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三角函數(shù)求最值的六種類型類型1.與幫助角公式1.幫助角公式:形如的式子可做如下變換:--------(1)令(1)式=,其中.例1.已知.求的單調(diào)遞增區(qū)間.解析:化簡得,令,,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為,.例2.已知函數(shù),其中,且.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若,且,求的值.解析:,,,解得:,又,,;令,解得:,的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).類型2.二次函數(shù)型(1)把形如或的三角函數(shù)最值問題看成與或有關(guān)的二次函數(shù)解析式,再將其解析式變形轉(zhuǎn)化為或,最終依據(jù)已知變量的范圍求最值.(2)對于和的形式,也可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解.例3.函數(shù)的定義域為,值域為,則α的取值范圍是()A. B.C. D.解析:由,令,得:,二次函數(shù)開口向下,對稱軸為,因為,所以函數(shù)為遞增函數(shù),因為當時,,當時,,所以,即時,,使函數(shù)的值域為,所以由余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)可知,,所以的取值范圍是:.故選:A類型3.如求三角函數(shù)的最值,可將看作,則原函數(shù)可變形為,該函數(shù)是我們熟識的二次函數(shù),可求它的最值.例4.已知函數(shù),則的最大值為(
).A. B. C. D.解析:,令,即,由,則.故選:A.類型4.分式型其中同名函數(shù)利用分別常數(shù)法,形如非同名函數(shù)利用數(shù)形結(jié)合的方法,形如利用單位圓與直線相交相切來解決最值問題.例5.求值域。解:,故,則值域為.例6.求函數(shù)的最大值和最小值。解:法一:如圖所示,表示過點的直線與單位圓有交點時,直線的斜率,令直線方程為,原點到直線的的距離為,故函數(shù)的最大值為,最小值為0.法二:利用幫助角公式:計算,,解得:.類型5.三次函數(shù)(1)形如:等均為三次函數(shù).(2)三倍角結(jié)構(gòu)這類函數(shù)雖然最終是借助導數(shù)來實現(xiàn),但它的轉(zhuǎn)化方向是一樣的,結(jié)果就是三次函數(shù)!例7.已知函數(shù),則函數(shù)的最大值為_____.解析:因為,令,則,,令,解得,當時,在上是減函數(shù);當時,在上是增函數(shù);當時,在上是減函數(shù),又,,由此,得在時取得最大值,最大值為,故的最大值為.故答案為:例8.函數(shù)的值域為____________.解析:,設,,則,,令,解得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,,,,所以值域為.例9.函數(shù)在上的最大值為______.解析:.又,故令,.,,當時,;當時,,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減..故答案為:.類型6.導數(shù)型例10.(2024全國1卷)已知函數(shù),則的最小值是__________.解析:,所以當時函數(shù)單調(diào)減,當時函數(shù)單調(diào)增,從而得到函數(shù)的減區(qū)間為,函數(shù)的增區(qū)間為,所以當時,函數(shù)取得最小值,此時,所以,故答案是.例11.已知函數(shù),則的最小值是(
)A. B. C. D.解析:函數(shù);明顯,,函數(shù)值才取最小;由.令,可得:或.當,可得;當,,,時,函數(shù)取得最小值為.故選:A.例12.已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是(
)A.的周期為 B.的圖象關(guān)于對稱C.的最大值為 D.在區(qū)間在上單調(diào)遞減解析:由于,故A正確;由于,即的圖象不關(guān)于對稱
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