2023-2024學年四川省成都市高二下學期6月月考（期末）數(shù)學檢測試題（含解析）

/2023-2024學年四川省成都市高二下學期6月月考（期末）數(shù)學檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考號等填寫（涂）在答題卡的指定位置上．2．回答選擇題時，選出每個小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡相應位置上，所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．3．考試結束后，只需將答題卡交回，試卷由考生自行保管．4．試卷，考試．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若上的可導函數(shù)在處滿足，則（

）A．6 B． C．3 D．2．已知向量，則向量在向量上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列的前項和為，則（

）A．18 B．54 C．128 D．1924．直線，被圓截得最短弦的長為（

）A． B． C． D．5．三個數(shù)的大小順序為（

）A． B． C． D．6．給圖中五個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏色且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（

）種不同的染色方案.A．48 B．60 C．72 D．847．已知橢圓：的左焦點為，離心率為為橢圓上關于軸對稱的兩點，，若，則橢圓方程為（

）A． B． C． D．8．已知曲線與的兩條公切線的夾角的正切值，則的值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對得部分分，錯選得0分．9．已知，若隨機事件相互獨立，則（

）A． B． C． D．10．下列說法中正確的是（

）A．已知隨機變量服從正態(tài)分布且，則B．甲、乙、丙、丁到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件“4個人去的景點互不相同”，事件“甲獨自去一個景點”，則C．五名學生去四個地方參加志愿者服務，每個地方至少有一名志愿者，則不同的方法共有240種D．甲、乙、丙、丁、戊五名同學排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有30種11．已知拋物線的焦點為，過拋物線上一點作兩條斜率之和為0的直線，與的另外兩個交點分別為（均在點下方），則下列說法正確的是（

