專題2-1 勾股定理（考題猜想巧用勾股定理求最短路徑的長）解析版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專題2-1勾股定理（考題猜想，巧用勾股定理求最短路徑的長）求最短距離的問題，第一種情況是通過計算和比較解最短距離問題；第二種情況是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換(平移或軸對稱)進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種情況是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)．【方法總結(jié)】1、解決有關(guān)立體圖形中路線最短的問題，關(guān)鍵是把立體圖形中的路線問題轉(zhuǎn)化為平面上的路線問題，如圓柱側(cè)面展開圖為長方形，圓錐側(cè)面展開圖為扇形，長方體側(cè)面展開圖為長方形等。2、平面圖形中利用計算、平移、對稱等方法，運(yùn)用平面上兩點(diǎn)間線段最短的道理，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可。3、長方體的展開圖有三種不同的情況，計算后進(jìn)行比較。技巧1：用計算法解決平面中的最短問題【例題1】（22-23八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，已知直線交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，以為邊作等邊（A、B、C三點(diǎn)逆時針排列），D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，連接，則的最小值為（

）

A．6 B． C．6.5 D．7【答案】D【分析】在軸上方作等邊，證明，所以點(diǎn)的軌跡為定直線，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線上時，的值最小，再根據(jù)勾股定理，即可解答；【詳解】點(diǎn)B在直線上，在軸上方作等邊即又∵∴∴點(diǎn)的軌跡為定直線作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，∴當(dāng)點(diǎn)D、C、在同一條直線上時，的值最小即的最小值故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑，勾股定理，軸對稱等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)、根據(jù)條件的問題作出輔助線【變式1】（22-23八年級下·廣東廣州·期中）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則”．在復(fù)習(xí)二次根式時，老師提出了一個求代數(shù)式最小值的問題，如：“當(dāng)時，求代數(shù)式的最小值”，其中可看作兩直角邊分別為和2的的斜邊長，可看作兩直角邊分別是和3的的斜邊長．于是構(gòu)造出如圖，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值．運(yùn)用此方法，請你解決問題：已知a，b均為正數(shù)，且．則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)題中所給的思路，將可以可看作兩直角邊分別是和3的的斜邊長，可以可看作兩直角邊分別是和5的的斜邊長，故問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，連接AB，則的最小值為AB，再利用勾股定理計算出AB即可．【詳解】解：如圖：可以可看作兩直角邊分別是和3的的斜邊長，可以可看作兩直角邊分別是和的的斜邊長，故問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，連接，則的最小值為，∵，即，∴，∵，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，動點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是理解題中所給的思路，根據(jù)題干中的思路進(jìn)行解答【變式2】（22-23八年級下·全國·單元測試）如圖，，兩個工廠位于一段直線形河的異側(cè)，廠距離河邊，B廠距離河邊，經(jīng)測量，現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處(河寬不計)修一個污水處理廠．(1)設(shè)，請用的代數(shù)式表示的長；(2)為了使兩廠的排污管道最短，污水廠的位置應(yīng)怎樣來確定此時需要管道多長？(3)通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請你猜想的最小值為多少？【答案】(1)(2)連接與的交點(diǎn)就是污水處理廠的位置，此時最少需要管道(3)的最小值為【分析】（1）在和中，根據(jù)勾股定理可得，的長，進(jìn)而即可求解；（2）連接與的交點(diǎn)就是污水處理廠的位置，過點(diǎn)作⊥于，在△中，勾股定理即可求解；（3）當(dāng)、、共線時，求出的值即為原式的最小值，在△中，勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：在和中，根據(jù)勾股定理可得，，∴，（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接與的交點(diǎn)就是污水處理廠的位置．過點(diǎn)作⊥于，則有，．．在△中，，此時最少需要管道．（3）根據(jù)以上推理，可作出下圖，設(shè)，，，，當(dāng)、、共線時，求出的值即為原式的最小值．在△中，，，由勾股定理可得：，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵【變式3】（22-23八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，一條河流的段長為，在點(diǎn)的正北方處有一村莊，在點(diǎn)的正南方處有一村莊，計劃在上建一座橋，使得橋到村和村的距離和最?。埜鶕?jù)以上信息，回答下列問題：(1)將橋建在何處時，可以使得橋到村和村的距離和最?。空堅趫D中畫出此時點(diǎn)的位置；(2)小明發(fā)現(xiàn)：設(shè)，則，則，根據(jù)（1）中的結(jié)論可以求出當(dāng)______時，的值最小，且最小值為______；(3)結(jié)合（1）（2）問，請直接寫出下列代數(shù)式的最小值：①的最小值______；②的最小值為______．