直線與平面垂直高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)

5.1直線與平面垂直第六章立體幾何初步認(rèn)識(shí)1.探求新知觀察1

在日常生活中，我們對(duì)直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識(shí).比如，旗桿與底面的位置關(guān)系，教室里相鄰墻面的交線與地面的位置關(guān)系，都給我們直觀的認(rèn)識(shí)到直線與平面垂直.觀察2

如圖示，在陽光下觀察直立于底面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時(shí)間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直？ABCB′C′α1.探求新知直線AB與其影子BC所在直線始終保持垂直1.探求新知觀察3

如圖示，將一本書打開直立在桌面上，觀察書脊AB與桌面的位置關(guān)系，以及書脊與每頁書和桌面的交線的位置關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么？通過對(duì)以上現(xiàn)象的觀察與分析，可得直線與平面垂直的定義和性質(zhì).書脊AB與桌面垂直，書脊AB與每頁書和桌面的交線垂直.2.線面垂直的定義的運(yùn)用思想：線面垂直→線線垂直

判定性質(zhì)

在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．若將這一結(jié)論推廣到空間，那么過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條呢？答：有且只有一條.BAα垂線段

過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離。思考：探究二：如何證明線面垂直?實(shí)驗(yàn)：如圖，準(zhǔn)備一塊三角形的紙片ABC，過ΔABC的頂點(diǎn)A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸).思考：①折痕AD與桌面垂直嗎？

②如何翻折才能使折痕AD與桌面肯定垂直?請(qǐng)同學(xué)展示一下．

觀察上圖折痕垂直于桌面的特征，折痕滿足了什么條件才使得他與桌面垂直？折痕與桌面內(nèi)的兩條相交直線都垂直．當(dāng)AD⊥BC時(shí)，折痕AD與桌面垂直.

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．作用：判定直線與平面垂直．線面垂直線線垂直思想：3.直線與平面垂直判定定理定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎？線不在多，相交即可判定定理定義又又證明：在平面內(nèi)取兩條相交直線

如圖，已知,求證例1求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面。O結(jié)論：兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也和這個(gè)平面垂直.2.思考,下列說法正確嗎？為什么？（1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面.（

）（2）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面.（

）（3）過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直.（

）（4）過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直.（

）（5）垂直于同一條直線的兩直線平行.（

）（6）垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行.（

）（7）兩異面直線能垂直于同一平面.（)3.思考：

如圖，直四棱柱

（側(cè)棱與底面垂直的棱柱成為直棱柱）中，底面四邊形

滿足什么條件時(shí)，？(只能添加一個(gè)合適的條件)解:底面ABCD可以是菱形,正方形,或者是對(duì)角線相互垂直的任意四邊形．3

.如圖,

垂直于圓

所在平面,

是圓的直徑,

是圓周上一點(diǎn),那么圖中有幾個(gè)直角三角形?證明：(1)證明：(2)證明：(1)證明：(2)

如圖，一條直線l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角θ，叫做這條直線和這個(gè)平面的夾角.

直線與平面的夾角

直線與平面的夾角實(shí)際上就是直線與直線在平面內(nèi)的射影的夾角.

當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，它與平面的夾角為90°，當(dāng)直線與平面平行時(shí)，它與平面的夾角為0°，所以，直線與平面的夾角的范圍為[0°,90°].

直線與平面的夾角是直線與平面內(nèi)任意一條直線的夾角的最小角.求直線與平面的夾角的步驟：(1)作圖：作(或找)出斜線在平面上的射影，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，過斜線上斜足以外的一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算；(2)定角：證明某平面角就是斜線與平面的夾角；(3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算.例1．在正三棱錐P－ABC中，AB＝3，PA＝2，則直線PA與平面ABC所成角的大小為()A．30°

B．45°C．60°

D．75°A

例2

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.解：連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接A1O.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，BDCA1B1C1D1AO∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面A1DCB1.∴A1O是A1B在平面A1DCB1內(nèi)的射影.∴∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角.∴A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.∴BO=A1B，∠BA1O=30°.在Rt△A1BO中，

A1B=a，BO=a.AD

6．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是棱PD，CD的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PAC；(2)求證：EF⊥BD.(3)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，PA＝1，求：①異面直線AD，PC所成角的余弦值；②直線CP與平面PAD所成角的正弦值．

5.2平面與平面垂直的性質(zhì)第六章立體幾何初步認(rèn)識(shí)過△ABC所在平面α外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC.

(1)若PA=PB=PC，則點(diǎn)O是△ABC的____心.(2)若PA=PB=PC，∠C=90°，則點(diǎn)O是AB邊的____點(diǎn).(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都為P，則點(diǎn)是△ABC的____心.BCPAO?BCPAO?BCPAO?DFE外中垂下面我們研究直線與平面α垂直的性質(zhì)，即探究在直線a與平面α垂直的條件下能推出哪些結(jié)論.性質(zhì)1：若a⊥α，m?α，則a⊥m.性質(zhì)2：若a⊥α，b⊥α，則a//b.(性質(zhì)定理)性質(zhì)3：若a⊥α，c

α，且c⊥a，則c//α.直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一平面的兩條直線平行.性質(zhì)4：若α//β，l⊥α，則l⊥β.αβ

