專題35兩個計數(shù)原理排列組合（理科）（學(xué)生版）

專題35兩個計數(shù)原理、排列組合（理科）（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布概率與統(tǒng)計近幾年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2022年全國乙（文科），第4題,5分莖葉圖計算平均數(shù)、中位數(shù)、概率2022年全國乙（文科），第14題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第10題,5分互斥事件、獨立事件求概率2022年全國乙（理科），第13題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第19題,12分2022年全國乙（文科），第19題,12分（1）求平均數(shù)；（2）求相關(guān)系數(shù)（3）估算樣本量2022年全國甲（文科），第17題,12分（1）求概率；（2）獨立性檢驗2022年全國甲（文科），第6題,5分古典概型2022年全國甲（理科），第19題,12分（1）求概率；（2）離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望2022年全國甲（理科），第15題,5分古典概型立體幾何2022年全國甲（理科），第2題,5分2022年全國甲（文科），第2題,5分眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)比較，求極差、方差、標準差2023年全國乙（文科），第9題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分幾何概型圓環(huán)面積2023年全國乙（理科），第9題,5分計數(shù)原理與排列、組合2023年全國乙（理科），第17題,12分2023年全國乙（文科），第17題,12分（1）求樣本平均數(shù)，方差；（2）統(tǒng)計新定義2023年全國甲（文科），第4題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國甲（理科），第6題,5分條件概率2023年全國甲（理科），第9題,5分計數(shù)原理與排列、組合2023年全國甲（理科），第19題,12分（1）離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）獨立性檢驗2023年全國甲（文科），第20題,12分（1）求樣本平均數(shù)；（2）獨立性檢驗2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.分類計數(shù)原理：完成一件事情有幾類不同的方式，每類方式有不同的方法，則完成這件事的方法數(shù)就是把每類方式中的方法數(shù)相加；2.分步計數(shù)原理：完成一件事情分為幾個步驟，每個步驟有若干種方法，則完成這件事的方法數(shù)就是把每一步的方法數(shù)相乘；【備考策略】1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；2.會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題；3.理解排列、組合的概念,能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；4.能解決簡單的實際問題.【命題預(yù)測】1.結(jié)合實際應(yīng)用：未來的命題可能會更加注重于理論在實際生活中的應(yīng)用；2.原理深化：對于加法原理和乘法原理，可能會進一步探究其背后的數(shù)學(xué)原理，這可能會涉及到更深層次的數(shù)學(xué)概念，如集合、函數(shù)等；3.排列組合與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的交叉：排列組合作為計數(shù)原理的一個重要部分，可能會與概率論、數(shù)論等其他數(shù)學(xué)內(nèi)容形成交叉；4.計算機科學(xué)中的應(yīng)用：計算機科學(xué)中有很多問題可以轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題；知識講解一、分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同的方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

(1)每類方法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的都是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事；（2）各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的.二、分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，只是各個步驟都完成了才能完成這件事；（2）各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏，但有時可以調(diào)換各步的順序.三、兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點用來計算完成一件事的方法種數(shù)不同點分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立,不重不漏步步相依,缺一不可分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在,應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.1.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的,并且分步必須滿足:完成一件事的各個步驟是相互依存的,只有各個步驟都完成了,才算完成這件事.2.分步必須滿足兩個條件:一是步驟互相獨立,互不干擾;二是步與步確保連續(xù),逐步完成.與數(shù)字相關(guān)的計數(shù)原理的應(yīng)用問題,需要遵循“特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排”的原則,涉及組數(shù)問題中有重復(fù)數(shù)字問題,可以考慮用除法或分類進行求解.利用兩個計數(shù)原理解決幾何問題的兩個基本步驟:1.要弄清楚幾何圖形的性質(zhì);2.合理分類將問題簡化.1.解決涂色問題,可以按照顏色的種數(shù)分類,也可以按照不同的區(qū)域分步完成.2.涂色、種植問題的解題關(guān)注點和關(guān)鍵(1)關(guān)注點:首先分清元素的數(shù)目,其次分清在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素.(2)關(guān)鍵:對每個區(qū)域逐一進行檢驗,選擇下手點,分步處理.四、排列與組合的概念名稱定義排列從個不同元素中取出個元素并按照一定的順序排成一列,叫作從個元素中取出個元素的一個排列

組合作為一組,叫作從個不同元素中取出個元素的一個組合五、排列數(shù)與組合數(shù)1.從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫作從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示.

2.從個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫作從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示.