【答案】(1)見解析(2)；(3)①；②【分析】（1）直接根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接，交于點(diǎn)即可；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出的長度，根據(jù)勾股定理求出即為最小值；（3）①根據(jù)題意可知的最小值，計算即可；②將轉(zhuǎn)換為，然后根據(jù)上述規(guī)律求最小值即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所作：；（2）過點(diǎn)作，交與點(diǎn),則，，，設(shè)為，則，則，即，解得，，當(dāng)時，最小值為，故答案為：；；（3）①的最小值，故答案為：；②的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，讀懂題意，將已知式子轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的圖形進(jìn)行解答是本題的關(guān)鍵技巧2：用平移法解決平面中的距離問題已知A、B是兩個定點(diǎn)，在定直線l上找兩個動點(diǎn)M與N，且MN長度等于定長d（動點(diǎn)M位于動點(diǎn)N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定長的動點(diǎn)問題一定要考慮平移作法一：將點(diǎn)A向右平移長度d得到點(diǎn)A’，作A’關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A’’，連接A’’B，交直線l于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移長度d，得到點(diǎn)M。作法二：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A1，將點(diǎn)A1向右平移長度d得到點(diǎn)A2，連接A2B，交直線l于點(diǎn)Q，將點(diǎn)Q向左平移長度d，得到點(diǎn)Q。（造橋選址）直線l1∥l2，在直線l1上找一個點(diǎn)C，直線l2上找一個點(diǎn)D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．作法：將點(diǎn)A沿CD方向向下平移CD長度d至點(diǎn)A’，連接A’B，交l2于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DC⊥l2于點(diǎn)C，連接AC．則橋CD即為所求．此時最小值為A’B+CD【例題2】（22-23八年級上·浙江紹興·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，M，N是線段上的兩個動點(diǎn)，且，則與周長和的最小值是．【答案】【分析】將點(diǎn)C項左平移2個單位得到，找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接交x軸于一點(diǎn)即為最短距離點(diǎn)，根據(jù)勾股定理即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，∵，，，∴當(dāng)最小即可得到答案，點(diǎn)C項左平移2個單位得到，找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接交x軸于一點(diǎn)即為最短距離點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)勾股定理可得，，∴與周長和的最小值是：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查最短距離問題及勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及兩點(diǎn)間線段距離最短得到最小距離位置【變式1】（2021八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，小明在廣場上先向東走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，再向東走70m．則小明到達(dá)的終點(diǎn)與原出發(fā)點(diǎn)的距離是．【答案】100m【分析】連接出發(fā)點(diǎn)與終止點(diǎn)，求出兩點(diǎn)之間距離即為所求，要構(gòu)造直角三角形，用勾股定理解答．【詳解】解：連接AB，作AC⊥BC于C．∵AC=40+40=80(m)，BC=70-10=60(m)，則AB==100(m)．故答案為：100m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵【變式2】．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行線，橋與河岸垂直）（）A．B．C． D．【答案】D【分析】過A作河的垂線AH，要使最短，MN⊥直線a，AI＝MN，連接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．【詳解】解：根據(jù)垂線段最短，得出MN是河的寬時，MN最短，即MN⊥直線a（或直線b），只要AM+BN最短即可，即過A作河岸a的垂線AH，垂足為H，在直線AH上取點(diǎn)I，使AI等于河寬．連接IB交河的b邊岸于N，作MN垂直于河岸交a邊的岸于M點(diǎn)，所得MN即為所求．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑的問題，運(yùn)用到了兩點(diǎn)之間線段最短，平行四邊形等知識點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點(diǎn)．【變式3】（22-23八年級下·山東青島·期末）閱讀材料：對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形G和圖形G上的任意點(diǎn)，給出如下定義：將點(diǎn)平移到稱為將點(diǎn)P進(jìn)行“t型平移”，點(diǎn)稱為將點(diǎn)P進(jìn)行“t型平移”的對應(yīng)點(diǎn)；將圖形G上的所有點(diǎn)進(jìn)行“t型平移”稱為將圖形G進(jìn)行“t型平移”．例如：將點(diǎn)平移到稱為將點(diǎn)P進(jìn)行“1型平移”，將點(diǎn)平移到稱為將點(diǎn)P進(jìn)行“型平移”．已知點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)將點(diǎn)進(jìn)行“1型平移”后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________；(2)①將線段AB進(jìn)行“型平移”后得到線段，點(diǎn)，，中，在線段上的點(diǎn)是___________；②若線段AB進(jìn)行“t型平移”后與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，則t的取值范圍是___________；(3)已知點(diǎn)，，點(diǎn)M是線段CD上的一個動點(diǎn)，將點(diǎn)B進(jìn)行“t型平移”后得到的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)t的取值范圍是___________時，的最小值保持不變．【答案】(1)(2)①；②或(3)【分析】（1）根據(jù)“1型平移”的定義解決問題即可；（2）①畫出線段即可判斷；②根據(jù)定義求出的最大值，最小值即可解答；（3）如圖2中，觀察圖象可知，當(dāng)在線段上時，的最小值保持不變，最小值為．【詳解】（1）解：將點(diǎn)進(jìn)行“1型平移”后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案為：；（2）解：①如圖1中，觀察圖象可知，將線段進(jìn)行“型平移”后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為，即，，∴得到線段，∴點(diǎn)，，中，在線段上的點(diǎn)是；故答案為：

