代數(shù)幾何綜合題.

1、代數(shù)幾何綜合題I、綜合問(wèn)題精講：代數(shù)幾何綜合題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型，近幾年中考試題中的綜合題大多以代數(shù)幾何綜合題的形式出現(xiàn)，其解題關(guān)鍵點(diǎn)是借助幾何直觀解題，運(yùn)用方程、函數(shù)的思想解題，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，由形導(dǎo)數(shù)，以數(shù)促形，綜合運(yùn)用代數(shù)和幾何知識(shí)解 題.n、典型例題剖析于M?！纠?1 （ 2005，溫州，12分）如圖，已知四邊形 ABCD內(nèi)接于O 0, A是BdC的中點(diǎn)， AELAC于A與O0及CB的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) F、E,且Bf Ad , EM切OO1 ADSA EBA; AC2 = BC- CE如果 AB= 2, EM= 3,求cot / CAD的值。解：四邊形 ABCD

2、內(nèi)接于O O / CDAf/ ABE ?F Ad , / DCA=/ BAE, CASA AEB過(guò)A作AHIBC于H(如圖).A 是?DC 中點(diǎn)，. HC=HB= 2 BC ,0 2 1/ CA呂 900, AC2= ch* cm - BC- CETA 是 BdC 中點(diǎn)，AB= 2,. AC=AB= 2, EM是OO 的切線， EB- EC= eM / AC2= 1 BC- CE BC- CE= 82 +得：EC(EB+ BC)= 17,. EC2= 17 / EC2= aC+ Ah,.AE=寸 17 22 =好 / CABAABE / CAD=/ AECAE - cot / CAD= cot

3、 / AEC= AC= 2如,點(diǎn)撥：此題的關(guān)鍵是樹(shù)立轉(zhuǎn)化思想，將未知的轉(zhuǎn)化為已知的. 此題表現(xiàn)的非常突出.將/ CAD轉(zhuǎn)化為/ AEC就非常關(guān)鍵.A n X圖 2-5-2【例2】（2005，自貢）如圖2 5-2所示，已知直線y=2x+2分 別與x軸、y軸交于點(diǎn) A B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi) 作等腰直角 ABC / BAC=9ff。過(guò)C作CDL x軸，D為垂足.（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和AD的長(zhǎng)；(2)求過(guò)B A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式。解：(1 )在 y=2x+2 中分別令x=0，y=0.得 A (l , 0), B (0, 2).易得 ACDA BAO 所以 AD=OB=2(2)因?yàn)?/p>

4、 A(1 , 0), B (0, 2),且由(1),得 C (3,1 ).-3 -設(shè)過(guò)過(guò)B A、C三點(diǎn)的拋物線為yax2 bx ca所以c9ab c23b，解得5617Q25 2-x6點(diǎn)撥：此題的關(guān)鍵是證明, 【例31 ( 2005，重慶，10分) 0),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段 從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒 移動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)所以y17 x6ACD如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A (0, 6)、點(diǎn)B (8,AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) 0移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q 2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、QBAO求直線AB的解析式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)， APQ與 AOB相似? 24當(dāng)t為

5、何值時(shí)， APQ的面積為百個(gè)平方單位？5解：y = kx + b由題意，得 b=x + 6. (2 )由 AO= 6, BO= 8 得 AB= 10 所以 AP= t , AQ= 10 2t 1° 當(dāng)/APQ=/AOB 時(shí)，APg AOB解得所以，直線AB的解析式為y =8k b 030 解得t = 11（秒）所以1=嶋竺62° 當(dāng)/AQF=/ AOB 時(shí)， AQMA AOB所以 _L = 10 2t解得t = 50(秒)10613(3)過(guò)點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E.在 Rt AOB 中，Sin / BAO= BO = 4AB 5在 Rt AEQ 中，QE= AQ- Sin

6、/ BAO= (10-2 t) - 土 = 85-8t所以,5Saapq=丄 AP - QEz=y1t - （8 冬t）25=t2 + 4t = 24 解得 t = 2 （秒）或 t = 3 （秒）55（注：過(guò)點(diǎn)P作PE垂直AB于點(diǎn)E也可，并相應(yīng)給分）yQpQAPKfi ?囹2 & 6APQ的形狀也在發(fā)生著變化，這樣，就得到了兩個(gè)時(shí)間限制.同時(shí)第（ff 圖 2-5 5 點(diǎn)撥：此題的關(guān)鍵是隨著動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，/ APQ=/ AOB= 90。/ APQ=/ ABO 也可以過(guò)P作PE丄AB.【例4】（2005，南充，10分）如圖2-5 7矩形ABCD中, AB= 8,BC= 6，對(duì)角線ACh有

