數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊3數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊21-數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊2

§2空間向量與向量運(yùn)算

(1)經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.

最新課標(biāo)(2)經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程.

(3)了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.

2.1從平面向量到空間向量

2.2空間向量的運(yùn)算

第1課時(shí)空間向量的加減法空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

w川加川川州川勿拼川w"川州川出川卅卅卅州卅州卅,03團(tuán)即圖?［課］liy［預(yù)［w/卅卅川川川川川川他/w川川川加卅WWIWIIHWHI"

［教材要點(diǎn)］

要點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念

定義在空間，把具有________和_______的量叫作空間向量.

長度向量的_______叫作向量的長度或________.

①幾何表示法：空間向量用_______表示.

表示法②字母表示法：若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量a也可以記作說，

其模記為⑷或1屈1.

狀元隨筆空間向量在空間中是可以任意平移的，這是向量與有向線段的本質(zhì)區(qū)別.

要點(diǎn)二幾類特殊向量

相等向量方向________且?！猒____的向量

自由向量與向量的起點(diǎn)_______的向量

相反向量方向________且?！猒____的向量

零向量模為0的向量,記為0

共線向量

兩條有向線段所在的直線____一__或_________時(shí)的兩個(gè)向量

(平行向量)

共面向量平行于同一平面的向量

狀元隨筆空間向量的定義、表示方法及零向量、單位向量、相反向量和相等向量的概

念都與平面向量相同，因此可以進(jìn)行類比學(xué)習(xí).

要點(diǎn)三空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算

運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律

名(1)交換律：

a+b=__________；

加法

三角形法則(2)結(jié)合律：

a+b

(a+b)+c=

平行四邊形法則

減法

a—b=a+(—b)

a-bz2ar

數(shù)乘⑴La=________；

Xa（2）當(dāng)2>0時(shí)，M的方向與a(i+4)a=2a+4a；

的方向________;當(dāng)2<0時(shí)，

癡的方向與a的方向

________；當(dāng)2=0時(shí)，〃=0

狀元隨筆1.當(dāng)兩個(gè)以上的空間向量相加時(shí)，可將三角形法則推廣到多邊形法則：n個(gè)向

量首尾順次相接，則封閉折線的起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段表示的向量就是它們的和，即

AoA］+AiA2+A2A3H-----FAn-2An-l+An-iA?=AoAn.

2.對空間向量數(shù)乘運(yùn)算的理解：

（1）實(shí)數(shù)與空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如海無意義.

（2）任何實(shí)數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向量.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算可以把向量的模擴(kuò)大（當(dāng)內(nèi)

>1時(shí)），也可以縮?。ó?dāng)囚<1時(shí)）；可以不改變向量的方向（當(dāng)人>0時(shí)），也可以改變向量的

方向（當(dāng)九<0時(shí)）.

（3）注意實(shí)數(shù)與向量的乘積的特殊情況：當(dāng)入=0時(shí)，"=0；當(dāng)？two時(shí)，若9=0,則xa=

0.

（4）①由于向量b可平移到同一個(gè)平面內(nèi)，故了±1）,Xa,九b,九能b）也都在這個(gè)平面內(nèi)，

而平面向量滿足數(shù)乘運(yùn)算的分配律，所以空間向量也滿足數(shù)乘運(yùn)算的分配律.

②根據(jù)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算的定義，結(jié)合律顯然也成立.

要點(diǎn)四共線向量基本定理

空間兩個(gè)向量a,仇6X0）共線的充要條件是.

［基礎(chǔ)自測］

1.思考辨析（正確的畫“J”，錯誤的畫“X”）

（1）若表示兩個(gè)相等空間向量的有向線段的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同.（）

（2）空間兩個(gè)向量的加減運(yùn)算與平面內(nèi)兩向量的加減法運(yùn)算完全一致.（）

（3）空間兩非零向量相加時(shí)，一定可用平行四邊形法則運(yùn)算.（）

（4）在四邊形ABC3中，一定有屈+而=同.（）

2.如圖，已知平行六面體ABCD—A山Ci?！痹谙铝羞x項(xiàng)中，與而相等的向量是（）

A.ABB.A\C\

C.BAD.A4i

3.［多選題舊知空間向量通，BC,CD,AD,則下列結(jié)論正確的是（）

A.AB=BC+CDB.AB-DC+BC=AD

C.AB=AB+BC+CDD.BC=BD-DC

4.在三棱錐4-BCZ）中，若是正三角形，E為其中心，則通+［前一|尻一而化

簡的結(jié)果為.

