歷屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）試題集(1986-2019)

第1屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（1986年）

?外6，…，名為實(shí)數(shù)，如果它們中任意兩數(shù)之和非負(fù),

那么對(duì)于滿足

靠+毛+…+蘢=1

的任意非負(fù)實(shí)數(shù)不，無，…，及有不等式

成立。請(qǐng)證明上述命題及其逆命題。

?在A3C中，3C邊上的高4。=12,NA的平分線AE=13。

設(shè)3C邊上的中線AF=根，問根在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，NA分

別為銳角、直角、鈍角。

?設(shè)Z1,Z2,…，Z,為復(fù)數(shù),滿足⑷+匹|+...+|司=1,求證：

上述〃個(gè)復(fù)數(shù)中，必存在若干個(gè)復(fù)數(shù)，它們的和的模不小于

1/6o

?已知平行四邊形￡8巴七的四個(gè)頂點(diǎn)位于A3C的邊上，求

證：四個(gè)三角形REK，REB，RRB，中，至少

有一個(gè)的面積不大于A3C面積的四分之一。

-2-

?能否把1,1,2,2,3,3,…，1986,1986這些數(shù)重新

排成一行，使得兩個(gè)1之間夾著一個(gè)數(shù)。兩個(gè)2之間夾著兩

個(gè)數(shù)，…，兩個(gè)1986之間夾著一千九百八十六個(gè)數(shù)？請(qǐng)證

明你的結(jié)論。

?用任意的方式，給平面上的每一個(gè)點(diǎn)染上黑色或白色。求

證：一定存在一個(gè)邊長(zhǎng)為1或右的正三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)

是同色的。

第2屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1987年)

?設(shè)〃為自然數(shù)。求證：方程

z,,+,-zn-1=0

有模為1的復(fù)根的充分必要條件是“+2可被6整除。

?把邊長(zhǎng)為1的正ABC的各邊都〃等份，過各分點(diǎn)作平行

于其它兩邊的直線，將這三角形分成小三角形。各小三角形

的頂點(diǎn)都稱為結(jié)點(diǎn)。在每一結(jié)點(diǎn)上放置一個(gè)實(shí)數(shù)。已知

(I)A,B,c三點(diǎn)上放置的數(shù)分別為

(II)在每個(gè)由公共邊的兩個(gè)最小三角形組成的菱形之

中，兩組相對(duì)頂點(diǎn)上放置的數(shù)之和相等。

試求：

(1)放置最大數(shù)的點(diǎn)與放置最小數(shù)的點(diǎn)之間的最短距

離r;

(2)所有結(jié)點(diǎn)上的數(shù)的總和S；

-4-

?某次體育比賽，每?jī)擅x手都進(jìn)行一場(chǎng)比賽。每場(chǎng)比賽一

定決出勝負(fù)。通過比賽確定優(yōu)秀選手。選手A被確定為優(yōu)秀

選手的條件是：對(duì)任何其他選手3,或者A勝6；或者存在

選手C,。勝A勝C。

如果按上述規(guī)則確定的優(yōu)秀選手只有一名，求證：這名

選手勝所有其他的選手。

?在一個(gè)面積為1正三角形內(nèi)部，任意放五個(gè)點(diǎn)。試證：在

此正三角形內(nèi)，一定可以作三個(gè)正三角形蓋住這五個(gè)點(diǎn)，這

三個(gè)正三角形的各邊分別平行于原三角形的邊，并且它們的

面積之和不超過0.640

?設(shè)AAAA是一個(gè)四面體，5,s2,S3,&分別是以A，4,

A，4為球心的球，它們兩兩相切。如果存在一點(diǎn)。，以這

點(diǎn)為球心可作一個(gè)半徑為廠的球與s2,S3,s,都相切，還

可作一個(gè)半徑為H的球與四面體的各棱都相切。求證：這個(gè)

四面體是正四面體。

?加個(gè)互不相同的正偶數(shù)與71個(gè)互不相同的正奇數(shù)的總和

為1987,對(duì)于所有這樣的根與八，問3帆+4八的最大值是多少？

請(qǐng)證明你的結(jié)論。

-6-

第3屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（1988年）

?設(shè)4，6，…，縱是給定的不全為0的實(shí)數(shù)，大石，…,

4是實(shí)數(shù)，如果不等式

彳（內(nèi)—4）+心（工,-a,）+…（x“一a“）wJxj+x,-+…+x“~一Jaj+a,~+...+《；

對(duì)任何實(shí)數(shù)不，九2，…，兒成立，求小r2,???,北的值。

?設(shè)G，G是同心圓，G的半徑是G半徑的2倍。四邊形

AAAA內(nèi)接于G，將A3,延長(zhǎng)交圓G于4,AA延長(zhǎng)交圓C?于

2，AA延長(zhǎng)交圓c2于區(qū)，AA延長(zhǎng)交圓。2于其。試證：四邊

形與2區(qū)比的周長(zhǎng)大于等于2倍的四邊形AAAA的周長(zhǎng)。并

請(qǐng)確定等號(hào)成立的條件。

?在有限項(xiàng)的實(shí)數(shù)列q,a2,…，an(*)中，如果有一段

數(shù)區(qū)，4“，…，&+”的算術(shù)平均值大于1988,那么我們把

這段數(shù)叫做一條“龍”，并把《稱為這條龍的“龍頭”(如果

某一項(xiàng)風(fēng)＞1988,那么單獨(dú)這一項(xiàng)也是龍)。

假定(*)中至少存在一條龍，證明(*)中全體可以作

為龍頭的項(xiàng)的算數(shù)平均值也必定大于1988。

?(1)設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)”，6,C滿足(a2+〃+c2『＞2(a4+〃4+04)。

求證：a,b,。一定是某個(gè)三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)。

(2)設(shè)〃個(gè)正實(shí)數(shù)q,。2，…，4滿足不等式

2

(囚2+w+…+)＞(〃—l)(q4+”2"+...+),??23

求證：這些數(shù)中的任何三個(gè)一定是某個(gè)三角形的三個(gè)邊長(zhǎng)。

-8-

?給出三個(gè)四面體4￡。0(i=L2,3)，過點(diǎn)6，C，。作平

面/,￡,%(i=L2,3),分別與棱A￡，AC，垂直(，=1，2,3)o

如果九個(gè)平面a，力，%(i=L2,3)相交于一點(diǎn)E,而三點(diǎn)A，

A，A在同一直線,上，求三個(gè)四面體的外接球面的交集。(形

狀怎樣？位置如何？)