7、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)A和點(diǎn)C）.設(shè) AF= X,四邊形PBC的面積為y.（1）寫(xiě)出y與X的函數(shù)關(guān)系，并確定自變量 X的范圍.（2） 有人提出一個(gè)判斷：“關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P," PBC面積與"PAD 面積之和為常數(shù)”.請(qǐng)你說(shuō)明此判斷是否正確，并說(shuō)明理由.解：（1）過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE丄BC于點(diǎn)E.在 Rt" ABC中, AC= 10, PC= AC AP= 10 X. PEI BC AB! BC 丄 PE9" ABC 故 PE PC，即 PEAB AC81 " PBC面積=2 PE BC4pe102412 X.54一 X.5又ZI PCD面積="PBC

8、面積=2412 X.所以應(yīng)分情況：3）問(wèn)BED圖 2-5-75-5 -24即 y 48 X, x的取值范圍是0 V x< 10 .5(2)這個(gè)判斷是正確的.理由：由(1 )可得，"PAD面積=12xX.5"PBC面積與"PAD面積之和=24 . PCD這樣問(wèn)題點(diǎn)撥：由矩形的兩邊長(zhǎng) 6,8 .可得它的對(duì)角線是 10,這樣PC= 10-X,而面積y是 一個(gè)不規(guī)則的四邊形，所以可以把它看成規(guī)則的兩個(gè)三角形：PBC就非常容易解決了 .F ( 0, - 1),則下列判斷in、綜合鞏固練習(xí)(100分90分鐘)1、如圖2- 5- 8所示，在直角坐標(biāo)系中， ABC各頂點(diǎn)坐標(biāo)

9、分別為 A (0,羽)，B (- 1, 0)、C (0, 1)中，若 DEF各頂點(diǎn)坐 標(biāo)分別為 D (、/3，0)、E ( 0, 1 )、 正確的是()ABCD90°得到;90°得到;60°得到;120 °得到. DEF由 ABC繞0點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn). DEF由 ABC繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)DC0. DEF由 ABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) . DEF由 ABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2.如圖2 5-9,已知直線y=2x + 1與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交 于B點(diǎn)，直線y=2x 1與X軸交于C點(diǎn)，與y軸交于D點(diǎn)，試 判斷四邊形ABCD的形狀.圖 2-5-9-14 -3.如圖2- 5-

10、 10所示，在矩形 ABCD中，BD=20, AD> AB設(shè)/ ABD=a，已知sin a是方 程25z2- 35z+ 12=0的一個(gè)實(shí)根.點(diǎn) E、F分別是BC DC上的點(diǎn)，EC+CF=8設(shè)BE=x AEF面積等于y.求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)E F兩點(diǎn)在什么位置時(shí) y有最小值？并求出這個(gè)最小值.4.N.（10分）如圖2- 5- 11所示，直線y= 4 x+ 4與X軸、y軸分別交于點(diǎn) M（1）求M N兩點(diǎn)的坐標(biāo);124相切,（2）如果點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn) P為圓心，為半徑的圓與直線 y= -3 X+ 4求點(diǎn)P的坐標(biāo).5. （10分）如圖2-5-12所示，已知等邊三角形 ABC中，AB

11、=2,點(diǎn)P是AB邊上的任意一 點(diǎn)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合，但不與點(diǎn) B重合），過(guò)點(diǎn) P作PEX BC垂足為E;過(guò)點(diǎn)E 作EF丄AC,垂足為F;過(guò)點(diǎn)F作FQIAB,垂足為 Q.設(shè)BP=x, AQ=y 寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；Q重合；PE、EF、FQ所圍成三角形的周長(zhǎng)的取值范圍（不 當(dāng)BP的長(zhǎng)等于多少時(shí)，點(diǎn) P與點(diǎn)當(dāng)線段PE、FQ相交時(shí)，寫(xiě)出線段必寫(xiě)出解題過(guò)程）圖 2-5U2t秒.OPFE的面積最大，最大面積6.（ 12分）如圖2-5 13所示，已知 A由兩點(diǎn)坐標(biāo)分另為（28, 0）和（0, 28）,動(dòng)點(diǎn) P從A點(diǎn)開(kāi)始在線段 AO上以每秒3個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向原點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從x軸開(kāi) 始以每