I川川川川川川川川川川川川川川川川川用川川川川“川川川川］國畫廊園?明堂I解I透IW""冏川伽"伽州卅伽川"川川"伽冏川1卅/

題型一有關(guān)空間向量概念的理解

例1(1)［多選題］下列說法中正確的是()

A.若⑷=依，則a,/＞的長度相同，方向相同或相反

B.若向量。是向量分的相反向量，貝1］|。|=向

C.空間向量的減法滿足結(jié)合律

D.若空間向量機(jī)，n,p滿足機(jī)=","=p,則m=p

(2)如圖所示，在平行六面體ABC。一A5C。中，頂點(diǎn)連接的向量中，與向量而相等的

向量有;與向量取于相反的向量有.(要求寫出所有適合條件的向量)

方祓粗的

解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn)

(1)關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向.

(2)注意點(diǎn)：注意一些特殊向量的特性.

①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說明了

共線向量不具備傳遞性.

②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.

③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量：反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，

方向也相同.若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄?

跟蹤訓(xùn)練1下列關(guān)于單位向量與零向量的敘述正確的是()

A.零向量是沒有方向的向量，兩個(gè)單位向量的模相等

B.零向量的方向是任意的，所有單位向量都相等

C.零向量的長度為0,單位向量不一定是相等向量

D.零向量只有一個(gè)方向，模相等的單位向量的方向不一定相同

題型二空間向量的運(yùn)算

例2⑴侈選題］如圖，在長方體中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為甌*的是()

A.AJDJ—A1A—ABB.BC+BB1一D1C1

C.AD—AB—DD1D.B】Di—AiA+DD1

(2)如圖所示，在平行六面體A8CD-A山IGDI中，設(shè)AAi=a,AB=b,X5=c,M,N,

P分別是BC,CQi的中點(diǎn)，試用a,b,c表示以下各向量:

①和②中；③加+殖.

結(jié)合數(shù)乘向量、三角形法則及平行四邊形法則求解.

狀元隨筆和空間向量的線性運(yùn)算相關(guān)的結(jié)論.

(1)位置向量：AB=而-0A.

(2)在平行六面體ABCD—AiBiGDi中，有AG=屈+而+AA卜

(3)若G為4ABC的重心，則就+前+而=0.

(4)若O為空間中任意一點(diǎn)，則

①點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)的充要條件是而=，(OA+OB)；

②若G為4ABC的重心，則前=[(OA+OB+OC).

方法膽fri)

進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是在正確運(yùn)用數(shù)乘運(yùn)算律的基礎(chǔ)上進(jìn)行向量求和，即通過

作出向量，運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則求和.運(yùn)算的關(guān)鍵是將相應(yīng)的向量放到同一個(gè)

三角形或平行四邊形中.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知空間四邊形OABC,M,N分別是邊OA,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在

MN上,且MG=2GM設(shè)加=a,而=8,0C=c,試用a,b,c表示向量玩.

題型三共線向量定理的應(yīng)用

例3(1)設(shè)ei，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知的=ei+&e2,前=5ei+4e?,DC=-

ei-2e2,且A,B,。三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù).

(2)如圖所示，已知空間四邊形A8CO,E,，分別是邊AB,的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是邊

CB,8上的點(diǎn)，且序=|而，而=|麗.求證：四邊形EFGH是梯形.

狀元隨筆證明四邊形EFGH為梯形，必須證明兩點(diǎn)：①圓〃而，|麗|W|記|；

②F不在EH上，否則E,F,G,H四點(diǎn)可能共線.

方法技佃

1.證明(或判斷)A,B,。三點(diǎn)共線，只需證明存在實(shí)數(shù)九使屈=人前即可.也可用“對

空間任意一點(diǎn)。，有而=r6X+(l—。充”來證明三點(diǎn)共線.證明三點(diǎn)共線時(shí)，關(guān)鍵是利用

向量的線性運(yùn)算將相關(guān)向量線性表示.

2.證明兩直線平行時(shí)，先從直線上取有向線段來表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)

算并結(jié)合共線向量定理證明向量共線，再利用兩向量不在同一條直線上得到線線平行.

說明：對于空間的線面平行、面面平行的證明問題，可根據(jù)判定定理將其轉(zhuǎn)化為證明線

線平行，然后利用共線向量定理進(jìn)行證明.

跟蹤訓(xùn)練3已知非零向量a、b,且屈=a+2b,BC=-5a+6Z>,麗=7a—2b,貝U一定

共線的三點(diǎn)是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

易錯辨析錯把向量與平面平行認(rèn)為線面平行

例4已知48,C。是異面直線，CDua,AB//a,M,N分別是AC,8。的中點(diǎn).證

明：MN//a.

證明：因?yàn)镃￡)ua,AB//a,且AB,CO是異面直線，所以在平面a內(nèi)存在向量a,b

使得的=a,CD=/>,且兩個(gè)向量不共線.

