第1-2章 三角形的證明和一元一次不等式（考點壓軸壓軸必刷15種題型40題）（解析版）-2023-2024學年8下數(shù)學期末考點大串講（北師大版）

第1-2章三角形的證明和一元一次不等式（壓軸必刷15種題型40題）一．解一元一次不等式（共1小題）1．已知方程組：的解x，y滿足2x+y≥0，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣ B．m≥ C．m≥1 D．﹣≤m≤1【答案】A【解答】解：，②﹣①×2得，7x＝﹣m+1，解得x＝﹣﹣﹣③；把③代入①得，y＝﹣﹣﹣④；∵2x+y≥0，∴×2+≥0，解得m≥﹣．故選：A．二．一元一次不等式的整數(shù)解（共1小題）2．關(guān)于x的不等式3x﹣a≤0，只有兩個正整數(shù)解，則a的取值范圍是6≤a＜9．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原不等式解得x≤，∵解集中只有兩個正整數(shù)解，則這兩個正整數(shù)解是1，2，∴2≤＜3，解得6≤a＜9．故答案為：6≤a＜9．三．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）3．某工程機械廠根據(jù)市場需求，計劃生產(chǎn)A、B兩種型號的大型挖掘機共100臺，該廠所籌生產(chǎn)資金不少于22400萬元，但不超過22500萬元，且所籌資金全部用于生產(chǎn)此兩種型號挖掘機，所生產(chǎn)的此兩種型號挖掘機可全部售出，此兩型挖掘機的生產(chǎn)成本和售價如下表：型號AB成本（萬元/臺）200240售價（萬元/臺）250300（1）該廠對這兩型挖掘機有哪幾種生產(chǎn)方案？（2）該廠如何生產(chǎn)能獲得最大利潤？（3）根據(jù)市場調(diào)查，每臺B型挖掘機的售價不會改變，每臺A型挖掘機的售價將會提高m萬元（m＞0），該廠應(yīng)該如何生產(chǎn)獲得最大利潤？（注：利潤＝售價﹣成本）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)生產(chǎn)A型挖掘機x臺，則B型挖掘機（100﹣x）臺，由題意得22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，解得37.5≤x≤40．∵x取非負整數(shù)，∴x為38，39，40．∴有三種生產(chǎn)方案①A型38臺，B型62臺；②A型39臺，B型61臺；③A型40臺，B型60臺．答：有三種生產(chǎn)方案，分別是A型38臺，B型62臺；A型39臺，B型61臺；A型40臺，B型60臺．（2）設(shè)獲得利潤W（萬元），由題意得W＝50x+60（100﹣x）＝6000﹣10x，∴當x＝38時，W最大＝5620（萬元），答：生產(chǎn)A型38臺，B型62臺時，獲得最大利潤．（3）由題意得W＝（50+m）x+60（100﹣x）＝6000+（m﹣10）x當0＜m＜10，則x＝38時，W最大，即生產(chǎn)A型38臺，B型62臺；當m＝10時，m﹣10＝0則三種生產(chǎn)方案獲得利潤相等；當m＞10，則x＝40時，W最大，即生產(chǎn)A型40臺，B型60臺．答：當0＜m＜10時，生產(chǎn)A型38臺，B型62臺獲利最大；當m＝10時，3種方案獲利一樣；當m＞10時，生產(chǎn)A型40臺，B型60臺獲利最大．四．解一元一次不等式組（共1小題）4．若不等式組有解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤3 B．a(chǎn)＜3 C．a(chǎn)＜2 D．a(chǎn)≤2【答案】B【解答】解：，由①得，x＞a﹣1；由②得，x≤2，∵此不等式組有解，∴a﹣1＜2，解得a＜3．故選：B．五．一元一次不等式組的整數(shù)解（共3小題）5．關(guān)于x的不等式組只有4個整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．﹣5≤a≤﹣ B．﹣5≤a＜﹣ C．﹣5＜a≤﹣ D．﹣5＜a＜﹣【答案】C【解答】解：不等式組的解集是2﹣3a＜x＜21，因為不等式組只有4個整數(shù)解，則這4個解是20，19，18，17．所以可以得到16≤2﹣3a＜17，解得﹣5＜a≤﹣．故選：C．6．我們定義＝ad﹣bc，例如＝2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，若x，y均為整數(shù)，且滿足1＜＜3，則x+y的值是±3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，∴，∵x、y均為整數(shù)，∴xy為整數(shù)，∴xy＝2，∴x＝±1時，y＝±2；x＝±2時，y＝±1；∴x+y＝2+1＝3或x+y＝﹣2﹣1＝﹣3．故答案為：±37．關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和是﹣7，則m的取值范圍是﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由①得x＞﹣5；由②得x＜m；故原不等式組的解集為﹣5＜x＜m．又因為不等式組的所有整數(shù)解的和是﹣7，所以當m＜0時，這兩個負整數(shù)解一定是﹣4和﹣3，由此可以得到﹣3＜m≤﹣2；當m＞0時，則2＜m≤3．故m的取值范圍是﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．六．