六、排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)n(n1)(n2)…(nm+1)=n!((2)n(=

n!m!(n-m)!(,,且性質(zhì)(1)0!=1,Ann=n!(2)Cnm=Cnn-m,C1.正確理解組合數(shù)的性質(zhì)(1)：從個不同元素中取出個元素的方法數(shù)等于取出剩余個元素的方法數(shù).(2)：從個不同元素中取出個元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素有種方法；②含特殊元素A有種方法.2.正確辨析“排列”與“組合”排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”.取出元素后交換順序，若與順序有關(guān)，則是排列；若與順序無關(guān)，則是組合.3.記牢兩個常用公式(1).(2).求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法兩類有附加條件的組合問題的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:若“含有”,則先將這些元素取出，再由另外元素補足；若“不含有”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型:解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義,謹防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法求解，分類復(fù)雜時,可用間接法求解.(1)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.(2)對于相間問題，先考慮不受限制的元素，然后將不相鄰的元素插入到這些排好的元素之間及兩端的空隙中.“特殊”優(yōu)先原則一般從以下三種思路考慮:(1)以元素為主考慮，即先安排特殊元素，再安排其他元素;(2)以位置為主考慮，即先安排特殊位置，再安排其他位置;(3)用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù).1.對不同元素分組、分配問題的求解策略(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Ann(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù).(2)對于部分均分，即不平均分組中的部分平均分組問題，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的組數(shù)的階乘數(shù),即若有m組元素個數(shù)相等,則分組時應(yīng)除以m!，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)，這類問題也有無序和有序兩種情形;(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)，這類問題也有不平均分組無序和不平均分組有序兩種情形.2.對于相同元素的“分配”問題,常用方法是“隔板法”.考點一、分類加法計數(shù)原理1．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標Ⅱ））如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為（

）A．5 B．8 C．10 D．152．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有（

）A．100個 B．125個 C．225個 D．250個3．為有效防范新冠病毒蔓延，國內(nèi)將有新型冠狀肺炎確診病例地區(qū)及其周邊劃分為封控區(qū)?管控區(qū)?防范區(qū).為支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出醫(yī)護人員共5人，分別派往三個區(qū)，每區(qū)至少一人，甲?乙主動申請前往封控區(qū)或管控區(qū)，且甲?乙恰好分在同一個區(qū)，則不同的安排方法有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．30種4．給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（

）種不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．3601．第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市舉行．現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．16 D．182．（2023年河南省模擬卷（中）理科數(shù)學(xué)（一）試題）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個工廠實習(xí)，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．36 D．723．志愿團安排去甲?乙?丙?丁四個精準扶貧點慰問的先后順序，一位志愿者說：不能先去甲，甲的困難戶最多；另一位志愿者說：不能最后去丁，丁離得最遠.他們共有多少種不同的安排方法（

）A．14 B．12 C．24 D．284．（2023屆山西省模擬數(shù)學(xué)試題）春節(jié)期間，某地政府在該地的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現(xiàn)有5種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．120種 B．240種 C．420種 D．720種考點二、分步乘法計數(shù)原理1．某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（

）A．48 B．54 C．60 D．722．（2023屆湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有（

）A．72 B．56 C．48 D．363．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種1．（2023屆重慶模擬數(shù)學(xué)試題）2022年8月某市組織應(yīng)急處置山火救援行動，現(xiàn)從組織好的5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務(wù)，另外4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目，每支志愿團隊只能分配到1個項目，且每個項目至少分配1個志愿團隊，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．36 B．81 C．120 D．1802．（2023年湖南省調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（

）A．240 B．192 C．96 D．483．（2023年山東省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，現(xiàn)要對某公園的4個區(qū)域進行綠化，有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，則不同的綠化方案有（

）A．48種 B．72種 C．64種 D．256種4．（2023屆河北省一模數(shù)學(xué)試題）將英文單詞“”中的6個字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有（

）A．120種 B．240種 C．480種 D．960種考點三、兩個原理的綜合應(yīng)用1．學(xué)校要安排2名班主任，3名科任老師共五人在本校以及另外兩所學(xué)校去監(jiān)考，要求在本校監(jiān)考的老師必須是班主任，且每個學(xué)校都有人去，則有（

）種不同的分配方案．A．18 B．20 C．28 D．342．（2023屆云南省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖所示某城區(qū)的一個街心花園，共有五個區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計為代表城市特點的一個標志性塑像，要求在周圍ABCD四個區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個品種的鮮花可供選擇，要求每個區(qū)域只種一個品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．48 D．843．從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中任取3個組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，當(dāng)三個數(shù)字中有2和3時，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數(shù)有（