?如“是不小于3的自然數(shù)，以〃冷表示不是〃的因數(shù)的最

小自然數(shù)(例如/(12)=5)。如果/(八)23,又可作〃/(叫。類

似地，如果/(/(?))>3,又可作/(/(/(?)))等。如果

/(/(…/⑺…))=2,就把左叫做，的“長(zhǎng)度就如果用/“表示

k個(gè)f

〃的長(zhǎng)度，試對(duì)任意的自然數(shù)〃(匕3)求/〃，并證明你的結(jié)

論。

第4屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1989年)

?在半徑為1的圓周上，任意給定兩個(gè)點(diǎn)集A,B,它們都

由有限段互不相交的弧組成，其中B的每段弧的長(zhǎng)度都等于

生，機(jī)是個(gè)自然數(shù)，用A，表示將集合A沿反時(shí)針方向在圓周

tn

上轉(zhuǎn)動(dòng)巨(1,2,3...)弧度所得的集合。求證：存在自然數(shù)

m

k,使得

這里/(x)表示組成點(diǎn)集X的互不相交的弧段的長(zhǎng)度之和。

?設(shè)無，及(H>2)都是正數(shù)且￡X,=1,求證

1=1

-10-

?設(shè)S是復(fù)平面上的單位圓周(即模等于1的復(fù)數(shù)的集合),

了是從S到S的映射，對(duì)于任何zeS,定義

■)(z)=f(z),r\z)=/(/(z)),

嚴(yán)(z)=f(/(."⑺))，…

k個(gè)f

如果ceS及自然數(shù)〃使得

/⑴?HC,/⑵(c)￥c,…，/(T(c)wc,/⑺?=c

我們就說c是/的拉—周期點(diǎn)。

設(shè)相是大于1的自然數(shù)，/的定義如下

〃z)=z%zeS

試計(jì)算/的1989-周期點(diǎn)總數(shù)。

?設(shè)點(diǎn)。、E、E分別在ABC的三邊5。、C4、上，且

AEF,BFD,CDE的內(nèi)切圓有相等的半徑廠。又以〃和

R分別表示。石尸和A5C的內(nèi)切圓半徑，求證

廠+心=R

?空間中有1989個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共線，把他們分成

點(diǎn)數(shù)各不相同的30組，在任何三個(gè)不同的組中各取一點(diǎn)為

頂點(diǎn)作三角形。問：要使這種三角形的總數(shù)最大，各組的點(diǎn)

數(shù)應(yīng)為多少？

?了是定義在(1,物)上且在(l,+oo)中取值的函數(shù)，滿足條件:

對(duì)任何％,y>l及〃,丫>0都成立

試確定所有這樣的函數(shù)/。

-12-

第5屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1990年)

?如圖1,在凸四邊形ABC。中，A3與S不平行，圓Q過A、

5且與邊C。相切于尸，圓a過C、。且與邊AB相切于Q,圓

。與圓a相交于七、F0求證：E/平分線段尸Q的充分必要

條件是BC〃AZX

?設(shè)％是一個(gè)自然數(shù)。若一串自然數(shù)4=1,%，兀，…，兀t，

X,=x,滿足兀T<%,4|兀，1=1,2,則稱兀｝為X的

一條因子鏈，/為該因子鏈的長(zhǎng)度?！皒)與R(x)分別表示無的

最長(zhǎng)因子鏈的長(zhǎng)度和最長(zhǎng)因子鏈的條數(shù)。

對(duì)于％=5r31"&1990”(3加，〃是自然數(shù))，試求L(x)與H(x)。

?設(shè)函數(shù)對(duì)于1之0有定義，且滿足條件：

(1)對(duì)任何％,y?0,

(2)存在常數(shù)例>(),當(dāng)OWxKl時(shí)，|/(x)|<Mo

求證：/(x)<x2

?設(shè)。是給定的正整數(shù)，A和3是兩個(gè)實(shí)數(shù)，試確定方程組

X2+y2+z2=(&)

尤2(Ax?+By2)+y2(Ay?+Bz2)+z2(Az)+Bx2)=：(2A+初.)，

有正整數(shù)解的充分必要條件(用A,3的關(guān)系式表示，并予

以證明)。

-14-

?設(shè)X是一個(gè)有限集合，法則/使得X的每一個(gè)偶子集上

(偶數(shù)個(gè)元素組成的子集)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)/(E),且滿足條

件：

(I)存在一個(gè)偶子集。，使得〃。)>1990;

(II)對(duì)于X的任意兩個(gè)不相交的偶子集A,B,有

/(AB)=/(A)+/(B)-1990

求證：存在X的子集P和。，滿足

(1)P2=0,PQ=X；

(2)對(duì)尸的任何非偶子集S,有/(S)>1990;

(3)對(duì)0的任何偶子集T,有〃7)<1990。

?凸〃邊形及〃-3條邊在形內(nèi)不相交的對(duì)角線組成的圖形稱

為一個(gè)剖分圖。

求證：當(dāng)且僅當(dāng)3|〃時(shí)，存在一剖分圖是可以一筆畫的圈

(即可以從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過各線段恰一次，最后回到出

發(fā)點(diǎn))。

第6屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1991年)

?平面上有一個(gè)凸四邊形A3CQ。

(1)如果平面上存在一點(diǎn)P,使得ABP,BCP,CDP和

DA尸的面積都相等，問四邊形A3c。要滿足什么條件？

(2)滿足(1)的點(diǎn)P,平面上最多有幾個(gè)？證明你的結(jié)論。

?設(shè)G={(x,y)|xe/,ye/},求G到/的所有映射了,

使得對(duì)任何x,y,z￡/,有

(2)/(x,l)=x,〃l,y)=y；

k

(3)f(zx,zy)=zf(x,y)o

這里％是與樂y,2都無關(guān)的正數(shù)。

-16-

?地面上有10只小鳥在啄食，其中任意5只鳥中至少有4

只在一個(gè)圓周上，問有鳥最多的一個(gè)圓周上最少有幾只鳥？

?求滿足下述方程/a的所有正整數(shù)解組

—,這里〃22且”522"。

?求所有自然數(shù)叫使得

mink14-1991

keNi]>

這里「二］表示不超過W的最大整數(shù)，N是自然數(shù)集。

k~k-

?MO牌足球由若干多邊形皮塊用三種不同顏色的絲線縫

至而成，有以下特點(diǎn)：

(1)任一多邊形皮塊的一條邊恰與另一多邊形皮塊同

樣長(zhǎng)的一條邊用一種顏色的絲線縫合；

(2)足球上每一結(jié)點(diǎn)恰好是三個(gè)多邊形的頂點(diǎn)，每一

結(jié)點(diǎn)的三條縫線的顏色不同。

求證：可以在這牌足球的每一結(jié)點(diǎn)上放置一個(gè)不等

于1的復(fù)數(shù)，使得每一多邊形皮塊的所有頂點(diǎn)上放置的復(fù)數(shù)

