2023屆江蘇省百校聯(lián)考數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，則?R（A∩B）＝（）A．[0，） B．（﹣∞，0）∪[，+∞）C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞）2．當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．3．已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%4．已知平面向量，滿足，，且，則（）A．3 B． C． D．55．正的邊長(zhǎng)為2，將它沿邊上的高翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)滿足，則的圖像可能是A． B．C． D．7．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．72 B．64 C．48 D．328．已知直線：與橢圓交于、兩點(diǎn)，與圓：交于、兩點(diǎn).若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．9．一袋中裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球（除顏色外無(wú)區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，則的通項(xiàng)公式（）A． B． C． D．11．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（）A． B．3 C． D．412．有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）（附：）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_______;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為_(kāi)_______.14．戊戌年結(jié)束，己亥年伊始，小康，小梁，小譚，小楊，小劉，小林六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講，則不同的分配方案有_________種（用數(shù)字作答），15．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的最大值為_(kāi)_____.16．的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、.設(shè)為的面積，滿足.(1)求；(2)若，求的最大值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線上是否存在不同的兩點(diǎn)，（以上兩點(diǎn)坐標(biāo)均為極坐標(biāo)，，），使點(diǎn)、到的距離都為3？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若不等式對(duì)恒成立，求的最小值；（2）證明：.（3）設(shè)方程的實(shí)根為.令若存在，，，使得，證明：.20．（12分）已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且．（1）解關(guān)于的不等式；（2）如果對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）在四邊形中，，；如圖，將沿邊折起，連結(jié)，使，求證：（1）平面平面；（2）若為棱上一點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小.22．（10分）如圖，在平面四邊形中，，，.（1）求；（2）求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

求函數(shù)的值域得集合，求定義域得集合，根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫出運(yùn)算結(jié)果.【詳解】集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），∴A∩B＝（0，），∴?R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.2、A【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運(yùn)行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】試題分析：由題意故選B．考點(diǎn)：正態(tài)分布4、B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【詳解】解：由，所以，，，故選：B【點(diǎn)睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.5、D【解析】

如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，利用正弦定理可得，利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，則平面，.因?yàn)?，故，因?yàn)?，?由正弦定理可得，故，又因?yàn)椋?因?yàn)?，故平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，故，故，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，故外接球的半徑為，外接球的表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計(jì)算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問(wèn)題注意翻折前后的變量與不變量，外接球問(wèn)題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來(lái)計(jì)算，本題有一定的難度.6、B【解析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質(zhì)，再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì)．由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B．7、B【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，利用體積公式，即可求解。【詳解】由題意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，所以幾何體的體積為，故選B。【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解。8、A【解析】

由題意可知直線過(guò)定點(diǎn)即為圓心，由此得到坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系，由此化簡(jiǎn)并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，且線過(guò)定點(diǎn)即為的圓心，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用，難度一般.通過(guò)運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.9、A【解析】

由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列，并由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數(shù)列，所以，故.故選：C【點(diǎn)睛】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，應(yīng)用意識(shí).11、B【解析】由正弦定理及條件可得，即.，∴，由余弦定理得。∴.選B。12、C【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為cm，得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，得到不等式，計(jì)算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為cm的正面體，易求正四面體相對(duì)棱的距離為cm，每裝兩個(gè)球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個(gè)球．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱和球的綜合問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接計(jì)算得到答案，根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，故，當(dāng)時(shí)，，故，解得.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.14、1080【解析】

按照先分組，再分配的分式，先將六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人有種，再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種，然后用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】將六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人有種，再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種，則不同的分配方案有種.故答案為：1080【點(diǎn)睛】本題主要考查分組分配問(wèn)題，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.15、【解析】

由三角函數(shù)圖象相位變換后表達(dá)函數(shù)解析式，再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達(dá)式，進(jìn)而由三角函數(shù)值域求得最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則所以，當(dāng)函數(shù)最大，最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式，還考查了利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式并求最值，屬于簡(jiǎn)單題.16、240【解析】

利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于3，計(jì)算展開(kāi)式中含有項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由題意得：，只需，可得，代回原式可得，故答案：240.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用，相對(duì)不難.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2).【解析】

(1)根據(jù)條件形式選擇，然后利用余弦定理和正弦定理化簡(jiǎn)，即可求出；(2)由(1)求出角，利用正弦定理和消元思想，可分別用角的三角函數(shù)值表示出，即可得到，再利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)為，即可求出最大值．【詳解】(1)∵，即，∴變形得：，整理得：，又，∴；(2)∵，∴，由正弦定理知，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值．故的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，以及利用三角恒等變換求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題18、（1），（2）存在，【解析】

（1）先求得曲線的普通方程，利用伸縮變換的知識(shí)求得曲線的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，求得直線的直角坐標(biāo)方程.（2）求得曲線的圓心和半徑，計(jì)算出圓心到直線的距離，結(jié)合圖像判斷出存在符合題意，并求得的值.【詳解】（1）曲線的普通方程為，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到曲線的直角坐標(biāo)方程為，其極坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線是以為圓心，為半徑的圓，圓心到直線的距離.∴由圖像可知，存在這樣的點(diǎn)，，則，且點(diǎn)到直線的距離，∴，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查坐標(biāo)變換，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意可得，，令，利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，令，，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性即可得到答案；（3）由題意可得，進(jìn)而可將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性可得，記，，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，即，即，即可得到結(jié)論.【詳解】（1），即，化簡(jiǎn)可得.令，，因?yàn)椋裕?所以，在上單調(diào)遞減，.所以的最小值為.（2）要證，即.兩邊同除以可得.設(shè)，則.在上，，所以在上單調(diào)遞減.在上，，所以在上單調(diào)遞增，所以.設(shè)，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以.所以，即.（3）證明：方程在區(qū)間上的實(shí)根為，即，要證，由可知，即要證.當(dāng)時(shí)，，，因而在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，，因而在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，要證.即要證.記，.因?yàn)椋?，則..設(shè)，，當(dāng)時(shí)，.時(shí)，，故.且，故，因?yàn)椋?因此，即在上單調(diào)遞增.所以，即.故得證.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性，屬于難題.20、（1）（2）【解析】試題分析：（1）由函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得的表達(dá)式，再去掉絕對(duì)值即可解不等式；（2）對(duì)，不等式成立等價(jià)于，去絕對(duì)值得不等式組，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）∵函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∴原不等式可化為，即或，解得不等式的解集為；（2）不等式可化為：，即，即，則只需，解得，的取值范圍是.21、（1）證明見(jiàn)詳解；（2）【解析】

（1）由題可知，等腰直角三角形與等邊三角形，在其公共邊AC上