）A．51個 B．54個 C．12個 D．45個1．有3個完全相同的標號為1的小球和兩個標號為2，3的小球，將這5個小球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個小球，則不同的放法總數(shù)為（

）A．45 B．90 C．24 D．1502．將六個數(shù)、、、、、將任意次序排成一行，拼成一個位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的位數(shù)的個數(shù)是（

）A． B．C． D．3．如圖，“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成．現(xiàn)從給出的5種不同的顏色中最多可以選擇4種不同的顏色給這5個區(qū)域涂色；要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色．則不同的涂色方案有（

）種A．120 B．240 C．300 D．3604．將6盆不同的花卉擺放成一排，其中A?B兩盆花卉均擺放在C花卉的同一側(cè)，則不同的擺放種數(shù)為（

）A．360 B．480 C．600 D．720考點四、排列問題1．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標有數(shù)字的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個數(shù)字之和為5”的不同的排法有（

）A．96種 B．64種 C．32種 D．16種2．（2023屆云南省教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（五）數(shù)學(xué)試題）某社區(qū)活動需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計劃依次安排到該社區(qū)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（

）A．72種 B．81種 C．144種 D．192種3．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（

）種A．9 B．36 C．54 D．1081．（2023年陜西省模擬理科數(shù)學(xué)試題）某中學(xué)于2023年4月25日召開春季運動會，在開幕式之前，由高一，高二學(xué)生自發(fā)準備了7個娛樂節(jié)目，其中有2個歌曲節(jié)目，3個樂器獨奏，2個舞蹈節(jié)目，要求舞蹈節(jié)目一定排在首尾，另外2個歌曲節(jié)目不相鄰．則這7個節(jié)目出場的不同編排種數(shù)為（

）A．288 B．72 C．144 D．482．（2003年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．15 D．303．將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種4．公元五世紀，數(shù)學(xué)家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就.某教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進行隨機排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于的不同數(shù)字的個數(shù)為（

）A．720 B．1440 C．2280 D．4080考點五、組合問題1．（2023年云南省質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）如圖，小華從圖中處出發(fā)，先到達處，再前往處，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有（

）A．25條 B．48條 C．150條 D．512條2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．3．現(xiàn)有甲?乙?丙?丁?戊五位同學(xué)，分別帶著A?B?C?D?E五個不同的禮物參加“抽盲盒”學(xué)游戲，先將五個禮物分別放入五個相同的盒子里，每位同學(xué)再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為（

）A． B． C． D．4．（2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)考試題（海南卷））要安排3名學(xué)生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種5．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅰ））我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．6．（1）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，共有多少種放法；（2）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有一個盒子空，共有多少種放法；（3）10個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，每個盒子不空，共有多少種放法；（4）4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有兩個盒子空，共有多少種放法？1．（2023年吉林省模擬數(shù)學(xué)試題）將9個相同的小球放入3個不同的盒子中共有多少種方法（每個盒子中至少放入一個小球）（）A．28 B．56 C．36 D．842．某興趣小組有5名學(xué)生，其中有3名男生和2名女生，現(xiàn)在要從這5名學(xué)生中任選2名學(xué)生參加活動，則選中的2名學(xué)生的性別相同的概率是A． B． C． D．3．（2023屆廣東省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）安排5名大學(xué)生到三家企業(yè)實習(xí)，每名大學(xué)生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學(xué)生，則大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實習(xí)的概率為（

）A． B． C． D．4．有4名大學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務(wù).冬奧會志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個項目比賽的志愿服務(wù)，則每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務(wù)的概率（

）A． B． C． D．5．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）衣柜里有灰色，白色，黑色，藍色四雙不同顏色的襪子，從中隨機選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（

）A． B． C． D．6．某傳統(tǒng)文化學(xué)習(xí)小組有10名同學(xué)，其中男生5名，女生5名，現(xiàn)要從中選取4人參加學(xué)校舉行的匯報展示活動．(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少種選法？(2)如果男生甲與女生乙至少有1人參加，有多少種選法？(3)如果4人中既有男生又有女生，有多少種選法？考點六、排列組合的綜合應(yīng)用1．“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人等測算在一定時間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心計劃派5名專家分別到A，B，C三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每位專家只去一個地方，且每地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為（

