高中數(shù)學講義微57 放縮法證明數(shù)列不等式

微專題57放縮法證明數(shù)列不等式

一、基礎知識：

在前面的章節(jié)中，也介紹了有關數(shù)列不等式的內(nèi)容，在有些數(shù)列的題目中，要根據(jù)不等

式的性質(zhì)通過放縮，將問題化歸為我們熟悉的內(nèi)容進行求解。本節(jié)通過一些例子來介紹利用

放縮法證明不等式的技巧

1、放縮法證明數(shù)列不等式的理論依據(jù)一一不等式的性質(zhì)：

(1)傳遞性：若a>b,b>c,則a>c(此性質(zhì)為放縮法的基礎，即若要證明a>c,但無

法直接證明，則可尋找一個中間量b,使得a>。，從而將問題轉化為只需證明匕〉c即可)

(2)若a>b,c>d,則a+c>/?+d,此性質(zhì)可推廣到多項求和：

若4>/。)，。2>42),???,%>/(〃)，則：4+出+…+%>〃1)+/(2)+…+/(〃)

(3)若需要用到乘法，則對應性質(zhì)為：若a>b>0,c>d>0,則ac>bd,此性質(zhì)也可推

廣到多項連乘，但要求涉及的不等式兩側均為正數(shù)

注：這兩條性質(zhì)均要注意條件與結論的不等號方向均相同

2、放縮的技巧與方法：

(1)常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：

①等差數(shù)列求和公式：S“=幺土殳?〃，+m(關于〃的一次函數(shù)或常值函數(shù))

2

a.(qn—1)

②等比數(shù)列求和公式：S“=3——^(4聲1)，6,=%?/(關于〃的指數(shù)類函數(shù))

q-i

③錯位相減：通項公式為“等差X等比”的形式

④裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負能夠相消，

進而在求和后式子中僅剩有限項

(2)與求和相關的不等式的放縮技巧：

①在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手

②在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小(應與

所證的不等號同方向)

③在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可

裂項相消的數(shù)列進行靠攏。

④若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：

看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；

第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。

(3)放縮構造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

①裂項相消：在放縮時，所構造的通項公式要具備“依項同構”的特點，即作差的兩項可視

為同一數(shù)列的相鄰兩項(或等距離間隔項)

②等比數(shù)列：所面對的問題通常為“S“〈常數(shù)”的形式，所構造的等比數(shù)列的公比也要滿足

14€(o,i)，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標，則可從所證不等式的常數(shù)入手，，常數(shù)可

視為一生的形式，然后猜想構造出等比數(shù)列的首項與公比，進而得出等比數(shù)列的通項公式，

i-q

1

再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)2=_二，即可猜

31-1

4

11(1Y

想該等比數(shù)列的首項為一，公比為一，即通項公式為2?—。

24⑷

注：此方法會存在風險，所猜出的等比數(shù)列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)

列進行放縮，受數(shù)列通項公式的結構影響

(4)與數(shù)列中的項相關的不等式問題：

①此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形

②在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累

力『'或"累乘”的形式，即4+]-4</(〃)或也</(〃)(累乘時要求不等式兩側均為正

數(shù))，然后通過“累加”或“累乘”達到一側為?！?，另一側為求和的結果，進而完成證明

3、常見的放縮變形：

(1)J、J、,其中可稱」?為“進可攻，退可守”，可依照

所證不等式不等號的方向進行選擇。

注：對于士，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個常數(shù)，即可放縮為符合裂項相消特

n

征的數(shù)列，例如：4<-^—=7——3————Y這種放縮的尺度要小于

2

/n-l(?-l)(n+l)2(〃-1n+1)

(1)中的式子。此外還可以構造放縮程度更小的，如:

1<1—41_1(1_______

〃2“2」4〃2_1(2"1)(2〃+1)又2〃-12n+lJ

~4

2

⑵T=Tr,從而有:

7nyjn+yjn

2(+1-V/?j-

注：對于。還可放縮為：X<\/n-y/n-2,n>2,nGN*

yjny/n

/c、八?八Et-i.皿3bb+m/1?c、bb+mf.八八'

(3)分子分母同加第數(shù)：一>-----[b>a>0,m>0),—>-----(a>/?>0,m>0)

aa+maa+m

此結論容易記混，通常在解題時，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問題時不妨先構

造出形式再驗證不等關系。

TT2n2'i

(4)-------=--------------<--------------=---------------

(2"-1)2(2"-1)(2"-1)(2H-l)(2rt-2)(2n-l)(2n-,-1)

=——；----------(n>2,〃wN")