的乘積都等于lo

-18-

第7屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（1992年）

?設(shè)方程

1

X+an_tX"-'+…+空+4=0

的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，且適合條件

o<ar）<a}<...<a?_l<1

已知4為此方程的復(fù)數(shù)根，且適合條件囚與。試證：上”=1。

?設(shè)可，…，兀,為非負(fù)實(shí)數(shù)。記兀用=兀，a=min{X1,…，z}。試

證:

/1+/1/(\2

幺1+5(1+4軒，＞

且證等式成立當(dāng)且僅當(dāng)兀=...=%。

?在平面上畫出一個(gè)9X9的方格表，在這些小方格的每一

格中都任意填入+1或T。下面一種改變填入數(shù)字的方式稱為

作一次變動(dòng)；對(duì)任意一個(gè)小方格，凡與此小方格有一條公共

邊的所有小方格（不包含此格本身）中的數(shù)作連乘積，于是

每取一格，就算出一個(gè)數(shù)。在所有小格都取遍后，再將這些

算出的數(shù)放入相應(yīng)的小方格中。試問是否總可以經(jīng)過有限次

變動(dòng)，使得所有小方格中的數(shù)都變?yōu)??

?凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,對(duì)角線AC與8D相交于尸。

ABP,CDP的外接圓相交于產(chǎn)和另一點(diǎn)。，且。，P,Q

三點(diǎn)兩兩不重合。試證：ZOQP=90o

-20-

?在有八個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖中，沒有四邊形的圖的邊數(shù)的最大

值是多少？(簡(jiǎn)單圖是指任一點(diǎn)與自己沒有邊相連，而且任

何兩個(gè)點(diǎn)之間如果有邊相連，就只有一條邊相連的圖)

?已知整數(shù)列｛%,4,生，…｝滿足

(1)4,m=3?！耙挥?,幾=2,3,

(2)2a=6)+4-2；

(3)對(duì)任意自然數(shù)加，在數(shù)列｛%,%%...｝中必有相繼的加項(xiàng)

4,4+1，…，4+g都是完全平方數(shù)。

求證：｛%4，出,...｝的所有項(xiàng)都是完全平方數(shù)。

第8屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1993年)

?設(shè)〃是奇數(shù)，試證明：存在2〃個(gè)整數(shù)q,④…,4；hh，…b，

使得對(duì)任意一個(gè)整數(shù)火,Q<k<n,下列3〃個(gè)數(shù)

a+嘉，a+h，b,+bi+k

(其中i=l,2,...,n,6Zn+I=a,,bn^=Z?,0<j<n)被其除時(shí)所得余數(shù)互

不相同。

?給定ZeN及實(shí)驗(yàn)〃>0,在下列條件

%+的+...+(=仁｛￡N,1K

下，求4勺+公+...+處的最大值。

-22-

?設(shè)圓K和&同心，它們的半徑分別為R和尺，4＞尺。四邊

形ABC。內(nèi)接于圓K,四邊形A4cA內(nèi)接于圓（，點(diǎn)A，6,

G，Q分別在射線CO,DA,AB,BC±o求證：

S&B1GA?R；

SABCDR?

?給定集5={422，...，4刻}，其中ZpZ2，...,Z1須是非零復(fù)數(shù)（可看做

平面上的非零向量）。求證：可以把s中的元素分成若干組，

使得

（1）s中的每個(gè)元素屬于且僅屬于其中的一組；

（1）每一組中任一復(fù)數(shù)與該組所有復(fù)數(shù)之和的夾角不超過

90;

（1）將任意兩組中復(fù)數(shù)分別求和，所得和數(shù)之間的夾角大

于90o

?10人到書店買書，已知

(1)每人都買了三種書；

(2)任何兩人所買的書，都至少有一種相同。

問購買人數(shù)最多的一種書最少有幾人購買？說明理由。

?設(shè)函數(shù)/：(0,+oo)->(0,+oo)滿足對(duì)任意的x>0,y>0,

/(孫)°

試證：對(duì)任意的x〉()，n&N,有

22

-24-

第9屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（1994年）

?設(shè)ABCD是一個(gè)梯形（AB〃CO）,石是線段A5上一點(diǎn)，F(xiàn)

是線段C0上一點(diǎn)，線段CE與B/相交于點(diǎn)H,線段皮）與4尸

相交于點(diǎn)G。

求證：SEHFG-WSABCD°

如果ABC。是一個(gè)任意凸四邊形，同樣結(jié)論是否成立？

請(qǐng)說明理由。

?n（?>4）個(gè)盤子里放有總數(shù)不少于4的糖塊，從任選的

兩個(gè)盤子中各取一塊糖，放入另一個(gè)盤子中去，稱為一次操

作。問能否經(jīng)過有限次操作，把所有糖塊集中到一個(gè)盤子里

去？證明你的結(jié)論。

?求適合以下條件的所有函數(shù)/：［1,依cO-lL+oo)。

⑴/(x)<2(x+l);

(2)/(x+l)=^((/(x))2-ljO

n2

?已知〃Z)=GZ"+GZ"T+C2z-+-+C?_lz+C?是一個(gè)〃次復(fù)系數(shù)

多項(xiàng)式。求證：一定存在一個(gè)復(fù)數(shù)2。，|Z0|W1,并且滿足

|/(z0)|>|C0|+|C?|o

_26一

?對(duì)任何正整數(shù)〃，求證:

其中《=1,表示一的整數(shù)部分。

?設(shè)M為平面上坐標(biāo)為(pxl994,7Pxi994)的點(diǎn)，其中p是

素?cái)?shù)。求滿足下述條件的直角三角形的個(gè)數(shù)。

(1)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是整點(diǎn)，而且M是直角頂點(diǎn);

(2)三角形的內(nèi)心是坐標(biāo)原點(diǎn)。

第10屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1995年)

?設(shè)…數(shù)…，…，……,…，S)滿足條

件：

⑴4+生+…+口=b+b,+…+b.