）A．90 B．150 C．180 D．3002．（2003年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（廣東卷））如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種．（以數(shù)字作答）3．（2023屆河南省模擬理科數(shù)學(xué)試題）某數(shù)學(xué)興趣小組的5名學(xué)生負責(zé)講述“宋元數(shù)學(xué)四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學(xué)生只講一個數(shù)學(xué)家的故事，每個數(shù)學(xué)家的故事都有學(xué)生講述，則不同的分配方案有種．4．如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供4種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為．1．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．116種2．（2023年甘肅省模擬數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，節(jié)日花壇中有5個區(qū)域，現(xiàn)有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，則符合條件的種植方案有種.3．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑和冰壺3個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有種．4．如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，共有5種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種(以數(shù)字作答)．【基礎(chǔ)過關(guān)】2023年10月04日計數(shù)原理一、單選題1．為有效阻斷新冠肺炎疫情傳播徐徑，構(gòu)筑好免疫屏障，從2022年1月13日開始，某市啟動新冠病毒疫苗加強針接種工作，凡符合接種第三針條件的市民，要求盡快接種.該市有3個疫苗接種定點醫(yī)院，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個醫(yī)院至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2940種 B．3000種 C．3600種 D．5880種2．（2022屆高三普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題）由于新冠肺炎疫情，現(xiàn)有五名社區(qū)工作人員被分配到三個小區(qū)做社區(qū)監(jiān)管工作，要求每人只能去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少有一個人，則不同的分配方法有（

）A．150種 B．90種 C．60種 D．80種3．（2023屆湖南省名校適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲?乙等4名杭州亞運會志愿者到游泳?射擊?體操三個場地進行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種4．書架上層放7本不同的語文書，書架下層放5本不同的數(shù)學(xué)書，從書架上層和下層各取一本書的取法有（

）A．12種 B．35種 C．7種 D．66種5．（2023年江西省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）小王同學(xué)家3樓與4樓之間有8個臺階，已知小王一步可走一個或兩個臺階，那么他從3樓到4樓不同的走法總數(shù)為（

）A．28種 B．32種 C．34種 D．40種6．如圖．5個完全相同的圓盤用長度相同的線段連接成十字形．將其中兩個圓盤染上紅色．三個圓盤染上藍色．并規(guī)定：若一種染色方法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與第二種染色方法一致．則認為這兩者是同一種染色方法．則不同的染色方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．10種7．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種8．（2023屆山東省模擬數(shù)學(xué)試題）過去的一年，我國載人航天事業(yè)突飛猛進，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時要接受特殊環(huán)境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項.若這五項測試每天進行一項，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試的安排方案有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．60種9．（2023屆福建省適應(yīng)性練習(xí)卷（省質(zhì)檢）數(shù)學(xué)試題）中國救援力量在國際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現(xiàn)有5支救援隊前往A，B，C等3個受災(zāi)點執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊只能去其中的一個受災(zāi)點，且每個受災(zāi)點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去B，C兩個數(shù)點中的一個，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．72 B．84 C．88 D．10010．為落實立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)A，B，C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報名方法有（

）A．54種 B．240種 C．150種 D．60種11．（2023屆河北省考前適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）現(xiàn)將甲乙丙丁四個人全部安排到市?市?市三個地區(qū)工作，要求每個地區(qū)都有人去，則甲乙兩個人至少有一人到市工作的安排種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．18 D．2212．有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是（

）A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；13．（2023年河南省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形內(nèi)部為“趙爽弦圖”（由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成），給、、、這個三角形和“趙爽弦圖”涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點的區(qū)域）不同色，已知有種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是（

）A． B． C． D．14．（2023年四川省模擬數(shù)學(xué)（理）試題）第31屆世界大學(xué)生夏季運動會，將于2023年7月28日在成都舉辦，是中國西部第一次舉辦世界性綜合運動會．某高校有甲，乙，丙，丁，戊5名翻譯志愿者去參加A，B，C，D，E，五個場館的服務(wù)工作，每人服務(wù)一個場館且每個場館需要一人．由于特殊原因甲不去A場館，乙不去場館，則不同的安排方法有（

）A．120種 B．96種C．78種 D．48種15．（2023屆河北省模擬數(shù)學(xué)試題）第19屆亞運會將于2023年9月在杭州舉行，在杭州亞運會三館（杭州奧體中心主體育館、游泳館和綜合訓(xùn)練館）對外免費開放預(yù)約期間，甲、乙、丙、丁4人預(yù)約參觀，且每人預(yù)約了1個或2個館，則這4人中每個館恰有2人預(yù)約的不同方案有（

