高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷4(附解析)

高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷4（附解析）

一、選擇題：每小題5分，共60分.

1.（5分）直線后-y+l=0的傾斜角為（）

A.—B.—C."D.匹

6336

2.（5分）計算sin95°cos50°-cos95°sin50°的結(jié)果為（）

A.-返B.1C.返D.返

2222

3.（5分）已知圓錐的底面直徑與高都是4,則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.4TlB.4V3TTC.4折D.8

4.（5分）已知a滿足tan(a+2L)==—,則tana=()

43

A.-1B.1C.2D.-2

22

5.（5分）已知a、0均為銳角，滿足sina=±"cos0=3A,則a+0=（）

510

A.—B.—C.-D.12L

6434

6.（5分）已知正方體ABCD-ALBICLDI中，AB=2,則點C到平面BDDLBI的距離為（）

A.1B.V2C.2&D.273

7.（5分）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若包=cosB,則△A3。形狀是（）

bcosA

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

8.（5分）如圖，正方形A3CD的邊長為2,E,R分別為3C,CD的中點，沿AE,EF,剛將正方

形折起，使8,C,。重合于點O,構(gòu)成四面體A-OEF則四面體A-OEE的體積為（）

3326

9.(5分)已知點A(2,2),B(-1,3),若直線質(zhì)-y-1=0與線段A3有交點，則實數(shù)上的取值

范圍是()

A.(-8,-4)U(3,+8)B.(-4,3)

22

C.（一8,-4]U[19+8）D.[-4,.1]

10.（5分）已知機，〃表示兩條不同直線，a,0表示兩個不同平面，下列說法正確的是（）

A.若機_L〃,〃ua,則加_La

B.若加〃a,m//P，則a〃0

C.若a〃0,m//p,則加〃a

D.若機〃a,n,La,貝！J

11.（5分）如圖，一個底面水平放置的倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，容器內(nèi)有一定量的

水，水深為h,若在容器內(nèi)放入一個半徑為1的鐵球后，水面所在的平面恰好經(jīng)過鐵球的球心0

12.（5分）已知圓。：x2+^2=1,直線/：3%-4y+機=0與圓。交于A,5兩點，若圓。外一點C,

滿足京=示+瓦，則實數(shù)機的值可以為（）

A.5B.-竺C.1D.-3

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知直線人方程為x+2y-2=0,直線/i的方程為（機-1）x+（m+1）y+l=0,若h〃b,

則實數(shù)m的值為,

14.（5分）在正方體ABCD-ALBICLDI中，M,N分別為棱AD,。⑷的中點，則異面直線與AC

所成的角大小為.

15.（5分）已知△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足NB=2L,a+c=?b,則包

3c

16.（5分）已知圓。x2+y2=r2（r>0）,直線/：加計〃〉=戶與圓。相切，點尸坐標(biāo)為（m,幾），點

A坐標(biāo)為（3,4）,若滿足條件必=2的點P有兩個，則廠的取值范圍為

答案與試題解析

一、選擇題：

1.B；2.C；3.C；4.A；5.B；6.B；

7.D；8.A；9.C；10.D；11.B；12.D；

二、填空題：

13.3；14.60°；15.2或」.；16.(3,7)；

~一2一

三.解答題：本大題共6題，第17?18每題題10分，第19?21題每題12分，第22題14分，共70

分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面以。，平面ABCD,四邊形A3CD為矩形，

M為PC的中點，N為A3的中點.

(1)求證：AB1PD；

(2)求證：〃平面

18.(10分)已知sina=旦，a€(0,—)

52,

(1)求sin(a+—)的值；

4

(2)若tan0=L求tan(2a-p)的值.

3

19.(12分)在△ABC中，A(-1,2),邊AC上的高BE所在的直線方程為7x+4y-46=0,邊A5

上中線CM所在的直線方程為2x-lly+54=0.

(1)求點C坐標(biāo)；

(2)求直線的方程.

20.(12分)如圖，在△ABC中，。為邊5c上一點，AC=13,CD=5,AD=9近.

(1)求cosC的值；

(2)若cosB=&,求△ABC的面積.

5

BDC

21.（12分）如圖所示，四邊形Q4P3中，PA+PB=\Q,ZFAO=ZPBO,ZAPB=^-L.

6

設(shè)NPOA=a,△A03的面積為S.

（1）用a表示0A和0B；

（2）求△A03面積S的最大值.

22.（14分）如圖，已知圓。：/+丁2=4與y軸交于A,3兩點（A在3的上方），直線/：y=kx-4.

（1）當(dāng)左=2時，求直線/被圓。截得的弦長；

（2）若左=0,點C為直線/上一動點（不在y軸上），直線C4,的斜率分別為內(nèi)，左2,直線

CA,與圓的另一交點分別P,Q.

①問是否存在實數(shù)加，使得依=加上成立？若存在，求出機的值；若不存在，說明理由；

②證明：直線PQ經(jīng)過定點，并求出定點坐標(biāo).

答案與試題解析

三.解答題：

17.(10分)如圖，在四棱錐P-A3CD中，平面以。，平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,

“為PC的中點，N為A3的中點.