一元一次不等式組的應(yīng)用（共8小題）8．把一些筆記本分給幾個學生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每個學生分5本，那么最后一人就分不到3本．則共有學生（）A．4人 B．5人 C．6人 D．5人或6人【答案】C【解答】解：假設(shè)共有學生x人，根據(jù)題意得出：5（x﹣1）+3＞3x+8≥5（x﹣1），解得：5＜x≤6.5．故選：C．9．四個小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為P、Q、R、S，如圖所示，則他們的體重大小關(guān)系是（）A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q【答案】D【解答】解：由三個圖分別可以得到，由①式可得Q+S＞Q+P，代入③式得到P+R＞Q+P，所以R＞Q．所以它們的大小關(guān)系為S＞P＞R＞Q．故選：D．10．按下面程序計算，若開始輸入x的值為正數(shù)，最后輸出的結(jié)果為656，則滿足條件所有x的值是131或26或5或．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：我們用逆向思維來做：第一個數(shù)就是直接輸出其結(jié)果的：5x+1＝656，解得：x＝131；第二個數(shù)是（5x+1）×5+1＝656，解得：x＝26；同理：可求出第三個數(shù)是5；第四個數(shù)是，∴滿足條件所有x的值是131或26或5或．故答案為：131或26或5或．11．某商場用2500元購進A、B兩種新型節(jié)能臺燈共50盞，這兩種臺燈的進價、標價如下表所示．類型價格A型B型進價（元/盞）4065標價（元/盞）60100（1）這兩種臺燈各購進多少盞？（2）在每種臺燈銷售利潤不變的情況下，若該商場計劃銷售這批臺燈的總利潤至少為1400元，問至少需購進B種臺燈多少盞？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)A型臺燈購進x盞，B型臺燈購進y盞，根據(jù)題意，得，解得：；（2）設(shè)購進B種臺燈m盞，根據(jù)題意，得利潤（100﹣65）?m+（60﹣40）?（50﹣m）≥1400，解得，m≥，∵m是整數(shù)，∴m≥27，答：A型臺燈購進30盞，B型臺燈購進20盞；要使銷售這批臺燈的總利潤不少于1400元，至少需購進B種臺燈27盞．12．某文化用品商店計劃同時購進一批A、B兩種型號的計算器，若購進A型計算器10只和B型計算器8只，共需要資金880元；若購進A型計算器2只和B型計算器5只，共需要資金380元．（1）求A、B兩種型號的計算器每只進價各是多少元？（2）該經(jīng)銷商計劃購進這兩種型號的計算器共50只，而可用于購買這兩種型號的計算器的資金不超過2520元．根據(jù)市場行情，銷售一只A型計算器可獲利10元，銷售一只B型計算器可獲利15元．該經(jīng)銷商希望銷售完這兩種型號的計算器，所獲利潤不少于620元．則該經(jīng)銷商有哪幾種進貨方案？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)A型計算器進價是x元，B型計算器進價是y元，得解得答：每只A型計算器進價是40元，每只B型計算器進價是60元．（2）設(shè)購進A型計算器為z只，則購進B型計算器為（50﹣z）只，得：解得24≤z≤26，因為z是正整數(shù)，所以z＝24，25，26．答：該經(jīng)銷商有3種進貨方案：①進24只A型計算器，26只B型計算器；②進25只A型計算器，25只B型計算器；③進26只A型計算器，24只B型計算器．13．為獎勵在文藝匯演中表現(xiàn)突出的同學，班主任派生活委員小亮到文具店為獲獎同學購買獎品．小亮發(fā)現(xiàn)，如果買1個筆記本和3支鋼筆，則需要18元；如果買2個筆記本和5支鋼筆，則需要31元．（1）求購買每個筆記本和每支鋼筆各多少元？（2）班主任給小亮的班費是100元，需要獎勵的同學是24名（每人獎勵一件獎品），若購買的鋼筆數(shù)不少于筆記本數(shù)，求小亮有哪幾種購買方案？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)每個筆記本x元，每支鋼筆y元依題意得：解得：答：設(shè)每個筆記本3元，每支鋼筆5元．（2）設(shè)購買筆記本m個，則購買鋼筆（24﹣m）個依題意得：解得：12≥m≥10∵m取正整數(shù)∴m＝10或11或12∴有三種購買方案：①購買筆記本10個，則購買鋼筆14個．②購買筆記本11個，則購買鋼筆13個．③購買筆記本12個，則購買鋼筆12個．14．某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒（1）現(xiàn)有正方形紙板162張，長方形紙板340張．若要做兩種紙盒共100個，設(shè)做豎式紙盒x個．①根據(jù)題意，完成以下表格：紙盒紙板豎式紙盒（個）橫式紙盒（個）x100﹣x正方形紙板（張）2（100﹣x）長方形紙板（張）4x②按兩種紙盒的生產(chǎn)個數(shù)來分，有哪幾種生產(chǎn)方案？（2）若有正方形紙板162張，長方形紙板a張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完．已知290＜a＜306．求a的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①如表：紙盒紙板豎式紙盒（個）橫式紙盒（個）x100﹣x正方形紙板（張）x2（100﹣x）長方形紙板（張）4x3（100﹣x）②由題意得，，解得38≤x≤40．