⑵o<(7l=a2,a+aM=ai+2(i=i,2,…，〃一2)；

一⑶03池,2+/次(0,2,…，〃一2)。

求證：a,i+aa.。

?設(shè)N表示自然數(shù)集合，/:NfN適合條件：/(1)=1,且對(duì)

任何自然數(shù)〃都有

3"〃)”2〃+1)=/(2〃乂1+3/(〃))

/(2?)<6/(/2)

試求方程：/(攵)+/(/)=293,%</的所有解。

-28-

?試求ZZE|"(x+y-10z)(3x-6y-3619x+95y-95^|的最小值,

i=ij=i*=i

其中X和y是任意整數(shù)。

?空間有四個(gè)球，它們的半徑分別為2,2,3,3,每個(gè)球都與

其余3個(gè)球外切，另有一個(gè)小球與那四個(gè)球都外切。求該小

球的半徑。

?設(shè)q,4,…，是10個(gè)兩兩不同的自然數(shù)，它們的和

為1995,試求

ciyCL,+a2c+…+a^4()+q()q

的最小值。

?設(shè)〃是大于1的奇數(shù)，已給x0=(川尤，卓)=(1,0,.,0,1)。設(shè)

fo,<'、

X⑻(k}=41=xI^-'(z=l,2,???,/!)

，MM)

其中甯=f)。

記XK=(xf),爐，…,x?)#=1,2,…若正整數(shù)機(jī)滿足X,“=X。，求證：

機(jī)是〃的倍數(shù)。

-30-

第11屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1996年)

?設(shè)H是銳角三角形ABC的垂心，由A向以3C為直徑的

圓作切線AP,AQ,切點(diǎn)分別為尸，Q。求證：P,H,Q三

點(diǎn)共線。

?設(shè)5={1,2,…,50},求最小自然數(shù)%,使S的任一人元子集中

都存在兩個(gè)不同的數(shù)〃和。，滿足(a+Z?)M。

?設(shè)函數(shù)fR適合條件

/(x3+/)=(x+y)((/(x))2-/(x)/(y)+(/(y))2j,X,y&R

試證：對(duì)一切都有

/(1996x)=1996/(%)

?8位歌手參加藝術(shù)節(jié)，準(zhǔn)備為他們安排帆次演出，每次由

其中4位登臺(tái)表演，要求8位歌手中任意兩位同時(shí)演出的次

數(shù)都一樣多。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方案，使得演出的次數(shù)加最少。

-32-

?設(shè)nsN,4=o,兀>o,i=l,2,...,n,且fx：=i。求證:

f=l

1<石E—<2

i=lJl+X（）+X-I---卜Xiy/XjT---FX”2

?在A3c中，ZC=90,ZA=30,BC=\0求ABC的內(nèi)

接三角形（三頂點(diǎn)分別在三邊上的三角形）的最長(zhǎng)邊的最小

值。

第12屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(1997年)

?設(shè)實(shí)數(shù)4,尤2，…，工削滿足如下兩個(gè)條件:

(1)-5￡%￡上(z=1,2,...,1997)；

(2)玉+%24--1*玉997=-o

試求：%丁+%2口■,--^^1997,2的最大值，并說明理由。

?設(shè)A4G〃是任意凸四邊形，P是形內(nèi)一點(diǎn)，且尸到各頂點(diǎn)

的連線與四邊形過該頂點(diǎn)的兩條邊的夾角均為銳角。遞推定

義A，瓦,G和2分別為尸關(guān)于直線—,BJCJ，。血

和AAT的對(duì)稱點(diǎn)(％=2,3,…)。

考察四邊形序列4462()o

試問：(1)前12個(gè)四邊形中，哪些必定與第1997個(gè)相

似，哪些未必？

(2)假設(shè)第1997個(gè)是圓內(nèi)接四邊形，那么在前12個(gè)

四邊形中，哪些必定是圓內(nèi)接四邊形，哪些未必？

對(duì)以上問題的回答，肯定的應(yīng)給證明，未必的應(yīng)舉例說

明。

-34-

?求證：存在無窮多個(gè)自然數(shù)根，使得可將1,2,…,3〃列成數(shù)表

?i4…%

白優(yōu),也

G。2…C”

滿足如下兩個(gè)條件：

(1)4+a+G=4+a+G=-.=4+〃+C"且為6的倍數(shù)；

(2)烏+6?,+…+cin=b\+b、+..?+〃=G+G+…+c”且為6的《百。

?四邊形A5CD內(nèi)接于圓，其邊AB與0c的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

P,AO與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，由。作該圓的兩條切線QE

和。產(chǎn)，切點(diǎn)分別為E、F。

求證：P,E,尸三點(diǎn)共線。

?設(shè)A={1,2,3,...,17}o對(duì)于映射/：Af4記/[1](x)=/(x),

〃嚴(yán)⑼(⑥N)。

設(shè)從4到A的一一映射了滿足條件：存在自然數(shù)M,使得

(1)當(dāng)機(jī)14注16時(shí)，有

產(chǎn)C+1)-產(chǎn)](i)#±l(modl7)

/對(duì)⑴一yw(17)H±l(modl7)

(2)當(dāng)14注16時(shí)，有

(i+1)-/⑼⑺三1或—1(mod17)

丁也⑴一/叫17)三1或一l(modl7)