）A．的準線方程是B．若圓與以為半徑的圓外切，則圓與軸相切C．直線的斜率為定值D．的面積最大值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．在的展開式中常數(shù)項是.13．某銀行向貧困戶小李提供10萬元以內的免息貸款，小李準備向銀行貸款萬元全部用于農產品土特產的加工與銷售，據測算每年利潤（單位：萬元）與貸款滿足關系式，要使年利潤最大，小李應向銀行貸款萬元.14．某盒中有12個大小相同的球，分別標號為，從盒中任取3個球，記為取出的3個球的標號之和被3除的余數(shù)，則隨機變量的期望為.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知數(shù)列的前項和為.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.16．某企業(yè)研發(fā)一種新產品，要用與兩套設備同時生產，已知設備的生產效率是設備的2倍，設備生產的新產品合格率為0.9，設備生產新產品合格率為0.6，且設備與生產的新產品是否合格相互獨立.(1)從該公司生產的新產品隨機抽取一件，求所抽產品為合格品的概率；(2)從某批新產品中隨機抽取4件，設表示合格品的件數(shù)，求的分布列和方差.17．如圖，已知在平行六面體中，所有的棱長均為2，側面底面為的中點，．(1)證明：平面底面；(2)求平面與平面所成角的余弦值.18．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)設函數(shù)，證明：當時，函數(shù)在上只有1個零點.19．已知雙曲線的實軸長為2，頂點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線與的右支及漸近線的交點自上而下依次為，證明：；(3)求二元二次方程的正整數(shù)解，可先找到初始解，其中為所有解中的最小值，因為，所以；因為，所以；重復上述過程，因為與的展開式中，不含的部分相等，含的部分互為相反數(shù)，故可設，所以.若方程的正整數(shù)解為，則的面積是否為定值？若是，請求出該定值，并說明理由.1．A【分析】根據函數(shù)在某點處的導數(shù)定義即可求解.【詳解】因為，所以，故選：A.2．B【分析】利用投影向量的定義結合空間向量數(shù)量積的坐標運算可得在上的投影向量的坐標.【詳解】已知空間向量，則在上的投影向量為.故選：B.3．D【分析】根據等比數(shù)列的定義結合求和定義，可得答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，解得．．故選：D.4．C【分析】先求得直線所過定點，然后根據圓的幾何性質求得最短弦長.【詳解】直線，即，由，解得，設，由于，所以在圓內，圓的圓心為，半徑，如圖：當時，最短，，所以弦長的最小值為.故選：C5．D【分析】首先將化成統(tǒng)一形式，構造函數(shù)，研究單調性進而比較大小即可.【詳解】由題意得，，；設，則，當時，，所以單調遞增，當時，，所以單調遞減，又，所以，即，所以.故選：D6．C【分析】分為同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三種情況，分別計算，根據分類加法計數(shù)原理，求和即可得出答案.【詳解】由題意知，與任意一點均不同色.只用3種顏色，即同色，且同色，此時不同染色方法的種數(shù)為；用4種顏色，此時可能同色，而不同色或同色，而不同色.若同色，而不同色，此時不同染色方法的種數(shù)為；若同色，而不同色，此時不同染色方法的種數(shù)為.根據分類加法計數(shù)原理可得，不同染色方法的種數(shù)為.故選：C7．B【分析】由題意得，，根據得，由點在橢圓上得，再結合消元解方程即可求得，得解.【詳解】根據為橢圓上關于軸對稱的兩點，，設，則，因為，，所以，所以，根據點在橢圓上得，所以，又橢圓的離心率為，所以，，所以，解得，則，所以橢圓方程為.故選：B8．C【分析】由兩曲線互為反函數(shù)，結合反函數(shù)性質及正切函數(shù)倍角公式，可求得兩條公切線的夾角一半的正切值，即可求得直線AD的斜率.設點A的橫坐標為，切點D的橫坐標為，由導數(shù)法分別就A、D兩點求同一條切線方程，從而建立方程，化簡求值.【詳解】與互為反函數(shù)，圖象關于直線對稱，由題意可知，不符合題意，如圖所示，由題意，設兩條公切線的夾角為，其正切值為，解得或，又為銳角，所以.由對稱性，不妨取公切線AD直線進行研究，則直線AD的傾斜角，.設點A的橫坐標為，切點D的橫坐標為，則，，∴，即.所以，，，即.∴，則，即，則，所以，即，所以.故選：C方法點睛：公切線問題，一般可在兩曲線上設出切點，分別求出切線，利用兩切線為同一條切線得出方程，從而進一步求解.9．BD【分析】借助條件概率公式和獨立事件概率乘法公式可得A,B,C，借助與獨立事件概率乘法公式計算可得D.【詳解】因為,相互獨立，所以,故A錯誤；因為,故B正確；因為，故C錯誤；，故D正確.，故選：BD10．BCD【分析】利用正態(tài)曲線的對稱性求解判斷A，利用條件概率公式求解判斷B，利用不同元素的分組分配求解判斷C，根據分類計數(shù)原理，借助排列、組合計算判斷D.【詳解】對于A，因為隨機變量服從正態(tài)分布且，所以，所以，故A錯誤；對于B，因為事件“4個人去的景點互不相同”，事件“甲獨自去一個景點”，所以由題意得，所以，故B正確；對于C：先將5人分成人數(shù)為2,1,1,1的四組，再將分好的四組安排到四個地方，則不同的安排方法有種，故C正確；對于D，由題可知，當丙站在左端時，有種站法，當丙不站在左端時，有種站法，由分類加法計數(shù)原理得，一共有種不同的站法，故D正確，故選：BCD11．ACD【分析】根據給定條件，求出拋物線的方程，結合斜率坐標公式及拋物線定義即可判斷ABC，設直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，韋達定理，求出弦長及點到直線的距離，求出的面積，利用導數(shù)求解最大值即可.