②若線段進(jìn)行“型平移”后與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，當(dāng)平移后與y軸相交，則，解得：，當(dāng)平移后與x軸相交，則，解得：，∴若線段AB進(jìn)行“t型平移”后與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，則t的取值范圍是或；故答案為：或．（3）解：如圖2中，觀察圖象可知，當(dāng)在線段上時，的最小值保持不變，最小值為，此時．

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平移變換，“

t型平移”的定義等知識，解題的關(guān)鍵理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用圖象法解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型．技巧3：用對稱法解決平面中的最短問題1.兩定一動型：兩定點(diǎn)到一動點(diǎn)的距離和最小。類型1：在定直線l上找一個動點(diǎn)P，使動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.作法：連接AB，與直線l的交點(diǎn)Q，Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：兩點(diǎn)之間線段最短。類型2：在定直線l上找一個動點(diǎn)P，使動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA+PB的和最小.作法：作定點(diǎn)B關(guān)于定直線l的對稱點(diǎn)C，連接AC，與直線l的交點(diǎn)Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短2.兩動一定型類型3：在∠MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得△BAC周長最短．作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A’，作點(diǎn)A關(guān)于ON的對稱點(diǎn)A’’

，連接A’A’’，與OM交于點(diǎn)B，與ON交于點(diǎn)C，連接AB，AC，△ABC即為所求．類型4：在∠MON的內(nèi)部有點(diǎn)A和點(diǎn)B，在OM上找一點(diǎn)C，在ON上找一點(diǎn)D，使得四邊形ABCD周長最短．作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A’，作點(diǎn)B關(guān)于ON的對稱點(diǎn)B’

，連接A’B’，與OM交于點(diǎn)C，與ON交于點(diǎn)D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求．3.垂線段最短型類型5：在∠MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得AB＋BC最短．點(diǎn)A是定點(diǎn)，OM，ON是定線，點(diǎn)B、點(diǎn)C是OM、ON上要找的點(diǎn)，是動點(diǎn)．作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A’，過點(diǎn)A’作A’C⊥ON，交OM于點(diǎn)B，B、C即為所求。類型6：在定直線l上找一個動點(diǎn)P，使動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)A與B的距離之差最小，即|PA-PB|最小.作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn)P此時|PA-PB|=0類型7：在定直線l上找一個動點(diǎn)C，使動點(diǎn)C到兩個定點(diǎn)A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大作法：作點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B，連接AB，交交l于點(diǎn)P即為所求，最大值為AB的長度?！纠}3】（21-22八年級下·安徽合肥·期中）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用軸對稱求最短路徑的方法得出點(diǎn)位置，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出即可．【詳解】解：如圖所示：作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，再連接，交直線于點(diǎn)則此時最小，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，，，，，則，在中，，則的最小值為：．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖，兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最短問題【變式1】（22-23八年級下·廣西桂林·期中）如圖，在等腰直角中．，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)和分別是和上動點(diǎn)，則的最小值是．