又∵x是整數(shù)，∴x＝38，39，40．答：有三種方案：生產(chǎn)豎式紙盒38個，橫式紙盒62個；生產(chǎn)豎式紙盒39個，橫式紙盒61個；生產(chǎn)豎式紙盒40個，橫式紙盒60個；（2）如果設(shè)x個豎式需要正方形紙板x張，長方形紙板橫4x張；y個橫式需要正方形紙板2y張，長方形紙板橫3y張，可得方程組，于是我們可得出y＝，因為已知了a的取值范圍是290＜a＜306，所以68.4＜y＜71.6，由y取正整數(shù)，則，當取y＝70，則a＝298；當取y＝69時，a＝303；當取y＝71時，a＝293．293或298或303（寫出其中一個即可）．15．為支持四川抗震救災(zāi)，重慶市A、B、C三地現(xiàn)在分別有賑災(zāi)物資100噸、100噸、80噸，需要全部運往四川重災(zāi)地區(qū)的D、E兩縣．根據(jù)災(zāi)區(qū)的情況，這批賑災(zāi)物資運往D縣的數(shù)量比運往E縣的數(shù)量的2倍少20噸．（1）求這批賑災(zāi)物資運往D、E兩縣的數(shù)量各是多少？（2）若要求C地運往D縣的賑災(zāi)物資為60噸，A地運往D的賑災(zāi)物資為x噸（x為整數(shù)），B地運往D縣的賑災(zāi)物資數(shù)量小于A地運往D縣的賑災(zāi)物資數(shù)量的2倍．其余的賑災(zāi)物資全部運往E縣，且B地運往E縣的賑災(zāi)物資數(shù)量不超過25噸．則A、B兩地的賑災(zāi)物資運往D、E兩縣的方案有幾種？請你寫出具體的運送方案；（3）已知A、B、C三地的賑災(zāi)物資運往D、E兩縣的費用如下表：A地B地C地運往D縣的費用（元/噸）220200200運往E縣的費用（元/噸）250220210為及時將這批賑災(zāi)物資運往D、E兩縣，某公司主動承擔運送這批賑災(zāi)物資的總費用，在（2）問的要求下，該公司承擔運送這批賑災(zāi)物資的總費用最多是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)這批賑災(zāi)物資運往D縣的數(shù)量為a噸，運往E縣的數(shù)量為b噸．（1分）由題意，得（2分）解得（3分）答：這批賑災(zāi)物資運往D縣的數(shù)量為180噸，運往E縣的數(shù)量為100噸．（4分）（2）由題意，得（5分）解得即40＜x≤45．∵x為整數(shù)，∴x的取值為41，42，43，44，45．（6分）則這批賑災(zāi)物資的運送方案有五種．具體的運送方案是：方案一：A地的賑災(zāi)物資運往D縣41噸，運往E縣59噸；B地的賑災(zāi)物資運往D縣79噸，運往E縣21噸．方案二：A地的賑災(zāi)物資運往D縣42噸，運往E縣58噸；B地的賑災(zāi)物資運往D縣78噸，運往E縣22噸．方案三：A地的賑災(zāi)物資運往D縣43噸，運往E縣57噸；B地的賑災(zāi)物資運往D縣77噸，運往E縣23噸．方案四：A地的賑災(zāi)物資運往D縣44噸，運往E縣56噸；B地的賑災(zāi)物資運往D縣76噸，運往E縣24噸．方案五：A地的賑災(zāi)物資運往D縣45噸，運往E縣55噸；B地的賑災(zāi)物資運往D縣75噸，運往E縣25噸．（7分）（3）設(shè)運送這批賑災(zāi)物資的總費用為w元．由題意，得w＝220x+250（100﹣x）+200（120﹣x）+220（x﹣20）+200×60+210×20＝﹣10x+60800．（9分）因為w隨x的增大而減小，且40＜x≤45，x為整數(shù)．所以，當x＝41時，w有最大值．則該公司承擔運送這批賑災(zāi)物資的總費用最多為：w＝60390（元）．（10分）七．一次函數(shù)與一元一次不等式（共2小題）16．若函數(shù)y＝kx﹣b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集為（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5【答案】C【解答】解：解法1，：∵一次函數(shù)y＝kx﹣b經(jīng)過點（2，0），∴2k﹣b＝0，b＝2k．函數(shù)值y隨x的增大而減小，則k＜0；解關(guān)于k（x﹣3）﹣b＞0，移項得：kx＞3k+b，即kx＞5k；兩邊同時除以k，因為k＜0，因而解集是x＜5．解法2：∵函數(shù)y＝kx﹣b的圖象與x軸的交點坐標為（2，0），∴函數(shù)y＝k（x﹣3）﹣b的圖象與x軸的交點坐標為（5，0），則關(guān)于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集為x＜5．故選：C．17．如圖，直線y1＝kx+b過點A（0，2），且與直線y2＝mx交于點P（1，m），則不等式組mx＞kx+b＞mx﹣2的解集是（）A．1＜x＜2 B．0＜x＜2 C．0＜x＜1 D．1＜x【答案】A【解答】解：由于直線y1＝kx+b過點A（0，2），P（1，m），則有：，解得．∴直線y1＝（m﹣2）x+2．故所求不等式組可化為：mx＞（m﹣2）x+2＞mx﹣2，不等號兩邊同時減去mx得，0＞﹣2x+2＞﹣2，解得：1＜x＜2，故選：A．八．角平分線的性質(zhì)（共2小題）18．