12、秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向上平行移動(dòng) （即EF/ x軸）并且分別交y軸，線段AB交于E、 F點(diǎn)連接FP,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 當(dāng)t = 1秒時(shí)，求梯形 OPFE的面積，t為何值時(shí)，梯形是多少？的長(zhǎng). 當(dāng)梯形OPFE的面積等于 APF的面積時(shí)，求線段 PF 設(shè)t的值分別取t1, t2時(shí)（tG t2），所對(duì)應(yīng)的三角形分別為 AF1P1和 AFP2，試 判斷這兩個(gè)三角形是否相似，請(qǐng)證明你的判斷.7.（12分）如圖2-5- 14所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1 ,52，1）0），對(duì)角線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（寫(xiě)出B C D三點(diǎn)的坐標(biāo)； 若在AB上有一點(diǎn) E作，入過(guò) 求

13、直線I的解析式；若過(guò)C點(diǎn)的直線I將矩形ABCD的面積分為4: 3兩部分，并與y軸交于點(diǎn)M求過(guò)點(diǎn)C、 D、M三點(diǎn)的拋物線的解析式.E點(diǎn)的直線將矩形 ABCD勺面積分為相等的兩部分,(10分)已知矩形ABCD&平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn) A、B、D的坐標(biāo)分別為 A(0, 0), B (m, 0), D (0, 4)其中說(shuō) 0.寫(xiě)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)和矩形 ABCD的中心P點(diǎn)的坐標(biāo)(用含 m的代數(shù)式表示) 若一次函數(shù)y=kx 1的圖象I把矩形ABCD分成面積相等的兩部分，求此一次函數(shù)的解 析式(用含m的代數(shù)式表示) 在的前提下，I又與半徑為1的O M相切，且點(diǎn) M (0, 1), P點(diǎn)的坐標(biāo).求此矩形

14、ABCD的中心(10分)如圖2- 5- 15所示，等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn) 上，且AD=AE=2若點(diǎn)F從點(diǎn)B開(kāi)始以每秒二個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線 F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t > 0時(shí)，直線FD與過(guò)點(diǎn)A且平行于 延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) H, AB與GH相交于點(diǎn)O.設(shè) EGA的面積為S,寫(xiě)出S與t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時(shí)，AB丄GH請(qǐng)你證明 GFH的面積為定值.9.D E分別在邊AB, ACBC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) BC的直線相交于點(diǎn) G, GE的P、點(diǎn)Q在運(yùn)動(dòng)路線上相距的路程為25cm .A i(cm2)40A P H圖A5 MAJfjtctrts)40n r込)2X(A圖 2-5&

15、#39;1«10. (10 分)如圖 2- 5-16，在矩形 ABCD 中，AB=10。cm, BC=8cm .點(diǎn) P 從 A 出發(fā)，沿 At Bt SD 路線運(yùn)動(dòng)，到 D停止；點(diǎn)Q從D出發(fā)，沿D S BA 路線運(yùn)動(dòng)，到 A停止，若點(diǎn) P、點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn) P的速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，a s時(shí) 點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)改變速度，點(diǎn) P的速度變?yōu)閎cm/s，點(diǎn)Q的速度變?yōu)閐 cm/s，圖2 5 17是點(diǎn)P出發(fā)x秒后APD的面積S1 ( cm2)與x (s)的函數(shù)關(guān)系圖象；圖 2 5 18是點(diǎn)Q出發(fā)xs后面AQD的面積S2 (cm2)與x (s)的函數(shù)關(guān)系圖象.參照?qǐng)D2 5 17