試對(duì)滿足上述條件的一切/,求所對(duì)應(yīng)的M的最大可能

值，并證明你的結(jié)論。

?設(shè)非負(fù)數(shù)列6，4，…滿足條件

《+加44+4，m，neN

求證：對(duì)任意m均有

(n八

a?<ma]+\——1a,tl

-36-

第13屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（1998年）

?在一個(gè)非鈍角ABC中，AB>AC,ZB=45,O和/分別

是ABC的外心和內(nèi)心，k42OI=AB-AC,求sinA。

?對(duì)于給定的大于1的正整數(shù)〃，是否存在2〃個(gè)兩兩不同

的正整數(shù)4，區(qū)，…，4，h，h，…,b?,同時(shí)滿足以下

兩個(gè)條件：

(1)4+CL,+…+a”=b、+b-,+,,,+Z?)；

⑵…4鬻〉"短

請(qǐng)說明理由。

?設(shè)5={1,2,…,98},求最小自然數(shù)叫使得S的任一〃元子集中

都可以選出10個(gè)數(shù)，無論怎樣將這10個(gè)數(shù)均分成兩組，總

有一組中存在一個(gè)數(shù)與另外4個(gè)數(shù)都互質(zhì)，而另一組中總有

一個(gè)數(shù)與另外4個(gè)數(shù)都不互質(zhì)。

?求所有大于3的自然數(shù)%使得1+G+G+C整除a?000。

-38-

?設(shè)。為銳角A3C內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足條件：

DADBA也DBDCC-DGDAC/,試確定點(diǎn)

。的幾何位置，并證明你的結(jié)論。

?設(shè)〃N2,%，x,???,%均為實(shí)數(shù)，且以：+￡?duì)t㈤=1。

/=1/=!

對(duì)于每一個(gè)固定的％(ksN,\<k<n),求用的最大值。

第14屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（1999年）

?在銳角ABC中，ZOZB,點(diǎn)。是邊5C上一點(diǎn)，使得

NADB是鈍角，H是ABD的垂心，點(diǎn)廠在ABC內(nèi)部且在

ABO的外接圓周上。求證：點(diǎn)廠是ABC垂心的充分必要

條件是：HD平行于。尸且“在ARC的外接圓周上。

?給定實(shí)數(shù)4,設(shè)實(shí)多項(xiàng)式序列｛力（必滿足

Z）（x）=l

，+1（"）=。（力+（（5）,〃=0,1,2,--

（1）求證：

門、

力—，"=。，L2,…

\x）

（2）求力（力的明顯表達(dá)式。

-40-

?MO太陽城由99個(gè)空間站組成。任兩空間站之間有管形

通道相連。規(guī)定其中99條通道為雙向通行的主干道，其余

通道嚴(yán)格單向通行。如果某四個(gè)空間站可以通過它們之間的

通道從其中任一站到達(dá)另外任一站，則稱這四個(gè)站的集合為

一個(gè)互通四站組。

試為MO太陽城設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使得互通四站組的數(shù)目

最大（請(qǐng)具體算出該最大值，并證明你的結(jié)論）。

?設(shè)加是給定的整數(shù)。求證：存在整數(shù)。，。和3其中

人不能被2整除，k>0,使得

2m=*+〃9+&.4

?求最大的實(shí)數(shù)X,使得當(dāng)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式〃力二^+江+反+C

的所有根都是非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，只要了20,就有

f(x)>A(x-a^

并問上式中等號(hào)何時(shí)成立？

?設(shè)4x4x4的大正方體由64個(gè)單位正方體組成，選取其中

的16個(gè)單位正方體涂成紅色，使得大正方體中每個(gè)由4個(gè)

單位正方體構(gòu)成的1x4x4的小長(zhǎng)方體中，都恰有1個(gè)紅正方

體。問16個(gè)紅正方體共有多少種不同取法？說明理由。

-42-

第15屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（2000年）

?設(shè)a,b,c為ABC的三條邊，a<b<c,R和r分別為

A3C的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，令于=a+b—2R—2r,試

用/C的大小來判定了的符號(hào)。

?數(shù)列｛%｝定義如下：

八，11(H-1)6Z?,+(-1)"1-^

4=0,Ck=1,an=-na?_i+-n2,H>3O

7

試求fn—a“+2C：a“_]+3C；4-2—+nC"'ci｝的取間表達(dá)式。

?某乒乓球俱樂部組織交流活動(dòng)，安排符合以下規(guī)則的雙打

賽程表，規(guī)則為：

(1)每名參加者至多屬于兩個(gè)對(duì)子；

(2)任意兩個(gè)不同對(duì)子之間至多進(jìn)行一次雙打；

(3)凡表中同屬一對(duì)的兩人就不在任何雙打中作為對(duì)

手相遇。

統(tǒng)計(jì)各人參加的雙打次數(shù)，約定將所有不同的次數(shù)組成

的集合稱為“賽次集”。

給定由不同的正整數(shù)組成的集合4={4,4,其中每

個(gè)數(shù)都能被6整除。試問最少必須有多少人參加活動(dòng)，才可

以安排符合上述規(guī)則的賽程表，使得相應(yīng)的賽次集恰為A。

請(qǐng)證明你的結(jié)論。

?設(shè)n>2,對(duì)〃元有序?qū)崝?shù)組，A={4，%,…,凡}，令

bk=ma%k子稱6=伯也,…也}為A的“創(chuàng)新數(shù)組"，稱B中

的不同元素個(gè)數(shù)為A的“創(chuàng)新階數(shù)二考察12…,〃的所有排列

(將每種排列都視為一個(gè)有序數(shù)組)，對(duì)其中創(chuàng)新階數(shù)為2

所有排列，求它們的每一項(xiàng)的算術(shù)平均值。

-44-

?若對(duì)正整數(shù)明存在左，使得

=22-1

其中小…人都是大于3的整數(shù)，則稱〃具有性質(zhì)P。求具有性

質(zhì)戶的所有數(shù)機(jī)

?某次考試有5道選擇題，每題都有4個(gè)不同答案供選擇，

每人每題恰選1個(gè)答案。在2000份答案中發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)明

使得任何〃份答卷中都存在4份，其中每?jī)煞莸拇鸢付贾炼?

