)正方形、第二個(gè)正方形和第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)得出規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵． 試題５、（2015西湖區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)A，C分別在x，y軸的正半軸上，點(diǎn)Q在對(duì)角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長(zhǎng)CQ交邊AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P與Q的坐標(biāo)分別為（2，4﹣2）、（）． 【分析】首先根據(jù)點(diǎn)Q在OB：y=x上，以及QO=OC=2，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)是多少；然后設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，a），確定出CP所在的直線的解析式，再根據(jù)點(diǎn)Q在CP上，求出a的值，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少． 【解答】解：∵點(diǎn)Q在OB：y=x上，QO=OC=2， ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（，）， 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，a）， ∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2） ∴CP所在的直線的解析式是：y=kx+2， 則k=（a﹣2）÷（2﹣0）=0.5a﹣1， ∴CP所在的直線的解析式是：y=（0.5a﹣1）x+2， ∵點(diǎn)Q（，）在y=（0.5a﹣1）x+2上， ∴（0.5a﹣1）×+2=則a=4﹣2， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4﹣2）， ∴點(diǎn)P與Q的坐標(biāo)分別為（2，4﹣2）、（）． 故答案為：（2，4﹣2）、（）． 【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸． （2）此題還考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）．直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b． （3）此題還考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法，要熟練掌握．試題６、（2015鄂州）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x軸上，已知正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…則正方形A2015B2015C2015D2015的邊長(zhǎng)是（） A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014【分析】利用正方形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出變化規(guī)律即可得出答案． 【解答】方法一： 解：如圖所示：∵正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3… ∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°， ∴D1E1=C1D1sin30°=，則B2C2=（）1， 同理可得：B3C3==（）2， 故正方形AnBnCnDn的邊長(zhǎng)是：（）n﹣1． 則正方形A2015B2015C2015D2015的邊長(zhǎng)是：（）2014． 故選：D． 方法二： ∵正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1， ∠B1C1O=60°， ∴D1E1=B2E2=， ∵B1C1∥B2C2∥B3C3… ∴∠E2B2C2=60°， ∴B2C2=， 同理： B3C3=×=… ∴a1=1，q=， ∴正方形A2015B2015C2015D2015的邊長(zhǎng)=1×． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，得出正方形的邊長(zhǎng)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵． 試題７、（2014武漢模擬）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸正半軸上，頂點(diǎn)B在雙曲線（x＞0）上，頂點(diǎn)D在雙曲線（x＜0）上，則正方形ABCD的面積為6． 【分析】過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，作BM⊥x軸于M，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于F，作DN⊥x軸于N，可得四邊形OMBE是矩形，然后求出∠EBM=90°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=90°，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠ABM=∠CBE，利用“角角邊”證明△ABM和△CBE全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△ABM=S△CBE，同理可得S△ADN=S△CDF，從而得到正方形ABCD的面積=S矩形OMBE+S矩形ONDF，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解答即可． 【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，作BM⊥x軸于M，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于F，作DN⊥x軸于N， 則四邊形OMBE是矩形， ∴∠EBM=90°， 在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°， ∠ABM+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°， ∴∠ABM=∠CBE， 在△ABM和△CBE中，， ∴△ABM≌△CBE（AAS）， ∴S△ABM=S△CBE， 同理可得S△ADN=S△CDF， ∴正方形ABCD的面積=S矩形OMBE+S矩形ONDF， ∵點(diǎn)B在雙曲線y=上，點(diǎn)D在雙曲線y=﹣上， ∴正方形ABCD的面積=4+2=6． 故答案為：6． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并把正方形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)矩形的面積的和是解題的關(guān)鍵． 三、綜合運(yùn)用 試題１、（2011秋鄞州區(qū)期末）如圖，正方形A1B1P1P2的頂點(diǎn)P1、P2在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)A1、B1分別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形P2P3A2B2，頂點(diǎn)P3在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)A2在x軸的正半軸上，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）【分析】作P1C⊥y軸于C，P2D⊥x軸于D，P3E⊥x軸于E，P3F⊥P2D于F，設(shè)P1（a，），則CP1=a，OC=，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，則OB1=P1C=A1D=a，所以O(shè)A1=B1C=P2D=﹣a，則P2的坐標(biāo)為（，﹣a），然后把P2的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐標(biāo)；設(shè)P3的坐標(biāo)為（b，），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，則P3E=P3F=DE=，通過OE=OD+DE=2+=b，這樣得到關(guān)于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐標(biāo)． 