高中數(shù)學(xué)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》練習(xí)題（附答案解析）

高中數(shù)學(xué)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》練習(xí)題（附答案解析）

一、單選題

1.在極坐標(biāo)系中，圓夕=2cos。的垂直于極軸的一條切線方程為（）

A.pcos9=2B.pcos^=lC.夕sin6=2D.psin^=1

x=t2

2.參數(shù)方程（其中，eR）表示的曲線為（）

[y=t

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

3.極坐標(biāo)方程夕2sin。-夕=0的直角坐標(biāo)方程為（）

A.J+y2=0或y=]BX=1C.丁+丁2=0或x=iD.y=l

4.在極坐標(biāo)系中，下列方程表示圓的是（）

A.tan^=lB.psin0=\

兀兀

C.eD.

6p=%

)

6.已知實(shí)數(shù)。，〃滿足/+序=6,則而的取值范圍是（)

A.(0,3]B.(-QO,3]C.(―(^,-3][3,D.[-3,3]

戶尉帕圓卜=28cosa?為參數(shù)）上一點(diǎn),

7.且在第一象限，。尸（。為原點(diǎn)）的傾斜角為m，則點(diǎn)尸

y=4sina6

的坐標(biāo)為（）

C.（2^/3,3）D.（4,3）

8.在極坐標(biāo)系中，直線psin正被圓Q=4截得的弦長為（）

A.710B.y/1C.V13D.25/14

9.已知復(fù)數(shù)4,z?滿足匕+1|+卜-1|=20,卜-利=2,（其中i是虛數(shù)單位），則k-Z21的最大值為（）

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A.3B.5C.2石D.25/2+2

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓X2+產(chǎn)=4上三點(diǎn)A（xi,yi）,8（x2,?）,CCxj,ys）構(gòu)成正三角形ABC,

那么x；+x；+W=（）

A.0B.2C.3D.6

二、填空題

fx'-3x1

II.在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換"C'則點(diǎn)A&,-2）經(jīng)過變換后所得的點(diǎn)A的坐標(biāo)為

12.在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線C的參數(shù)方程為F=^cosa，（其中0為參數(shù)），則曲線c的普通方程為

y=sma

IX=1+2/?ri

13.參數(shù)方程，。（f為參數(shù)，te0」）對(duì)應(yīng)曲線的長度為____.

[y=-3+3r

x~~y[t，v+2

14.變量x、y滿足,—。為參數(shù)），則代數(shù)式小4的取值范圍是___________.

y=2\/\-tx+2

三、解答題

15.將下列曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程

（1）2=4sin8

（2）/9=sin6+2cos〃

（3）O=—

6

JV=rcose

一.：表示什么曲線？（其

{y=rsinU

中『是正常數(shù)，e在。2兀）內(nèi)變化）

fx=tz+rcos￡?「、

（2）在直角坐標(biāo)系中，＜八.八，表示什么曲線？（其中。、b、廠是常數(shù)，且廣為正數(shù)，。在[0,2兀）

[y=0+rsin〃

內(nèi)變化）

17.在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為卜=6+“osa（f為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的

y=tsma

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Q

正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為系==、直線/與曲線C相交于A,8兩點(diǎn)，

5-3cos2。

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若AM=2M8,求直線/的斜率.

18.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的方程為V+(yT)2=LP為曲線G上一動(dòng)點(diǎn)，且O2=2OP,點(diǎn)。的

軌跡為曲線c°.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

⑴求曲線c-G的極坐標(biāo)方程；

(2)曲線G的極坐標(biāo)方程為。2=二9/，點(diǎn)〃為曲線C3上一動(dòng)點(diǎn)，求|M2|的最大值.

參考答案與解析：

I.A

【分析】利用圓的極坐標(biāo)方程，結(jié)合直線的極坐標(biāo)方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】在極坐標(biāo)系中，圓P=2cose的圓心為(1,0),半徑為1,如圖所示:

TT

所以該圓的垂直于極軸的切線方程為：或夕cos，=2,

故選：A

2.D

【分析】將參數(shù)方程化為普通方程即可得到結(jié)果.

【詳解】由參數(shù)方程可得曲線普通方程為：V=x,??.曲線為拋物線.