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下列四個結(jié)論：①OA＝OD；②AD⊥EF；③當∠A＝90°時，四邊形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正確的是（）A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】D【解答】解：如果OA＝OD，則四邊形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合題意，∴①不正確；∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD∠FAD，在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE2+DF2＝AF2+DE2，∴④正確；在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂線，∴AD⊥EF，∴②正確；∵當∠A＝90°時，四邊形AEDF的四個角都是直角，∴四邊形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四邊形AEDF是正方形，∴③正確．綜上，可得正確的是：②③④．故選：D．19．如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線PA、PB交于點P，下列結(jié)論：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若點M、N分別為點P在BE、BF上的正投影，則AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正確的是（）A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③【答案】B【解答】解：如圖，過點P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分別為M、N、D，①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴點P在∠ACF的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上），故本小題正確；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，很明顯∠MPN≠∠APC，∴∠ABC+∠APC＝180°錯誤，故本小題錯誤；③在Rt△APM與Rt△APD中，，∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），∴AD＝AM，同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，∴CD＝CN，∴AM+CN＝AD+CD＝AC，故本小題正確；④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，∴∠BAC＝2∠BPC，故本小題正確．綜上所述，①③④正確．故選：B．九．等腰三角形的性質(zhì)（共5小題）20．等腰三角形ABC的面積為10，AB＝AC＝5，那么BC＝4或2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過點A作AD⊥BC于D，設(shè)BC＝2x，則BD＝CD＝BC＝x，在Rt△ABD中，AD＝＝，S△ABC＝BC?AD＝×2x＝10，整理得，x4﹣25x2+100＝0，解得x2＝20或x2＝5，所以，x＝2或，BC＝4或2．故答案為：4；2．21．如圖，∠BOC＝9°，點A在OB上，且OA＝1，按下列要求畫圖：以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3，得第3條線段A2A3；…這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n＝9．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，則∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n為整數(shù)，故n＝9．故答案為：9．22．如圖，在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一點C，延長AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一點D，延長A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法進行下去，第n個等腰三角形的底角的度數(shù)為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝＝＝80°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝＝＝40°；同理可得，∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，∴第n個等腰三角形的底角的度數(shù)＝．故答案為：．23．如圖，△ABC中AB＝AC，BC＝6，點P從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D．