【解答】解：作P1C⊥y軸于C，P2D⊥x軸于D，P3E⊥x軸于E，P3F⊥P2D于F，如圖所示： 設(shè)P1（a，），則CP1=a，OC=， ∵四邊形A1B1P1P2為正方形， ∴∠A1B1P1=90°， ∴∠CB1P1+∠OB1A1=90°， ∵∠CB1P1+∠CP1B1=90°，∠OB1A1+∠OA1B1=90°， ∴∠CB1P1=∠OA1B1， 在△P1B1C≌△B1A1O中，， ∴△P1B1C≌△B1A1O（AAS）， 同理：△B1A1O≌△A1P2D， ∴OB1=P1C=A1D=a， ∴OA1=B1C=P2D=﹣a， ∴OD=a+﹣a=， ∴P2的坐標(biāo)為（，﹣a）， 把P2的坐標(biāo)代入y=（x＞0）得：（﹣a）=2， 解得：a=﹣1（舍去）或a=1， ∴P2（2，1）， 設(shè)P3的坐標(biāo)為（b，）， 又∵四邊形P2P3A2B2為正方形， 同上：△P2P3F≌△A2P3E， ∴P3E=P3F=DE， ∴OE=OD+DE=2+， ∴2+=b， 解得：b=1﹣（舍去），b=1+， ∴==﹣1， ∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（+1，﹣1）． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為橫縱坐標(biāo)之積為定值；也考查了正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及解分式方程的方法． 試題２、（2014宜興市校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（0，3），以AB為邊在第一象限作正方形ABCD，點(diǎn)D在雙曲線y=（k≠0）上，將正方形沿x軸負(fù)方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，點(diǎn)C恰好落在雙曲線上，則m的值是（） A．2 B．3 C． D．【分析】作CE⊥y軸于點(diǎn)E，交雙曲線于點(diǎn)G．作DF⊥x軸于點(diǎn)F，易證△OAB≌△FDA≌△BEC，求得A、B的坐標(biāo)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以求得C、D的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得G的坐標(biāo)，則m的值即可求解． 【解答】解：作CE⊥y軸于點(diǎn)E，交雙曲線于點(diǎn)G．作DF⊥x軸于點(diǎn)F． ∵A（1，0），B（0，3）， ∴OB=3，OA=1． ∵∠BAD=90°， ∴∠BAO+∠DAF=90°， 又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°， ∴∠DAF=∠OBA， 在△OAB和△FDA中， ， ∴△OAB≌△FDA（AAS）， 同理，△OAB≌△FDA≌△BEC， ∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1， 故D的坐標(biāo)是（4，1），C的坐標(biāo)是（3，4）．代入y=得：k=4，則函數(shù)的解析式是：y=． OE=4， 則C的縱坐標(biāo)是4，把y=4代入y=得：x=1．即G的坐標(biāo)是（1，4）， ∴CG=2． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確求得C、D的坐標(biāo)是關(guān)鍵，題目的綜合性較強(qiáng)，難度不小，對(duì)學(xué)生的解題能力要求很高．試題３、（2013海安縣校級(jí)模擬）正方形ABCD，矩形EFGH均位于第一象限內(nèi)，它們的邊平行于x軸或y軸，其中，點(diǎn)A，E在直線OM上，點(diǎn)C，G在直線ON上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1．若矩形EFGH的周長(zhǎng)為10，面積為6，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（7，5），（8，5）． 【分析】由A的坐標(biāo)為（3，3），正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1得出直線OM的解析式，再求出C點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線ON的解析式；設(shè)矩形EFGH的寬為a，則長(zhǎng)為5﹣a，再根據(jù)面積為6即可得出a的值，由點(diǎn)E在直線OM上設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（e，e），由矩形的邊長(zhǎng)可用e表示出F、G點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)G點(diǎn)在直線ON上得出e的值，即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵A的坐標(biāo)為（3，3）， ∴直線OM的解析式為y=x， ∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1， ∴C（4，2）， 設(shè)直線ON的解析式為y=kx（k≠0）， ∴2=4k， 解得k=， ∴直線ON的解析式為：y=x； 設(shè)矩形EFGH的寬為a，則長(zhǎng)為5﹣a， ∵矩形EFGH的面積為6， ∴a（5﹣a）=6， 解得：a=2或a=3， 當(dāng)a=2即EF=2時(shí)，EH=5﹣2=3， ∵點(diǎn)E在直線OM上，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（e，e）， ∴F（e，e﹣2），G（e+3，e﹣2）， ∵點(diǎn)G在直線ON上， ∴e﹣2=（e+3）， 解得：e=7， ∴F（7，5）； 當(dāng)a=3即EF=3時(shí)，EH=5﹣3=2， ∵點(diǎn)E在直線OM上，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（e，e）， ∴F（e，e﹣3），G（e+2，e﹣3）， ∵點(diǎn)G在直線ON上， ∴e﹣3=（e+2）， 解得：e=8， ∴F（8，5）． 故答案為：（7，5），（8，5）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的求法；根據(jù)題意得出直線ON的解析式是解答此題的關(guān)鍵，在解答時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．試題４、（2015春淮陰區(qū)期末）已知邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，一反比例函數(shù)圖象過頂點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以每秒4個(gè)單位速度從D點(diǎn)出發(fā)沿正方形的邊DC﹣CB﹣BA方向順時(shí)針折線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t． （1）求出該反比例函數(shù)解析式； （2）連接PD，當(dāng)以點(diǎn)Q和正方形的某兩個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形和△PAD全等時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)； （3）用含t的代數(shù)式表示以點(diǎn)Q、P、D為頂點(diǎn)的三角形的面積s，并指出相應(yīng)t的取值． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4， ∴C的坐標(biāo)為（4，4）， 設(shè)反比例解析式為y=將C的坐標(biāo)代入解析式得：k=16，則反比例解析式為y=；（2