題相同。求〃的最小可能值。

第16屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（2001年）

?給定a,4i<a<2o內(nèi)接于單位圓「的凸四邊形ABCD適合

以下條件:

（1）圓心在這凸四邊形內(nèi)部;

（2）最大邊長(zhǎng)是“，最小邊長(zhǎng)是“二7。過點(diǎn)A,B,C,

。依次作圓「的4條切線4，LB，L<,Ll）0已知〃與4，LB

與Lc，Lc與LD，4與〃分別交于點(diǎn)A,B',C,D'o求面

積之比近1g的最大值與最小值。

S四邊形AB8

?設(shè)乂={1,2,.-,2001}。求最小正整數(shù)〃2,適合要求：對(duì)X的任

何一個(gè)加元子集w,都存在〃,vwW（〃和丫可以相同），使得

〃+v是2的方嘉。

-46-

?在正〃邊形的每個(gè)頂點(diǎn)上各停有1只喜鵲，偶受驚嚇使得

眾喜鵲都飛去，一段時(shí)間后，它們又都回到這些點(diǎn)上。仍是

每個(gè)頂點(diǎn)上1只，但未必都回到原來的頂點(diǎn)。求所有正整數(shù)

心使得一定存在3只喜鵲，以它們前后所在的頂點(diǎn)分別形

成的三角形或同為銳角三角形，或同為直角三角形，或同為

鈍角三角形。

?設(shè)a,b,c,a+b—c,a+c—b,Z7+c—a,a+Z?+c是i7

兩兩不同的質(zhì)數(shù)，a,h,c中有兩數(shù)之和是800。設(shè)d是這7

個(gè)質(zhì)數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)之差。求d的最大可能值。

?將周長(zhǎng)為24的圓周等分成24段，從24個(gè)分點(diǎn)中選取8

個(gè)點(diǎn)，使得其中任何兩點(diǎn)間所夾的弧長(zhǎng)都不等于3和8。問

滿足要求的8點(diǎn)組的不同取法共有多少種？說明理由。

?記1=2001,設(shè)A是適合下列條件的正整數(shù)對(duì)(根,〃)所組成

的集合：

(1)m<2a;

(2)2n^2am-m2+〃2)；

(3)疔-加+2mn<2a^n-ni)°

令//⑵…二嗎求min/和max/。

一48一

第17屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(2002年)

?ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,b<c,AZ)是/A的內(nèi)角

平分線，點(diǎn)。在3c上。

(1)求在線段AB,AC內(nèi)分別存在點(diǎn)E,F(不是端點(diǎn))

滿足BE=C尸和NRDE=NCD尸的充分必要條件(用NA,NB,

/C表示)；

(2)在點(diǎn)E和尸存在情況下，用a,b,c表示3石的長(zhǎng)。

?設(shè)多項(xiàng)式數(shù)列化(x)｝滿足：

12

P^x)=x-1,P2(x)=2x(x-1)

且E+G)ET(X)=(匕(x))2-(Y-1)2,〃=2,3廣?

設(shè)S”為巴(x)各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和，對(duì)于任意正整數(shù)〃，求

非負(fù)整數(shù)%,使得2Ts為奇數(shù)。

?18支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，即每輪將18支球隊(duì)分成9組,

每組的兩對(duì)賽一場(chǎng)，下一輪重新分組進(jìn)行比賽，共賽17輪,

使得每隊(duì)都與另外17支隊(duì)各賽一場(chǎng)。按任意可行的程序比

賽了八輪之后，總存在4支球隊(duì)，它們之間共只賽了一場(chǎng)。

求〃的最大可能值。

?對(duì)于平面上任意4個(gè)不同的點(diǎn)4，Pt,R,求比值

minP.P.

14<jW4J

的最小值。

-50-

?平面上橫縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn)。

求證:平面上的全體有理點(diǎn)可分為3個(gè)兩兩不交的集合,

滿足條件：

(1)在以每個(gè)有理點(diǎn)為圓心的任一圓內(nèi)一定包含3個(gè)

點(diǎn)分屬于這3個(gè)集合；

(2)在任何一條直線上都不可能有3個(gè)點(diǎn)分別屬于這3

個(gè)集合。

?給定c/Li],求最小常數(shù)"，使對(duì)任意整數(shù)八之2及實(shí)數(shù)

(2)

0<a]<a2<-<an,只要滿足=cf%,總有f%WM9。

〃A=1k=\左=1A=1

其中m=[cn]表不不超過c〃的最大整數(shù)。

第18屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(2003年)

?設(shè)點(diǎn)/,〃分別為銳角ABC的內(nèi)心和垂心，點(diǎn)4，G分

別為邊AC,A8的中點(diǎn)。已知射線4/交邊于點(diǎn)2(2片3),

射線CJ交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C2，32G與3C相交于K,A為

3HC的外心。試證：A,1,A三點(diǎn)共線的充分必要條件是

BKB2和CKC2的面積相等。

?求出同時(shí)滿足如下條件的集合S的元素個(gè)數(shù)的最大值：

(1)S中的每個(gè)元素都是不超過100的正整數(shù)；

(2)對(duì)于S中任意兩個(gè)不同的元素a,b,都存在S中

的元素c,使得。與c的最大公約數(shù)等于1,并且b與c的最大

公約數(shù)也等于1;

(3)對(duì)于S中任意兩個(gè)不同的元素a,b,都存在S中

異于“，b的元素d,使得。與d的最大公約數(shù)大于1,并且b

與d的最大公約數(shù)也大于lo

-52-

?給定正整數(shù)〃，求最小的正數(shù)4，使得對(duì)于任何

(z=1,2,???,?),只要tan。tan"???tan^,=2^,就有

\2)

COSa+cos4+…+cosq,不大于丸o

?求所有滿足，22,m22的三元正整數(shù)組儂根,〃)，使得

7+203是優(yōu)，+1的倍數(shù)。

?某公司需要錄用一名秘書，共有10人報(bào)名，公司經(jīng)理決定

按照求職報(bào)名的順序逐個(gè)面試，前3個(gè)人面試后一定不錄用。

自第4個(gè)人開始將他與前面面試過的人相比較，如果他的能

力超過了前面所有已面試過的人，就錄用他，否則就不錄用，

繼續(xù)面試下一個(gè)。如果前9個(gè)人都不錄用，那么就錄用最后

一個(gè)面試的人。

假定這10個(gè)人的能力各不相同，可以按能力由強(qiáng)到弱

排為第1,第2,…，第10。顯然該公司到底錄用哪一個(gè)人,

與這10個(gè)人報(bào)名的順序有關(guān)。大家知道，這樣的排列共有10!