【答案】【分析】連接，過點(diǎn)作于，與交于點(diǎn)，連接，，得、點(diǎn)關(guān)于對稱，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且時，為最小值，通過等腰直角三角形的性質(zhì)求得此時的便可．【詳解】解：過點(diǎn)作于，與交于點(diǎn)，連接，，

等腰直角中．，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，平分，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)、、依次在同一直線上，且時，的值最小，如圖：

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱求最短距離，角平分線定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活應(yīng)用角平分線定理，準(zhǔn)確找到點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，再結(jié)合垂線段最短，將所有最小距離轉(zhuǎn)化為垂線段的長是解題的關(guān)鍵【變式2】（22-23八年級下·云南昭通·期中）如圖，河的同側(cè)有、兩個村，且，、兩村到河的距離分別為，．現(xiàn)要在河邊上建一水廠分別向、兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)每千米需2000元．請你在河岸上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用（元）．

【答案】20000元【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，分別利用勾股定理求出和的長即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于，點(diǎn)即為水廠的位置．分過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，，．∴．在中，，∴，∴．在中，，由勾股定理得．∴（元）．故鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為20000元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵【變式3】（22-23八年級·山東濟(jì)南·期中）如圖，A，B兩個村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬元，其他費(fèi)用需5萬元，求完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．【答案】(1)見解析；(2)50萬元.【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求；（2）連接交于H點(diǎn)，過點(diǎn)B作，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求.（2）解：如圖，連接交于H點(diǎn)，過點(diǎn)B作，由題意可知：，，，∴，∴在中，，∴在中，，由對稱性質(zhì)可知：，水管長，完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為（萬元）【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，勾股定理，題目比較典型，是一道比較好的題目，考查了學(xué)生的動手操作能力和計算能力技巧4：用展開法解決立體圖形中的最短問題類型1：圓柱中的最短問題【例題4】（23-24八年級下·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖是底面周長為24，高為5的圓柱體．一只小螞蟻要從點(diǎn)A爬到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離是（

）A．7 B．10 C．13 D．21【答案】C【分析】本題考查了平面展開最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是把立體圖形轉(zhuǎn)換成平面圖形，運(yùn)用勾股定理來解．將圓柱的側(cè)面展開，得到一個長方形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短找出最短距離，然后根據(jù)勾股定理可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖所示：

由于圓柱體的底面周長為24，則，又因為圓柱體的高為5，∴，所以，故螞蟻爬行的最短距離是13．故選：C【變式1】（22-23八年級下·山東臨沂·期中）如圖，透明圓柱的底面半徑為6厘米，高為12厘米，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行．從圓柱的內(nèi)側(cè)點(diǎn)爬到圓柱的外側(cè)點(diǎn)處吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．

【答案】30【分析】把圓柱的側(cè)面展開，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵透明圓柱的底面半徑為6厘米，∴透明圓柱的底面周長為厘米≈36厘米，作點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)，連接A′B，則的長度即為它爬行最短路程，∴厘米，厘米，

∴，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是計算出圓柱展開后所得長方形的長和寬的值，然后用勾股定理進(jìn)行計算．【變式2】（23-24八年級上·貴州貴陽·期中）（1）如圖①，圓柱的高為，底面圓的周長為，在圓柱下底面的點(diǎn)A有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點(diǎn)A相對的點(diǎn)B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？（2）如圖2，是一個無蓋的長方形罐頭盒，盒高，盒底周長，盒外一只螞蟻在底部A處，想吃到盒內(nèi)與A相對的點(diǎn)B處的食物，求螞蟻爬行的最短路程長度．【答案】（1）

