專題6-3 方程思想解題技巧（考題猜想10種技巧）原卷版-2023-2024學年8下數(shù)學期末考點大串講（人教版）

專題6-3方程思想解題技巧（考題猜想，10種技巧）技巧1：方程思想在證三角形形狀中的應用【例題1】（23-24八年級上·江蘇泰州·階段練習）的三邊長分別為a，b，c，下列條件不能判斷是直角三角形的為（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24八年級上·山東青島·階段練習）在中，給出以下4個條件：①；②；③；④．從中任取一個條件，可以判定出是直角三角形的有．（填序號）【變式2】（22-23八年級下·山東德州·階段練習）如圖，在中，，，是的垂直平分線，交于點D，交于點E，于點F．

(1)若，求的長；(2)若，求證：為直角三角形．【變式3】（22-23八年級下·湖北襄陽·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸，軸分別相交于兩點，，，直線與直線交于點．

(1)求直線的解析式；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)動點在直線上，動點在直線上，當以為頂點的四邊形是平行四邊形時，求兩點的坐標．技巧2：方程思想在求陰影部分的面積中的應用【例題2】（2024春?南寧期中）如圖，長方形中，，，將該矩形沿對角線折疊．（1）求的長；（2）求陰影部分的面積．【變式1】（20-21八年級下·福建龍巖·階段練習）如圖，將矩形沿對角線翻折，點落在點處，交于．若，，求圖中陰影部分的面積．【變式2】（23-24八年級上·江蘇蘇州·期中）如圖，長方形紙片的邊長，．將矩形紙片沿折，A與點C重合，折疊后在其一面著色．(1)求的長；(2)求圖中陰影部分的面積．【變式3】（23-24八年級上·河南周口·階段練習）如圖，把一張長方形紙片折疊起來，使其對角頂點與重合，與重合，若長方形的長為8，寬為4，(1)求的長；(2)求陰影部分的面積．技巧3：方程思想在探究線段相等的條件中的應用【例題3】（22-23八年級下·廣西南寧·階段練習）如圖，已知在中，，，，是上的一點，，點從點出發(fā)沿射線方向以每秒2個單位的速度向右運動．設(shè)點的運動時間為．過點作于點．在點的運動過程中，當為時，能使．【變式1】（22-23八年級上·浙江杭州·期中）如圖，已知在中，，，，是上的一點，，點從點出發(fā)沿射線方向以每秒3個單位的速度向右運動.設(shè)點的運動時間為.過點作于點.在點的運動過程中，當為時，能使？【變式2】（20-21八年級下·湖北武漢·期中）如圖，在?ABCD，AB＝2cm，BC＝16cm，∠A＝45°、點E從點D出發(fā)沿DA邊運動到點A，點F從點B出發(fā)沿BC邊向點C運動，點E運動速度為2cm/s，點F運動速度為1cm/s，它們同時出發(fā)，同時這運動，經(jīng)過s時，EF＝AB．【變式3】（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，已知在中，，D是上的一點，，點P從B點出發(fā)沿射線方向以每秒2個單位的速度向右運動．設(shè)點P的運動時間為t．連接．(1)當時，則______；(2)當為以為腰的等腰三角形時，求t的值；(3)過點D作于點E．在點P的運動過程中，當t為何值時，能使？技巧4：方程思想在求線段長中的應用【例題4】（23-24八年級下·河南商丘·期中）如圖，矩形中，，點E是上一點，且，的垂直平分線交的延長線于點F，交于點H，連接交于點G．若G是的中點，則的長是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式1】（22-23八年級下·云南昆明·期中）已知等腰的底邊，是腰上一點，且，，則的長為．【變式2】（23-24八年級下·山東德州·階段練習）如圖，在四邊形中，，邊的垂直平分線分別交，于點，．若，，，求的長．【變式3】（22-23八年級下·浙江杭州·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分線分別交、于點、，垂足為．(1)如圖，連接，求證四邊形的菱形；(2)求的長．技巧5：方程思想在求幾何中函數(shù)解析式的應用【例題5】（22-23八年級下·山東濱州·期末）如圖，利用一面墻（墻的長度不超過），用長的籬笆圍成一個矩形場地，并且與墻平行的邊留有寬建造一扇門方便出入（用其他材料）．設(shè)，矩形的面積為．

(1)請寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍：(2)怎樣圍才能使矩形場地的面積為？(3)能否使所圍矩形場地的面積為，若能，請算出此時矩形的長與寬，若不能，請說明理由．【變式1】（22-23八年級下·福建廈門·期中）如圖1，在正方形（正方形四邊相等，四個角均為直角）中，，P為線段上一點，連接，過B作，交于點Q，將沿所在的直線對折得到，延長交于點N．