種。我們以A表示能力第女的人能夠被錄用的不同報(bào)名順序

的數(shù)目，以條表示他被錄用的可能性。

證明：在該公司經(jīng)理的方針之下，有

⑴4>A>--->4=A=Ao；

(2)該公司有超過70%的可能性錄取到能力最強(qiáng)的3個(gè)

人之一，而只有不超過10%的可能性錄用到能力最弱的3個(gè)

人之一。

-54-

＞設(shè)a,b,c,。為正實(shí)數(shù)，滿足ab+cd=l,點(diǎn)出七,y)

1=1,2,3,4)是以原點(diǎn)為圓心的單位圓周上的四個(gè)點(diǎn)。求證:

（ay+姐+c%+辦4『+34+如+。%2+必）62

abcd）

第19屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（2004年）

?凸四邊形石尸G”的頂點(diǎn)E,尸，G,”分別在凸四邊形

ABCO的邊AB,BC,CD,ZM上，滿足

AEBFCGDHi

EBFCGDHA~

而點(diǎn)A,8,c,。分別在凸四邊形EFGH的邊,EE，

FG，上，滿足￡耳〃族，F(xiàn)}G}//FG,G、H、〃GH,

〃織已知第5求器的值。

?已知正整數(shù)c,設(shè)數(shù)列毛,毛，…滿足元1=c且

兀,=.+叩-（〃+2）］+1,〃=2,3,…

n

其中國(guó)表示不大于尤的最大整數(shù)，求數(shù)列{七}的通項(xiàng)公式。

-56-

?設(shè)例是平面上〃個(gè)點(diǎn)組成的集合，滿足：

(1)M中存在7個(gè)點(diǎn)是一個(gè)凸七邊形的7個(gè)頂點(diǎn)；

(2)對(duì)M中任意5個(gè)點(diǎn)，若這5個(gè)點(diǎn)是一個(gè)凸五邊形

的5個(gè)頂點(diǎn)，則此凸五邊形內(nèi)部至少含有M中的一個(gè)點(diǎn)。

求〃的最小值。

?給定實(shí)數(shù)a和正整數(shù)“，求證：

(1)存在唯一的實(shí)數(shù)數(shù)列尤0，.，…，％“，x?+|,滿足

X0=Xn+\=0

<J

-(七+|+%一)=七+,j=1,2,…,〃

(2)(1)中的數(shù)列入°,不,…，七，九"+|滿足

國(guó)W4,j=o,i,…,〃+i

?給定正整數(shù)讓2,設(shè)正整數(shù)可(i=l,2,…,〃)滿足

4＜為＜.-＜4以及為。求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)工，有

々1T＜11

222

^at+x)~2-l)+x

?證明：除了有限個(gè)正整數(shù)外，其他正整數(shù)〃均可表示為

2004個(gè)正整數(shù)之和，即

〃=4+區(qū)+…+

且滿足：iWqV區(qū)＜…Vtz2004cl4+i，i=12…,2003。

-58-

第20屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(2005年)

?設(shè)a4-g￡|,i=l,2,3,4。證明：存在xwR,使得如下兩個(gè)不

等式

222

cos^cos^,-(sin^sin^2-%)>0①

cos?日cos?4—(sin回sin4—％丫NO②

同時(shí)成立的充要條件是

444\

^sin2gK2l+risin。+FIcose③

i=\i=\J

?一圓與ABC的三邊BC,CA,AB的交點(diǎn)依次為口，D2;

￡,E2;耳,F20線段與。交于點(diǎn)L,線段￡門與耳。

交于點(diǎn)M,線段片〃與工區(qū)交于點(diǎn)N。證明：AL,BM,CN

三線共點(diǎn)。

?如圖1,圓形的水池被分割為2〃（〃之5）個(gè)“格子”。我

們把有公共隔墻（公共邊或公共弧）的“格子”稱為相鄰的,

從而每個(gè)“格子”都有三個(gè)鄰格。

水池中一共跳入了4〃+1只青蛙，青蛙難于安靜共處，只

要某個(gè)“格子”中有不少于3只青蛙，那么遲早一定會(huì)有其

中3只分別同時(shí)跳往三個(gè)不同鄰格。證明：只要經(jīng)過一段時(shí)

間之后，青蛙便會(huì)在水池中大致分布均勻。

所謂大致分布均勻，就是任取其中一個(gè)“格子”，或者

它里面有青蛙，或者它的三個(gè)鄰格里都有青蛙。

?已知數(shù)列k｝滿足條件q=得，及

2a“-3a”T=,n>2

設(shè)加為正整數(shù)，m>2o證明：當(dāng)〃時(shí)，有

rm-71+1

-60-

?在面積為1的矩形ABCD中(包括邊界)有5個(gè)點(diǎn)，其中

任意三點(diǎn)不共線。求以這5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形中，面

積不大于’的三角形的個(gè)數(shù)的最小值。

4

?求方程

2'-3V-5:-7H，=1

的所有非負(fù)整數(shù)解(x,y,z,w)。

第21屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（2006年）

?實(shí)數(shù)4，。2，…，4滿足4+6+…+?！?0,求證：

?正整數(shù)4%,…，。皿（可以有相同的）使得“幺，生，…,

Cl"2

國(guó)21兩兩不相等。問：4，a,?-?,區(qū)006中最少有多少個(gè)不同

“20062

的數(shù)？

-62-

?正整數(shù)m，n,人滿足加〃=左2+左+3,證明不定方程

x2+lly2=4m

和A^+lly2=4n

中至少有一個(gè)有奇數(shù)解（羽y）o

?在放ABC中，NACB=90,ABC的內(nèi)切圓0分別與BC,

CA,A5相切于點(diǎn)。，E,F,聯(lián)結(jié)AO,與內(nèi)切園。相交于

點(diǎn)尸。聯(lián)結(jié)BP,CP,若N3PC=90,求證：AE+AP=PDO

?實(shí)數(shù)列｛q,｝滿足

1

4=5

1，，c

4+i=_6+k=12…

z-ak

證明：不等式

]q+/+…+%

、2(q+4+-+%))〃

?設(shè)X是一個(gè)56元集合。求最小的正整數(shù)〃，使得對(duì)X的

任意15個(gè)子集，只要它們中任何7個(gè)的并的元素個(gè)數(shù)都不

少于心則這15個(gè)子集中一定存在3個(gè)，它們的交非空。

-64-

第22屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（2007年）

?設(shè)4,匕，c是給定復(fù)數(shù)，］^\a+h\=m,\a-b\=n0已知加w0,

求證：

max眄+4,…能即

?試證明：（1）若2〃-1為素?cái)?shù)，則對(duì)于任意〃個(gè)互不相同的

正整數(shù)4，%,g,都存在"e{l,2,，耳，使得

ci-+a；

（2）若2〃-1為合數(shù)，則存在〃個(gè)互不相同的正整數(shù)4

。2，…，&,使得對(duì)任意i,jw{l,2,刈，都有

ci-+a

其中，（%,y）表示正整數(shù)X,y的最大公約數(shù)。

?已知4，%，…，為為給定的11個(gè)互不相同的正整數(shù)，

且總和小于2007o在黑板上依次寫著1,2,2007這2007

個(gè)數(shù)，將連續(xù)的22次操作定義為一個(gè)操作組：第i次操作可

以從黑板上現(xiàn)有的數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，當(dāng)”注11時(shí)，加上勾當(dāng)