（2）【分析】此題主要考查了平面展開圖中最短路徑問題，這是中考中熱點(diǎn)問題，找出展開圖的與原圖形對應(yīng)情況是解決問題的關(guān)鍵.首先畫出圓柱的平面展開圖，利用勾股定理可求出最短路程的長.【詳解】（1）解：如解圖，圓柱體的展開圖為長方形，所以，由題意可知，，所以在中，由勾股定理得，，所以，所以螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是；（2）如圖，∵盒高，盒底周長為，，∴螞蟻爬行的最短路程是，∴螞蟻爬行的最短路程是【變式3】（22-23八年級下·全國·單元測試）我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點(diǎn)處纏繞而上．(1)若繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．(2)若繞周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．【答案】(1)25(2)【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，在Rt中，再根據(jù)勾股定理求解即可；（2）在Rt中根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，在Rt中，，，（尺）答：葛藤長為25尺．故答案為：25；（2）解：在Rt中，，，（尺），答：葛藤長為尺．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開—最短路徑問題，能夠根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形是解決問題的關(guān)鍵類型2：圓錐中的最短問題【例題5】（2024八年級·全國·競賽）有一個圓錐，其母線長是，底面圓的直徑是，點(diǎn)為底面圓周上的任意一點(diǎn)，現(xiàn)在用筆在該圓錐的側(cè)面上畫出一條線，這條線從點(diǎn)開始繞圓錐側(cè)面一圈后又回到點(diǎn)，則這條線最短為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了圓錐平面展開圖的最短路徑問題，利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長等于底面圓的周長，進(jìn)而得出扇形圓心角的度數(shù)，再利用勾股定理求出的長．【詳解】解：如圖，由兩點(diǎn)間直線距離最短可知，圓錐側(cè)面展開圖最短，由題意可知：，，解得：，，，故選：B【變式1】（2023八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，底面半徑為1，母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點(diǎn)，它爬行的最短路線長是．【答案】【分析】先把圓錐的側(cè)面展開圖，再根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短確定最短路線，求出展開圖扇形圓心角，最后根據(jù)勾股定理求解線段長即可．【詳解】解：由題意知，底面圓的直徑為，故底面周長等于，設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，，解得，所以展開圖中圓心角為，根據(jù)勾股定理求得到點(diǎn)A的最短的路線長是：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖，最短路問題，弧長公式和勾股定理等知識點(diǎn)，擁有良好的空間想象能力是解題的關(guān)鍵【變式2】（20-21八年級上·山西運(yùn)城·期中）如圖，圓錐的底面圓直徑為，母線長為，若小蟲從點(diǎn)開始繞著圓錐表面爬行一圈到的中點(diǎn)，則小蟲爬行的最短距離為．【答案】【分析】將圓錐的側(cè)面展開，是一個扇形，AC就是小蟲爬行的最短路程，利用弧長與圓心角的公式，求展開圖的圓心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90o，利用勾股定理可求AC的長即可．【詳解】把圓錐的側(cè)面展開，弧長是2πr=2π，母線AS=4，側(cè)面展開的圓心角，n=90o即∠ASC=90o，C為SD的中點(diǎn)SD=4，線段AC是小蟲爬行的最短距離，在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面的最短路徑問題，掌握弧長公式，會利用弧長與圓錐底面圓的關(guān)系確定側(cè)面展開圖的圓心角，會用勾股定理求出最短路徑是解題關(guān)鍵【變式3】已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題：(1)此圖形的名稱為________．(2)請你與同伴一起做一個這樣的物體，并把它沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個________．(3)如果點(diǎn)C是SA的中點(diǎn)，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長為10，側(cè)面展開圖的圓心角為90°，請你求出蝸牛爬行的最短路程．【答案】（1）圓錐（2）扇形（3）見解析（4）【詳解】試題分析:（1）根據(jù)幾何體的特點(diǎn)可判斷此圖圖形為圓錐,（2）圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,（3）要求蝸牛爬行的最短距離,需將圓錐的側(cè)面展開,進(jìn)而根據(jù)”兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果,（4）已知圓錐側(cè)面展開圖的夾角為90°,則可得到最短路徑是直角三角形的斜邊,根據(jù)已知確定兩直角邊的長,即可利用勾股定理求解.解：(1)圓錐(2)扇形(3)把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，AC為蝸牛爬行的最短路線．(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC＝＝.故蝸牛爬行的最短路程為類型3：長方體中的最短問題【例題6】（23-24八年級上·四川宜賓·期末）如圖，在一個長方形草坪上，放著一根長方體的木塊．已知米，米，該木塊的較長邊與平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)爬過木塊到達(dá)處需要走的最短路程是（）A．8m B．10m C．m D．m【答案】B【分析】本題主要考查了平面展開最短路線問題，兩點(diǎn)之間線段最短．將木塊表面展開，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：如圖，將木塊展開，即為所求，則（米，米，最短路徑為：（米．故選：B【變式1】（22-23八