（1）如圖①，當點P為AB的中點時，求CD的長；（2）如圖②，過點P作直線BC的垂線垂足為E，當點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，過P點作PF∥AC交BC于F，∵點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同，∴BP＝CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝PF，∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，∴證得△PFD≌△QCD，∴DF＝CD＝CF，又因P是AB的中點，PF∥AQ，∴F是BC的中點，即FC＝BC＝3，∴CD＝CF＝；（2）分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段，如圖，如果點P在線段AB上，過點P作PF∥AC交BC于F，∵△PBF為等腰三角形，∴PB＝PF，BE＝EF，∴PF＝CQ，∴FD＝DC，∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝BC＝3，∴ED為定值，同理，如圖，若P在BA的延長線上，作PM∥AC的延長線于M，∴∠PMC＝∠ACB，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PMC，∴PM＝PB，根據(jù)三線合一得BE＝EM，同理可得△PMD≌△QCD，所以CD＝DM，∵BE＝EM，CD＝DM，∴ED＝EM﹣DM＝﹣DM＝+﹣DM＝3+DM﹣DM＝3，綜上所述，線段ED的長度保持不變．24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．（1）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請說明理由．【答案】（1）CG＝DE+DF．理由見解答；（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論不成立．①當點D在BC延長線上時，DE﹣DF＝CG；②當D點在CB的延長線上時，DF﹣DE＝CG．【解答】解：（1）DE+DF＝CG．證明：連接AD，則S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB?CG＝AB?DE+AC?DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF；（2）當點D在底邊的延長線上時，（1）中的結(jié)論不成立．分兩種情況：①當點D在BC延長線上時，有DE﹣DF＝CG．理由：連接AD，則S△ABD＝S△ABC+S△ACD，即AB?DE＝AB?CG+AC?DF∵AB＝AC，∴DE＝CG+DF，即DE﹣DF＝CG．②當D點在CB的延長線上時，有DF﹣DE＝CG，說明方法同上．一十．等邊三角形的性質(zhì)（共9小題）25．如圖，∠MON＝30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝1，則△A7B7A8的邊長為（）A．6 B．12 C．32 D．64【答案】D【解答】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此類推：A7B7＝64B1A2＝64．故選：D．26．附加題：下圖是由九個等邊三角形組成的一個六邊形，當最小的等邊三角形邊長為2cm時，這個六邊形的周長為（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60【答案】D【解答】解：設(shè)AB＝x，∴等邊三角形的邊長依次為x，x，x，2，x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六邊形周長是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）＝7x+18，∵AF＝2AB，即x+6＝2x，∴x＝6cm，∴周長為7x+18＝60cm．故選：D．27．如圖，圖1是一塊邊長為1，面積記為S1的正三角形紙板，沿圖1的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖2，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的）后，得圖3，圖4，…，記第n（n≥3）塊紙板的面積為Sn，則Sn＝﹣[1﹣（）n﹣1]．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵依次剪去一塊更小的正三角形紙板，即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的，∴三角形的邊長分別為：，，…即相鄰三角形相似比為：1：2，∴即相鄰三角形面積比為：1：4，∴剪去一塊的正三角形紙板面積分別為：，，…第n個紙板的面積為：﹣﹣﹣﹣???﹣＝﹣×＝﹣[1﹣（）n﹣1]，故答案為：﹣[1﹣（）n﹣1]．28．如圖，將一個正三角形紙片剪成四個全等的小正三角形，再將其中的一個按同樣的方法剪成四個更小的正三角形，…如此繼續(xù)下去，結(jié)果如下表，則an＝3n+1（用含n的代數(shù)式表示）．所剪次數(shù)1234…n正三角形個數(shù)471013…an【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由圖可知沒剪的時候，有一個三角形，以后每剪一次就多出三個，所以總的個數(shù)3n+1．故答案為：3n+1．29．