山東省“學(xué)情空間”區(qū)域教研共同體2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（B）

“學(xué)情空間”區(qū)域教研共同體高一12月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（B）注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可求解.【詳解】命題“，”的否定為，.故選：D2.設(shè)集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）A.16 B.32 C.15 D.31【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A，再利用集合的子集概念.【詳解】因?yàn)榧?，所以集合A的子集個(gè)數(shù)為，故選：B3.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若，則下列命題正確的是（）A若且，則 B.若，則C.若，則 D.若且，則【答案】B【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)，結(jié)合特殊值法，即可判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】A中，有，錯(cuò)誤；B中，時(shí)，成立，正確；C中，時(shí)，，錯(cuò)誤；D中，由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；故選：B4.若是第三象限角，則下列各式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)所在象限，確定的三角函數(shù)值的正負(fù)，然后逐一判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿?，，A正確；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤.故選：A.5.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【答案】B【解析】【分析】易知函數(shù)是上的增函數(shù),,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可判斷出函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】函數(shù)是上的增函數(shù),是上的增函數(shù),故函數(shù)是上的增函數(shù).,,則時(shí),;時(shí),,因?yàn)?所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間,利用函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.如圖所示，函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將原函數(shù)變形為分段函數(shù)，根據(jù)及時(shí)的函數(shù)值即可得解.【詳解】∵，∴時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，故選：B7.已知函數(shù)，滿足對(duì)任意x1≠x2，都有0成立，則a的取值范圍是（）A.a∈(0,1) B.a∈[,1) C.a∈(0,] D.a∈[,2)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件知在R上單調(diào)遞減，從而得出，求a的范圍即可．【詳解】∵滿足對(duì)任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是減函數(shù)，∴，解得，∴a的取值范圍是．故選：C．8.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的值可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】【分析】由必要條件、充分條件的定義即可得出結(jié)果．【詳解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，∴實(shí)數(shù)a的值可以是4，5，6．故選：BCD．10.已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件和基本不等式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以A正確；由，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以B正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以C錯(cuò)誤；由正數(shù)滿足，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值是，所以D正確.故選：ABD11.下列說(shuō)法正確的是（）A.，B.若不等式的解集為或，則C.（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)D.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)特例可判斷A的正誤，根據(jù)一元二次不等式的解集可判斷B的正誤，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷C的正誤，根據(jù)“同增異減”的原則可判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A，取，則成立，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榈慕饧癁榛?，故為方程的根，故即，故B正確；對(duì)于C，，故的圖象恒過(guò)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可得，因?yàn)闉闇p函數(shù)，故若求的減區(qū)間，即求在上的增區(qū)間，而在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；且在上為增函數(shù)，故的增區(qū)間為，故的減區(qū)間為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知實(shí)數(shù)滿足，則下列關(guān)系式中可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)，令，，，在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象求解.【詳解】因?yàn)椋?，，，記與交點(diǎn)縱坐標(biāo)為m，與交點(diǎn)縱坐標(biāo)為t，當(dāng)y＝t時(shí)，A正確；當(dāng)y＝m時(shí)，B錯(cuò)誤；當(dāng)t＜y＜m時(shí)，C正確當(dāng)y＜t時(shí)，D正確故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的定義域是____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳解】由題意得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是_________．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)化成，再利用換元法令，將函數(shù)的最大值，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值.【詳解】因?yàn)?，令，所以，?duì)稱軸，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最大值，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，利用換元法求解時(shí)，注意新元取值范圍的確定，考能保證問(wèn)題的等價(jià)性.15.已知是定義在上偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由的單調(diào)性與奇偶性轉(zhuǎn)化后求解，【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，故等價(jià)于，解得.故答案為：16.如圖是由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形中較小的內(nèi)角為，大正方形的面積是1，小正方形的面積是.①的值為_(kāi)_________；②的值為_(kāi)_________.【答案】①.##②.【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的內(nèi)角及斜邊長(zhǎng)表示出兩直角邊長(zhǎng)，作差即可得出小正方形邊長(zhǎng)，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e是1，所以大正方形邊長(zhǎng)為1，則直角三角形中較短直角邊長(zhǎng)為，較長(zhǎng)的直角邊為，所以小正方形的邊長(zhǎng)為，又小正方形的面積是，所以小正方形邊長(zhǎng)為，故；因?yàn)?，所以，又，，所以，所?故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，.求：（1）當(dāng)時(shí)，求，，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式得到，進(jìn)而求解交集和并集，以及補(bǔ)集；（2）由得到，從而得到.【小問(wèn)1詳解】等價(jià)于，解得，故，而時(shí)，，故，，故.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，又，，?18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最小值為0，最大值為【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式計(jì)算可得；（2）由的取值范圍求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】由題意，，所以的最小正周期；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，可知，即，故的最小值為，最大值為.19.已知對(duì)數(shù)函數(shù)，并且它的圖象過(guò)點(diǎn).（1）求的解析式；（2）若，，求的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)（，且）的圖像過(guò)點(diǎn)，，即，，即，；【小問(wèn)2詳解】令，，函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)，該函數(shù)圖象開(kāi)口朝上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，有最小值，，當(dāng)時(shí)，有最大值，，的值域?yàn)?0.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．（1）求、的值；（2）證明在上為減函數(shù)；（3）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，可求得的值，再利用奇函數(shù)的定義可求得的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明結(jié)論成立；（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的都成立，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù)，則，解得，由奇函數(shù)的定義可得，所以，，即，則，可得.【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）得，任取、，且，則，則，，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù).【小問(wèn)3詳解】解：根據(jù)（1）（2）知，函數(shù)奇函數(shù)且在上為減函數(shù).不等式恒成立，即恒成立，也就是對(duì)任意的都成立，即對(duì)任意的都成立，則，解得，即的范圍是.21.我國(guó)某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的平板電腦，并從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測(cè)算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬(wàn)元，每生產(chǎn)（千臺(tái)）電腦需要另投成本萬(wàn)元，且另外每臺(tái)平板電腦售價(jià)為0.6萬(wàn)元，假設(shè)每年生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺(tái)平板電腦，企業(yè)獲得年利潤(rùn)為1650萬(wàn)元.（1）求該企業(yè)獲得年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式;（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大?并求最大年利潤(rùn).【答案】（1）（2）100千臺(tái)，最大年利潤(rùn)為5900萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）由已知的條件知道該函數(shù)為一個(gè)分段函數(shù)，所以分兩種情況把表達(dá)式分別求出來(lái)即可（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求它在該區(qū)間上的最大值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式性質(zhì)求最大值.【小問(wèn)1詳解】解：10000臺(tái)=10千臺(tái),則，根據(jù)題意得：，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故?dāng)年產(chǎn)量為100千臺(tái)時(shí),該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大,最大年利潤(rùn)為5900萬(wàn)元.22.已知定義在R上的函數(shù)滿足且，．（1）求的解析式；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍；（3）設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)m取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，代入計(jì)算可得；（2）根據(jù)單調(diào)性得，分離參數(shù)求最值即可.（3）因?yàn)閷?duì)任意的，存在，使得，等價(jià)于，先求的最小值，再分類討論對(duì)稱軸