2〃37

knknkn~x

可推廣為：-----b=7-----w-----x<7-----w----7=7-----w-；-V

(kn-1)-(r-i)(r-i)(r-i)(r-z：)(r-i)(r-'-i)

=——J---------(n>1,k>2,k,neN*)

r-1-ir-r7

二、典型例題：

例1：已知數(shù)列｛??｝的前n項和為5?,若45.=（2〃—1）。,m+1,且q=1

（1）求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，并求出｛4｝的通項公式

?3

⑵設勿=—=,數(shù)列也｝的前〃項和為T“，求證：Tn<-

2

解：⑴45?=(2n-l)a?+1+l

4sl=(2〃-3)q+l(n>2)

二4%=(2〃-1)見+1—(2〃一3”“（在2）

即（2〃+1>?=（In-l）a向=也="

an2〃-1

an_2n-\an_x_2n-3%_5

an_x2n-3an_22〃-5，43

.an…%=2”12〃-35即a〃=2〃-1

an-\an-2a22〃-32〃-53出3

2〃一1

/.an----a2,由4S〃=（2〃一l）a〃+1+1令〃=1可得：

4S]=%+1n%=3

.\an=2n—1（/7>2）,驗證。1=1符合上式

2

an=2〃-1Sfl-n

（2）由⑴得:4=1

（2〃-1）后?（2n-l）

111If1

--------<---------=---------=------

可知當〃22時，hn

/i（2n—1）?（2H-2）2H（H-1）2\n-1

:.T^b+b+--,+b“<b[+-

nt2"12（2

不等式得證

例2：設數(shù)列｛4｝滿足：q=lM“+|=3a“,〃eN*,設S“為數(shù)列也｝的前〃項和，已知匕尸0,

2b“-b\=S、0,〃GN*

(1)求數(shù)列｛凡｝，也｝的通項公式

1113

(2)求證：對任意的〃eN*且〃22,有-------F------+…+------<—

a「比a3aa“-b,2

解:(1)va?+1=3a?.?.｛%｝為公比是3的等比數(shù)列

a?=3"T=3"T

在也｝中，令〃=1，2*-*=S、?S]=b、=1

2b,_「1=S,72bn-2b『1=bn(〃22)nbn=紇-

.?.也｝是公比為2的等比數(shù)列

.?也=*2"7=2"7

(2)證明:

-------------1-------------+???+

a2-b2a3-4a,「b“

1--

3

例3：已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且4+/-=2S”,〃eN*

(1)求證：數(shù)列國｝是等差數(shù)列

(2)記數(shù)列2=2S；,(=!+」+-+!，證明：1一一=<7；<3—J=

*b2bnVn+127n

解：(i)4+_L=2S“nS“-S,i+^-=2S“(〃N2)

s.—s,

s,,+s,i：SS

sn-s,

??｛s：｝為等差數(shù)列

(2)思路：先利用(1)可求出S的公式進而求出/?=2小萬，則—=---產(chǎn),考慮進行放

""KoI

縮求和，結合不等號的方向向裂項相消的形式進行放縮。

解：令〃=1代入a“+-5-=2S“可得：

6Z,+—=2%=%=1即Sl=1

%

由｛s；｝為等差數(shù)列可得：s；=s；+(〃—1)=〃

Sn=>[nbn=2n\[n

.1_1

bn2n\/n

31

考慮先證(<——-；=

2yjn

11_—1—yjn—1yfn-JM—11

----------------------------<——/——"一———f=n>2)

b〃n-2\l-n___J〃-1+6)nn(n-l)>/1

J__3__1_

品2y/n

1

再證一

\Jn+l

111Vn+1-yfny/n+1一品11

_____—=.，—____,_____________

bnn-l4n+l+nJ〃(n+l)冊J"+l

小煉有話說：本題在證明中用到一個常見的根式放縮:

dn+1一\[n——j----廣<—產(chǎn)<?-----/——yjn—1

yjn+i+y/n2\Jn+J〃-1

例4：己知數(shù)列｛4｝滿足q=2,a“+|=211+1an,neN+

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛為｝的通項公式

n17

(2)設％=--,求證：C1+C,H---FC<---

4-n24

(iV

解：（1）a?i21+-

+In)n

-^T=2-4是公比為2的等比數(shù)列

（n+1）2n21川

2

an=n-2"

n1

（2）思路：c“=—=-----,無法直接求和，所以考慮放縮成為可求和的通項公式（不等號:

%小2"