故選：D.

3.A

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fx2+y2=p~2

【分析】利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式x=pcos。,即可得到答案.

y=psind

【詳解】由曲線的極坐標(biāo)方程?<皿6-夕=0,兩邊同乘夕，pT#p2(psin0-l)=O,

222

廠+y=p~

再由<X=PCOS。,可得：(％2+)，)(丁-1)=0=12+,2=?；?、=1,

y=psind

故選：A

4.D

【分析】將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直角坐標(biāo)方程可得答案.

【詳解】由tan9=l及tanO=2,可得x-y=0,該方程表示直線；故A不正確；

X

由夕sin，=l及夕sin〃=y,可得y=l,該方程表示直線；故B不正確；

由。及tan，=2,x>0,得y=1x,x>o,該方程表示射線；故C不正確；

由0=已及得/+戶長］，該方程表示圓；故D正確.

故選：D

5.A

【分析】極徑夕=|。兒極角6滿足tan6=?,但要注意點(diǎn)？所在的象限.

故選：A.

6.D

【分析】根據(jù)圓的參數(shù)方程可設(shè)。=#sin。，b=Rcos。,再用二倍角公式整理計(jì)算.

【詳解】Va2+b2=6>不妨設(shè)〃=J^sin。，b=76cos0

則ab=6sin6cos，=3sin28￡[-3,3]

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故選：D.

7.B

【分析】設(shè)點(diǎn)P(26cosa,4sina)(0<a<?|,由已知條件可得出關(guān)于sine、cosa的方程組，解出sine、

cosa的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸(2月cosa,4sina10<a<g],%,=%一=^tana=g

'2；273cosa33

所以，tana=二

2

sina1

tana=-----=—

coser2sincr=——

5

所以，sin2er+cos2a=1,解得

2退'

sina>0cosa=----

5

因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

故選：B.

8.D

【分析】根據(jù)題意，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后利用直線與圓的位置關(guān)系，直接列公式求出弦

長即可

【詳解】由已知，Osin=將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得x-y+2=0和/+丁=16,

圓心到直線的距離"=/=&，故￡=2,心-儲(chǔ)=2716-2=2V14

故選：D

9.B

【分析】轉(zhuǎn)化橢圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最大值即可

【詳解】復(fù)數(shù)4在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)分別在(-1,0),(1,0)的橢圓，方程為1+丁=1；

復(fù)數(shù)4在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為圓心在(0,2),半徑為2的圓，方程為r+(),一2)2=4,

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圓心C(0,2)的距離的最大值加半徑.

設(shè)A(&cossin0).

|OC|2=2cos2e+(sin6-2)2=2cos2S+sin?6-4sine+4

=6—sin2夕一4sin，=-(sin6>+2)2+10G[1,9|

所以|OC|￡[1,3].

[z]—zj=3+2=5

I14Imax

故選：B

10.D

【分析】分別設(shè)A(2cos6,2sine),82cos(6+等,2sin(^+—jj,cl2cos(0+4TT,2sin(e+^)),計(jì)算

T

X；+考+x；,利用三角函數(shù)化簡即可.

【詳解】因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，

所以設(shè)A(2cos6?,2sin(9),32cos(9+與),2sin］，+,

cf2cos^+^,2sin(e+t

21+4cos2(e+普

故X：+*=4COS2^+4COS20+

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2

—sin0、2+4(」cos6+且sin，

=4cos?e+4cos0-

22J22

=4cos*+cos?，+3sin29+cos2^+3sin2^

6(cos2^+sin2^)=6,

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)A,B,C在圓上且構(gòu)成正三角形A8C設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)為

A(2cos8,2sin,B[2cos夸)2sin(8+?),2sin(e+號(hào)))，是解題的關(guān)鍵.

[o+C2cose+

11.(1,-1)

x=3x

【解析】由伸縮變換得，1即可求出.

y=2y

[x'=3x卜'=3%

【詳解】設(shè)A。，，V),由伸縮變換仍°,得到，1,

[2y=yly=-y

由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為(g,-2),于是_/=3*；=1,丫'=?(-2)=-1,

所以”的坐標(biāo)為(1,-1).