如圖，過邊長為2的等邊△ABC的邊AB上點P作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA＝CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE長為1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：過P做BC的平行線至AC于F，∴∠Q＝∠FPD，∵等邊△ABC，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP＝PF，AP＝CQ，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴ED＝AC，∵AC＝2，∴DE＝1．故答案為1．30．已知等邊三角形ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形AB1C1，再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊三角形AB2C2，再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊△AB3C3；…，如此下去，這樣得到的第n個等邊三角形ABn?n的面積為（）n．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB1⊥BC，∴BB1＝1，AB＝2，根據(jù)勾股定理得：AB1＝，∴第一個等邊三角形AB1C1的面積為×（）2＝（）1；∵等邊三角形AB1C1的邊長為，AB2⊥B1C1，∴B1B2＝，AB1＝，根據(jù)勾股定理得：AB2＝，∴第二個等邊三角形AB2C2的面積為×（）2＝（）2；依此類推，第n個等邊三角形ABn?n的面積為（）n．故答案為：（）n．31．如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則四個結(jié)論正確的是①②③④．①P在∠A的平分線上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵PR＝PS，PR⊥AB，PS⊥AC，∴P在∠A的平分線上，在Rt△ARP和Rt△ASP中，∵，∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），∴AS＝AR，∠QAP＝∠PAR，∵AQ＝PQ，∴∠PAR＝∠QPA，∴∠QPA＝∠QAR∴QP∥AR，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠PAR＝∠QPA＝30°，∴∠PQS＝60°，在△BRP和△QSP中，∵，∴△BRP≌△QSP（AAS），∴①②③④項四個結(jié)論都正確，故答案為①②③④．32．如圖，在標有刻度的直線l上，從點A開始，以AB＝1為邊長畫正三角形，記為第1個正三角形；以BC＝2為邊長畫正三角形，記為第2個正三角形；以CD＝4為邊長畫正三角形，記為第3個正三角形；以DE＝8為邊長畫正三角形，記為第4個正三角形，…按此規(guī)律，繼續(xù)畫正三角形，則第n個正三角形的面積為×22n﹣4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵第1個正三角形的邊長為1，1＝20，第2個正三角形的邊長為2，2＝21，第3個正三角形的邊長為4，4＝22，第4個正三角形的邊長為8，8＝23，∴第n個正三角形的邊長為2n﹣1，∴第n個正三角形的面積為：×2n﹣1×（2n﹣1×）＝×22n﹣4．故答案為×22n﹣4．33．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）當∠BQD＝30°時，求AP的長；（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°，設(shè)AP＝x，則PC＝6﹣x，QB＝x，∴QC＝QB+BC＝6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，∴AP＝2；（2）解法一：當點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．理由如下：過P作PF∥QC，∴△AFP是等邊三角形，∵P、Q同時出發(fā)、速度相同，即BQ＝AP，∴BQ＝PF，∴△DBQ≌△DFP（AAS），∴BD＝DF，而△APF是等邊三角形，PE⊥AF，∵AE＝EF，又DE+（BD+AE）＝AB＝6，∴DE+（DF+EF）＝6，即DE+DE＝6∴DE＝3為定值，即DE的長不變．解法二：當點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．理由如下：作QF⊥AB，交直線AB于點F，連接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，∵點P、Q速度相同，∴AP＝BQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∴∠APE＝∠BQF，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，∴四邊形PEQF是平行四邊形，∴DE＝EF，∵EB+AE＝BE+BF＝AB，∴DE＝AB，又∵等邊△ABC的邊長為6，∴DE＝3，∴點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．一十一．等邊三角形的判定（共1小題）34．如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．已知∠AOB＝110°．