16、，求a、b及圖中c的值；求d的值；設(shè)點(diǎn)P離開(kāi)點(diǎn)A的路程為y1 (cm)，點(diǎn)Q到點(diǎn)A還需走的路程為y2(cm)，請(qǐng)分別寫(xiě)出動(dòng) 點(diǎn)P、Q改變速度后，y1、y2與出發(fā)后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 x (S)的函數(shù)解析式，并求出P、Q相遇時(shí)x的值.當(dāng)點(diǎn)Q出發(fā)s時(shí)，點(diǎn).綜臺(tái)復(fù)a五y代數(shù)幾何綜臺(tái)題于01. kA 點(diǎn)疝此題關(guān)犍是仔細(xì)現(xiàn)索圖形找出旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.2滾倔線=一2卄1與軸交于軸交于B（0J）.直線與工軸交于C（*，0）與，軸交于D（0-l）在 RiAAGB 中，vW亠麗=爭(zhēng).同理可得CDBC=AD= .所以四邊形ABCD是菱枚點(diǎn)撥：解題的關(guān)鍵是求出A、B、GD四點(diǎn)的坐標(biāo).然后ffi據(jù)勾股宜理，求 出四邊形ABC

17、D的備邊長(zhǎng)3+解：解方程可得Slim =£-或sino = 因?yàn)锳D>AB*所以£皿= 舍去取sina=T則有AD= 16» AB= L2.因?yàn)锽E =工*所以 55EC=16-t,CF=8-EC=j-8,DF=12-CF20-x, SWAAEF 的血租¥=16X12 p- * 12= 16(20刃 (16 j-XjH) =jT1OJ-+96 (8<<1«).（2）y= Ig +96 =邁（一10）2 +4（5所以當(dāng) j： = 10即 BF J0*CF=2時(shí)冇S小值16.點(diǎn)撥：根據(jù)方樫求出“g是關(guān)堆.確定sig的值應(yīng)根據(jù)條件A

18、D>Ab進(jìn) 行取會(huì)，|.解】（1）半2=0時(shí)*心呷y = 0時(shí)，一才+ 4=0,所以x=3.所W答圖2-5-2M(3,O),NCO,4>,碎圖2-5-14）to袴圖2<-1所示當(dāng)P點(diǎn)在了軸上井冃在N點(diǎn)的下方時(shí)設(shè) 3卩與直線丫=一令工+ 4相切于點(diǎn)兒連接PA.則"丄MM府以 Z卩AN- ZMO.V = 90 因?yàn)?ZPNA = ZMNO.所以尸AN s p A p VMOM 所以鱒h昴+ RiAOMN 中 tOM-3.G,V-4，所以 MN =1 9|V5.又丙為PA=¥所以PiN=4.所以P,點(diǎn)坐標(biāo)是（Q.or如答圖 £-5-1所示，當(dāng)F點(diǎn)在工軸

19、上*井a(chǎn)在A4點(diǎn)的左«時(shí)、同理可得尸點(diǎn)坐 標(biāo)是（0,0）*如答圖2-5-2所示*當(dāng)P在K軸上*井R在M點(diǎn)的右« 時(shí)，設(shè)©卩與S線y=2-_r+4相切于點(diǎn)乩連接P乩則PB丄由 MNg/XMPB 得 MP=3*WW OP = 6.所以P點(diǎn)坐標(biāo)MC6.0>i如答圖2-53所示當(dāng)P點(diǎn)在y軸上并a在點(diǎn)N t方時(shí)同理町得,PX0Nf所以O(shè)P = 8.所以NMP點(diǎn)燮標(biāo)是9沱）綜上所述卩點(diǎn)坐標(biāo)是（0,0）*（氣0）,（0禱人點(diǎn)撥解此題關(guān)電是考慮別尸點(diǎn)的四種不+4同位気5+解江1）因?yàn)锳BC為等邊三角形，所以祁圖2-5-3Zj = ZBZC=60AB=BC = CA = 2.

20、在BEP 中，因?yàn)?PE±BE，ZS=60所WZB而B(niǎo)P=r所以3£：=專(zhuān)左+所以 旣=2-主.莊ZMTFE中，因?yàn)閆C= 60*, EF1CF,折U ZFEC三30所以FC = 1 -亍總所 AF= +手*同理*在FAQ中*可得AQ=寺+斗工,而AQ=y,所以【2）當(dāng)點(diǎn)P與Q電合時(shí)AQ +RP = AR=2.所以丁 + 了=左所以 $ +廠2<=11 卿得" = 所以當(dāng)BP的辰為專(zhuān)時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q 1丿邁"十1"工甫合*（3）設(shè)三角帶的周it為人得學(xué)盂d老點(diǎn)按在利用方程思想來(lái)求得BP的艮足多少時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)Q重合定堺 S的突破n*B解