故答案為：(1,-D.

12.—+/=1

5-

【分析】根據(jù)si/c+cos2a=1消去參數(shù)，即可得到曲線的普通方程；

【詳解】解：因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為[x=^c°sa(其中a為參數(shù)),

y=s\na

又sin，a+cos2a=1,所以曲線C的普通方程為+y2=1；

5

故答案為：y+r-1

13.V13

【分析】把參數(shù)方程化為普通方程，并判斷曲線形狀，進(jìn)而得出曲線的長度.

fX=l+2r?rIri

【詳解】參數(shù)方程＜..□為參數(shù)，re0,1),消去，得3x-2y-9=0,xe1,3,

[y=-3+3r

其表示一條線段，線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別為(1，-3),(3,0),

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線段的長度為J(l-3)2+(-3-0)2=g.

故答案為：A/15.

14.

y+2_>'-(-2)

【分析】根據(jù)參數(shù)方程求出動(dòng)點(diǎn)(x,)，)的軌跡方程,可看成點(diǎn)(-2,—2)與點(diǎn)(x,y)連線斜率,

x+2x-(—2)

數(shù)形結(jié)合即可求解.

X=y[ty?

【詳解】由y_2?7消去參數(shù)/可得/+]=1(工20?20)，

則M(x,)，)的軌跡為橢圓在第一象限的部分(包含與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)),

y+2y-(-2)

77r7r的可看成點(diǎn)A(-2,-2)與點(diǎn)M(x,y)連線斜率,

如圖，8(1,0),C(0,2),

y+2_y-(-2)2

----=----7--r￡[2八8，240]=§，2,

X4~2X-(-2)

故答案為：I，2.

15.(1)x2+(y-2)2=4；(2)(x-l)2+y也;⑶，亭

【分析】由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)夕=4sinen/?2=4psin^=>x2+y2=4y=>x2+(},-2)2=4；

(2)p=sin，+2cos〃n/?2=psin^+2/?cos^=>x2+y2=y+2xn(x-l)-+(y-g)

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（3）?==

6-3

【點(diǎn)睛】本題考查將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，屬于基礎(chǔ)題.

16.（1）表示以原點(diǎn)為圓心，『為半徑的圓；（2）表示以（。力）為圓心，r為半徑的圓.

【分析】消參法：同角三角函數(shù)的平方關(guān)系消去cos。,sin。，將參數(shù)方程化為一般方程，即可判斷方程所代

表的曲線.

fx=rcosO

【詳解】⑴./化為（n

[y=rsind

x=rcos0

一（其中「是正常數(shù)，，在。2兀）內(nèi)變化）表示以原點(diǎn)為圓心，〃為半徑的圓.

y—rsin0

化為(…Mi)”，

Ay=：b+rs嗎in0,\\/

x=a+A*cos9

一人.；，表示以（a,b）為圓心，，?為半徑的圓.

y=b+rs\nO

17.(1)—+/=1

⑵等

x=pcosd

【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)直角的轉(zhuǎn)化y=「sin。,運(yùn)算求解；（2）聯(lián)立直線/的參數(shù)方程和曲

P2=x2+y2

線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.

,..2=8________________8________________4

222222

【洋解】（1）P-5-3COS26?-5（cos6>+sin6>）-3（cos61-sin0）~cos6>+4sin（則

p2cos20+422sin26^=4,

2

/.x2+4/=4,即亍+y2=i,

故曲線。的直角坐標(biāo)方程為二+丁=1.

4

（2）將直線/的參數(shù)方程為卜=G+'c°saG為參數(shù)）代入曲線C的直角坐標(biāo)方程為《+y2=],得

y=Zsina4

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2

+/cosa

+(/sina)-=1

4

整理得(cos%+4sir|2+(2百cosa)/-1=0,

設(shè)A,B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為乙/，則4+/,=--26cosa,，柱=一_._1_—

cos"a+4sinacosa+4sina

''AM=2MB>則L=-2,2,

4Gcosa

(\=~2t2

cos2a+4sin2a

聯(lián)立」2>/3cosa，解得

A+t2=------------.2—26cosa

cos~a+4Asin~a

cos2a+4sin2a