人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)第17章 勾股定理（單元測(cè)試·綜合卷）

第17章勾股定理（單元測(cè)試·綜合卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列四組數(shù)中，勾股數(shù)是（）A．5，12，13 B．1，2，3 C． D．，，2．如圖，，點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏西40°方向，則點(diǎn)B在點(diǎn)O的（

）A．北偏東40° B．北偏東50° C．東偏北60° D．東偏北70°3．直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則第三條邊長(zhǎng)為（）A． B． C．或 D．或104．三角形的三邊為a、b、c，由下列條件不能判斷它是直角三角形的是（

）．A． B． C． D．5．如圖所示，中，于，若，，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADE，連接BD，若AC=3，DE=1，則線段BD的長(zhǎng)為（

）A．2 B．2 C．4 D．57．如圖，已知四邊形中，，則這塊圖形的面積為（

）A．96 B．78 C．108 D．1208．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線，，上，且，之間的距離為2，，之間的距離為3，則的值是（

）A．68 B．20 C．32 D．479．如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，以為邊作，且，，，，連接．連接，則下列結(jié)論：①是直角三角形；②是等邊三角形；③；④．其中正確的有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的邊AC上的高，點(diǎn)P是BD上動(dòng)點(diǎn)，則BP+CP的最小值是（

）A． B． C．10 D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)是，點(diǎn)M表示的數(shù)是1，軸，且，若以點(diǎn)P為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸的正半軸于，則點(diǎn)B表示的數(shù)為．12．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC∶AC∶AB=．13．如圖，三角形ABC三邊的長(zhǎng)分別為AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整數(shù)．以AB、AC、BC為邊分別向外畫(huà)正方形，面積分別為S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系為．14．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，則．

15．折竹問(wèn)題：今有竹高九尺，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？意思是：一根竹子原高9尺，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？即：如圖，尺，尺，則的高為尺．16．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7米，梯子頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為1.5米，則小巷的寬為米．17．如圖是一個(gè)底面為等邊三角形的三棱鏡，在三棱鏡的側(cè)面上，從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)鑲有一圈金屬絲，已知此三棱鏡的高為5cm，底面邊長(zhǎng)為4cm，則這圈金屬絲的長(zhǎng)度至少為cm．18．如圖，在中，，，，、分別是的內(nèi)角和外角角平分線，且相交于點(diǎn)，則的面積為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）如圖，已知，，（1）求證∶；（2）若平分，，求的長(zhǎng)度20．（8分）1876年，美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德利用下圖驗(yàn)證了勾股定理．

（1）請(qǐng)用含a、b、c的代數(shù)式通過(guò)兩種不同的方法表示直角梯形的面積（不需要化簡(jiǎn)）：方法1：________；方法2：________．（2）利用“等面積法”，推導(dǎo)a、b、c之間滿足的數(shù)量關(guān)系，完成勾股定理的驗(yàn)證．21．（10分）如圖，已知在中，，，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，連結(jié)，．將沿翻折，將沿翻折，翻折后，點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)，處，且邊與在同一直線上，連結(jié)．（1）求證：是直角三角形；（2）當(dāng)為何值時(shí)，是以為腰的等腰三角形．22．（10分）校車(chē)安全是近幾年社會(huì)關(guān)注的重大問(wèn)題，安全隱患主要是超速和超載．某中學(xué)九年一班數(shù)學(xué)活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了如下檢測(cè)公路上行駛的汽車(chē)速度的實(shí)驗(yàn)：先在公路旁邊選取一點(diǎn)，再在筆直的車(chē)道上確定點(diǎn)，使與垂直，測(cè)得長(zhǎng)等于21米，在上點(diǎn)的同側(cè)取點(diǎn)，使．（1）求的長(zhǎng)（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）；（2）已知本路段對(duì)校車(chē)限速40千米/小時(shí)，若測(cè)的某輛校車(chē)從到用時(shí)3秒，這輛校車(chē)是否超速？說(shuō)明理由．23．（10分）如圖1，在中，，，點(diǎn)為內(nèi)任意一動(dòng)點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，①求的度數(shù)；②如圖2，取的中點(diǎn)，連接，試求，，之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由． 24．（12分）探究式學(xué)習(xí)是新課程提倡的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．【初步感知】（1）如圖1，在三角形紙片中，，，將沿折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕和交于點(diǎn)E，，求的長(zhǎng)；【深入探究】（2）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片沿著對(duì)角線折疊，使點(diǎn)C落在處，交于E，若，，求的長(zhǎng)（注：長(zhǎng)方形的對(duì)邊平行且相等）；【拓展延伸】（3）如圖3，在長(zhǎng)方形紙片中，，，點(diǎn)E為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿直線折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，求的長(zhǎng)（注：長(zhǎng)方形的對(duì)邊平行且相等）．參考答案：1．A【分析】本題考查了勾股數(shù)，欲求證是否為勾股數(shù)，這里給出三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．解：A、因?yàn)?，所以它們是勾股?shù)，故本選項(xiàng)符合題意；B、因?yàn)?，所以它們不是勾股?shù)，故本選項(xiàng)不合題意；C、因?yàn)椴皇钦麛?shù)，所以它們不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；D、因?yàn)椋皇钦麛?shù)，所以它們不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．2．B【分析】先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，求出，然后再求出40°的余角即可解答．解：∵，∴，∴是直角三角形，∴，由題意得：，∴點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏東50°方向，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理逆定理，與方向角有關(guān)的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是利用勾股定理逆定理得到．3．D【分析】本題已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長(zhǎng)邊既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類(lèi)討論，即是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．解：設(shè)第三邊為，①當(dāng)是直角邊，則，解得：，②當(dāng)是斜邊，則，解得．∴第三邊長(zhǎng)為或．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當(dāng)已知條件中沒(méi)有明確哪是斜邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解．4．A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可判斷．解：A.