(1)求證：；(2)若，求的長；(3)如圖2，延長交的延長線于點M，若，的面積為s，求s與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【變式2】（2023八年級下·上?！ｎ}練習）已知：如圖1，梯形中，，，，，E是直線上一點，聯(lián)結(jié)，過點E作交直線于點F，聯(lián)結(jié)，(1)若點E是線段上一點（與點A、D不重合），（如圖1所示）①求證：；②設(shè)，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域；(2)直線上是否存在一點E，使是面積的3倍，若存在，直接寫出的長，若不存在，請說明理由．【變式3】（2023八年級下·上?！ｎ}練習）已知：如圖1，在線段的同側(cè)作正方形和正方形，連接并延長交于點M，作，垂足為N，交于P．設(shè)正方形的邊長為1．(1)證明：；(2)設(shè)，四邊形的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)如果按照題設(shè)方法作出的四邊形是菱形，求的長．技巧6：方程思想在解工程問題中的應用【例題6】（23-24八年級上·河北保定·階段練習）現(xiàn)有一段長為5000米的馬路需要整修，由甲、乙兩個工程小組先后接力完成，甲工程小組每天整修200米，乙工程小組每天整修250米，共用時22天．設(shè)甲工程小組整修馬路米，乙工程小組整修馬路米，依題意可列方程組（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24八年級上·四川成都·階段練習）為打造三墩五里塘河河道風光帶，現(xiàn)有一段長為180米的河道整治任務(wù)，由、兩個工程小組先后接力完成，工程小組每天整治12米，工程小組每天整治8米，共用時20天，設(shè)工程小組整治河道米，工程小組整治河道米，依題意可列方程組．【變式2】（22-23八年級下·吉林·期末）為了推進鄉(xiāng)村振興發(fā)展，某地決定對A，B兩村之間的公路進行改造，并由甲工程隊從A村向B村方向修筑，乙工程隊從B村向A村方向修筑．已知甲工程隊先施工2天，乙工程隊再開始施工．乙工程隊施工幾天后，因另有任務(wù)提前離開，余下的任務(wù)由甲工程隊單獨完成，直到公路修通．甲、乙兩個工程隊修筑公路的長度y（米）與甲工程隊施工時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：

(1)乙工程隊每天修路___米，甲工程隊每天修路___米，a的值為___，b的值為___；(2)直接寫出：甲工程隊修公路的長度y（米）與甲施工隊施工時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求乙工程隊修公路的長度y（米）與甲工程隊施工時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；(4)若該項工程由甲、乙兩工程隊從開始就合作施工，直到任務(wù)完成，直接寫出：完成任務(wù)所需的時間．【變式3】（22-23八年級下·陜西西安·階段練習）某地計劃修建一條長48千米的鄉(xiāng)村公路，已知甲工程隊修路的速度是乙工程隊修路速度的倍，乙工程隊單獨完成本次修路任務(wù)比甲工程隊單獨完成多20天．(1)求甲、乙兩個工程隊每天各修路多少千米?(2)已知甲工程隊修路費用為20萬元/千米，乙工程隊修路費用為15萬元/千米．甲工程隊先單獨修路若干天后，接到其它任務(wù)需要離開，剩下的工程由乙工程隊單獨完成．若要使修路總時間不超過55天，總費用低于820萬元，且甲工程隊所修路程需為整數(shù)，請問共有幾種修路方案?哪種方案最省錢?技巧7：方程思想在解實際等距問題中的應用【例題7】（21-22八年級下·河南安陽·階段練習）如圖鐵路上A，B兩點相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應距A點（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無法確定【變式1】（22-23八年級下·河南鄭州·期中）如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點相距，C、D為兩村莊，，，于點A，于B，現(xiàn)要在AB上建一個中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求km．【變式2】（22-23八年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，公路上A、B兩站相距25km，在公路附近有C、D兩所學校，于點A，于點B．已知，現(xiàn)要在公路上建設(shè)一個青少年活動中心E，要使得C、D兩所學校到E的距離相等，則E應建在距點A多遠處？【變式3】（23-24八年級上·陜西西安·期末）如圖，直線為一條公路，，處有兩個村莊，于點，于點，千米，千米，千米．現(xiàn)需要在上建立一個物資調(diào)運站，使得到，兩個村莊距離相等，請求出此時到的距離．