直線與平面垂直的性質(zhì)2.探求新知像研究直線與平面垂直一樣，我們首先應(yīng)給出平面與平面垂直的定義.那么，該如何定義呢？要研究平面與平面互相垂直，那就需要先引入兩個(gè)平面所成的角(二面角)的概念，用以刻畫兩個(gè)相交平面的位置關(guān)系，進(jìn)而研究?jī)蓚€(gè)平面互相垂直.接下來我們就來看看二面角及相關(guān)概念是如何定義的？資料一:沙發(fā)資料二:室內(nèi)一景資料三:水庫(kù)一角.這些角有何特點(diǎn)，該如何表示呢？二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱．這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．記為：二面角α--β或者二面角α-AB-βl

lAB

AB

二面角的概念：

思考：書本展開時(shí)形成的“角度”的大小如何來確定？用什么來衡量？思考1:如圖,能否用∠AOB來刻畫二面角的張開程度？lαβOAB思考2:在上圖中如何調(diào)整OA、OB的位置，使∠AOB被

二面角α-l-β唯一確定？思考3:這個(gè)角的大小是否與頂點(diǎn)O在棱上的位置有關(guān)？lαβOAB思考4:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能給二面角的平

面角下個(gè)定義嗎？OAB二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角

二面角的范圍[0°,180°]注意：二面角的平面角的三個(gè)特征:1.點(diǎn)在棱上2.線在面內(nèi)3.與棱垂直平面角是直角的二面角叫做直二面角OAB∠AOB=90°

l1.求二面角大小的步驟：(1)作—作出平面角；(2)證—明所作的角滿足定義，即為所求二面角證的平面角；(3)求—將作出的角放在三角形中，計(jì)算出平面角的大小.簡(jiǎn)稱為“一作二證三求”.2.作出二面角的平面角的方法：方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)O，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA，OB.如圖所示，∠AOB為二面角α--a--β的平面角．方法二：(垂線法)過二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)A作另一個(gè)平面的垂線AE，過垂足E作棱的垂線交棱于點(diǎn)F，連接點(diǎn)A與垂足F，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．

如圖所示，∠AFE為二面角A--BC--D的平面角．【提醒】二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)，通常可根據(jù)需要選擇特殊點(diǎn)作為平面角的頂點(diǎn)．

二面角的平面角是用來度量二面角的大小，平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度。上圖是正方體ABCD-A’B’C’D’,

二面角度數(shù)為45°BACDA’B’C’D’O2.在正方體ABCD-A′B′C′D′中，找出二面角C′-BD-C的平面角，并求其正切值.二面角C′-BD-A的平面角呢？3．如圖，點(diǎn)P在二面角α－AB－β的棱AB上，分別在α，β內(nèi)引射線PM，PN，截得PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，則二面角α－AB－β的平面角的大小為()A．45°

B．60°C．90°

D．120°C

如果兩個(gè)平面相交,且其所成的二面角是直二面角，那么我們稱這兩個(gè)平面相互垂直.畫法：記作：

兩平面互相垂直

平面與平面垂直的性質(zhì)觀察右圖的長(zhǎng)方體：αβ平面α⊥平面β,α∩β＝b,，a⊥b，這時(shí)，a⊥βab問：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β內(nèi),AB⊥MN于點(diǎn)B，這時(shí)，直線AB和平面α垂直嗎？α

β

MNABC證明：

在平面α內(nèi)作BC⊥MN，則∠ABC是二面角α-MN-β的平面角∵平面α⊥平面β∴∠ABC＝90°即AB⊥BC又AB⊥MN∴AB⊥α

α

β

a定理(平面與平面垂直的性質(zhì)定理)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面l面面垂直

線面垂直；例1.如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，判斷BC與平面PAC的位置關(guān)系，并證明。BOPAC例2：四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)求證：AE⊥平面PCD；3．(多選)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法正確的有()A．在線段AD上存在一點(diǎn)M，使AD⊥平面PMBB．異面直線AD與PB所成的角為90°C．二面角P－BC－A的大小為45°D．BD⊥平面PACABC

5.2平面與平面垂直的判定第六章立體幾何初步認(rèn)識(shí)如何檢測(cè)所砌的墻面和地面是否垂直？可以用鉛垂線判斷所在直線是否與地面垂直。找二面角的平面角說明該平面角是直角1、定義法除了定義之外，還有什么辦法嗎?（線面垂直

面面垂直）2、判定定理

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直.線面垂直面面垂直線線垂直αβlA平面與平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.符號(hào)表示：證明：ABDCE例1已知：如右圖,正方體ABCD-A'B'C'D'.求證：平面A'BD⊥平面ACC'A'.∵ABCD-A'B'C'D'是正方體，∴AA'⊥平面ABCD.又BD

平面ABCD，∴AA'⊥BD.

又AC⊥BD，AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'，又BD

平面A'BD，∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.BDCA′B′C′D′A證明：

2.已知：如右圖,

AB是⊙O的直徑,

PA垂直于⊙O所在的平面,

C是圓周上不同于A,

B的任意一點(diǎn).求證：平面PAC⊥平面PBC.∵點(diǎn)C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，∴∠BCA=90°，即BC⊥AC.又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC.又∵BC

平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.證明：設(shè)⊙O所在的平面為α，由已知條件，PA⊥α，BC

α，∴PA

⊥BC.PABOC

4.如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點(diǎn).求證：平面EBD⊥平面ABCD.

5.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M為AB的中點(diǎn)，求證：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF