江西省南昌市東湖區(qū)紅谷中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023—2024學(xué)年江西省南昌市東湖區(qū)紅谷中學(xué)九年級(jí)（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.如圖所示的三個(gè)矩形中，其中相似形是A.甲與乙 B.乙與丙 C.甲與丙 D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形相似的條件，判斷對(duì)應(yīng)邊的比是否相等即可．甲：矩形寬與長比為：；乙:矩形寬與長比為：;丙:矩形寬與長比為：,所以乙和丙的寬與長的比相等，故這兩個(gè)矩形相似.故選B.【點(diǎn)睛】考查相似多邊形的判定，解題關(guān)鍵是運(yùn)用了對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形是相似多邊形．2.若函數(shù)的圖象在其所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則m的取值范圍是A.m＜﹣2 B.m＜0 C.m＞﹣2 D.m＞0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性列出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．∵函數(shù)的圖象在其所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，∴m+2＜0，解得：m＜﹣2．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．3.點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了求特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；先求得，，進(jìn)而根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可求解．】解：∵，∴即∴關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B．4.如圖，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為()A.米 B.30sinα米 C.30tanα米 D.30cosα米【答案】C【解析】在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO為α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．故選C．5.用兩塊完全相同的長方體擺放成如圖所示的幾何體，這個(gè)幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：找到從左面看所得到的圖形即可：從左面看易得有兩層，上層右邊是1個(gè)正方形；下層有1個(gè)長方形，且中間有一看不見的豎線．故選C．6.如圖，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD∥BC，BE的延長線交AD于點(diǎn)G，且BG∥DF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行分析即可得到答案．∵BG∥DF，∴，A正確，C錯(cuò)誤；∴，B正確；∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵BG∥DF，∴∠BEC=∠DFA，∴△BEC∽△DFA，∴，D正確，故選C．【點(diǎn)睛】考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系．7.如圖，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，若，則x的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)及函數(shù)的大小關(guān)系，直接解答．要充分利用函數(shù)圖象所給的信息解答．解：由圖可知，在A點(diǎn)左側(cè)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，此時(shí)；在B點(diǎn)左側(cè)，y軸的右側(cè)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，此時(shí)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，將關(guān)于算式的問題轉(zhuǎn)化為圖象問題是解題的關(guān)鍵．8.如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，高線AH長8cm，底邊BC長10cm，要把它加工成一個(gè)矩形零件，使矩形DEFG的一邊EF在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)D，G分別在AB，AC上，則四邊形DEFG的最大面積為()A.40cm2 B.20cm2C.25cm2 D.10cm2【答案】B【解析】【分析】設(shè)矩形DEFG的寬DE=x，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列式求出DG，再根據(jù)矩形的面積列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可．如圖所示：設(shè)矩形DEFG的寬DE=x，則AM=AH-HM=8-x，

∵矩形的對(duì)邊DG∥EF，

∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得DG=（8-x），

四邊形DEFG的面積=（8-x）x=-（x2-8x+16）+20=-（x-4）2+20，

所以，當(dāng)x=4，即DE=4時(shí)，四邊形DEFG最大面積為20cm2．

故選B．【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比用矩形DEFG的寬表示出長是解題的關(guān)鍵．9.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，先根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出的符號(hào)，進(jìn)而可判斷出一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象所在的象限，先根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出的符號(hào)是解答此題的關(guān)鍵．解：拋物線開口向下，．拋物線與軸的交點(diǎn)在軸正半軸，．拋物線的對(duì)稱軸在軸正半軸，，，一次函數(shù)圖象經(jīng)過一二四象限，反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)分支分別位于一三象限，故選：C．10.若兩個(gè)扇形滿足弧長的比等于它們半徑的比，則這稱這兩個(gè)扇形相似．如圖，如果扇形AOB與扇形是相似扇形，且半徑（為不等于0的常數(shù)）．那么下面四個(gè)結(jié)論：①∠AOB＝∠；②△AOB∽△；③；④扇形AOB與扇形的面積之比為．成立的個(gè)數(shù)為：（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】試題分析：這是一個(gè)閱讀題，根據(jù)扇形相似的意義，可知①②正確，由邊長的比等于相似比可知③正確，由扇形面積的比等于相似比的平方，可得到④正確.故選D考點(diǎn)：弧長，扇形面積公式二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．11.小明在操場上練習(xí)雙杠，他發(fā)現(xiàn)雙杠兩橫杠在地面上的影子的關(guān)系是____【答案】平行【解析】【分析】利用在同一時(shí)刻，平行物體的投影仍舊平行分析．根據(jù)平行投影的特點(diǎn)是：在同一時(shí)刻，平行物體的投影仍舊平行．

雙杠平行，地上雙杠的兩橫杠的影子也平行．故答案是：平行.【點(diǎn)睛】考查了平行投影特點(diǎn)，平行投影的特點(diǎn)是：在同一時(shí)刻，平行物體的投影仍舊平行．12.如圖，在Rt中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則AB=__，sinA=___【答案】①.5②.【解析】分析：先利用勾股定理計(jì)算出AB，然后根據(jù)正弦的定義即可得到∠A的正弦．解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，∴sinA==．故答案為5，．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦等于這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值．也考查了勾股定理．13.在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，2)，若以原點(diǎn)O為位似中心，畫△ABC的位似圖形△A′B′C′，使△ABC與△A′B′C′的相似比等于，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為______．【答案】(6，4)或(－6，－4)【解析】【分析】位似是特殊的相似，若兩個(gè)圖形△ABC和△A′B′C′以原點(diǎn)為位似中心，相似比是k，△ABC上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y），則在△A′B′C′中，它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（kx，ky）或（-kx，-ky）．∵在△A′B′C′中，它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（kx，ky）或（-kx，-ky）

∴A'的坐標(biāo)為（4，6）或（-4，-6）．故答案是：(6，4)或(－6，－4).【點(diǎn)睛】正確理解位似與相似的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記憶關(guān)于原點(diǎn)位似的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．14.在Rt△ABC中，CA=CB，AB=，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若tan∠CAD=，則BD的長為___．【答案】6【解析】解：如圖，在Rt△ABC中，∵CA=CB，AB=，∴CA2+CB2=AB2，∴CA=CB=9．∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴CD=3．∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6．15.如圖是一個(gè)幾何體三視圖，其中主視圖與左視圖都是邊長為4的等邊三角形，則這個(gè)幾何體的側(cè)面展開圖的面積為___.【答案】8π【解析】【分析】解：由三視圖可知這個(gè)幾何體是一個(gè)圓錐，且底面圓的直徑為4，母線長為4，則底面周長為4π，所以所以扇形的圓心角的度數(shù)為180°，則側(cè)面展開圖的面積為.故答案為：8π16.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接BD，則tan∠DBC的值為____．【答案】【解析】【分析】利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)得出BC=AC，DE=EC=DC，然后通過解直角△DBE來求tan∠DBC的值即可．∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．

又∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，

∴AD=DC=AC．

∵DE⊥BC于點(diǎn)E，

∴∠CDE=∠C=45°，

∴DE=EC=DC=AC．

∴tan∠DBC＝.故答案是：.【點(diǎn)睛】考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)．通過解直角三角形，可求出相關(guān)的邊長或角的度數(shù)或三角函數(shù)值．17.如圖，雙曲線與⊙O在第一象限內(nèi)交于P、Q兩點(diǎn)，分別過P、Q兩點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，已知點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，3)，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】4．【解析】解：∵⊙O在第一象限關(guān)于y=x對(duì)稱，也關(guān)于y=x對(duì)稱，P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3），∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1），∴S陰影=1×3+1×3－2×1×1=4．故答案為：418.在直角坐標(biāo)系中，有如圖所示的Rt△ABO，AB⊥x軸于點(diǎn)B，斜邊AO=10，sin∠AOB=，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C，且與AB交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為____________．【答案】（8，）【解析】∵斜邊AO=10，sin∠AOB=，∴sin∠AOB===，∴AB=6，∴OB==8，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，6），而C點(diǎn)為OA的中點(diǎn)，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），又∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，∴k=4×3=12，即反比例函數(shù)的解析式為y=，∵D點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且它的橫坐標(biāo)為8，∴當(dāng)x=8，y==，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，）．故答案為（8，）．三、解答題：本題共6小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，有理數(shù)的乘方法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪的意義，絕對(duì)值的意義和特殊角的三角函數(shù)值，正確利用上述法則與性質(zhì)化簡運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．利用有理數(shù)的乘方法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪的意義，絕對(duì)值的意義和特殊角的三角函數(shù)值化簡運(yùn)算即可．】解：原式．20.如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．【答案】證明見解析．【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明．∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．又∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，正確找到相似的條件是解題的關(guān)鍵．21.如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)A（4，2），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且OB=6．（1）求函數(shù)和y=kx+b的解析式．（2）已知直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，在第一象限內(nèi)，求反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)P，使得．【答案】（1），y=2x-6（2）P（，6）【解析】【分析】（1）把點(diǎn)A（4，2）代入反比例函數(shù)，可得反比例函數(shù)解析式，把點(diǎn)A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函數(shù)y=kx+b，可得一次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)C（3，0），可得CO=3，設(shè)，根據(jù)S△POC=9，可得，解得，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）把點(diǎn)A（4，2）代入反比例函數(shù)，可得m=8，∴反比例函數(shù)解析式為：，∵OB=6，∴B（0，﹣6），把點(diǎn)A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函數(shù)y=kx+b，可得：，解得：，∴一次函數(shù)解析式為y=2x﹣6；（2）在y=2x﹣6中，令y=0，則x=3，即C（3，0），∴CO=3，設(shè)，則由S△POC=9，可得，解得：，∴22.某校九年級(jí)組織學(xué)生到商場參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，他們參與了某種品牌運(yùn)動(dòng)鞋的銷售工作，已知該運(yùn)動(dòng)鞋每雙的進(jìn)價(jià)為120元，為尋求合適的銷售價(jià)格進(jìn)行了4天的試銷，試銷情況如下表所示：第1天第2天第3天第4天售價(jià)（元/雙）150200250300銷售量/（雙）40302420（1）觀察表中數(shù)據(jù)，，滿足什么函數(shù)關(guān)系？請求出函數(shù)解析式；（2）若商場計(jì)劃品牌運(yùn)動(dòng)鞋每天的銷售利潤為3000元，則其售價(jià)應(yīng)定為多少元一雙？【答案】（1）反比例函數(shù)關(guān)系，（2）240元【解析】【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)得出，即可得出結(jié)果；（2）由題意得出方程，解方程即可，注意檢驗(yàn)．【小問1】解：由表中數(shù)據(jù)得：，，是的反比例函數(shù)，故所求函數(shù)關(guān)系式為；【小問2】解：由題意得：，把代入得：，解得：；經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根；答：若商場計(jì)劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價(jià)應(yīng)定為240元．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用、列分式方程解應(yīng)用題；根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系式和列出方程是解決問題的關(guān)鍵．23.如圖，山頂有一塔，塔高．計(jì)劃在塔的正下方沿直線開通穿山隧道．從與E點(diǎn)相距的C處測得A，B的仰角分別為，，從與F點(diǎn)相距的D處測得A的仰角為．求隧道的長度．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】隧道的長度為【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．延長交于H，利用正切的定義用表示出，，根據(jù)題意列式求出，計(jì)算即可．解：延長交于