技巧8：方程思想在求平面直角坐標系中函數(shù)解析式的應用【例題8】（2024春?越秀區(qū)校級期中）星期六小明外出爬山，他從山腳爬到山頂?shù)倪^程中，中途休息了一段時間，小明所走的路程（米與所用時間（分之間的關(guān)系如圖所示．（1）小明休息前爬山的平均速度和休息后爬山的平均速度各是多少？（2）求小明休息后爬山中與之間的函數(shù)關(guān)系式，并計算經(jīng)過80分鐘小明爬山所走的路程．【變式1】（22-23八年級下·北京海淀·階段練習）“白銀號”種子的價格是元，如果一次性購買以上的種子，則超過部分的種子價格打折購買種子所需的付款金額單位：元與購買量單位：之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：

(1)根據(jù)圖象，寫出當購買種子超過時，付款金額單位：元關(guān)于購買量單位：的函數(shù)解析式；(2)若購買的種子，求付款金額；(3)當顧客付款金額為元時，求此顧客購買了多少種子．【變式2】（22-23八年級下·吉林長春·期中）某人需要經(jīng)常去復印資料．甲復印社直接按每次印的張數(shù)計費，乙復印社可以加入會員，但需按月付一定的會員費、兩復印社每月的收費情況如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題；

(1)乙復印社要求客戶每月支付的會員費是______元．(2)求出乙復印社收費y（元）關(guān)于復印量x（頁）的函數(shù)解析式．(3)當每月復印多少頁時，兩復印社實際收費相同？(4)如果每月復印210頁，應選擇哪家復印社？【變式3】（22-23八年級下·山東德州·階段練習）某市為提倡居民節(jié)約用水，自今年1月1日起調(diào)整居民用水價格，圖中，分別表示去年、今年水費（元）與用水量之間的關(guān)系．(1)分別寫出，的函數(shù)解析式．(2)小雨家去年用水量為140立方米，若今年用水量與去年相同，水費將比去年多多少元？技巧9：方程思想在求實際問題中最值的應用【例題9】（23-24八年級上·內(nèi)蒙古包頭·期中）某單位準備和甲乙兩個出租公司中的一家簽訂租車合同，設(shè)汽車每月行駛x千米，每月應付給甲公司的費用為元，付給乙公司的費用為元，、與x的關(guān)系如圖，若該單位每月行駛的路程為，為了使費用最少，則應選擇（）A．甲公司 B．乙公司 C．甲乙都一樣 D．無法確定【變式1】．（2024春?錦江區(qū)校級期中）隨著“低碳生活、綠色出行”理念的普及，新能源汽車逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車銷售中心決定采購型和型兩款新能源汽車，已知每輛型汽車進價是每輛型汽車進價的1.5倍，若用300萬元購進型汽車的數(shù)量比用240萬元購進型汽車的數(shù)量少2輛．（1）每輛型和型汽車的進價分別為多少萬元？（2）該汽車銷售中心購進型和型汽車共20輛，且型汽車的數(shù)量不超過型汽車的數(shù)量的2倍．已知型汽車的售價為35萬元，型汽車的售價為23萬元．如何制定進貨方案，可以使得銷售中心利潤最大，請求出最大利潤和此時的購進方案．【變式2】（23-24八年級下·福建·期中）為全面貫徹黨的教育方針，保障學生每天在校1小時體育活動時間，某校訐劃采購部分籃球和足球，已知1個籃球和2個足球共140元，2個籃球和1個足球共130元．(1)求籃球，足球的單價分別是多少元；(2)該校需購買籃球和足球一共100個，且足球的數(shù)量不少于籃球數(shù)量的，那么購買籃球和足球各多少個時花費最少？【變式3】（23-24八年級上·山東煙臺·期中）2023年9月21日，“天宮課堂”第四課在中國空間站開講了，精彩的直播激發(fā)了學生探索科學奧秘的興趣．某單位為滿足學生的需求，充實物理小組的實驗項目，需要購買甲、乙兩款物理實驗套裝．經(jīng)了解，每款甲款實驗套裝的零售價比乙款實驗套裝的零售價多7元，該單位以零售價分別用750元和540元購買了相同數(shù)量的甲、乙兩款物理實驗套裝．(1)甲、乙兩款物理實驗套裝每個的零售價分別為多少元？(2)由于物理興趣小組人數(shù)增加，該單位需再次購買兩款物理實驗套裝共200個，且甲款實驗套裝的個數(shù)不少于乙款實驗套裝的個數(shù)的一半，由于購買量大，甲乙兩款物理實驗套裝分別獲得了20元/每個、15元/每個的批發(fā)價．求甲、乙兩款物理實驗套裝分別購買多少個時，所用資金最少．技巧10：方程思想在求統(tǒng)計中“三數(shù)”的應用【例題1】（23-24八