(1)求證：ABLPD-,

【解答】證明：(1)因為四邊形ABCD為矩形，

所以A3LAD,

因為平面必。，平面A3CD,平面以DA平面A3D=AD,A3u平面A3CD,

所以A3,平面PAD,

因為PDu平面PAD,

所以ABLPD,

(2)取PD的中點E,連接AE,ME,

在中，E為PD的中點，〃為PC的中點，

所以ME是△PDC的中位線，

所以ME〃CD,ME=1CD,

2

在矩形ABCD中，AB//CD,AB=CD,

所以ME〃A3,ME=1AB,

2

因為N為A3中點，

所以ME〃AN,ME=AN,

所以四邊形ANME為平行四邊形，

所以MN〃平面PAD.

18.(10分)已知sina=旦，a￡(0,—)

52

(1)求sin(a+2L)的值；

4

(2)若tanp=《，求tan(2a-0)的值.

【解答】解：⑴Vsina=2,Cte(0,—

cosa=/1-sin2a=y'

TTTT

sin(a+_ZL)sinacos——+cosasin——3乂憶4近=7近

444525210

3_

(2)..,由(1)可得tana=W,可得：tan2a=-^tan'J—=—

4l-tan2a的7

16

又tanp=-l,

絲」

Atan(2a-p)=-a-tanB=：\

l+tan2O.tanPj+^X—9

19.(12分)在△ABC中，A(-1,2),邊AC上的高BE所在的直線方程為7x+4y-46=0,邊A5

上中線CM所在的直線方程為2x-Uy+54=0.

(1)求點C坐標(biāo)；

(2)求直線3c的方程.

【解答】解：(1)AC邊上的高3E所在的直線方程為7x+4y-46=0,...總。=生

7

，AC的方程為：y-2=ACx+1),即4x-7y+18=0.

聯(lián)立(2x70+54=0,解得尤=6=y.

]4x-7y+18=0

：.C(6,6).

(2)設(shè)5(a,b),則中點號>>

,「X等-11義詈+54=0,解得『2,b=8.

7a+4b_46=0

：.B(2,8),又C(6,6).

.?.3C的方程為：y-6=—(x-6),化為：x+2y-18=0.

2-6

20.(12分)如圖，在△ABC中，。為邊3C上一點，AC=13,CD=5,AD=9瓜

(1)求cosC的值；

(2)若cosB="l,求△ABC的面積.

【解答】解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得

CC“=CA2KD2-AD2=169+25-16216.

~~2CA-CD2X13X5=65,

(2)VcosB=A,sinB=—,

55

VcosC=—,sinC=—,

6565

/.sinZJBAC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

31646312

=一可vX施二sz施F

在△ABC中，由正弦定理有AB=AC,

sinCsinB

.?.A5=ACsinC=21,

sinB

??S^ABC=—AB*ACsinZ^BAC~126.

2

21.(12分)如圖所示，四邊形0AP5中，OAA.OB,E4+PB=10,NFAO=NPBO,ZAPB=^L.

6

設(shè)NPQ4=a,△A03的面積為S.

(1)用a表示。4和

(2)求△AOB面積S的最大值.

【解答】解：(1)在△&(?尸中，由正弦定理得一=一如一

sinasinZPAO

OP

在△BOP中,由正弦定理得——祟一

sinZPBO

sin(-2--a

l

VAPAO=ZPBO,B4+PB=10,A-^J_=10-AP>

sinCIcosCL

則4p=lUsinClBP=10-10員110lOcosCI

sina+cosQsina+cosasinCl+cosd

由四邊形。4PB內(nèi)角和為2兀，可得/出。=/23。=工，

3

在△AOP中，由正弦定理得一里—，

sinasin/APO

即10OA

sinCl.+cos0..TT

sm(.z—+0.)

10sin(-5-+a.)1r

.?Q=-------2------,aE(0,—)

sina+cosa27

在△BOP中，由正弦定理得一比一=一里一

sinZBOPsinZBPO

即BP二OB

cosasin/BPO

sin(-7-+0.)

10sin(-^+a)

:?0B=-------2------,ae(0,—)

sina+cosa?)

10sinC+a)10sin(+a)

(2)△AOB面積S=LOA?OBiTV

22sina+cosdsina+cosa

50(-+sinacosa)

—4,

(sinCl+cosCL)2

令t—sina+cosa，t—a4^-)￡(1,

則S=50?(^■也等):25-25(2-”

24t22t2

當(dāng)。=&，即a=2L時，S有最大值5°+25日,

44

??.三角形OAB面積的最大值為5°+25'R.

4

22.(14分)如圖，已知圓。：f+y2=4與y軸交于A,3兩點(A在3的上方)，直線/：y=kx-4.

(1)當(dāng)k=2時，求直線/被圓。截得的弦長；

(2)若左=0,點C為直線/上一動點(不在y軸上)，直線C4,的斜率分別為M,ki,直線

CA,與圓的另一交點分別P,Q.

①問是否存在實數(shù)如使得力=機左2成立？若存在，求出機的值；若不存在，說明理由；

②證明：直線PQ經(jīng)過定點，并求出定點坐標(biāo).

【解答】解：(1)當(dāng)左=2時，直線/的方程為2x-y-4=0,

圓心O到直線I的距離公黨0-0-4|=g,

722+12V5

所以，直線/被圓。截得的弦長為241=2以電=茅.

(2)若左=0,直線/的方程為y=-4,

①設(shè)C(xo,-4),則依=2Y-4)=左2=-2Y-4)=-_