＜）,若要放縮為裂項相消的形式，那么需要構造出“順序同構”的特點。觀察分母中有〃，

故分子分母通乘以（〃一1）,再進行放縮調(diào)整為裂項相消形式。

〃_1_n-1

W

ann,2"n(n—1)2

而一1_______L=2〃-(〃-1)=〃+1

(n-l)2n-'n-2"n(n-l)2wn(n-l)2"

叱八?"I?+l11/

所以c“=—；---；—<—----；——----；---：------(n>2)

f1111111

cl+e2+...+cn<cl+c2+c3+^--—+—-—+J

1111117117

=—|—T---1----------=---------<5>3)

282424n-2n24n-2n24

1617

?.?c“>0q<C]+°?vq+G+。3=v~^2A

小煉有話說：（1）本題先確定放縮的類型，向裂項相消放縮，從而按“依序同構”的目標進

行構造，在構造的過程中注意不等號的方向要與所證一致。

（2）在求和過程中需要若干項不動，其余進行放縮，從而對求和的項數(shù)會有所要求（比如本

題中”>3才會有放縮的情況），對于較少項數(shù)要進行臉證。

例：己知數(shù)列｛?！埃那啊椇蚐”=叫,一3"（八-eN*,且%=17

(1)求《

(2)求數(shù)列也｝的前〃項和S“

設數(shù)列也｝的前九項和7；，且滿足％求證：T<|V3n+2

(3)n

解：(1)在中，令〃=2,〃=3可得:

4+%=2a?-6\a2-a[=6

<=><

4+火+/=3%-181q+%=16

?，,q=5,(1、=11

(2)Sn=nan——1)①

5?_,=(n-l)??_1-3(n-l)(n-2)②

①一②可得：

%=%--1)%-6(〃-l)=>(n-l)a?=(〃-1)%+6(n-l)(n>2)

+6

.?.｛里｝是公差為6的等差數(shù)列

/.an=4+6(〃-1)=6拉一1

:.Sn=/也〃一3〃(〃-1)=〃(6〃-1)一3"(〃-1)=3九2+2〃

(3)由(2)可得：—=J——

"V3n2+2n

b=/1=—/2</2/=2H3n+2-

j3〃+2213n+213〃+2+/3〃-12、)

0r

;1=瓦+Z?2+---+/??<-^V5-V2)+(A/8-V5)+(V3n+2-V3n-l)

=,3〃+2-&)<§J3"+2

例6：已知數(shù)列｛2｝滿足%=n>2,nGN)

-2

(1)試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由

(2)設么=a“sin(2"；"),數(shù)列也｝的前〃項和為7；,求證：對任意的〃eN*,7；<g

㈠))％-2

解：(1)a=---------------=>—=

(-1)4-2冊%=5-六

—+(-1)^2.(-l)n--—+(-l)H=(-2).

aaa

n,,-y?La><-\

.?」［-+(-1)”為公比是一2的等比數(shù)列

1，對于sin也H

(2)思路：首先由⑴可求出｛%｝的通項公式a

n3?(-2廣-(-1)"2

,,%(2〃-1)乃，(2n-\\TI(、

可發(fā)現(xiàn)〃為奇數(shù)時，sin---------=1,〃為偶數(shù)時，sin---------=-1,結合｛4｝通項公

式可將其寫成sin(2"[)"=(―I)2

,從而求出c”=-------：-,---無法直接求和，所以考慮

3?21+1

對通項公式進行放縮，可聯(lián)想到等比數(shù)列，進而q,=——<—二，求和后與所證不

3,2"+13,2”

等式右端常數(shù)比較后再進行調(diào)整(需前兩項不動)即可。

解：-+(-1)'=3,由(1)可得:

L_

1

3-(-2r-(-i)n

.(2〃-1)萬，一(2〃-1)乃(-1廠1

而sin-——2J=(-1)?他=a“-sin1^

3.(-2)"-'-(-l)n3-2'-'+\

,11

b“=:<r

3.2,,-1+132”

、'1"23時，Tn=4+b2+---+bn<(Z?f+Z?2)+—y+——j+---+2n-

1474

=——I-----1----------------------------<——I——-8-4-7-

471I47

1—

2

因為也}為正項數(shù)列：.Tx<T2<T3<-<Tn

4

VeN*<

7-

例7：已知數(shù)列滿足：=-,且—吧吧一(n>2,neN*

22%+〃-1'

(1)求數(shù)列｛可｝的通項公式

(2)證明：對于一切正整數(shù)〃，均有…-an<2-n\

3"*

解：⑴an

2a+n-1

12。“_1+〃-1nn2n-\

——-------——----------<=>———I----

a,3吟|3%a”33a

ii2I

設即〃,二十舊1

.,也-1=；(%-1).??｛2一1｝為公比是g的等比數(shù)列

XH-I

?,也T=(々-嗚

而4=—=-

7a}3

nn-3"