（1）求證：△COD是等邊三角形；（2）當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等邊三角形；（2）解：當α＝150°，即∠BOC＝150°時，△AOD是直角三角形．∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形；（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO．∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，∴α﹣60°＝50°∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．∵190°﹣α＝50°∴α＝140°．綜上所述：當α的度數(shù)為125°，或110°，或140°時，△AOD是等腰三角形．一十二．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）35．邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形，記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連接又得到一個等邊三角形，記為第2個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：連接AD、DF、DB．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD，∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∵∠AFE＝∠ABC＝120°，∴∠AFD＝∠ABD＝90°，在Rt△ABD和RtAFD中∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°，∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°，∴AD∥EF，∵G、I分別為AF、DE中點，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI＝∠FAD＝60°，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，∴∠EDM＝60°＝∠M，∴ED＝EM，同理AF＝QF，即AF＝QF＝EF＝EM，∵等邊三角形QKM的邊長是a，∴第一個正六邊形ABCDEF的邊長是a，即等邊三角形QKM的邊長的，過F作FZ⊥GI于Z，過E作EN⊥GI于N，則FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四邊形FZNE是平行四邊形，∴EF＝ZN＝a，∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已證），∴∠GFZ＝30°，∴GZ＝GF＝a，同理IN＝a，∴GI＝a+a+a＝a，即第二個等邊三角形的邊長是a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第二個正六邊形的邊長是×a；同理第第三個等邊三角形的邊長是×a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第三個正六邊形的邊長是××a；同理第四個等邊三角形的邊長是××a，第四個正六邊形的邊長是×××a；第五個等邊三角形的邊長是×××a，第五個正六邊形的邊長是××××a；第六個等邊三角形的邊長是××××a，第六個正六邊形的邊長是×××××a，即第六個正六邊形的邊長是×a，故選：A．一十三．勾股定理（共2小題）36．如圖，OP＝1，過P作PP1⊥OP，得OP1＝；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法繼續(xù)作下去，得OP2012＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由勾股定理得：OP4＝＝，∵OP1＝；得OP2＝；OP3＝，依此類推可得OPn＝，∴OP2012＝，故答案為：．37．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如圖1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求證：CD＝BE；（2）如圖2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD的長；（3）如圖3，在△ADE中，當BD垂直平分AE于H，且∠BAC＝2∠ADB時，試探究CD2，BD2，AH2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）如圖1，證明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠DAC＝∠BAE．在△ACD與△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；（2）連接BE，∵CD垂直平分AE∴AD＝DE，∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴BE⊥DE，DE＝AD＝3，∴BD＝5；（3）如圖，過B作BF⊥BD，且BF＝AE，連接DF，則四邊形ABFE是平行四邊形，∴AB＝EF，設(shè)∠AEF＝x，∠AED＝y(tǒng)，則∠FED＝x+y，∠BAE＝180°﹣x，∠EAD＝∠AED＝y(tǒng)，∠BAC＝2∠ADB＝180°﹣2y，∠CA