21、77;1）當(dāng) f=l 秒時(shí),O£=l/AP-3,所以 OP =2S-3 = 2S.因?yàn)?OA =OB. EF " CM所以 FF = EB = Sa - 1 = 27* 所以 弘亀和£ =2 2面積為S=簽2 + 28r = -5h-7）?+9乩所兇當(dāng)件7抄時(shí).梯形OPFE 的面積最大、最大面積是9艮小2_ （2E一引+ 28一門(mén)-t _ CSfi-4O t05權(quán)釈滬FT （DP + EFi * OE = 25 + 27） XI =的麗理，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為i時(shí)，新形£ 2備*當(dāng)弘貼npFE = SAfP時(shí)*有 3 2 4川=竽T所以一和占=3fJ fl =8

22、（秒幾“ 舍去）.過(guò)點(diǎn)F作F”丄AO.垂足為H,如善團(tuán)2-5-1 所示T因?yàn)镃MB = 45所以 AH = FH = g.所以 FH = 3Xa S=1& 在 Kt/XFHF 中 *FF=存習(xí)環(huán)阿二 vFTT=K AQ相似.證明：分別過(guò)點(diǎn)FoFs作FiHi丄A尸I，瑪Hz丄A巳、垂足分別 為如答圖2-5-S所示.因?yàn)閆OAB=45所以AH| = f甘】= g所W AF1 =施"山幵=渥“.所以捽 =¥-*只丙/11*2 （2 為""F宀心所以黑=g =牛所以簽=烹=嚴(yán)且 ZCMB = ZOA民所以AF PSAF丹-15比P'Hz比4答圖2

23、-5-5Ela線過(guò)點(diǎn)/民設(shè)直線 f 的解析k,3式為y二蛀+氐由總意，可鮒Yp-A+”O(jiān) *,網(wǎng)得3所以直線r冷1匸_于 的解析式為-x相】蘭種情況：設(shè)過(guò)直f的直線交AB于點(diǎn)F（aO人囲為£丁曲 “ Pwflc丁"1十3八2占1/1打上專(zhuān)+解得上=學(xué)所W F（號(hào)0 ）.設(shè)直線CF的解C1 X）* 2pJt'+A' = 2*析式為y = Ar + ”+所以擴(kuò)=0所以"冷"工一罟.所以直紗CF與姜軸的交點(diǎn)為M （氛一晉）.設(shè)過(guò)三點(diǎn)的骯物線的解析式為=3"2+冉工+心所以解得IGd + M+f 2* 衣+&+產(chǎn)2 *109 &

24、#39;7Q= -、普 所M普K-普* 】0一1-.C .萬(wàn)fy+2) * 3過(guò)點(diǎn)C的直線交AD于點(diǎn)F'fl.W因?yàn)?少豎F =* p-t£ W - S-18 -H寺*解錫y = . F（X）設(shè)過(guò)點(diǎn)GF的直線解析式為爭(zhēng)=擴(kuò)文+N 代"十 y=2，罠所吟*字所%=_#所以，CF雖軸的交點(diǎn)為M（Ol 手）.設(shè)過(guò)口 MQ三點(diǎn)的拋物線的解析（16a' + 4” +=2,式為嚴(yán)宀+辦+ J所以”十F+'i#=號(hào)”十" 丁一耳-*因此過(guò)GO、M三點(diǎn)的拋物線的耕析式為，= _尋”+乎晉或嚴(yán)-y#扌牛-字點(diǎn)如中臉?lè)謨煞N情況，利用方程組的思想來(lái)解決問(wèn)題.%D(04)/ Cf/fd g i答圖2-5-6解如答團(tuán)2”5胡所示.（DC點(diǎn)坐標(biāo) （叫4）點(diǎn)坐標(biāo)為（號(hào),2、C（2）因?yàn)橐司€把矩形ABCD分成面 積相導(dǎo)兩部分所以/必過(guò)中心點(diǎn)P （號(hào)、）所心4 =上拠2*因?yàn)楸?, P 浙以所以$=旦工一1：?nTnd）設(shè)冑線卜與y軸相交于點(diǎn)C剜FMF 1點(diǎn)坐標(biāo)為（0*-1>.因?yàn)?#169;M的半為1 所W sinZFFD= = .所pn以ZEFD=3(r 過(guò) P 作 PGLy 軸于 G斫以 = tflnEFn=ranao =睜所以?xún)?=誓陽(yáng)=打所以I號(hào)所以P點(diǎn)坐標(biāo)G