，設(shè)，則，，故A選項(xiàng)不能判斷它是直角三角形，符合題意；B.，即，故能判斷是直角三角形，不符合題意；C.，即，故能判斷是直角三角形，不符合題意；D.，設(shè)，則，，，故能判斷是直角三角形，不符合題意．故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】由于CD⊥AB，CD為Rt△ADC和Rt△BCD的公共邊，在這兩三角形中利用勾股定理可求出BD的長(zhǎng)．解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠BDC=90°在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2，∴AC2-AD2=BC2-BD2，∵AD=2BD，AC=5，BC=4，∴52-（2BD）2=42-BD2解得：BD=．故選B．【點(diǎn)撥】仔細(xì)分析題目是解題的關(guān)鍵，本題中有一直角邊為公共邊，只要充分利用這一點(diǎn)及勾股定理，則容易解題．6．A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，應(yīng)用勾股定理求出的長(zhǎng)，又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，再由勾股定理即可求出的長(zhǎng).解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，在中，，，，勾股定理得：，又旋轉(zhuǎn)角為，，在中，，即：的長(zhǎng)為.故選：.【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判定的形狀與邊、的長(zhǎng).7．A【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，連接，根據(jù)勾股定理得到的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，可以判斷出的形狀，然后根據(jù)即可得到四邊形的面積．解：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，，∴四邊形的面積．即這塊四邊形空地的面積是96．故選：A．8．A【分析】過(guò)A、C點(diǎn)作l3的垂線構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)，最后得到AC2.解：如圖所示，過(guò)A作AD⊥l3于D，過(guò)C作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°，又∠DAB+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠CBE，在△ABD和△BEC中，，∴△ABD≌△BCE（AAS）∴BE=AD=3，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，得，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得.故答案是68.【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題要作出平行線間的距離，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算.9．C【分析】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．連接，證明為正三角形．得出，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)利用判定，得出，，證出，得出，則可得出結(jié)論．解：連接，，，為正三角形．，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，在中，，是直角三角形，，，，若，則，由題意可知，，故①②③正確，故選：C．10．B【分析】過(guò)點(diǎn)作，由勾股定理得，，繼而證明當(dāng)在同一條直線上，且時(shí)，的值最小，由等腰三角形兩腰上的高相等，在中，由勾股定理解得的長(zhǎng)即可解題.解：∠A=45°，BD是△ABC的邊AC上的高，過(guò)點(diǎn)作，由勾股定理得，當(dāng)在同一條直線上，且時(shí)，的值最小為△ABC中，AB=AC=10，由等腰三角形兩腰上的高相等中，的值最小為，故選：B.【點(diǎn)撥】本題考查垂線段最短問(wèn)題，涉及等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.11．/【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸、勾股定理，先利用勾股定理求得，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求解即可．解：∵點(diǎn)P表示的數(shù)是，點(diǎn)M表示的數(shù)是1，∴，又軸，且，∴，則，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為，故答案為：12．1∶∶2【分析】根據(jù)直角三角形中30度角所對(duì)直角邊為斜邊的一半，可設(shè)BC=x，則AB=2x，再利用勾股定理求AC的長(zhǎng)即可得解.解：已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，設(shè)BC=x，則AB=2x，∴AC==x，則BC∶AC∶AB=1∶∶2.故答案為1∶∶2.【點(diǎn)撥】本題主要考查了30度所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).13．S1+S2＝S3．【分析】首先利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，設(shè)Rt△ABC的三邊分別為a、b、c，再分別用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系．解：∵AB=m2-n2，AC=2mn，BC=m2+n2，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，設(shè)Rt△ABC的三邊分別為a、b、c，∴S1=c2，S2=b2，S3=a2，∵△ABC是直角三角形，∴b2+c2=a2，即S1+S2=S3．故答案為S1+S2=S3．