）A．76種 B．82種 C．86種 D．90種16．（2024屆浙江省名校適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）某校銀杏大道上共有20盞路燈排成一列，為了節(jié)約用電，學(xué)校打算關(guān)掉3盞路燈，頭尾兩盞路燈不能關(guān)閉，關(guān)掉的相鄰兩盞路燈之間至少有兩盞亮的路燈，則不同的方案種數(shù)是（

）A．324 B．364 C．560 D．68017．2022年北京冬奧會和冬殘奧會給世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的設(shè)計好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合．為了弘揚奧林匹克精神，某學(xué)校安排甲、乙等5名志愿者將吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學(xué)校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝．若甲、乙必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．1418．當(dāng)前，新冠肺炎疫情進入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務(wù)依然繁重，疫情防控工作形勢依然嚴峻、復(fù)雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（

）A．30種 B．36種 C．42種 D．64種19．（2023屆北京市診斷性測試數(shù)學(xué)（理）試題）若5名女生和2名男生去兩地參加志愿者活動，兩地均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（

）種．A．20 B．40 C．60 D．80某班上午有五節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)課，要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課法的種數(shù)是．21．2021年12月，南昌最美地鐵4號線開通運營，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定乘坐地鐵去觀洲、人民公園、新洪城大市場三個地方游覽，每人只能去一個地方，人民公園一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為.22．（2023年湖北省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五項不同的工作，每項工作由一人完成，每人至少完成一項，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有種．23．《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著.該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算和計數(shù).某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁四人，該小組擬全部收集九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算和把頭算等5種算法的相關(guān)資料，要求每人至少收集其中一種，且每種算法只由一個人收集，但甲不收集九宮算和了知算的資料，則不同的分工收集方案共有種.24．（2023年遼寧省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)要求在五個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（用數(shù)字作答）．25．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標I卷））從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有種．（用數(shù)字填寫答案）26．有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲、乙各需1人承擔(dān)，丙需2人承擔(dān)且至少1人是男生，現(xiàn)有2男2女共4名學(xué)生承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的安排方法種數(shù)是．（用具體數(shù)字作答）27．有3名男生和4名女生，根據(jù)下列不同的要求，求不同的排列方法種數(shù)．(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；(3)全體排成一行，其中3名男生必須排在一起；(4)全體排成一行，男、女各不相鄰；(5)全體排成一行，3名男生互不相鄰；(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人．【能力提升】1．某地區(qū)安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六名黨員志愿者同志到三個基層社區(qū)開展防詐騙宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，至多安排三人，且A，B兩人安排在同一個社區(qū)，C，D兩人不安排在同一個社區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（

）A．72 B．84 C．90 D．962．（2023年遼寧省模擬數(shù)學(xué)試題）為了備戰(zhàn)下一屆排球世錦賽，中國國家隊甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，第1次由甲傳給乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者傳給另外三人中的任意一人，往后依次類推，經(jīng)過4次傳球，球仍回到甲手，則傳法總數(shù)為（

）A．30 B．24 C．21 D．123．（2023年湖南省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）弘揚國學(xué)經(jīng)典，傳承中華文化，國學(xué)乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經(jīng)”是國學(xué)經(jīng)典著作，“五經(jīng)”指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》．小明準備學(xué)習(xí)“五經(jīng)”，現(xiàn)安排連續(xù)四天進行學(xué)習(xí)且每天學(xué)習(xí)一種，每天學(xué)習(xí)的書都不一樣，其中《詩經(jīng)》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學(xué)習(xí)，《周易》不能安排在第一天學(xué)習(xí)，則不同安排的方式有（）A．32種 B．48種C．56種 D．68種4．西安是世界四大古都之一，歷史上先后有十多個王朝在西安建都．圖為唐長安（西安古稱）城示意圖，城中南北向共有9條街道，東西向有12條街道，被稱為“九衢十二條”，整齊的街道把唐長安城劃分成了108坊，各坊有坊墻包圍．下列說法錯誤的是（

）A．從延平門進城到安化門出城，最近的不同路線共有15條．B．甲乙二人從安化門、明德門、啟夏門這三個城門中隨機選一城門進城，若二人選擇互不影響，則二人從同一城門進城的概率為．C．用四種不同的顏色給長樂、永福、大寧、興寧四坊染色（街道忽略），要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，共有60種不同的染色方法．D．若將街道看成直線，則圖中矩形區(qū)域中共有不同矩形150個．5．（2023屆湖北省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．6．2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計劃去老年公寓參加志愿者活動．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的個數(shù)是（

）①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F事件B；從F到老年公寓兩