【詳解】依題意，，解得，即拋物線：，故焦點，準線方程，A正確；設，顯然，直線的斜率，同理直線的斜率，由，得，解得，因此直線的斜率，C正確；圓，令圓的半徑為，由圓與圓相外切，得，而，于是，即圓的圓心到y(tǒng)軸的距離為圓的半徑，則圓與直線相切，B錯誤；設直線為，由消去得：，，即，則，，，而點到直線的距離，又點在直線的上方，所以，所以，所以，則的面積，令，則，當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，D正確.故選：ACD方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．12．15【分析】首先寫出二項式展開式的通項，令，即可求出，再代入計算可得.【詳解】二項式的展開式的通項公式為，令，求得.所以展開式中常數(shù)項為.故1513．4【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用單調性即可求出最值.【詳解】依題意，且，，又，所以當時，，當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，，函數(shù)在上單調遞減.所以當萬元時，函數(shù)取得最大值.故414．【分析】求出從12個球中任取3個球的方法數(shù)，并求出取出的3個球的標號之和能被3整除的方法數(shù)，得出的所有可能取值，再求出，，，最后利用數(shù)學期望的計算公式求數(shù)學期望即可.【詳解】從12個球中任取3個球有種不同的方法，1到12中能被3整除的有3,6,9,12，除3余1的有1,4,7,10，除3余2的有2,5,8,11，由題意知的所有可能取值為0，1，2，取出的3個球的標號之和能被3整除的情況有：①標號被3整除的球中取3個有；②標號被3除余數(shù)為1的球取3個有；③標號被3除余數(shù)為2的球取3個有；④標號被3整除和除3余1和除3余2的三類球各取1個有.則．取出的3個球的標號之和被3除余1的情況有：①標號被3除余數(shù)為1的球1個和標號被3整除的球2個有；②標號被3除余數(shù)為1的球2個和標號被3除余數(shù)為2的球1個有；③標號被3除余數(shù)為2的球2個和標號被3整除的球1個有.則.取出的3個球的標號之和被3除余2的情況有：①標號被3除余數(shù)為1的球2個和標號被3整除的球1個有；②標號被3除余數(shù)為1的球1個和標號被3除余數(shù)為2的球2個有；③標號被3除余數(shù)為2的球1個和標號被3整除的球2個有，則，所以．故答案為.關鍵點點睛：本題以球的抽取為背景考查排列組合、古典概型、離散型隨機變量的數(shù)學期望等知識，解題的關鍵性是分類要不重復不遺漏，考查了學生邏輯思維能力、數(shù)據處理能力.15．(1)，(2)【分析】（1）利用與之間的關系即可求解；（2）由（1）得，進而利用裂項相消法即可求解.【詳解】（1），有，當時，有，兩式相減得，當時，由，得，檢驗：當時也滿足，所以（2）由（1）知，，所以，所以.16．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）利用全概率公式可求出結果；（2）由題意，根據二項分布的概率公式及方差公式計算可得.【詳解】（1）設事件表示“隨機抽取一件新產品，來自設備生產”，事件表示“隨機抽取一件新產品，來自設備生產”，事件表示“隨機抽取一件新產品為合格品”，因為設備的生產效率是設備的2倍，所以，，，，所以，所以所抽產品為合格品的概率為.（2）表示抽取合格品的件數(shù)，的可能取值為、、、、，則由題意，則，，，，，所以的分布列為：01234所以.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據菱形性質得，再利用面面垂直的性質定理得底面，最后利用面面垂直的判定定理證明；（2）取中點為O，連接，利用等邊三角形的性質及面面垂直的性質得兩兩垂直，以O為坐標原點建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，由求解.【詳解】（1）連接，在菱形中，因為，為的中點，所以，所以，又因為側面底面，側面底面，側面，所以底面，又平面，所以平面底面；（2）連接，取中點為O，連接，因為，故三角形為等邊三角形，則，因為側面底面，側面底面，側面，所以底面，又底面，所以，，在三角形中，因為，故三角形為等邊三角形，則，所以兩兩垂直，則以O為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.又，故，，因為，所以，，因為底面，所以取平面的法向量為；設平面的一個法向量為，由，得取，則；設平面與平面的夾角為，則，故平面與平面所成角的余弦值為18．(1)時，在上遞增；時，在上遞減，在上遞增；(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)，并討論、時的符號研究單調性；（2）令，設，求導函數(shù)，分，和討論，結合零點存在定理以及函數(shù)的相關性質，證明結論.【詳解】（1）因為，且，當時，，在單調遞增；當時，由，可得時，由，可得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；故時，在上遞增；時，在上遞減，在上遞增；（2）當時，，令，設，則，因為，所以，則方程有兩個不同點根，由得，當時，，，所以時，無零點；當時，，單調遞增，，，所以時，無零點；當時，，單調遞減，，所以時，只有1個零點；綜上，函數(shù)在只有1個零點，即函數(shù)在上只有1個零點.19．(1)(2)證明見解析(3)1【分析】（1）根據雙曲線關系和漸近線、實軸相關概念進行列式計算即可求解.（2）分別聯(lián)立直線與及其