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理以及其逆定理的運(yùn)用和正方形面積的應(yīng)用，注意：分別以直角三角形的邊作相同的圖形，則兩個(gè)小圖形的面積等于大圖形的面積．14．45【分析】先根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)和勾股定理及其逆定理證明是等腰直角三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可．解：∵，，∴，∴，則是等腰直角三角形，∴，故答案為：45．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，理解網(wǎng)格特點(diǎn)，證得是等腰直角三角形是解答的關(guān)鍵．15．【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理得到關(guān)于的方程，求出的長(zhǎng)．解：尺，尺，在中，由勾股定理得，，即，解得，故答案為：．16．2.7【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AB長(zhǎng)，再在中利用勾股定理計(jì)算出BD長(zhǎng)，然后可得CD的長(zhǎng)．解：在Rt△ABC中，，∴，在中，，∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，故答案為：2.7．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求有關(guān)線段的長(zhǎng)度的方法．17．13【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題．畫(huà)出三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖，利用勾股定理求解即可．解：如圖所示，將三棱柱沿展開(kāi)，其展開(kāi)圖如圖：∴，∴這圖金屬絲的長(zhǎng)度至少為，故答案為：13．18．5【分析】過(guò)點(diǎn)D作，由勾股定理可以求出的長(zhǎng)，由角平分線的性質(zhì)可得，利用三角形的面積和差關(guān)系可求出的長(zhǎng)，即可求解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作，∵，，，∴，∵、分別是的內(nèi)角和外角角平分線，∴∵∴∴∴故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理，角平分線的性質(zhì)，利用面積的和差關(guān)系列出等式是解題的關(guān)鍵．19．（1）見(jiàn)詳解；（2）【分析】（1）由，得出，則，又，從而，則可證明．（2）由角平分線的性質(zhì)得，結(jié)合平行線性質(zhì)可得，則有，再結(jié)合同角的余角相等得，則有，利用勾股定理即可求得答案．解：（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，則．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是角度的代換．20．（1）；；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）因?yàn)樘菪蔚纳系诪閍，下底為b，高為，則它的面積可表示為；此梯形的面積還可以看成是三個(gè)直角三角形的面積和，即；（2）由（1）可得，即可．（1）解：由題得：梯形面積為；此梯形的面積還可以看成是三個(gè)直角三角形的面積和，即；故答案為：；（2）解：由（1）得：，即．【點(diǎn)撥】本題主要查了勾股定理的證明，熟練掌握梯形的面積公式和三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．21．（1）見(jiàn)分析；（2）或【分析】本題考查圖形的折疊、直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)，根據(jù)題意建立方程．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，再根據(jù)平角的性質(zhì)可得，從而推算出，最終得到；（2）根據(jù)和兩種情況展開(kāi)討論，當(dāng)，設(shè)可得,根據(jù)折疊的性質(zhì)得,再根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；當(dāng)，可得是的中點(diǎn)，設(shè)，,可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，建立方程解方程即可得到答案．解：（1）證明：根據(jù)題意得，，，，，即，是直角三角形；（2）①當(dāng)時(shí)，設(shè)，得，，，在中，，∴；②當(dāng)時(shí)，，是的中點(diǎn)，，∴，設(shè)，則，∴，，∴，∴，∴當(dāng)或時(shí)，是以為腰的等腰三角形．22．（1）的長(zhǎng)為米；（2）這輛校車(chē)在路段不超速．【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．（1）分別在與中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，即可求得與的長(zhǎng)，從而求得的長(zhǎng)；（2）由從A到B用時(shí)3秒，即可求得這輛校車(chē)的速度，比較與40千米/小時(shí)的大小，即可確定這輛校車(chē)是否超速．（1）解：由題意得，，∵，，米，∴在中，（米），（米），在中，，，即，（米），則（米）；（2）解：不超速，理由如下：∵汽車(chē)從A到B用時(shí)3秒，∴速度為（米/秒），（千米/時(shí)），∴該車(chē)速度為千米/小時(shí)，∵，∴這輛校車(chē)在路段不超速．23．（1）；（2）①

②，理由見(jiàn)分析【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，然后求出和的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理解題即可；（2）①作且使，連接、，則有，然后推導(dǎo)出，然后得到，進(jìn)而計(jì)算解題；②延長(zhǎng)至，使，連接，得到，然后得到，，再證明，根據(jù)①中的即可得到結(jié)論．（1）解：∵，，∴，∵，∴，，∴；（2）解：①作且使，連接、，∴，，，∴，即，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；②，理由