由M,N分別是AC,8。的中點(diǎn)，得麗=：(MA+AB+BN+MC+CD+DN)=|(AB+CD)

=9（a+b）.

所以MH,a,h共面，

所以〃代〃6（或即\上”.

若MNua,

則AB,CD必在平面a內(nèi)，

這與已知AB,CD是異面直線矛盾.故MN〃a.

【易錯警示】

易錯原因糾錯心得

線面平行要求直線必須在平面外，而在利用

本題易由而=；（”+。）直接得到MN〃a.忽略

向量證明線面平行時(shí)，需要說明對應(yīng)的直線

對MNua這種情況的討論.和平面之間的位置關(guān)系.

［課堂十分鐘］

1.下列說法正確的是（）

A.如果兩個(gè)向量不相等，那么它們的長度不相等

B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小

C.向量模的大小與方向有關(guān)

D.向量的?？梢员容^大小

2.在平行六面體ABC￡M|BiG。中，下列四對向量：

①元與函；②斌與西；③碩與于；④福與瓦其中互為相反向量的有〃對,

則n等于（）

A.1B.2

C.3D.4

3.在四邊形ABCC中，若的=次，Ji|AC|=|BD|,則四邊形ABC。為（）

A.菱形B.矩形

C.正方形D.不確定

4.在平行六面體ABCO—AIiGDi中，M為4G與的交點(diǎn).若第=a,AD=Z?,

A4=c，則下列向量中與麗相等的是（）

A.--<z+-Z>+cB.-a+-6+c

2222

C.--a--b-\-cD.-a--ft+c

2222

5.在六棱柱中，化簡瓦匕一樂+標(biāo)+麗+并在圖中標(biāo)出

化簡結(jié)果的向量.

第1課時(shí)空間向量的加減法空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

新知初探?課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)一

大小方向大小模有向線段

要點(diǎn)二

相同相等無關(guān)相反相等平行重合

要點(diǎn)三

b+aQ+S+C)\X\\a\相同相反

要點(diǎn)四

存在唯一的實(shí)數(shù)2,使得。

［基礎(chǔ)自測］

1.⑴J(2)V(3)X(4)X

2.解析：與而相等的向量是BiA「

答案：C

3.答案：BC

4.解析：

延長￡)E交邊8c于點(diǎn)F,則有屈+：資=屈，|玩+詬=云5+麗=扉,故魂+：阮一

-DE-AD=O.

2

答案：0

題型探究?課堂解透

例1解析：(1)|。|=步|,說明a與b模相等，但方向不確定；對于a的相反向量b——a,

故⑷=|旬，從而B正確；只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律；根據(jù)相等向量的定義

知D正確.故選BD.

(2)根據(jù)相等向量的定義知，與向量而相等的向量有麗CC7,DD7,與向量麗相反的

向量有由*,BA,CD,CD7.

答案：(1)BD(2)BB7,CC7,DD7BW,BA,CD,C7^.

跟蹤訓(xùn)練1解析：因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾模议L度為0,兩個(gè)單位向量的模相等，

但方向不一定相同，故選C.

答案：C

例2解析：(1)A中，耳目一中一通=再一靠=甌；

B中，BC+BB7-D1C1'=BC7+CiD^BD7；

c中，AD-AB-DD7=BD-W=BD-W=B7D*BD^；

D中，瓦瓦一中+西=壽+宿+西=西+宿力西.故選AB.

(2)①：點(diǎn)P是GA的中點(diǎn)，AP=AA7++|AB=a+c+i/>,

A1DI+D^P=AA7+AD

②?.,點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，/.AJV=AA7+AB+BN=-/iA7+AB+iAD=-a+b+^c,

③?點(diǎn)M是AAi的中點(diǎn)，MP+NC^=MA7+AiD；+D7P+NC+CC7=|a+c+|z>+jc

+a=-a+-6+-c.

222

答案：(1)AB(2)見解析

跟蹤訓(xùn)練2解析：OG=OM+MG

=iOA+-MN

23

=iOA+|(MA+AB+BN)

=—OA+—(-OA+OB-OA+-BC)

=i0A+|[OB-1OA+i(OC-OB)]

=-0A+-OB+-OC=-a+-b+-c.

633633

例3解析：(1)AD=AB+BC+CD=(ei+履2)+(5?1+4e2)+(ei+2。2)=7g+(Z+6)C2.

設(shè)AD=ZAB,則7ei+(k+6)e2=%(ei+ke2),

所以L/tlu，解得％=i.

(入k=k+6

(2)證明：???￡,H分別是邊AB,AQ的中點(diǎn)，.\AE=|AB,AH=|AD.

則郁=AH-靠=萍_［麗="前