124注22時(shí)，減去“川。如果最終結(jié)果為1,2,…，2007的

偶排列，則稱這個(gè)操作組為優(yōu)的；如果最終結(jié)果為1,2,…,

2007的奇排列，則稱這個(gè)操作組為次優(yōu)的。問優(yōu)的操作組與

次優(yōu)的操作組哪種多，多多少？

?設(shè)。和/分別為ABC的外心和內(nèi)心，ABC的內(nèi)切圓與

邊BC,CA,A3相切于點(diǎn)。，E,F,直線FQ與C4相交于

點(diǎn)尸，直線。石與AB相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N分別為線段尸E,

QR的中點(diǎn)，求證：OI1MNo

-66-

?設(shè)有界數(shù)列{冊(cè)L滿足

2”》a1n-123???

S/1k+訴雙嚴(yán)2'

證明：《〈\"HNS…

?試求不小于9的最小正整數(shù)%滿足對(duì)任給的〃個(gè)整數(shù)（可

以相同）q,a2,…，a”，總存在9個(gè)數(shù)%,《，…，/

（＜…＜乒九）及〃e{4,7}（i=l,2,…,9）,使得

〃p+才為9的倍數(shù)。

第23屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(2008年)

?設(shè)銳角ABC的三邊長(zhǎng)互不相等，。為其外心，點(diǎn)A在線

段AO的延長(zhǎng)線上，使得過A作

AA1AB,垂足分別為A，A,作垂足為憶。記

區(qū)AA的外接圓半徑為凡，類似地可得凡，&,求證：

111_2

R+R+R市

其中，R為A3C的外接圓半徑。

?給定整數(shù)〃(?>3)o證明：集合X={1,2,???,(-"}能寫成兩

個(gè)不相交的非空子集的并，使得每一個(gè)子集均不包含〃個(gè)元

素4，a2,…，4,4<外<,“<4滿足

akM

ak<'^,k=2X-,n-X

-68-

?給定正整數(shù)八，反實(shí)數(shù)W…〈X,,乂2必，滿足

工運(yùn)這0

i=\i=\

證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)a,有

力為同N-yJ間

/=1i=]

其中，[例表示不超過實(shí)數(shù)夕的最大整數(shù)。

?設(shè)A是正整數(shù)集的無限子集，n(〃〉1)是給定的整數(shù)。

已知對(duì)任意一個(gè)不整除〃的質(zhì)數(shù)P，集合A中均有無窮多個(gè)元

素不被〃整除。證明：對(duì)任意整數(shù)相(m>l),(m,〃)=1,

集合A中均存在有限個(gè)互不相同的元素，其和S滿足

S=l(mod?,且S三O(mod〃)。

?求具有如下性質(zhì)的最小正整數(shù)八：將正〃邊形的每一個(gè)頂

點(diǎn)任意染上紅、黃、藍(lán)三種顏色之一，那么，這〃個(gè)頂點(diǎn)中

一定存在四個(gè)同色點(diǎn)，它們是一個(gè)等腰梯形的頂點(diǎn)(兩條邊

平行，另兩條邊不平行且相等的凸四邊形稱為等腰梯形)。

?試確定所有同時(shí)滿足

q',+2=3/,+2(modp"),p"+2=3"+2(modq")

的三元數(shù)組(〃，q,〃),其中，p,q為奇質(zhì)數(shù),〃為大于

1的整數(shù)。

-70-

第24屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(2009年)

?給定銳角PBC,PB彳PC。設(shè)A,。分別是邊尸8,PC上

的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AC,BD,相交于0。過點(diǎn)O分別作OXJ_A3,

OFLCD,垂足分別為E,F,線段BC,AO的中點(diǎn)分別為M,

No

(1)若A,B,C,。四點(diǎn)共圓，求證：EMFN=ENFM；

(2)若田V孫/,是否一定有A,B,C,。四

點(diǎn)共圓？證明你的結(jié)論。

?求所有的素?cái)?shù)對(duì)(p,q),使得p@5"+5"。

?設(shè)相，〃是給定的整數(shù)，4<m<n,AA…A“+i是一個(gè)正2/2+1

邊形，P={A，A，［4J。求頂點(diǎn)屬于尸且恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳

角的凸根邊形的個(gè)數(shù)。

0給定整數(shù)”23,實(shí)數(shù)4，4,…，4.滿足min=求

力4『的最小值。

k=\

一72.

?凸〃邊形尸中的每條邊和每條對(duì)角線都被染為〃種顏色中

的一種顏色。問：對(duì)怎樣的“，存在一種染色方式，使得對(duì)

于這〃種顏色中的任何3種不同顏色，都能找到一個(gè)三角形,

其頂點(diǎn)為多邊形尸的頂點(diǎn)，且它的3條邊分別被染為這3種

顏色？

?給定整數(shù)〃之3,證明：存在〃個(gè)互不相同的正整數(shù)組成的

集合S,使得對(duì)S的任意兩個(gè)不同的非空子集A,B,數(shù)

可同

是互素的合數(shù)。（這里Zx與團(tuán)分別表示有限數(shù)集X的所有元

xeX

素之和及元素個(gè)數(shù)。）

第25屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（2010年）

?如圖，兩圓r「匚相交于A,3兩點(diǎn)，過點(diǎn)5的一條直線

分別交圓r「n于點(diǎn)c,過點(diǎn)3的另一條直線分別交圓

「2于點(diǎn)￡,F,直線。尸分別交圓「，「2于點(diǎn)尸，。。設(shè)

N分別是弧尸8