,也dg73"—1

3,323"

(2)思路：所證不等式可化簡為：----------<2,由于是連乘形式，所以考慮

3,-132-13"-1

放縮為分子分母可相消的特點，觀察分母的形式為(3"-1),所以結合不等號方向，將分子向

3"3"—23”—1

該形式轉化:--------<---------<—7_:——r(n>2),再根據(jù)右邊的值對左邊放縮的程度進行

3"-13”-33(3,,-|-1)

調(diào)整即可。

olo2

證明：所證不等式為：〃!?一----3一…------<2-〃!

3,-132-13"-1

3'323"

等價于證明:

3—32—13"-1

C=V-------<-7：C（〃22）

3"—1--------"3"—13"-33（3,,-|-1）'

33-134-13"-1

Cn<C'C?3（32-1）3（33-1）3（3,,-|-1）

393"-1393"243々

------7<->-*----v=-----<2（〃2

288?3”22883-2128--'

27°

C.=—3<2c,C.-C-,=-3---9——<2

12122816

即不等式得證

小煉有話說：(1)對于一側是連乘形式的表達式，在放縮時可考慮通過分子分母相消達到化

簡式子的目的。與裂項相消相似按照“依序同構”的原則構造。

(2)本題中用到了分式放縮的常用方法：通過分子分母加上相同的數(shù)達到放縮目的，但要注

意不等號的方向(建議驗證)，常用的放縮公式為：。>。>0,。>0=>2<2土￡(分子小與

aa+c

分母)，a>b>0.c>0=>—>a^C(分子大于分母)

bb+c

例8：已知函數(shù)=-----21nx,/(l)=0

(1、

2

(1)若函數(shù)f(x)在x=l處切線斜率為0,an+i=f'\-———-n+l,己知q=4,

求證：?！?2〃+2

111?

（2）在（1）的條件下，求證：-----4----------+???+---------<-

1+41+%1+4?5

1。

解：（1）f（X）=Cl-\----r-----

X~X

/（l）=0\a-h=0[a=\

=><=><

/（l）=0a+b—2=0h=\

a〃+]=1+_〃+1）__2（a〃_zt+1）_*+1

整理后可得：4漳=(勺一〃)2-〃2+1

%+i=公-2%+1

下面用數(shù)學歸納法證明：/22〃+2

當〃=1時，4=422〃+2成立

假設“=Z（keN*）成立，則〃=k+1時

W+1=%3-24）+1?.?&.>2k+2

:.aM2（2左+2>2+1=4%+5>2（左+1）+2

，〃=攵+1時，不等式成立

/.VnGN\an>2H+2

（2）

4+i=a；t-2na”+1=??（q,-2〃）+1

由（1）可知。〃之2〃+2an+}>2an+1

—

a,+i+122（a“+l）n-

aw+i+12a“+1

1111111

------?—?---------?—?---------W???W-------

a“-1-2--I"an_2-l~~2"-'4+1

L+J…1+MO

2

例9：已知數(shù)列｛叫的各項均為正值，對V〃GN*,嗨-1=4%(a?+1)也=log2(an+1),

且弓=1

（1）求數(shù)列，的通項公式

（2）當左>7且ZeN.時，證明對V〃eN*,都有'+」一+'-+…+—1—>3成立

b“%bn+2b“i2

解：⑴=

*2

???4a：+4a?+1na；+I=（2a?+1）由可>?？傻茫?/p>

,J=2/+1

，4+1+1=2（4+1）

二｛。"+1｝為公比是2的等比數(shù)列

aa+1=（4+1）?2"一|=2"

.???！?2〃-1bn=n

（2）思路：所證不等式為：+」—>3左邊含有兩個變量，考慮通過

nn+1〃+2nk—\2

iii3

消元簡化所證不等式。設《=一+——+..?+-----,則只需證明：（1）.>一，易知7；為

n〃+1nk-1m,n2

11133

遞增數(shù)列。所以只需證明攵=8,即一+——+???+----->-,左邊共7〃項，結合一的特

nH+18/?-122

點可考慮將7〃項分為3組：-H-----1---1---——>」—H---F」—=——

〃〃+12〃-12〃2n2n2

K________________________v-,V_____________>

111111

---1------1-??------>---F…H---=一

2〃2〃+14〃-14〃4n2

2〃個2〃個

—+—i—+再求和即證不等式

4n4n+18n—1Sn8n2

X_________v_________/V____vJ

4〃個4〃個

解：所證不等式1----1----11---->一由（1）可得：

22+1%+2%-12

11113Li（111113

--1-----1----F,,?H>一只需證：1-----1-----1-…4>一

nn+1〃+2----nk-\2\n〃+1〃+2-----nk-1Jmin2

設（」+」-+???+]

nn+1nk-l

11]、

??1+i-丫卜=■-d-----1-…+--1-----b…+

n〃+ln〃+lnk-\）

11]

