陜西省咸陽市永壽縣中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

永壽縣中學(xué)2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：必修第二冊第六章~第八章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則（）A．B．C．D．2．下列命題正確的是（）A．三點確定一個平面B．四條首尾相連的線段確定一個平面C．兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內(nèi)D．空間兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)3．已知向量,它們的夾角為，則（）A．10B．C．D．134．已知球的半徑為，則球的表面積為（）A．B．C．D．5．在中，角A,B,C的對邊分別為，則外接圓的面積為（）A．B．C．D．6．如圖，在等腰梯形中，,點E為線段的中點，點F是線段上的一點，且,則（）A．B．C．D．7．如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心從A城正西方向600千米的B處以每小時千米的速度向北偏東的方向移動，距臺風(fēng)中心千米的范圍內(nèi)為受臺風(fēng)影響的區(qū)域，若A城受到這次臺風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)影響的時長為（）A．10小時B．20小時C．小時D．小時8．我國古代《九章算術(shù)》將上下兩個平行平面為矩形的六面體稱為芻童．如圖池盆幾何體是一個芻童，其中上，下底面均為正方形，且邊長分別為8和4，側(cè)面是全等的等腰梯形，且梯形的高為，則該盆中最多能裝的水的體積為（）A．B．C．D．448二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知z為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A．若,則B．若,則C．若，則D．10．已知m,n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若,則B．若,則C．若,則D．若,則11．在中，角A,B,C的對邊分別為,角A的角平分線交于點D,，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．的面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．如圖，四邊形是梯形的直觀圖，四邊形是等腰梯形，且，則梯形的周長為___________．13．在中，，則___________．14．如圖，三棱臺的上、下底邊長之比為，三棱錐的體積為,四棱錐的體積為,則___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知,復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）．（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，求m的取值范圍；16．（本小題滿分15分）已知向量．（1）若,求的值；（2）若，向量與的夾角為銳角，求的取值范圍．17．（本小題滿分15分）如圖，在直四棱柱中，底面是菱形，，E,F分別為棱的中點，G是棱上的一點，是棱上的一點，．（1）求證：平面平面;（2）求證：平面平面．18．（本小題滿分17分）在中，角A,B，C的對邊分別為a，b,c,且的面積為．（1）求角A的大??；（2）若是的一條中線，求線段的長．19．（本小題滿分17分）在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形是矩形，，是棱的中點．（1）求證：;（2）求二面角的正切值．

永壽縣中學(xué)2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期期中考試·高一數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細則1．A設(shè),所以,所以，所以．故選A．2．C如果三點在同一條直線上，則不能確定一個平面，故A錯誤；如空間四邊形，四條首尾相連的線段不在一個平面，故B錯誤；兩條平行直線確定一個平面，一條直線與這兩條平行直線都相交，則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個平面內(nèi)，故這三條直線在同一平面內(nèi)，故C正確；空間兩兩相交的三條直線可確定一個平面，也可確定三個平面，故D錯誤．故選C．3．C因為向量,它們的夾角為，所以，所以．故選C．4．C．故選C．5．B設(shè)外接圓的半徑為,解得外接圓的面積為．故選B．6．B．故選B．7．B臺風(fēng)中心從B處開始移動t小時，移動的距離為千米，則臺風(fēng)中心移動t小時時商A城的距離為，若A城受到這次臺風(fēng)的影響，則，得，解得，所以A城遭受這次影響的時長為小時．故選B．8．B根據(jù)題意可知，這個芻童為棱臺．因為上、下底面為正方形，邊長分別為8和4，側(cè)面是全等的等腰梯形，且梯形的高為，所以該棱臺的高為4，所以該棱臺的體積．故選B．9．AD設(shè),由為實數(shù)，得,所以,故A正確；若,則,故B錯誤；復(fù)數(shù)不能比較大小，故C錯誤；設(shè),則,故D正確．故選AD．10．BD若,則或,故A錯誤；,則或m,n異面，故C錯誤．故選BD．11．AD由余弦定理得,即,所以，又，所以，,解得．在中，,故A正確；在中，，解得,故B錯誤；,解得，故C錯誤；，故D正確．故選AD．12．因為四邊形是等腰梯形，且，所以，所以,且,所以,梯形的周長為．13．由正弦定理得，得，又，所以，所以．14．由三棱臺的上、下底邊長之比為，可得上、下底面的面積比為，設(shè)三棱臺的高為h,則點到平面的距離也為h,上底面面積為S,則下底面面積為,所以，所以．15．解：（1）因為z是純虛數(shù)，所以4分解得;6分（2）在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點為,由題意可得10分解得,即m的取值范圍是．13分16．解：（1）因為,所以,，4分又,所以，即，6分解得．7分（2）因為，所以．8分又向量與的夾角為銳角，所以12分解得且，即的取值范圍是．15分17．證明：（1）分別取的中點M,N,連接,如圖所示．因為M是的中點，E是的中點，易得四邊形是平行四邊形，所以．因為G是棱上的一點，是棱上的一點，,所以,所以四邊形是平行四邊形，所以,所以,又平面平面,所以平面．3分因為N是的中點，E是的中點，易得四邊形是平行四邊形，所以．又G是棱上的一點，,所以G是的中點，又F是的中點，所以,所以,又平面平面,所以平面,6分又平面,所以平面平面;8分（2）連接,因為底面是菱形，，所以是等邊三角形，又E是的中點，所以,10分因為直四棱柱,所以平面,又平面,所以,12分又平面,所以平面,14分又平面,所以平面平面．15分18．解：（1）因為,又，4分所以,6分所以,又,所以；8分（2）因為D為的中點，所以,10分所以，15分所以．17分19．（1）證明：取的中點F,連接,如圖所示．因為是等邊三角形，F(xiàn)是的中點，所以．2分因為F是的中點，E是棱的中點，所以．又四邊形是矩形，所以,所以,又,所以,4分又平面,所以平面,6分又平面,所以,7分又平面,所以平面,8分又平面,所