=—十------+…+>0

nk■+1nk-\-n-\

.?.｛1｝為遞增數(shù)列"k>s

111「…1113

???(q)min=4=—+----+…+只需證--1-----HH----->一

n〃+18〃一1nn+l8〃-12

1111113

/.—+----+???+----->—+—+—=—

n?+18n-l2222

例10：數(shù)列｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，%=6,數(shù)列帆｝滿足：4=3也+1=姑2…4+1

b-1

(1)當“22時，求證：H—=bn

b”T

(2)當4>1且%eN*時，/，%，%,氣，…，氣，…為等比數(shù)列

①求小

/\

②當％取最小值時，求證：++----F->4-----1-------1---1-----

仇人b3hn(理一1ak2-1akn-1J

解：⑴由%+]=/?也…〃,+1可得：bll+l-l=bxb2---bn

b”-1=響…b"_i(nN2,葭eN*)

h-I

兩式相除可得：—=bn

(2)①思路：本題的突破口在于4,,既在等差數(shù)列｛《,｝中，又在等比數(shù)列

。3，%，%，4,1?，%,,，,一中，從而在兩個不同風格的數(shù)列中氣，均能夠用％進行表示，然后便

得到女“與%的關系式，抓住A”,%eN*的特點即可求出％的值

???{6,}為等差數(shù)列."=四二％=空包

、6—a

4“=43+-3）,〃=%+（%”一3）?—

另一方面，：“3，。5,4，%.，…，4，…為等比數(shù)列—

'12a3a3

-------J可視為以1為首項，—為公比的等比數(shù)列前（〃+1）項和

.?"“=3+21+—+-：+(—

=5+29+

“3I”3J

?;除wN":NneN*,2—+???+—GN,:%wN*

a3能夠被6整除,?,%>1且。3。%=6

。3=2或。3=3

經(jīng)檢臉：叼=2或。3=3均符合題意

②思路：所證不等式兩側均為數(shù)列求和的形式，所以先觀察兩側是否有能直接求和的式子，

b-1

從而化簡一側的表達式，由（1）和（2）①可知，---=bn,a.=2x3"”，所以對于右

b「T"

側，一!—=———顯然無法直接找到求和方法。而對于雖然沒有通項公式，但可

1

氣-12-3--1bn

對'+!=”向可求和的方式進行變形,得到」-=」--------1一從而可想到利

V

b,「lbnbn-\bn+x-\'

用裂項相消的方式進行求和得至I11F???H-----------------o對"于右側

瓦仇4乳3她…么

—5----1------------1--??+---只能考慮進行放縮，針對一--=----L——的特點可向等比

,,+1

a.-1a,-1a,K-1a.K-12-3-l

K2nn

數(shù)列靠攏，結合不等號方向可得：-1—=——!一<-!-?所以

,,+|,,+,

akn-12-3-13

于是所證的不等式就變?yōu)橹恍枳C明

2122121

>--------,即證明---------<--,考慮對---------進行放縮，抓住4=3

3b?…b.33,,+1b我…b“3,,+,他2??也

271

這個特點，由已知可得也｝為遞增數(shù)列，則。“23,但右側為不訂=3/，無法直接放縮

11?

證明，所以要對--------的放縮進行調(diào)整，計算出片也也可得------<—,進而

她…223她434

]11212

------------------<———r=-r,但此時只能證明“24時，不等式成立。對于

他2…々仇仇仇為…2343一3,,+|

”=1,2,3有限的項，逐次驗證即可。

b-1

由（1）可得：2—=b?

bn-\

1

b”(dT)=2+1-1==7-：

么電T)b“+「l

._J____1___1

.?”一友=晨「1

111c

—=--------------------

b.bn-\btl+l-1

1111

/.—+—+—+???+—

hb2h3hn

----P-----------------+--------------------+...+----------------------

仄3—1仄-1）3T^4-1J3,T仇+1—"

111

—+--------------------

瓦b2-\b,^-1

?.?4=3也+|=她…2+1

?,也+1-1=貼2…d

111111121

—H------1----+???H---------1------------------=-----------------

b\b2b3bn耳仇她…23姑2…2